Линейное разностное уравнение
Нахождение решения уравнения с заданными граничными и начальными условиями, система дифференциальных уравнений. Симметричное преобразование Фурье. Решение линейного разностного уравнения. Допустимые экстремали функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.01.2016 |
| Размер файла | 51,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Институт информационных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№1
По курсу: Специальные математические методы и функции
Минск, 2013
1. Найти решение уравнения
с граничными условиями , и начальными условиями , .
Решение:
Будем искать решение в виде ряда:
уравнение фурье функционал экстремаль
.
Тогда: , .
Тогда исходное уравнение примет вид:
или разделяя переменные .
Т.к. и - независимые переменные, то равенство возможно лишь в том случае, когда левая и правая части являются вещественными числами:
, .
В результате для нахождения функцийи получаем систему дифференциальных уравнений:
.
Рассмотрим вначале уравнение (2).
В силу нулевых краевых условий имеем:
,
.
Анализ этих уравнений приводит к выводу, что:
, .
Тогда уравнение (1) имеет решение:
.
Итак, мы нашли подходящие частные решения:
.
Скомбинируем из них общее решение в виде ряда:
. (3)
Для нахождения чисел и почленно продифференцируем ряд по переменной :
. (4)
Подставим в (3) и (4) . Тогда с учетом начальных условий будем иметь:
,
.
Мы получили разложение функций и в ряды Фурье по синусам. Поэтому неизвестные коэффициенты определяются по стандартным формулами:
.
Подставим в уравнение (3), для :
.
Ответ:
2. Найти симметричное преобразование Фурье функции
Решение:
Ответ:
3. Решить линейное разностное уравнение
, , , .
Решение:
Пусть .
Тогда
.
Получаем операторное уравнение:
Имеем решение:
Функция представляет собой несократимую дробь, знаменатель которой имеет корни , кратности 2.
Тогда находим :
Проверим, выполняются ли начальные условия:
.
Значит, функция является решением исходной задачи.
Ответ:.
4. Найти допустимые экстремали функционала
, , .
Решение:
Приступая к решению задачи, замечаем, что:
, ,
, .
Поэтому уравнение Эйлера-Лагранжа выглядит так:
.
Интегрируя, получаем решение:
.
Частное решение:
,
.
Подставим:
- искомая экстремаль.
Ответ: .
Список используемой литературы
1. Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. - М.: Наука, 1976. - 296 с.
2. Болгов, В. А. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: учеб. пособие для втузов / В. А. Болгов, А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин [и др.]; под общ. редакцией Ефимова А. В. и Б. П. Демидовича - 2-е изд. - М.: Наука, 1986. - 368 с.
3. Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. - М.: Наука, 1961. - 228 с. 3. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук - Минск: ИРФ Обозрение, 1977. - 570 с.
4. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математическая статистика. Случайные процессы: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. - Минск: ИРФ Обозрение, 1977. - 445с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение экстремума функционала при определенных заданных условиях. Особенности вычисления гамма-функции. Вычисление значения и решение неоднородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, специфика выполнения проверки решения.
контрольная работа [53,9 K], добавлен 27.09.2011Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
контрольная работа [170,3 K], добавлен 01.04.2010Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Понятие уравнения, его корни. Решение уравнения, усвоение понятий равносильного и линейного уравнений, нахождение их корней при переносе слагаемых, при наличии скобок. Формирование вычислительных навыков учащихся, их памяти и мыслительных операций.
конспект урока [118,0 K], добавлен 14.05.2014Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Изучение понятия и методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомые функции непрерывного аргумента и замена их функциями дискретного аргумента. Разностное уравнение относительно сеточной функции - аппроксимация на сетке. Метод Эйлера.
презентация [107,6 K], добавлен 18.04.2013Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.
презентация [103,1 K], добавлен 29.03.2016
