МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Козлова Любовь Владимировна

Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

/дипломная работа/

Работа завершена:

Студентка группы 721

Козлова Л.В.

(подпись)

Рекомендуется к защите:

Научный руководитель, профессор

Хайруллин Р.С.

(подпись)

Допускается к защите:

Зав. кафедрой, профессор

Габбасов Н.С.

(подпись)

Набережные Челны

2002

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА

§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка

§ 2. Формулировка теоремы существования и единственности

§ 3. Сведение обшей системы дифференциальных уравнений к нормальной

§ 4. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях

ГЛАВА II. Линейные уравнения с постоянными Коэффициентами.

§ 5. Линейное однородное уравнении с постоянными коэффициентами (случай простых корней)

§6. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случаи кратных корней)

§ 7. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

§ 8. Метод исключения

§9. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами

§ 10. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства

§ 11. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

ГЛАВА III. теоремы существования

§ 12. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения

§13. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений

§ 14. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки

ГЛАВА IV. ПРАКТИЧЕСКИЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена теме: «Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами»

Многие процессы химической технологии описываются системами дифференциальных уравнений - начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами В основу математических способов описания процессов положены системы дифференциальных уравнений и системы линейных алгебраических уравнений Эти уравнения описывают материальные и тепловые балансы объектов химической технологии а так же структуры потоков технических веществ в этих аппаратах

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляют собой большой и важный класс обыкновенных дифференциальных уравнений, решающихся до конца при помощи элементарных функций. Ввиду того, что решение этих уравнений принципиально не представляет больших трудностей, часто, считают, что они не имеют сколько-нибудь значительного интереса для теории, и в учебниках им обычно отводит место простого примера к общей теория линейных уравнений. Между тем линейные уравнения с постоянными коэффициентами имеют многочисленные технические применения, так как работа весьма многих технических объектов достаточно адекватным образом описывается этими уравнениями. Именно технические применения выдвигают ряд новых задач теоретического характера в теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решению этих теоретических задач посвящено немало работ, имеющих прикладную направленность.

Данная работа состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена в первую очередь определению тех понятий, которые будут изучаться в дальнейшем. Что такое система обыкновенных дифференциальных уравнений, что называется ее решением и как много этих решении существует - таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этой главе. Количество решений определяется теоремами существования и единственности, которые здесь не доказываются, а только формулируются. Доказательство этих и ряда других теорем того же типа дается в третьей главе, а до этого сформулированные в первой главе теоремы многократно используются, чем выясняется их значение.

Во второй главе используются обычные для инженерной практики операционные обозначения, которые очень удобны для решения систем уравнений методом исключения. Кроме того, в эту главу включено исследование фазовой плоскости линейных систем второго порядка, которому предшествует изучение фазовых пространств автономных систем. Фазовые пространства автономных систем также находят важные приложения в технике.

В третьей главе доказываются теоремы существования и единственности сформулированные в первой главе, также здесь дается понятие о теории устойчивости Ляпунова.

Работа очень многих механических, электрических и другого вида устройств (машин, приборов и т.п.) описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет всегда бесконечное множество решений, и для задания одного определенного решения нужно указать его начальные значения. Для полного понимания какого-либо устройства желательно иметь хорошее представление о фазовом пространстве системы уравнений, описывающей работу этого устройства. При этом важнее всего знать все устойчивые решения этой системы уравнений.

В четвертой главе данной решена система пяти дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и исследована устойчивость решения этой системы уравнений.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА

§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными функциями являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае, т. е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Так как в ряде физических применений независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, которое принято обозначать через t, то всюду в дальнейшем независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т. д. Производные функции по t будут, как правило, обозначаться так: , и т. д. В тех случаях, когда это неудобно или невозможно, мы будем указы-вать порядок производной верхним индексом в скобках; например, .

В первую очередь мы займемся рассмотрением одного диф-ференциального уравнения первого порядка, т. е. уравнения, в которое, входит лишь первая производная неизвестной функции. Уравнение это может быть записано в виде:

(1)

Здесь t - независимое переменное, x - его неизвестная функция, - ее производная, а F - заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений ее аргументов; поэтому говорят об области B задания функции F. Здесь имеется в виду множество В точек координатного пространства трех пере-менных . Решением уравнения (1) называется такая функ-ция независимого переменного t, определенная на некотором интервале (случаи не исключаются), что при подстановке ее вместо x в соотношение (1) мы получаем тождество на всем интервале . Интервал назы-вается интервалом определения решения . Очевидно, что под-становка в соотношение (1) возможна лишь тогда, когда функция на всем интервале имеет первую производную (и, в частности, непрерывна). Для того чтобы подстановка в соотношение (1) была возможна, необходимо также, чтобы при произвольном значении переменного t из интервала точка с координатами принадлежала множеству В, на котором определена функция F.

Соотношение (1) связывает три переменные величины . В не-которых случаях оно определяет переменное как однозначную неявную функцию независимых переменных . В этом случае диф-ференциальное уравнение (1) равносильно дифференциальному урав-нению вида

(2)

Дифференциальное уравнение (2) называется разрешенным относительно производной; оно в некоторых отношениях более доступно для изучения, чем общее дифференциальное уравнение (1). Именно уравнения, разрешенные относительно производной, мы и будем теперь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (2) получено в результате разрешения относительно уравнения вида (1), а будем исходить из функции как из заданной функции двух независимых переменных .

Для того чтобы пользоваться наглядными геометрическими представлениями, мы введем в рассмотрение координатную плоскость Р переменных t и х. При этом t как независимое переменное мы будем откладывать по оси абсцисс, а х как зависимое переменное - по оси ординат. Функция f, определяющая дифференциальное уравнение (2), может быть задана не для всех значений своих аргумен-тов t и х, или, говоря геометри-ческим языком, не во всех точках плоскости Р, а лишь в точках не-которого множества Г плоскости Р (рис.1). Относительно множества Г мы в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым. Это значит, что наряду с каждой точкой р в Г входит и некоторый круг положительного радиуса с центром в р. Относительно функции f будет предполагаться, что как она сама, так и ее частная производная являются непрерывными функциями пары переменных на всем множестве Г. Решение уравнения (2) будем геометрически изображать в плоскости Р в виде кривой с уравнением . Кривая эта в каждой точке имеет касательную и полностью проходит в открытом множестве Г; она называется интегральной кривой дифференциального уравнения (2).

Теорема существования и единственности

Известно, какую большую роль в алгебре играют теоремы, отвечающие на вопрос о том, сколько решений имеет та или другая система алгебраических уравнении. В теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и потому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решении данного дифференциального урав-нения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности (теорема 1), которая в этом параграфе приводится без доказательства. Доказательство будет дано значительно позже (см. §12).

Теорема 1. Пусть - дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция задана на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных. . Относительно функции f будем предполагать, что она сама и ее частная производная являются непрерывными функциями, на всем открытом множестве Г. Теорема утверждает

1) для всякой точки множества Г найдется решение уравнения (3), удовлетворяющее условию

(4)

2) если два решения и уравнения (3) совпа-дают хотя бы для одного значения , т. е. если

то решения эти тождественно равны для всех тех значений переменного t, для которых они оба определены.

Числа называют начальными значениями для решения , а соотношение (4) -- начальным условием для этого реше-ния. Говорят также, что решение удовлетворяет начально-му условию (4) или же что оно имеет начальные значения . Утверждение, что решение удовлетворяет начальному усло-вию (4) (или имеет начальные значения), предполагает, что интервал определения решения содержит точку .

Таким образом, теорема 1 утверждает, что координаты любой точки множества Г являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (3) и что два решения с общими начальными значениями совпадают.

Геометрическое содержание теоремы 1 заключается в том, что через каждую точку множества Г проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3) (см. рис. 1).

Говоря, что через каждую точку множества Г проходит «только одна» интегральная кривая, мы допускаем некоторую неточность. В самом деле, решением уравнения (3) называется функция , заданная на вполне определенном интервале . Наряду с этой функцией может существовать функция , также удовлетворяющая уравнению (3) и имеющая те же начальные значения , но заданная на другом интервале . Вторая часть теоремы 1 утверждает лишь, что функции и совпадают там, где они обе определены, но вовсе на утверждает, что интервалы их определения и одинаковы.

Если один из интервалов, например , полностью содержит другой, то мы будем говорить, что решение , заданное на интервале является продолжением решения . Естественно сосредоточить все внимание на тех решениях, которые нельзя продолжить ни вправо, ни влево. Такие решения мы будем называть непродолжаемыми. Нетрудно доказать, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого и при-том единственным способом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение том, что через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, становится точным.

Каждое решение уравнения (3) мы интерпретировали геометрически в виде графика функ-ции . Дадим теперь геометрическую интерпретацию самого уравнения (3). Через каждую точку множества Г проведем прямую с угловым коэффициентом . Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (3), что и дает геометрическую интерпретацию этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решений заключается в том (рис. 2), что любая интегральная кривая в каждой своей точке касается прямой .

Примеры:

1. Для того чтобы проиллюстрировать значение теоремы 1 (в данном случае второй ее части), решим дифференциальное уравнение

(5)

где - действительное число. Здесь

так что функция в действительности зависит лишь от переменного х. Множество точек, на котором определена функция , в данном случае совпадает со всей плоскостью Р. Как сама функция , так и ее производная являются непрерывными функциями переменных t и x во всей плоскости Р. Таким образом, теорема 1 к уравнению (5) применима. Непосредственной подстановкой в уравнение (5) проверяется, что каждая функция

, (6)

где с -- произвольное действительное число, является решением уравнения (5). Решение это непродолжаемо, так как оно задано уже на всей прямой . Покажем, что, придавая всевозможные значения числу с, мы получим все решения уравнении (5). Пусть - произвольное решение этого уравнения. Покажем, что при надлежащем выборе числа с мы имеем. Пусть - некоторая точка интервала существования решения и . Положим . Тогда решения и уравнения (5) имеют одинаковые начальные значения и потому в силу второй части теоремы 1 совпадают. Таким образом, формула (6) исчерпывает совокупность всех решений дифференциального уравнения (5).

§ 2. Формулировка теоремы существования и единственности

В §1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение первого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений имеет дело и с более общими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравнений состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях теорема существования и единственности является основным теоретическим положением, дающим возможность подойти к изучению данной системы дифференциальных уравнений.

Теорема существовании и единственности формулируется и доказывается применительно к системе уравнений, по внешнему виду имеющей несколько частный тип. В действительности же к этой системе уравнений сводятся системы сравнительно общего типа. Системы дифференциальных уравнений того частного тина, о котором здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нормальными.

Система

(1)

обыкновенных дифференциальных уравнений называется нормальной. В этой системе t --независимое переменное, -- неизвестные функции; этого переменного, а -- функции от переменных, заданные на некотором открытом множестве Г пространства размерности , в котором координатами точки являются числа . В дальнейшем всегда будет предполагаться, что функции

(2)

непрерывны на открытом множестве Г; точно так же будет предполагаться, что и их частные производные

(3)

существуют и непрерывны на множестве Г. Следует заметить, что частные производные (3), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным , а не по независимому переменному t.

Решением системы уравнений (1) называется система непрерывных функций

, (4)

определенных на некотором интервале и удовлетворяющих системе (1). Интервал называется интервалом определения решения (4) (случаи, не исключаются). Считается, что система функций (4) удовлетворяет системе уравнений (1), если при подстановке в соотношение (1) вместо функций (4) соотношения (1) превращаются в тождества по t на всем интервале . Для возможности этой подстановки необходимо, чтобы функции (4) имели производные в каждой точке интервала и чтобы правые части уравнений (1) были определены для всех подставляемых в них значений аргументов. Таким образом, точка с координатами

должна принадлежать, множеству Г для всех значений t на интервале .

Дадим теперь формулировку теоремы существовании и единствен-ности для нормальной системы (1). (Доказательство будет приведено в § 13.)

Теорема 2. Пусть (1) -- нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь правые части уравнений (1) определены на некотором открытом множестве Г, а функции (2) и (3) непрерывны на этом множестве. Оказывается, что для каждой точки

(5)

множества Г существует решение

, (6)

системы (1), определенное на некотором интервале, содержащем точку , и удовлетворяющее условиям:

; (7)

Далее, оказывается, что если имеются два каких-либо решения

(8)

системы (1), удовлетворяющих условиям

(9)

причем каждое решение определено на своем собственном интервале значений переменного t, содержащем точку то решения эти совпадают всюду, где они оба определены.

Значения (5) называются начальными для решения (6), а соотношения (7) называются начальными условиями для этого решения. Мы будем говорить в дальнейшем, что решение (6) имеет начальные значения (5) или удовлетворяет начальным условиям (7).

Таким образом, теорему существования и единственности для нормальной системы кратко можно формулировать так:

Каковы бы ни были начальные значения (5), всегда существует решение системы (1) с этими начальными значениями, определенное на некотором интервале, содержащем точку . Далее, если имеются два решения с одинаковыми начальными значениями (5), каждое из которых определено на своем интервале, содержащем , то эти решения совпадают на общей части этих интервалов.

Введем здесь понятие непродолжаемого решения.

А) Пусть

, (10)

- решение системы уравнений (1), определенное на интервале , и

, (11)

- решение той же системы уравнений (1), определенное на интервале . Мы будем говорить, что решение (11) является продолжением решения (10), если интервал содержит интервал (т.е. ) и решение (10) совпадает с решением (11) на интервале . В частности, мы будем считать, что решение (11) является продолжением решения (10) и в том случае, когда оба решения полностью совпадают, т. е. . Решение (10) будем называть непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением.

Сформулируем теперь еще одну теорему существования.

Теорема 3. Пусть

(12)

- нормальная линейная система уравнений. Здесь коэффициенты и свободные члены являются непрерывными функциями независимого переменного i, определенными на некотором интервале . Оказывается, что для любых начальных значений

(13)

существует решение системы (12) с этими начальными значениями, определенное на всем интервале .

В частности, если коэффициенты и свободные члены системы (12) определены на всей прямой, т. е. если , то для любых начальных значений существует решение системы (12), определенное на всем бесконечном интервале .

Решения нормальной системы (1) интерпретируются геометрически в виде интегральных кривых (n+1)-мерном пространстве с координатами . Уравнения интегральной кривой имеют вид:

, (14)

где (14) есть решение системы.

Сама система (1) интерпретируется с помощью поля направлений в (n+1)-мерном пространстве.

Примеры

1. Решим нормальную линейную систему уравнений

(15)

Множеством Г для нее является все трехмерное пространство с координатами Непосредственно проверяется, что система функций

(16)

где и -- произвольные постоянные, представляет собой решение системы (15). Для того чтобы попадать, что, выбирая надлежащим образом постоянные и , можно получить по формуле (16) произвольное решение, зададимся начальными значениями покажем, что среди решений (16) имеется решение с этими начальными значениями. Мы получаем для постоянных и условия

(17)

Пусть и - полярные координаты точки , так что

Тогда уравнения (17) переписываются в виде:

Полагая

мы, очевидно, выполним условия (17). Таким образом, через каждую точку проходит решение, задаваемое формулой (16).

В силу теоремы 2 (единственность) формула (16) охватывает совокупность всех решений.

2. Покажем, что если правые части (2) системы уравнений (1) k раз непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные производные порядка k (включая смешанные) по всем переменным , то (k+1)-я производная решения (4) системы (1) существует и непрерывна.

В самом деле, для решения (4) имеет место тождество:

 (18)

Если правые части (2) имеют непрерывные первые производные, то правая часть тождества (18) имеет непрерывную производную по t, и потому функция существует и непрерывна. Дифференцируя написанное тождество (18) k раз, мы последовательно убедимся в существовании и непрерывности всех производных порядков 2, 3,..., k+1 функций .

§ 3. Сведение обшей системы дифференциальных уравнений к нормальной

В предыдущем параграфе была сформулирована теорема существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений. Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным системам дифференциальных уравнений, и тем самым будет установлена теорема существования и единственности для этих общих систем уравнений.

Дадим сначала понятие о системе дифференциальных уравнений в общем виде.

В случае одной неизвестной функции х независимого переменного t обычно рассматривается одно уравнение, которое можно записать в виде:

(1)

Здесь t -- независимое переменное, х -- его неизвестная функция, а F - заданная функция n+2 переменных. Функция F может быть задана не для всех значений ее аргументов, поэтому говорят об области В задания функции F. Здесь имеется в виду открытое множество В координатного пространства размерности n+2, в котором координатами точки являются переменные . Если максимальный порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, равен n, то говорят, что имеется уравнение n-го порядка. Решением уравнения (1) называется такая непрерывная функция независимого переменного t, определенная на некотором интервале , что при подстановке ее вместо х в уравнение (1) мы получаем тождество по t на интервале . Очевидно, что подстановка в соотношение (1) возможна лишь тогда, когда функция на всем интервале своего существования имеет производные до порядка n включительно. Для того чтобы подстановка в соотношение (1) была возможна, необходимо также, чтобы точка, имеющая координаты , принадлежала множеству В определения функции F при произвольном t интервала .

Если имеются две неизвестные функции одного независимого переменного, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих систему уравнений. Система эта может быть написаны в виде:

(2)

Здесь t - независимое переменное, х и у -- две его неизвестные функции, F и G - две функции, каждая от переменных, заданные в некотором открытом множестве В. Если максимальный порядок производной функции х, входящей в систему (2), равен , м максимальный порядок производной функции у, входящей в систему (2), равен , то число называется порядком системы (2) относительно х, число -- порядком системы (2) относительно у, а число называется порядком системы (2). Решением си-стемы (2) называется пара непрерывных функций и , заданных на некотором интервале и обладающих тем свойством, что при подстановке их в соотношения (2) мы приходим к тождествам по t на всем интервале . Как и в случае одного уравнения, предполагаются выполненными условия, дающие возможность делать подстановку , , в систему (2).

Аналогично определяются системы дифференциальных уравнений с тремя и большим числом неизвестных функций от одного независимого переменного. Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнении являются функции , а наивысший порядок производной функции , входящей в систему, ра-вен то число называется порядком системы относительно , а число называется поряд-ком системы. Таким образом, нормальная система (1) §2 имеет порядок n.

Если соотношение (1) может быть разрешено относительно , то уравнение (1) переписывается в виде:

(3)

Точно так же, если система (2) может быть разрешена относительно величин и , то эта система может быть переписана в виде:

(4)

Уравнение (3) и система (4) называются разрешенными относительно высших производных. Аналогично определяются разрешенные относительно высших производных системы с произвольным числом неизвестных функций. В частности, нормальная система (1) § 2 является разрешенной относительно высших производных.

Покажем теперь, что всякая имеющая порядок n система дифференциальных уравнений, разрешенная относительно высших производных. сводится к нормальной системе порядка n. Для начала покажем, как одно уравнение порядка n сводится к нормальной системе по-рядка n.

А) Пусть

(5)

- одно дифференциальное уравнение порядка n, разрешенное отно-сительно высшей производной. Здесь t -- независимое переменное, у -- неизвестная функция переменного t. Далее, есть заданная функция n+1 переменных , определенная в некотором открытом множестве Г координатного пространства размерности n+1. Относительно функции мы будем предполагать, что она непрерывна на множестве Г и что ее частные производные

(где предполагается, что ) также непрерывны на множестве Г. Для замены уравнения (5) нормальной системой уравнений вводятся новые неизвестные функции независимого переменного t при помощи равенств

(6)

Оказывается, что уравнение (5) эквивалентно системе

(7)

Из этого в силу теоремы 2 следует, что для каждой точки множества Г существует решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям

или, как говорят, решение с начальными значениями

(8)

Далее, любые два решения с начальными значениями (8) совпадают на общей части их интервалов определения. Если уравнение (5) линейно, т. е. функция f линейна относительно переменных , а коэффициенты ее определены и непрерывны на интервале , то для любых начальных значений , где имеется решение , определенное на всем интервале .

Докажем, что уравнение (5) эквивалентно системе (7). Допустим, что функция у удовлетворяет уравнению (5), и докажем, что функции , определенные соотношениями (6), удовлетворяют системе (7). Дифференцируя соотношения (6), вводящие новые неизвестные функции , получаем:

(9)

(10)

Заменяя правые части соотношений (9) на основе соотношений (6), а правую часть соотношения (10) на основании уравнения (5), которому функция у удовлетворяет, мы получаем систему (7). Допустим, что, наоборот, функции удовлетворяют системе (7); примем тогда за у покажем, что функция у удовлетворяет уравнению (5). Полагая в первом из уравнении системы (7) получаем . Заменяя во втором из уравнений (7) через , получаем . Продолжая это построение дальше, мы приходим к соотношениям (6). Наконец, заменяя в последнем из уравнений системы (7) каждую функцию в силу формул (6), получаем уравнение (5) для у.

Так как функция f определена на множестве Г, то правые части системы (7) также определены на множестве Г при условии замены координат по формулам (6). Для системы (7) выполнены условия теоремы 2 на множестве Г. Таким образом, можно произвольно выбрать начальные значения в множестве Г. Эти начальные значения в силу замены (6) превращаются в начальные значения

для уравнения (5).

Если уравнение (5) линейно, то система (7) также линейна. Из этого в силу теоремы 3 вытекает заключительная часть предло-жения А). Таким образом, предложение А) доказано.

Прием, описанный в предложении А), дает возможность привести к нормальной системе произвольную систему дифференциальных уравнений, разрешенную относительно высших производных.

§4. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если все неизвестные функции и их производные, вместе взятые, входят в уравнения системы линейно. Таким образом, система линейных уравнений самого общего вида может быть записана в форме

(1)

Здесь - неизвестные функции независимого переменного t, а коэффициенты и свободные члены уравнений являются функциями t. Если все свободные члены системы (1) тождественно равны нулю, то система называется однородной. Каждой линейной системе соответствует однородная линейная система, получающаяся из нее отбрасыванием свободных членов. Таким образом, линейной системе (1) соответствует линейная однородная система

(2)

Отметим несколько непосредственно проверяемых свойств линейных систем. При их формулировке будет предполагаться, что все коэффициенты и свободные члены линейной системы определены и непрерывны на интервале ; все рассматриваемые решения будут предполагаться заданными на всем интервале .

А) Если и ; - два решения линейной однородной системы (2), а и - два произвольных числа, то система функций

также представляет собой решение однородной системы (2). Аналогичное утверждение справедливо также для трех и большего числа решений однородной системы (2).

Б) Если и ; - два решения линейной системы (1), то система функций

представляет собой решение однородной системы (2). Далее, если , , есть решение однородной системы уравнений (2), а ; , есть решение системы уравнений (1), то система функций

представляет собой решение линейной системы (1).

В) Допустим, что свободные члены системы линейных уравнений (1) представлены в виде сумм:

рассмотрим наряду с системой (1) две системы уравнений:

(3)

(4)

Если , , есть решение системы (3), а , , есть решение системы (4), то система функций

представляет собой решение системы (1).

ГЛАВА II. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

§ 5. Линейное однородное уравнении с постоянными коэффициентами (случай простых корней)

В этом и следующем параграфах будет решено линейное одно-родное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n, т. е. уравнение

(1)

где z есть неизвестная функция независимого переменного t, а коэффициенты суть постоянные числа (действительные или комплексные). Сначала будут найдены все комплексные решения этого уравнения, а затем (в случае, когда коэффициенты действительны) из них будут выделены действительные решения. Уравнение (1) можно записать в виде:

(2)

так что к нему применима теорема существования и единственности. В дальнейшем будет использована лишь единственность, так как решения уравнения (2) будут найдены явно и тем самым существование их будет установлено; единственность же будет использована для доказательства того, что найдены все решения.

В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет операционное исчисление. Мы используем здесь символические (или, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени t, от произвольной функции обозначается не через , а через , так что буква р, стоящая слева от функции, является символом дифференцирования по t. Если позволить себе применить к символу дифференцирования р некоторые алгебраические действия, то мы приходим к обозначению

Пользуясь этим обозначением, мы можем написать

Если теперь в правой части последнего равенства позволить себе вынести за скобку функцию z, то мы получаем равенство

Таким образом, мы приходим к формальному определению.

А) Пусть

- произвольный многочлен относительно символа р с постоянными коэффициентами (действительными или комплексными) и z -- некоторая действительная или комплексная функция действительного переменного t. Положим:

(3)

Если и суть два произвольных многочлена относительно символа р (или, как говорят, оператора дифференцирования р), а -- функции переменного t, то, как легко видеть, мы имеем тождества

В силу введенных обозначений уравнение (1) может быть записано в виде:

(4)

где

Б) Пусть -- произвольный многочлен относительно символа р. Тогда

(5)

Докажем формулу (5). Мы имеем

Из этого следует, что . Отсюда формула (5) вытекает непосредственно (см. (3)).

Из формулы (5) следует, что функция тогда и только тогда является решением уравнения (4), когда число есть корень многочлена . Многочлен называется характеристическим многочленом уравнения (4). В том случае, когда он не имеет кратных корней, совокупность всех решений уравнения (4) описывается следующей теоремой.

Теорема 4. Предположим, что характеристический многочлен уравнения

(6)

(см. (1) и (4)) не имеет кратных корней, и обозначим его корни через

Положим:

(7)

Тогда при любых комплексных постоянных функция

(8)

является решением уравнения (6). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнении (6) может быть получено по формуле (8) при надлежащем выборе констант . При этом константы (называемые постоянными интегрирования) однозначно определяются для каждого данного решения z.

Заметим, что функции (7) определены на всей числовой прямой .

Примеры

1. Найдем все комплексные решения уравнения

Его можно записать в виде (6), где

Непосредственно проверяется, что р = - 1 есть корень характеристического многочлена L(р). Разделив L(р) на р+1, получаем:

откуда находим еще два корня . Таким образом, корнями многочлена L(р) являются числа

В силу теоремы 4 общее комплексное решение рассматриваемого уравнения имеет вид:

2. Будем считать, что система решений (7) удовлетворяет условиям

(9)

и положим:

где - действительные функции. Будем, далее, считать, что числа удовлетворяют условиям

(10)

и положим:

где -- действительные числа. При этих обозначениях общее действительное решение уравнения (6) записывается в виде:

где

суть произвольные действительные числа.

§6. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случаи кратных корней)

Если характеристический многочлен

уравнения

(1)

(см. § 5, А)) имеет кратные корни, то среди функций вида нельзя найти n различных решений уравнения (1). Для нахождения в этом случае решений другого вида можно воспользоваться следующим наводящим соображением. Пусть и -- два различных действительных корня характеристического многочлена L(р); тогда функция является решением уравнения (1). Если теперь предположить, что при изменении коэффициентов многочлена L (р) число стремится к , то это решение переходит (в пределе) в функцию , о которой естественно предположить, что они являются решением уравнения (1) и случае, если , есть двукратный корень многочлена L (р). Аналогично мы приходим к догадке, что если есть k-кратный корень характеристического многочлена L (р), то решениями уравнения (1) являются все функции:

.

Распространяя эту догадку на случай комплексных кратных корней, мы приходим к предположению о справедливости нижеследующей теоремы (являющейся обобщением теоремы 4):

Теорема 5. Пусть

(2)

-- линейное однородное уравнение порядка n с постоянными коэф-фициентами. Пусть, далее, - совокупность всех попарно различных корней характеристического многочлена L(р) уравнения (2), причем корень имеет кратность , так что . Положим:

(3)

Тогда все функции (3) являются решениями уравнения (2), так что при любых комплексных постоянных функция

(4)

также является решением этого уравнения. Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2) может быть получено по формуле (4) при надлежащем выборе констант . При этом константы однозначно определяются для каждого данного решения z.

Заметим, что функции (3) определены на всей числовой прямой .

Отметим одно очевидное следствие теоремы 5.

А) Каждое решение z(t) уравнения (2) может быть записано в виде:

где есть многочлен степени, не превосходящей числа , . При этом многочлены определены однозначно решением z(t), так как их коэффициенты являются константами интегрирования , которые в силу теоремы 5 определены решением z(t) однозначно.

Если коэффициенты уравнения (2) действительны, то перед нами стоит задача выделения из совокупности комплексных решений уравнения (2) его действительных решений.

Б) Будем считать, что коэффициенты характеристического многочлена L(р) уравнения (2) действительны. Пусть -- некоторый корень многочлена L(р) кратности k; тогда при функ-ция является решением уравнения (2). Если корень действи-тельный, то функция действительна, если же корень комплекс-ный, то наряду с решением имеется комплексно-сопряженное ему решение , так как есть корень кратности k многочлена L(р). Таким образом, в системе решений (3) наряду с каждым комплексным решением имеется сопряженное с ним решение. Для того чтобы решение (4) было действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при действительных решениях были действительными, а коэффициенты у попарно сопряженных комплексных решений были попарно сопряжены.

Примеры

1. Решим уравнение

Уравнение это может быть записано в виде (2), где характеристический многочлен L(р) имеет вид:

Корнями этого многочлена служат числа

имеющие кратности Поэтому в силу теоремы 5 система решений (3) для рассматриваемого уравнения имеет вид:

Общее решение дается формулой

2. Решим уравнение

Характеристический многочлен равен ; его корнями (двукратными) являются числа . Общее решение рассматриваемого уравнения записывается в виде:

§7. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Здесь будет дано решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами со свободным членом специального вида, являющимся так называемым квазимногочленом.

А) Квазимногочленом будем называть всякую функцию F(t), которую можно записать в виде:

(1)

где суть некоторые комплексные числа, а -- многочлены от t. Из предложения А) § 6 следует, что каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом. Можно доказать, что и обратно, каждый квазимногочлен является решением некоторою линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Если какие-нибудь два числа последовательности совпадают между собой, например, если , то члены суммы (1), соответствующие этим числам, можно объединить и заменить членом . Таким образом, запись (1) всегда можно привести к такому виду, что числа , входящие в нее, попарно различны. Отметим, что сумма и произведение двух произвольных квазимногочленов также есть квазимногочлен; далее, если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор L(p), то мы вновь получим квазимногочлен.

Таким образом, в настоящем параграфе будет рассматриваться уравнение

 (2)

где F(t) есть некоторый квазимногочлен. Наряду с уравнением (2) рассмотрим соответствующее однородное уравнение

(3)

Нижеследующее предложение непосредственно вытекает из замечания Б) § 4.

Б) Если есть некоторое решенме уравнения (2), то произвольное z того же уравнения может быть записано в виде:

где u есть некоторое решение уравнения (3).

Так как произвольное решение однородного уравнения мы оты-скивать уже умеем, то дело сводится, таким образом, к отысканию одного решения или, как говорят, частного решения уравнения (2) в случае, когда F(t) есть квазимногочлен. Так как, далее, каждый квазимногочлен записывается в виде (1), то в силу замечания В) § 4 дело сводится к отысканию частного решения уравнения (2) в случае, когда где f(t) - многочлен. Для этого случая решение отыскивается в нижеследующей теореме.

Во избежание недоразумений отметим, что в дальнейшем под многочленом степени r мы будем понимать функцию вида , не предполагая непременно, что старший коэффициент отличен от нуля.

Теорема 6. Рассмотрим неоднородное уравнение

 (4)

в котором f(t) есть многочлен степени r относительно t, а - комплексное число. Пусть k = 0, если . Оказывается, что существует частное решение уравнения (4), имеющее вид:

(5)

где g(t) есть многочлен степени r относительно t. Коэффициенты многочлена g(t) можно найти методом неопределенных коэффициентов.

§ 8. Метод исключения

До сих пор мы занимались решением одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, однако, что весьма общую систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно в некотором смысле свести к одному уравнению. Сведение это осуществляется методом исключения, аналогичным тому, который употребляется в теории линейных алгебраических (не дифференциальных) уравнений. Здесь будет дано изложение этого метода и сделаны некоторые выводы из него.

Мы будем рассматривать систему уравнений

(1)

здесь - неизвестные функции независимого переменного t, а -- заданные функции времени t. Каждый символ представляет собой многочлен с постоянными коэффициентами относительно оператора дифференцирования р, так что один член представляет собой линейную комбинацию с постоянными коэффициентами относительно функции и ее производных. Число уравнений системы (1) равно числу неизвестных функции.

Порядок системы (1) относительно неизвестной функции обозначим через , так что общий порядок системы (1) определяется формулой . Ставя задачу решения системы (1), мы, естественно, должны предполагать, что каждая неизвестная функция имеет все производные до порядка включительно; предположение о существовании производных более высоких порядков не вытекает из постановки задачи.

Применяя к системе (1) метод исключения, мы будем предполагать, что каждая из неизвестных функций имеет достаточное число производных, точно так же, как и каждая из функций . Делая эти допущения, мы, с одной стороны, сужаем класс рассматриваемых решений (предположение о достаточной дифференцируемости неизвестных функций), а, с другой стороны, сужаем класс рассматриваемых уравнений (предположение о достаточной дифференцируемости функций ). Первое из этих ограничений можно снять, доказав, что если есть решение системы (1) и если правые части имеют достаточное число производных, то каждая из функций имеет достаточное число производных (см. примеры 3 и 4).

Перейдем к изложению метода исключения.

А) Рассмотрим матрицу

(2)

системы уравнений (1). Каждый элемент матрицы (2) есть мно-гочлен относительно р. Таким образом, можно вычислить детерминант D(р) матрицы (2) и ее миноры. Алгебраическое дополнение элемента матрицы (2) (т. е. минор этого элемента, взятый с надлежащим знаком) обозначим через . Из курса высшей алгебры известно, что имеет место тождество:

(3)

где есть так называемый символ Кронекера:

Умножая уравнение (1) на многочлен (т.е. производя ряд дифференцирований, умножений на числа и сложений) и суммируя затем по j, мы получаем равенство

(4)

(При переходе от равенств (1) к равенству (4) мы использовали существование достаточно большого числа производных у функций и .) В силу (3) равенство (4) можно переписать в виде

(5)

Полученная нами система уравнений (5) () обладает тем свойством, что каждая неизвестная функция входит лишь в одно уравнение (5). Мы доказали, таким образом, что если система функций представляет собой решение системы (1), то каждая отдельная функция является решением уравнения (5).

Не следует думать, однако, что если для каждого номера i выбрать произвольным образом решение уравнения (5) и затем составить систему функций , то полученная система функций будет решением системы (1). Для того чтобы найти общее решение системы (1), нужно найти общее решение каждого уравнения (5), , составить систему функций и затем выяснить, при каких условиях (при каких соотношениях между постоянными интегрирования) эта система функций удовлетворяет системе уравнений (1).

Сделаем теперь некоторые выводы из метода исключения. Форму-лируем прежде всего результат, полученный в предложении А), для случая однородной системы уравнений

(6)

Б) Если система функций представляет собой решение системы (6), то каждая отдельная функция , входящая в это решение, удовлетворяет уравнению

где D(p) -- детерминант матрицы системы (6).

Покажем теперь, как, пользуясь методом исключения, следует решать, однородную систему уравнений (6).

Систему (6) перепишем в векторной форме

(7)

где - матрица системы (6), а .

В) Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть -- корень многочлена D(p), имеющий кратность k. Будем искать решение уравнения (8), имеющее вид:

(8)

г7де -- вектор, компоненты

(9)

которого являются многочленами степени k - 1 относительно t с неопределенными коэффициентами. Каждое решение вида (8) уравнения (7) мы будем называть соответствующим корню .

Подставляя предполагаемое решение (8) в уравнение (7), мы получим:

После сокращения на это дает:

(10)

Таким образом, вектор (8) тогда и только тогда является решением уравнения (8), когда многочлены (9) удовлетворяют условию (10). Переписывая векторное уравнение (10) в координатной форме, получим n соотношений:

(11)

Левая часть каждого соотношения (11) представляет собой многочлен степени k - 1 относительно t, коэффициенты которого являются линейными однородными функциями коэффициентов многочленов (9). Приравнивая нулю коэффициент при каждой степени t в каждом из соотношений (11), мы получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов многочленов (9). Эта система эквивалентна уравнению (10).

Таким образом, изложенный метод сводит задачу отыскания решений вида (8) к решению некоторой линейной однородной системы алгебраических уравнений. Из сказанного видно, что решения вида (8) определены на всем бесконечном интервале .

Вопрос о том, как отыскать все решения уравнения (7), решается нижеследующей теоремой:

Теорема 7. Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть - совокупность всех различных корней многочлена D(p). Тогда произвольное решение х уравнения (7), может быть записано в виде:

(12)

где -- некоторое решение уравнения (7), соответствующее корню (см. В)). Отсюда, в частности, следует, что каждое решение уравнения (7), определено для всех значений t.

Доказательство. Допустим, что - некоторое решение уравнения (7) определенное на интервале ; покажем, что на этом интервале оно может быть записано в виде (12). В силу предложения Б), каждая функция , на интервале удовлетворяет уравнению

и потом в силу предложения А) § 6 может быть записана на этом интервале в виде:

(13)

Здесь есть многочлен степени , где -- кратность корня .

Таким образом, каждое решение х уравнения (7) на интервале своего определения записывается в виде:

(14)

где -- вектор, компоненты которого являются многочленами степени . Для доказательства теоремы 7 нам достаточно показать теперь, что каждое слагаемое в правой части равенства (14) есть решение уравнения (7). Для доказательства этого подставим решение (14) в уравнение (7). Мы получим:

 (15)

Так как числа попарно различны, то из равенства (15) следует:

или, иначе,

Но это и значит, что есть решение уравнения (7).

Итак, теорема 7 доказана.

Пример

Решим методом исключения систему уравнений

Перепишем ее в символической форме:

Детерминант системы, как легко видеть, равен ; он имеет двукратный корень . Согласно теореме 7 решение системы следует искать в виде:

Подстановка этих функций в первое уравнение дает (после сокращения на ):

a + c - ct - d = 0,

откуда

Те же соотношения для коэффициентов получаются и при подстановке во второе уравнение системы. Таким образом, общее решение рассматриваемой системы записывается в виде:

где a и b - произвольные постоянные.

§9. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами

В этом параграфе решается система уравнений

(1)

с постоянными коэффициентами. Эта система может быть решена методом исключения, здесь она решается путем приведения матрицы к жордановой форме. В случае, когда все собственные значения матрицы А различны, возможность приведения ее к жордановой, т.е. в данном случае диагональной, форме представляет собой весьма элементарный алгебраический факт. В общем случае возможность приведения матрицы А к жордановой форме относиться к наиболее сложным результатам курса линейной алгебры.

Обычно приведение матрицы А к жордановой форме для решения системы (1) используется путем линейного преобразования неизвестных функций . Другой способ, по существу также опирающийся на приведение матрицы А к жордановой форме, изложен в этом параграфе.

В этом параграфе мы не будем делать различия между матрицей А и соответствующим ей преобразованием А в пространстве векторов , так как базис меняться не будет.

Случай простых корней характеристического уравнения

А) Система дифференциальных уравнений (1) в векторной форме переписывается в виде:

(2)

Здесь , а вместо системы неизвестных функций введен неизвестный вектор

;

под производной вектора х понимается вектор . Если h есть собственный вектор матрицы А с собственным значением т.е. если

то векторная функция х, определяемая соотношением

,

является решением уравнения (2).

Последнее утверждение проверяется путем подстановки в соотношение (2).

Теорема 8. Пусть

(3)

- такая система дифференциальных уравнений (см. А.)), что собственные значения матрицы А попарно различны, и пусть

- соответствующие собственные векторы этой матрицы. Положим:

(4)

Тогда векторная функция

(5)

где - константы, является решением уравнения (3), и всякое решение уравнения (3) задается этой формулой.

Доказательство. В силу предложения А) каждая функция представляет собой решение уравнения (3), и потому в силу предложения А) §4 формула (5) всегда дает решение уравнения (3). Докажем теперь, что всякое решение уравнения (3) может быть записано в виде (5). Пусть - произвольное решение уравнения (3). В силу теоремы 3 решение можно считать заданным на всей бесконечной прямой . Таким образом, решение это определено и при t = 0. Положим . Пусть

- разложение вектора по векторам базиса . Тогда решение х, определяемое формулой (5), очевидно, удовлетворяет начальным условиям

Тем же начальным условиям удовлетворяет и решение ; таким образом, в силу теоремы единственности (см. теорему 2), .