Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина”

Курсовая работа

Анализ модели Ван-дер-Поля

Исполнитель:

Студент 5 курса г.Лесной

Чурин Михаил Владимирович

Руководитель: Башкирцева Ирина Адольфовна

Оглавление

• Введение
• Аналитическое исследование уравнения Ван-дер-Поля
• Компьютерное исследование модели Ван-дер Поля
• Метод Эйлера
• Метод Рунге-Кутта 4 порядка
• Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки
• Вывод
• Приложение
• Список литературы
• Введение
• В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом. Основное требование, предъявляемое к математической модели - адекватность рассматриваемому явлению, то есть она должна достаточно точно отражать характерные черты явления.
• Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования. Для решения математических задач используются основные группы методов: аналитические и численные. При практическом решении систем уравнений, как правило, не удается получить решение, выраженное через элементарные функции. Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются в виде числовых значений.
• Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования и строится соответствующая математическая модель, представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.д.).

Траектория - центр

График зависимости Корней от параметра

Графики x(t), y(t) (По методу Эйлера)

1. Центр (Начальная точка (0.5; 0.5), (= 0))

2. Устойчивый узел (Начальная точка (0.5; 0.5) (= -3))

3. Устойчивый фокус (Начальная точка (0.5;0.5),(= -1))

4.Неустойчивый фокус (Начальная точка (0.01;0.01), (= 1))

В системе наблюдается предельный цикл

5. Неустойчивый узел (Начальная точка (0.01; 0.01), (= 3)

В системе наблюдается предельный цикл

уравнение поль эйлер рунге

Вывод

В данной курсовой работе рассматривается система уравнений Ван-дер-Поля:

В первой части проведено аналитическое исследование по системе первого приближения.

Решив систему первого приближения можно сделать следующий вывод, что

q при > 0 точка покоя (0.0) исходной системы (и системы первого приближения) неустойчива;

q при < 0 точка покоя (0.0) исходной системы (и системы первого приближения) устойчива;

q при = 0 наблюдается устойчивость, но не асимптотическая.

Во второй части рассмотрены численные методы Эйлера и Рунге-Кутта. Применяя один из этих методов, возможно нахождение приближенного решения системы дифференциальных уравнений.

По результатам решения проведен сравнительный анализ погрешности этих методов.

Таким образом, опытным путем было подтверждено, что метод Эйлера имеет порядок точности О(h), а метод Рунге-Кутта - О(h⁴). Следовательно, мы еще раз убедились, что метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, и дальнейшие построения, расчеты и анализ проводились только этим методом.

Решая систему уравнений Ван-дер-Поля, при различных значениях параметра были установлены следующие случаи:

q при > 0 наблюдается неустойчивый фокус;

q при < 0 наблюдается устойчивый фокус;

q при = 0 наблюдается центр.

Приложение

Program eyler;

var

rez : text; x1,y1,x0,y0:real; i:integer;

const h=0.01 ; k=3 ; n=5000;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=y;

end;

function g(x,y:real):real;

begin

g:=a*y - x*x*a*y - x;

end;

begin

assign(rez, 'churin.txt');

rewrite (rez);

x0:=-0.01;y0:=-0.01;

writeln (rez,x0,' ',y0);

for i:=1 to n do

begin

x1:=x0+h*f(x0,y0);

y1:=y0+h*g(x0,y0);

writeln(rez,x1,' ',y1);

x0:=x1;

y0:=y1;

end;

close (rez);

end.

Program rungecut;

var

rez : text;l1,l2,l3,l4,k1,k2,k3,k4,x0,y0,x1,y1:real; i:integer;

const h=0.01 ; k=3 ; n=5000;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=y;

end;

function g(x,y:real):real;

begin

g:=a*y - x*x*a*y - x; {Tut pisat svou funcciu}

end;

begin

assign(rez, 'churin.txt');

rewrite (rez);

x0:=-0.01;y0:=-0.01;

writeln (rez,x0,' ',y0);

for i:=1 to n do

begin

k1:=h*f(x0,y0); l1:=h*g(x0,y0);

k2:=h*f(x0+k1/2,y0+l1/2); l2:=h*g(x0+k1/2,y0+l1/2);

k3:=h*f(x0+k2/2,y0+l2/2); l3:=h*g(x0+k2/2,y0+l2/2);

k4:=h*f(x0+k3,y0+l3); l4:=h*g(x0+k3,y0+l3);

x1:=x0+(k1+2*k2+2*k3+k4)*1/6;

y1:=y0+(l1+2*l2+2*l3+l4)*1/6;

writeln (rez,x0,' ',y0);

x0:=x1; y0:=y1;

end;

close (rez);

end.

Список литературы

1. В.И. Арнольд «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Москва «Наука», 1984г.

2. Академик А.Н. Тихонов, профессор Д.П. Костомаров Научно-технический прогресс и математика».

3. А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк «Дифференциальные уравнения: примеры и задачи»

4. Л.Б. Ряшко Лекции по предмету «Дифференциальные уравнения»

5. И.А. Башкирцева Лекции по предметам: «Методы вычислений» и «Компьютерное моделирование»

Размещено на Allbest.ru