Анализ модели Ван-дер-Поля

Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 06.10.2012
Размер файла 341,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина”

Курсовая работа

Анализ модели Ван-дер-Поля

Исполнитель:

Студент 5 курса г.Лесной

Чурин Михаил Владимирович

Руководитель: Башкирцева Ирина Адольфовна

г.Лесной 2012г.

Оглавление

  • Введение
    • Аналитическое исследование уравнения Ван-дер-Поля
      • Компьютерное исследование модели Ван-дер Поля
      • Метод Эйлера
      • Метод Рунге-Кутта 4 порядка
      • Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки
      • Вывод
      • Приложение
      • Список литературы
      • Введение
      • В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом. Основное требование, предъявляемое к математической модели - адекватность рассматриваемому явлению, то есть она должна достаточно точно отражать характерные черты явления.
      • Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования. Для решения математических задач используются основные группы методов: аналитические и численные. При практическом решении систем уравнений, как правило, не удается получить решение, выраженное через элементарные функции. Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются в виде числовых значений.
      • Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования и строится соответствующая математическая модель, представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.д.).

При выборе физической и, следовательно, математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики.

Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия) эти уравнения можно заменить линейными.

После того, как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде, например, в виде ряда. Иногда утверждение «задача решена» означает, что доказано существование и единственность решения. Ясно, что этого недостаточно для практических приложений. Необходимо еще изучить качественное поведение решения и найти те или иные количественные характеристики.

Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов. Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели («дискретная модель»), которая доступна для реализации на ЭВМ. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел.

Чтобы реализовать численный метод необходимо составить программу для ЭВМ или воспользоваться готовой программой.

После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению, и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

Полная погрешность складывается из неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности.

Таким образом, ЭВМ изменили подход к применению математики как метода исследования. Они вызвали переориентацию многих сложившихся направлений математики и развитие ряда новых. Благодаря ЭВМ, идет интенсивный процесс математизации не только естественных и технических, но также и общественных наук. Важное значение приобрело применение математических методов в экономике. Во многих университетах и институтах созданы факультеты прикладной и вычислительной математики. Подтверждается точка зрения К. Маркса, который, по словам П. Лафарга, считал, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается воспользоваться математикой».

Аналитическое исследование уравнения Ван-дер-Поля:

любой вещественный параметр

Точка покоя M=(0,0)

Корни действительные

a)

б)

1) Корни комплексные

а) a>0 неустойчивый фокус

б) a<0 устойчивый фокус

3) Корни чисто мнимые

a=0 центр

1. Устойчивый узел

2. Устойчивый фокус

3. Неустойчивый фокус

4. Неустойчивый узел

Компьютерное исследование модели Ван-дер Поля.

Метод Эйлера

1. Устойчивый узел (= -3)

2. Устойчивый фокус (= -1)

3.Центр (= 0)

4.Неустойчивый фокус (= 1)

В системе наблюдается предельный цикл

5. Неустойчивый узел (= 3)

В системе наблюдается предельный цикл

Метод Рунге-Кутта 4 порядка

1. Устойчивый узел (= -3)

2. Устойчивый фокус (= -1)

3. Центр (= 0)

4.Неустойчивый фокус (= 1)

В системе наблюдается предельный цикл

5. Неустойчивый узел (= 3)

В системе наблюдается предельный цикл

Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки

Траектория - центр

График зависимости Корней от параметра

Графики x(t), y(t) (По методу Эйлера)

1. Центр (Начальная точка (0.5; 0.5), (= 0))

2. Устойчивый узел (Начальная точка (0.5; 0.5) (= -3))

3. Устойчивый фокус (Начальная точка (0.5;0.5),(= -1))

4.Неустойчивый фокус (Начальная точка (0.01;0.01), (= 1))

В системе наблюдается предельный цикл

5. Неустойчивый узел (Начальная точка (0.01; 0.01), (= 3)

В системе наблюдается предельный цикл

уравнение поль эйлер рунге

Вывод

В данной курсовой работе рассматривается система уравнений Ван-дер-Поля:

В первой части проведено аналитическое исследование по системе первого приближения.

Решив систему первого приближения можно сделать следующий вывод, что

q при > 0 точка покоя (0.0) исходной системы (и системы первого приближения) неустойчива;

q при < 0 точка покоя (0.0) исходной системы (и системы первого приближения) устойчива;

q при = 0 наблюдается устойчивость, но не асимптотическая.

Во второй части рассмотрены численные методы Эйлера и Рунге-Кутта. Применяя один из этих методов, возможно нахождение приближенного решения системы дифференциальных уравнений.

По результатам решения проведен сравнительный анализ погрешности этих методов.

Таким образом, опытным путем было подтверждено, что метод Эйлера имеет порядок точности О(h), а метод Рунге-Кутта - О(h4). Следовательно, мы еще раз убедились, что метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, и дальнейшие построения, расчеты и анализ проводились только этим методом.

Решая систему уравнений Ван-дер-Поля, при различных значениях параметра были установлены следующие случаи:

q при > 0 наблюдается неустойчивый фокус;

q при < 0 наблюдается устойчивый фокус;

q при = 0 наблюдается центр.

Приложение

Program eyler;

var

rez : text; x1,y1,x0,y0:real; i:integer;

const h=0.01 ; k=3 ; n=5000;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=y;

end;

function g(x,y:real):real;

begin

g:=a*y - x*x*a*y - x;

end;

begin

assign(rez, 'churin.txt');

rewrite (rez);

x0:=-0.01;y0:=-0.01;

writeln (rez,x0,' ',y0);

for i:=1 to n do

begin

x1:=x0+h*f(x0,y0);

y1:=y0+h*g(x0,y0);

writeln(rez,x1,' ',y1);

x0:=x1;

y0:=y1;

end;

close (rez);

end.

Program rungecut;

var

rez : text;l1,l2,l3,l4,k1,k2,k3,k4,x0,y0,x1,y1:real; i:integer;

const h=0.01 ; k=3 ; n=5000;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=y;

end;

function g(x,y:real):real;

begin

g:=a*y - x*x*a*y - x; {Tut pisat svou funcciu}

end;

begin

assign(rez, 'churin.txt');

rewrite (rez);

x0:=-0.01;y0:=-0.01;

writeln (rez,x0,' ',y0);

for i:=1 to n do

begin

k1:=h*f(x0,y0); l1:=h*g(x0,y0);

k2:=h*f(x0+k1/2,y0+l1/2); l2:=h*g(x0+k1/2,y0+l1/2);

k3:=h*f(x0+k2/2,y0+l2/2); l3:=h*g(x0+k2/2,y0+l2/2);

k4:=h*f(x0+k3,y0+l3); l4:=h*g(x0+k3,y0+l3);

x1:=x0+(k1+2*k2+2*k3+k4)*1/6;

y1:=y0+(l1+2*l2+2*l3+l4)*1/6;

writeln (rez,x0,' ',y0);

x0:=x1; y0:=y1;

end;

close (rez);

end.

Список литературы

1. В.И. Арнольд «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Москва «Наука», 1984г.

2. Академик А.Н. Тихонов, профессор Д.П. Костомаров Научно-технический прогресс и математика».

3. А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк «Дифференциальные уравнения: примеры и задачи»

4. Л.Б. Ряшко Лекции по предмету «Дифференциальные уравнения»

5. И.А. Башкирцева Лекции по предметам: «Методы вычислений» и «Компьютерное моделирование»

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности.

    реферат [78,4 K], добавлен 18.04.2015

  • Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010

  • Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.

    практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011

  • Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.

    курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012

  • Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.

    курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011

  • Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.

    курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011

  • Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.

    курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.