Дифференциальные уравнения

Определение экстремума функционала при определенных заданных условиях. Особенности вычисления гамма-функции. Вычисление значения и решение неоднородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, специфика выполнения проверки решения.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 27.09.2011
Размер файла 53,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1. Найти экстремум функционала при

Решение

Найдём частные производные подынтегральной функции:

; .

Вычислим полную производную по x от Fy' по формуле дифференцирования сложной функции:

функция линейное разностное уравнение экстремум

Имеем .

Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида:

.

Т.е. или (1).

Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение - характеристические числа. Следовательно, общее решение однородного уравнения будет . Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть многочлен нулевой степени, умноженный на синус, поэтому . Подставим это решение в исходное уравнение:

Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

.

Для нахождения произвольных постоянных C1 и C2 подставим полученное решение в граничные условия:

и тогда уравнение экстремали имеет вид:

.

Проверим достаточные условия сильного экстремума:

а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби вида:

.

Т.к. , уравнение Якоби имеет вид:

или .

Его общее решение есть .

Из условия , т.е. , имеем . Т.е. u(x), удовлетворяющее условию , имеет вид , где С - константа. Так как нетривиальное решение уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется.

б) проверим условие Лежандра: поскольку Fy'y' = 2 > 0 при любых y', то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно, на этой же кривой достигается и слабый минимум.

Значение функционала на найденной экстремали равно примерно -79,3784 (вычислено в математическом пакете Maple).

Ответ: -79,3784 достигается на кривой .

Задача 2. Найти

Решение

Для вычисления воспользуемся следующим свойством:

и известным значением гамма-функции

.

Тогда имеем

,

в свою очередь

и так далее, таким образом, получим, что

Ответ: .

Задача 3. Найти решение уравнения yk+2 - 19 yk = 4k, y0 = 1, y1 = 1.

Выполнить проверку решения

Решение

Имеем неоднородное линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами.

Его общее решение имеет вид , где у - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

Характеристическое уравнение

- характеристические числа. Т.к. они действительные и различные, то

.

Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть полином нулевой степени, умноженный на действительное число степени k, не совпадающее ни с одним из характеристических чисел, поэтому . Подставим это решение в исходное уравнение:

Следовательно, решение исходного разностного уравнения есть

=.

Произвольные постоянные решения С1 и С2 найдем, используя начальные условия:

;

.

Окончательно имеем решение

.

Проверим решение:

, подставим в исходное уравнение, получим

Ответ: .

Размещен на Allbest


Подобные документы

  • Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.

    презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013

  • Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

    контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011

  • Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.

    контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010

  • Нахождение решения уравнения с заданными граничными и начальными условиями, система дифференциальных уравнений. Симметричное преобразование Фурье. Решение линейного разностного уравнения. Допустимые экстремали функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа.

    контрольная работа [51,5 K], добавлен 05.01.2016

  • Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

    курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015

  • Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

    курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016

  • Дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка для заданной электрической цепи. Применение преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях. Решение уравнения операторным методом. Построение частотных характеристик цепи. Ее динамика.

    курсовая работа [721,0 K], добавлен 27.05.2008

  • Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения. Теория устойчивости Ляпунова.

    дипломная работа [1,0 M], добавлен 11.04.2009

  • Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.

    контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014

  • Правила вычисления коэффициентов n-образов. Рассмотрение алгоритмов решения линейных ОДУ с переменными коэффициентами второго и произвольного порядков. Общепринятые способы определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

    книга [1,7 M], добавлен 03.10.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.