Единое пересечение кривых в пространстве

ФГОУ ВПО “Чувашский государственный университет имени

И.Н. Ульянова”

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

На тему: «Единое пересечение кривых в пространстве»

Выполнил студент

группы: РТЭ 11-10

Марков К. Ю.

Работу проверил:

Поляков Н.Д.

Чебоксары 2010г.

Содержание

Введение

1 Теорема единственности для кривых второго порядка

2 Различные способы доказательства теоремы единственности для кривых второго порядка

3 Пучок кривых второго порядка

4 Теорема единственности для поверхностей второго порядка

Список литературы

Введение

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости -- по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

1 Теорема единственности для кривых второго порядка

Докажем что для кривых второго порядка так называемую «теорему единственности». Но сначала докажем следующее.

Теорема 1. Пусть на плоскости даны пять точек:

M₁ = (x₁,y₁), М₂ = (х₂ , у₂), М₃ = (х₃, у₃), М₄ = (x₄,y₄), М₅ = (х₅, у₅),

из которых никакие четыре не лежат на одной прямой. Тогда однозначно, с точностью до числового множителя, определены коэффициенты а₁₁=А, а₁₂=В, а₂₂=С, а₁=D, a₂=E, a₀=H в уравнении

F(x, y)=a₁₁x² + 2a₁₂2xy + a₂₂y² + 2a₁x + 2a₂y + a₀ = 0 (1)

кривой второго порядка, проходящей через эти точки, откуда следует, что кривая эта существует и единственна.

При этом, если данные пять точек действительны, то и проходящая через них единственная кривая второго порядка действительна.

Доказательство. Напишем условие того, что каждая из точек M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ лежит на кривой, заданной уравнением (1) с пока еще неизвестными коэффициентами а₁₁=А, а₁₂=В, а₂₂=С, а₁=D, a₂=E, a₀=H . Получаем систему пяти уравнений:

Ax²₁+2Bx₁y_l + Cy²₁ + 2Dx₁ + 2Ey₁ + H=0,

Аx²₂+2Вх₂у₂ + Cy ²₂ + 2Dx₂ + 2Еу₂ + Н =0,

Ax²₃+ 2Bx₃y₃ + Cy ²₃ + 2Dx₃ + 2Еу₃ + H=0, (2)

Аx²₄+ 2Bx₄y₄ + Cy ²₄ + 2Dx₄ + 2Еу₄ + Н=0,

Аx²₅+ 2Вх₅у₅ + Cy ²₅ + 2Dx₅ + 2Еу₅ + H=0.

относительно неизвестных А, В, С, D, Е, Н. Это -- система пяти линейных однородных уравнений с шестью неизвестными. При этом, если точки M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ действительны, то и коэффициенты x²₁, 2x₁y_l и т. д. в уравнениях (2) действительны. Если система (2) -- независима, то неизвестные А, В, С, D, Е, Н определены однозначно с точностью до числового множителя, и теорема доказана.

Предположим, что система (2) зависима. Тогда одно из уравнений, пусть пятое, есть линейная комбинация остальных четырех. Следовательно, всякая шестерка чисел А, В, С, D, Е, Н, удовлетворяющая первым четырем уравнениям (2), удовлетворяет и пятому уравнению (2), а это значит, что всякая кривая (1), проходящая через четыре точки M₁, M₂, M₃, M₄, проходит и через пятую точку M₅. Покажем сначала, что в этом случае три точки из числа четырех M₁, M₂, M₃, M₄, лежат на одной прямой. В самом деле, в противном случае мы могли бы провести через точки M₁, M₂, M₃, M₄, две пары прямых, т. е. две распадающиеся кривые второго порядка:

во-первых, M₁M₂ и M₃M₄,

во-вторых, M₁M₃ и M₂M₄

Обе эти распадающиеся кривые проходят через четыре точки M₁, M₂, M₃, M₄ не имеют других общих точек; между тем у них должна была бы быть еще и пятая общая точка, а именно точка M₅. Противоречие! Итак, утверждение доказано: из четырех точек M₁, M₂, M₃, M₄ три, пусть M₁, M₂, M₃, лежат на одной прямой d.

Докажем, что на той же прямой d лежит и четвертая точка (M₄ или M₅). Пусть ни M₄, ни M₅ не лежат па прямой d.

Проведем через точку M₄ произвольную прямую d', не проходящую через точку M₅. Имеем снова кривую второго порядка, а именно пару прямых d и d', проходящую через точки M₁, M₂, M₃, M₄, но не проходящую через M₁, -- опять получили противоречие.

Итак, мы доказали: если уравнения (2) зависимы, то из точек M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ четыре лежат на одной прямой. Теорема 1 доказана.

Теорема2 (теорема единственности). Если два уравнения второй степени

F(x, y) =a₁₁x² + 2a₁₂2xy + a₂₂y² + 2a₁x + 2a₂y + a₀ = 0 (3)

и

F?(x, y) =a?₁₁x² + 2a?₁₂2xy + a?₂₂y² + 2a?₁x + 2a?₂y + a?₀ = 0 (4)

удовлетворяются одним и тем же множеством точек С комплексной плоскости, то одно из этих уравнений получается из другого почленным умножением на некоторой числовой множитель.

Добавление к теореме 2. Если известно лишь, что множество действительных точек плоскости, удовлетворяющих уравнениям, (3) и (4), одно и то же и состоит более чем из одной точки, то Утверждение теоремы2 остается в силе (каждое из уравнений (3), (4) получается из другого умножением на числовой множитель).

Докажем сначала частный случай этой теоремы, а именно случай, когда множество всех точек, удовлетворяющих уравнению (3), есть некоторая прямая d (т. е. когда линия, определяемая этим уравнением, есть пара совпадающих, непременно действительных, прямых). Перейдя к системе координат, осью ординат которой является прямая d, можем предположить, что ее уравнение есть х = 0. Достаточно доказать, что в этом случае F(x, у) = a₁₁x².

Уравнение (3), по предположению, удовлетворяется точками M=(0, у) при любом у, и только этими точками. Поэтому, подставив в (3) значение х=0, получим тождество относительно у:

a₂₂y² + 2а₂у + a₀ = 0.

Это значит, что a₂₂ = a₂ = a₀ = 0 и уравнение (3) имеет вид

F(x, у) = х(a₁₁х + 2a₁₂y + 2a₁) = 0. (5)

Оно удовлетворяется, кроме точек оси ординат, еще и всеми точками прямой d':

a₁₁х + 2a₁₂y + 2a₁= 0.

Но уравнение (5) должно удовлетворяться только точками оси ординат, поэтому прямая d' совпадает с прямой х = 0, что имеет место лишь при a₁₁ ? 0, a₁₂ = a₁ = 0.

Тождество F(x, у)=a₁₁x², а вместе с тем и разбираемый частный случай теоремы доказаны.

Пусть теперь кривая, определяемая уравнением (1), не есть пара совпадающих прямых. Тогда на ней можно найти пять точек M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ , из которых никакие четыре не лежат на одной прямой. Это очевидно, если кривая (3) нераспадающаяся: тогда никакие три ее точки не лежат на одной прямой, и, следовательно, в качестве точек M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ можно взять любые пять точек, удовлетворяющих уравнению (3). Если же кривая (3) распадается па пару различных прямых d и d?, то достаточно взять три точки на одной из этих прямых, а две другие -- на другой. Точки (из которых никакие четыре не лежат на одной прямой) лежат и на кривой (3), и на кривой (4); поэтому, в силу теоремы, левые части уравнений (3)и(4) могут отличаться лишь постоянным множителем. Теорема 2 доказана.

Если (3) не есть мнимый эллипс или пара мнимых (сопряженных) прямых, т. е. если она содержит более одной действительной точки, то множество ее действительных точек бесконечно, и поэтому точки M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ в предыдущем рассуждении могут быть предположены действительными. Этим доказано и добавление к теореме 2.

2 Разные способы доказательства теоремы единственности

Преимущество предлагаемого второго доказательства заключается в том, что оно легко может быть перенесено на случай поверхностей F{x, у, z) = 0 (и даже на случай (n-1) -мерных поверхностей второго порядка в n-мерном пространстве).

Обозначим через C множество точек, лежащих на кривой

F(x, у) = а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂у² + 2а₁х + 2а₂у + а₀ = 0 (6)

т. е. множество всех точек М=(х,у) комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению (6). Предположим, что множество С совпадает с множеством всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению

F(x, y) = b₁₁x² + 2b₁₂xy + b₂₂y² + 2b₁x + 2b₂y + b₀ = 0 (7)

Вспомним, что неасимптотические направления {б : в} по отношению к кривой (6) характеризуются тем, что имеется прямая данного направления {б : в} имеющая с множеством С ровно две (различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимптотическое для одной из двух кривых (6) и (7), будет неасимптотическим и для другой кривой.

Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направление {б : в} для кривых (6) и (7).

Одну из прямых d направления {б : в} примем за ось ординат, а диаметр, сопряженный направлению {б : в}, -- за ось абсцисс координатной системы О'х'у'. Из результатов предыдущего параграфа следует, что уравнения (3), (6) получат в системе координат О'х'у'

вид

F?(x?, y?) = а?₂₂у? ² + а?₁₁х? ² + 2а?₁x? + а?₀ =0 (8)

F?(x?, y?) = b?₂₂y? ² + b?₁₁x? ² + 2b?₁y? + b?₀ = 0 (9)

Здесь a?₂₂?0 (и b?₂₂?0 ), в противном случае единичный вектор {0, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению

ц? (x?, y?) = а?₁₁х? ² + а?₂₂у? ² = 0,

имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. Пересечение множества С с осью у' = 0 обозначим через C⁰. Возможны следующие случаи:

1° Множество С⁰ пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из

f(x') = a?₁₁x? ²+2a?₁x?+a?₀= 0

f(x') = b?₁₁x? ²+2b?₁x?+b?₀= 0

противоречиво, т. е.

Множество C⁰ пусто

Сногочленов f(x'), f(x') тождественно равен отличной от нуля постоянной а'₀, соответственно b?₀.

2° Множество С⁰ совпадает со всей прямой у' = 0. Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f(x'), f(x') тождественно равен нулю.

Множество C⁰ совпадает с прямой y?o?

3° Ни одни из случаев 1⁰, 2⁰ не имеет места. Тогда множество С⁰ состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек, являющихся парой корней как уравнения

a?₁₁x? ²+2a?₁x?+a?₀= 0 (10)

так и уравнения

b?₁₁x? ²+2b?₁x?+b?₀= 0 (11)



Множество C⁰ состоит из одной точки А

Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, то при некотором м ? 0 имеем

b?₁₁x? ²+2b?₁x?+b?₀ =м(a?₁₁x? ²+2a?₁x?+a?₀)

и, значит, полагая л=b?₂₂:a?₂₂, имеем

F?(x?, y?) = а?₂₂у? ² + (а?₁₁х? ² + 2а?₁x? + а?₀),

F?(x?, y?) = лb?₂₂y? ² + м(b?₁₁x? ² + 2b?₁y? + b?₀)

Докажем, что л=м. Для этого дадим переменному х' значение x?=x?₁, являющаяся корнем уравнения

а?₁₁х? ² + 2а?₁x? + а?₀=1

и найдем значение y?, удовлетворяющее уравнению

F?(x?₁, y?) = а?₂₂у? ² + 1 = 0

т. е. y?₁= ± ( - 1 : a?₂₂ )^0,5.

Значит, точка (x?₁, y?₁ ) принадлежит множеству С; следовательно,

F?(x?₁, y?₁) = ла?₂₂у? ² + м · 1= ла?₂₂( - 1 : a?₂₂)+ м = 0

т. е. л=м, и F?(x?, y?)=л F?(x?, y?), значит, и

F(x, y)=л F(x, y).

Итак, в случае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем

F?(x?, y?)= а?₂₂у? ², а?₂₂?0, F?(x?, y?)= b?₂₂у? ², b?₂₂?0.

Полагая л= b?₂₂: a?₂₂, получим F?(x?, y?)= F?(x?, y?) --утверждение теоремы верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (8) и (9) принимают вид

F?(x?, y?) = а?₂₂у? ² + a?₀=0, a?₀?0,

F?(x?, y?) = b?₂₂у? ² + b?₀=0 b?₀?0

-- множество С есть пара прямых, определенная каждым из уравнений

y?=±(-(a?₀ : a?₂₂)^0,5) или y?=±(-(b?₀ :b?₂₂)^0,5).

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было

(a?₀ : a?₂₂)=( b?₀ : b?₂₂), т.е. b?₂₂=лa?₂₂, b?₀=лa?₀ при л=( b?₂₂: a?₂₂).

Теорема доказана во всех случаях.

3 Пучок кривых второго порядка

Пусть M₁, M₂, M₃, M₄, -- четыре точки, не лежащие на одной прямой. Задавая по произволу еще одну точку M₅ (не коллинеарную никаким трем из точек M₁, M₂, M₃, M₄, получим, по теореме 1, единственную кривую второго порядка, проходящую через точки M₁, M₂, M₃, M₄, и точку M₅ .

Поэтому множество всех кривых второго порядка, проходящих через четыре точки M₁, M₂, M₃, M₄, бесконечно. Это множество кривых называется пучком кривых второго порядка, определяемым точками M₁, M₂, M₃, M₄.

Будем обозначать кривую той же буквой F, которой обозначена левая часть F(x, у) ее уравнения (1), так что F и лF при любом л?0 -- это одна и та же кривая. Если

F (х, y) = л₁F₁(x, y) + л₂F₂(x, y),

то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами л₁ и л₂) кривых F₁ и F₂. Если кривые F₁ и F₂ принадлежат пучку, определяемому точками M_i = (x_i , y_i) (i = l, 2, 3, 4), то уравнения F₁(x, у)=0 и F₂(x, у)=0 удовлетворяются, если в них подставить значения х = x_i , у = y_i при любых i = l, 2, 3, 4. Но тогда и уравнение л₁F₁(x, y) + л₂F₂(x, y)=0 будет при х = x_i , у = y_i удовлетворяться. Другими словами, всякая кривая, являющаяся линейной комбинацией двух (или более) кривых, принадлежащих данному пучку, принадлежит этому пучку. Докажем обратное предложение. Пусть в пучке кривых второго порядка выбраны две определенные кривые F₁ и F₂. Тогда всякая кривая F данного пучка есть линейная комбинация этих двух кривых F₁ и F₂.

Пусть пучок определен четверкой точек M₁, M₂, M₃, M₄. Возьмем на кривой F какую-нибудь точку M₅, не коллинеарную ни с какими тремя из точек M₁, M₂, M₃, M₄. Кривая F есть единственная кривая второго порядка, проходящая через точки M₁, M₂, M₃, M₄, M₅. Поэтому для доказательства сделанного утверждения достаточно найти такую линейную комбинацию л₁F₁ + л₂F₂ чтобы кривая

л₁F₁(x, y) + л₂F₂(x, y)=0 (12)

проходила через точку M₅ = (х₅, у₅), т. е. достаточно определить л₁ и л₂, вернее, их отношение л₁: л₂, из условия

л₁F₁(х₅, у₅) + л₂F₂(х₅, у₅), (13)

Итак, любой пучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудь кривые F₁ и F₂ из этого пучка: он состоит из всех кривых, являющихся линейными комбинациями л₁F₁ + л₂F₂ двух данных. Все эти кривые определяются значениями одного параметра-- отношением л = л₁:л₂ двух коэффициентов в линейной комбинации л₁F₁ + л₂F₂. Другими словами, пучок кривых второго порядка является одномерным многообразием кривых -- совершенно в том же смысле, в каком пучок прямых является одномерным многообразием прямых (а пучок плоскостей --

одномерным многообразием плоскостей).

Понятие пучка кривых позволяет очень просто найти уравнение кривой второго порядка, проходящей через заданные пять точек M₁, M₂, M₃, M₄, M₅. В самом деле, возьмем четыре точки из числа данных пяти, например M₁, M₂, M₃, M₄.

Легко написать уравнения прямых:

d₁: M₁M₂ d?₁: M₃M₄ ,

d₂: M₁M₃ d?₂: M₂M₄ .

Теперь имеем две распадающиеся кривые второго порядка: кривую F₁ распадающуюся на пару прямых d₁ и d?₁, и кривую F₂, распадающуюся на прямые d₂ и d?_{2 .} Многочлены F₁(х, у) и F₂(х, у) суть произведения трехчленов первой степени, являющихся левыми частями уравнений, соответствующих прямым d₁ и d?₁, d₂ и d?₂. Распадающиеся линии F₁ и F₂, очевидно, проходят через точки M₁, M₂, M₃, M₄ т. е. принадлежат пучку, определяемому этими точками. Остается только определить отношение л₁:л₂ из условия, чтобы кривая л₁F₁ + л₂F₂ проходила через точку M₅ = (х₅, у₅), этим условием является равенство (13), из которого находим

л₁:л₂ = - F₂ (х₅, y₅) : F₁(x₅, у₅).

4 Теорема единственности для поверхностей второго порядка

Теорема 3. Два многочлена второй степени F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z) тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число л?0 .

Как н в случае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степени F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z), имеющие одно и то же нулевое многообразие C_F1 = C_F2 =C, пропорциональны между собою.

Рассмотрим поверхности

F₁(x, у, z)=0 (14)

и

F₂(х, y, z)=0 (15)

Берем какое-нибудь направление {б: в: г}, неасимптотическое для поверхности (14); оно будет неасимптотическим и для поверхности (15).

Диаметральная плоскость р поверхности (14), сопряженная направлению {б: в: г}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (15), сопряженной тому же направлению.

Возьмем теперь систему координат O'x'y'z', ось z' которой имеет направление {б: в: г}, а две другие оси лежат в плоскости р. В этой системе координат уравнения (14) и (15) примут соответственно вид

F?₁(x?, у?, z?)=a?₃₃ z? ²+f?₁(x?, y?) = 0 (16)

F?₂(x?, у?, z?)=a?₃₃ z? ²+f?₂(x?, y?) = 0 (17)

где

f?₁(x?, y?)=a?₁₁x? ²+ 2a?₁₂x?y? + a?₂₂y? ²+2a?₁x? + 2a?₂y? +a?₀

f?₂(x?, y?)=b?₁₁x? ²+ 2b?₁₂x?y? + b?₂₂y? ²+2b?₁x? + 2b?₂y? +b?₀

Здесь a?₃₃ ? 0 (и b?₃₃ ? 0), в противном случае единичный вектор {0, 0, 1} оси z', удовлетворяя уравнению

ц?₁(x?, у?, z?)= a?₁₁x? ²+ 2a?₁₂x?y? + a?₂₂y? ²+ a?₃₃z? ² = 0 ,

был бы вектором асимптотического направления для поверхности (14) (соответственно для (15)) -- вопреки нашим предположениям.

Нам надо доказать пропорциональность многочленов F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z) т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F?₁(x?, у?, z?) и F?₂(x?, у?, z?). Для этого обозначим через С⁰ пересечение множества С с плоскостью z' = 0. Множество С⁰ есть множество всех точек плоскости О'х'у', в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) из многочленов f?₁(x?, y?), f?₂(x?, y?). Другими словами, это есть (лежащее в плоскости О'х'у') нулевое многообразие каждого из этих многочленов.

Возможны следующие случаи:

1° Множество С⁰ пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (н тогда каждое) из равенств f?₁(x?, y?)=0, f?₂(x?, y?)=0 противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f?₁(x?, y?), f?₂(x?, y?) тождественно равен отличной от нуля постоянной а'₀, соответственно b₀'„.

2° Множество совпадает со всей плоскостью О'х'у'. Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f?₁(x?, y?), f?₂(x?, y?) тождественно равен нулю.

3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С⁰ есть множество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости О'х'у' каждым из уравнений

f?₁(x?, y?)=0, f?₂(x?, y?)=0 . (18)

В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменных имеем f?₂(x?, y?) = м f?₁(x?, y?) при некотором м?0. Полагая л=z?₃₃ : a?₃₃ (что возможно, так как a?₃₃?0 ), можем написать

F?₁(x?, у?, z?) = a?₃₃z? ²+ f?₁(x?, y?),

F?₂(x?, у?, z?) =л a?₃₃z? ²+м f?₂(x?, y?),

Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность многочленов F?₁(x?, у?, z?) и F?₂(x?, у?, z?), надо только показать, что м = л.. Так как многочлен f?₁(x?, y?), не равен тождественно постоянной, то существуют значения x?=x?₁, у' = у'₁, для которых f?₁(x?₁, у'₁₎. Найдя такие значения, решаем относительно z' уравнение

F?₁(x?₁, у?₁, z?₁) = a?₃₃z? ²+ 1 = 0

Получаем z?₁ = (1 : a?₃₃ )^0,5. Итак, точка M₁ = (x?₁, у?₁, z?₁) принадлежит множеству С. Следовательно,

F?₂(x?₁, у?₁, z?₁) = лa?₃₃(1 : a?₃₃) + м 1 = 0 , т. е. м = л.

Итак, в случае 3° утверждение теоремы 3 доказано. В случае 2° имеем

F?₁(x?, у?, z?)= a?₃₃ z? ² , a?₃₃ ?0,

F?₂(x?, у?, z?)= b?₃₃ z? ² , b?₃₃ ?0

и, следовательно, полагая л=(b?₃₃ : a?₃₃) , имеем F?₂(x?, у?, z?)=л F?₁(x?, у?, z?) -- утверждение теоремы 2 верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (16?), (17') принимают вид

F?₁(x?, у?, z?)= a?₃₃ z? ²+a?₀ , a?₀ ?0

F?₂(x?, у?, z?)= b?₃₃ z? ²+b?₀ , b?₀ ?0

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было b?₃₃ = лa?₃₃ , b?₀ = лa?₀ при л= (b?₃₃ : a?₃₃ )

Теорема 3 доказана во всех случаях.

Список литературы

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. Наука, 1968

2. Анастасян Л.С. Геометрия. Просвещение, 1973. ч 1

3. Анастасян Л.С. Геометрия. Просвещение, 1987. ч 2

4. Базылев В.Т. Геометрия. М. , 1974. ч 1

5. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. Наука, 1967

6. Парнасский И.В. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадратики. Просвещение, 1978.

7. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. Наука, 1968