Дифференциальные уравнения
Определение экстремума функционала при определенных заданных условиях. Особенности вычисления гамма-функции. Вычисление значения и решение неоднородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, специфика выполнения проверки решения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.09.2011 |
| Размер файла | 53,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
2
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача 1. Найти экстремум функционала при
Решение
Найдём частные производные подынтегральной функции:
; .
Вычислим полную производную по x от Fy' по формуле дифференцирования сложной функции:
функция линейное разностное уравнение экстремум
Имеем .
Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида:
.
Т.е. или (1).
Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение - характеристические числа. Следовательно, общее решение однородного уравнения будет . Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть многочлен нулевой степени, умноженный на синус, поэтому . Подставим это решение в исходное уравнение:
Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид
.
Для нахождения произвольных постоянных C1 и C2 подставим полученное решение в граничные условия:
и тогда уравнение экстремали имеет вид:
.
Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби вида:
.
Т.к. , уравнение Якоби имеет вид:
или .
Его общее решение есть .
Из условия , т.е. , имеем . Т.е. u(x), удовлетворяющее условию , имеет вид , где С - константа. Так как нетривиальное решение уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется.
б) проверим условие Лежандра: поскольку Fy'y' = 2 > 0 при любых y', то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно, на этой же кривой достигается и слабый минимум.
Значение функционала на найденной экстремали равно примерно -79,3784 (вычислено в математическом пакете Maple).
Ответ: -79,3784 достигается на кривой .
Задача 2. Найти
Решение
Для вычисления воспользуемся следующим свойством:
и известным значением гамма-функции
.
Тогда имеем
,
в свою очередь
и так далее, таким образом, получим, что
Ответ: .
Задача 3. Найти решение уравнения yk+2 - 19 yk = 4k, y0 = 1, y1 = 1.
Выполнить проверку решения
Решение
Имеем неоднородное линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами.
Его общее решение имеет вид , где у - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.
Характеристическое уравнение
- характеристические числа. Т.к. они действительные и различные, то
.
Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть полином нулевой степени, умноженный на действительное число степени k, не совпадающее ни с одним из характеристических чисел, поэтому . Подставим это решение в исходное уравнение:
Следовательно, решение исходного разностного уравнения есть
=.
Произвольные постоянные решения С1 и С2 найдем, используя начальные условия:
;
.
Окончательно имеем решение
.
Проверим решение:
, подставим в исходное уравнение, получим
Ответ: .
Размещен на Allbest
Подобные документы
Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Нахождение решения уравнения с заданными граничными и начальными условиями, система дифференциальных уравнений. Симметричное преобразование Фурье. Решение линейного разностного уравнения. Допустимые экстремали функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
контрольная работа [51,5 K], добавлен 05.01.2016Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016Дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка для заданной электрической цепи. Применение преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях. Решение уравнения операторным методом. Построение частотных характеристик цепи. Ее динамика.
курсовая работа [721,0 K], добавлен 27.05.2008Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения. Теория устойчивости Ляпунова.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 11.04.2009Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Правила вычисления коэффициентов n-образов. Рассмотрение алгоритмов решения линейных ОДУ с переменными коэффициентами второго и произвольного порядков. Общепринятые способы определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
книга [1,7 M], добавлен 03.10.2011
