Преобразования, повышающие порядок плоских алгебраических кривых

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме: Преобразования, повышающие порядок плоских алгебраических кривых

Содержание

Введение

Глава 1. Общие сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка

1.1 История развития понятия кривой

1.2 Классификация Ньютона кривых третьего порядка

1.3 Циссоида и ее свойства

Глава 2. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка

2.1 Циссоида, как подэра параболы относительно ее вершины

2.2 Подэры других кривых третьего порядка

2.3 Обобщенная циссоида. Циссоидальные преобразования

2.4 Преобразования Маклорена

Заключение

Библиография

Введение

Существуют весьма разнообразные подходы к исследованию плоских кривых. Исследования, проводимые с общей, абстрактной точки зрения, как правило, тем или иным образом отвечают на вопрос что такое линия. К исследованиям первого типа относится, например, определение плоской линии по Г. Кантору или К. Жордану, определение кривых как одномерных континуумов и т.п. С другой стороны, разнообразие конкретных плоских кривых позволяет изучать их типы по отдельности или во взаимосвязи между собой. Весьма многочисленны и исследования второго типа. К ним, например, относятся различные классификации алгебраических кривых, кривых циклоидального типа, спиралей, трактрис и т.д.

Настоящая дипломная работа относится к работе второго типа. Ее основной целью является нахождение взаимосвязей между алгебраическими кривыми второго порядка и третьего порядка. В общих чертах, основной вопрос можно сформулировать так: «При каких геометрических преобразованиях плоскости кривые второго порядка переходят в кривые третьего порядка, какими могут быть эти кривые и т.п.?». Так как линейные невырожденные преобразования плоскости, очевидно, сохраняют порядок алгебраической кривой, то тем самым в настоящей работе речь пойдет о нелинейных преобразованиях плоскости.

Работа состоит из двух глав. Параграфы §1.1. и §1.2. первой главы посвящены двум кратким обзорам: общему историческому развитию понятия кривой и общим сведениям о кривых второго и третьего порядка. Классификации кривых второго порядка хорошо известны из любого полного курса аналитической геометрии. Хорошо известно, что различных типов кривых второго порядка весьма немного. Наиболее распространена их классификация по инвариантам, которую мы и приводим во втором параграфе первой главы.

А вот первая полная классификация кривых третьего порядка была выполнена Ньютоном, который и положил тем самым начало систематическому исследованию этих кривых. И.Ньютон в своей классификации делит все кривые третьего порядка на 7 классов, которые содержат в себе несколько десятков типов кривых. В основу его классификации положен принцип подразделение их на группы в зависимости от количества и характера бесконечных ветвей.

В третьем параграфе этой же главы представлены основные сведения об одной замечательной кривой третьего порядка - циссоиде Диоклеса, возникшей в связи с попытками решения знаменитой задачи об удвоении куба.

Вторая глава посвящена собственно преобразованиям плоскости, переводящим кривые второго порядка в кривые третьего (или четвертого) порядка. В данной работе рассмотрены три преобразования, которые могут повышать порядок кривых:

1. переход к подэре: (кратко, - преобразование);

2. циссоидальное преобразование: (кратко, - преобразование);

3. преобразование Маклорена: (кратко, - преобразование).

Вторая глава начинается с параграфа, посвященного описанию геометрического преобразования параболы в циссоиду. Оказывается, что циссоида является подэрой параболы относительно ее вершины. Более точно: если в каждой точке параболы провести к ней касательную и затем из вершины параболы опустить перпендикуляр на касательную, то геометрическое место всех полученных оснований перпендикуляров будет циссоидой. Здесь же рассматриваются подэры параболы относительно других точек плоскости.

Вообще говоря, подэры можно рассматривать для любых гладких кривых относительно произвольных точек. В следующем параграфе рассмотрены подэры других кривых второго порядка относительно произвольных точек плоскости и доказана теорема о том, что подэрой любой кривой второго порядка является кривая либо третьего, либо четвертого порядка (см. с. 45). Доказательство этой теоремы состоит в переборе всех кривых второго порядка и явном получении уравнений соответствующих подэр. В каждом из случаев из системы трех уравнений с четырьмя неизвестными находится соотношение между двумя из этих переменных.

Два оставшихся параграфа главы соответственно связаны с другими преобразованиями: циссоидальным преобразованием и преобразованием Маклорена.

Обобщенное циссоидальное преобразование задается точкой и не проходящей через нее кривой. В том случае, когда в качестве кривой выбирается прямая, получается классическое циссоидальное преобразование. Основной результат здесь составляет теорема о том, что всякое циссоидальное преобразование относительно прямой и не лежащей на ней точке переводит произвольную кривую второго порядка в кривую третьего порядка (см. c. 52).

Для - преобразования приводится полное доказательство двух конкретных фактов о том, что декартов лист и строфоида могут быть получены из окружности с помощью некоторого - преобразования.

Тем самым, основной целью работы является детальное изучение трех типов преобразования плоскости: - преобразование (переход к подэре); - преобразование (циссоидальное преобразование); - преобразование (преобразование Маклорена). Оказывается, что эти преобразования тесно связаны между собой и устанавливают весьма интересные свойства замечательных кривых третьего порядка: Декартова листа, строфоиды, циссоиды и других.

Глава 1. Общие сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка

1.1 История развития понятия кривой

Формирование строгого понятия кривой или линии имеет исключительно долгую историю: от чисто описательных интуитивных определений (пример: «длина без ширины» - у Евклида) или от конкретных кривых, как геометрическое место точек, до общих понятий, которые описывают кривые, как множества точек плоскости, удовлетворяющих некоторому условию. Сведения о кривых накапливались от конкретных кривых (окружности) и используя законы формирования абстрактного понятия: от частного - к общему, от конкретного - к абстрактному. Исторические памятники глубокой древности показывают, что у всех народов на известной степени их развития имелось понятие окружности, не говоря уже о прямой линии. Употреблялись примитивные инструменты для построения этих линий, и были попытки измерять площади, ограничиваемые прямыми и окружностью.

Линия являлась одним из основных объектов математических исследований. Причина этого лежит, прежде всего, в том, что понятие линии возникло из практической деятельности человека, связанной с изготовлением чертежей, определением границ земельных участков, изучением траекторий движения тел (брошенного камня, струи воды, луча света). Возникнув из практики, понятие линии находит в свою очередь широкое применение для математического описания явлений природы и производственно-технических процессов.

Вот почему с древних времен до наших дней понятие линии привлекало к себе внимание математиков. Ученые стремились исследовать, что такое линия как математическое понятие, т. е. выяснить, что же общего есть у всех тех вещей, которые на практике мы называем линиями?

Евклид в своих «Началах» определяет линию как длину без ширины или как границу поверхности. Такие определения не могут служить для математического изучения понятия линии, так как определяются через другие понятия, которые сами, в свою очередь, нуждаются в определении. Для математического же изучения какого-либо объекта надо задать его аксиоматически, т. е. указать ряд свойств этого объекта, из которых можно было бы логически выводить другие его свойства.

При тогдашнем уровне развития науки и характере требований, предъявляемых к ней практикой, Евклид не мог в сколько-нибудь общей мере сформулировать определение понятия линии, и в «Началах» он останавливает свое внимание на изучении двух простейших и наиболее употребительных линий: прямой и окружности .

Правда еще задолго до Евклида была известна такая кривая, как квадратриса Динострата, а сто лет спустя Аполлоний подробно разработал теорию конических сечений: эллипса, гиперболы, параболы, -- линий, получающихся в сечении плоскостью боковой поверхности конуса с круговым основанием. Механика также приводила к необходимости изучения кривых (спираль Архимеда). Однако все это были лишь отдельные разрозненные факты и не существовало ни сколько-нибудь общего определения линий, ни методов их изучения.

В эпоху средневековья великие достижения греческих ученых были забыты. К кривым математическая наука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии.

Решительный шаг в развитии понятия кривой принадлежит Декарту (1596--1650). Бурный рост торговли и промышленности способствовал быстрому развитию техники, что, в свою очередь, привело к динамичному развитию естествознания и особенно механики. Это развитие нуждалось в математическом аппарате, который был необходим механике для точного выражения ее законов, огромная роль в развитии которого и принадлежит Декарту.

1637 год - одна из великих дат в истории математики - год появления книги Р. Декарта «Геометрия», в которой были изложены основы метода координат. Его координатный метод впервые позволил определить понятие линии в очень общей для того времени форме.

Выбрав на плоскости систему координат, мы можем поставить в соответствие каждой точке плоскости пару действительных чисел -- координат этой точки. При этом оказывается, что разным точкам соответствуют разные пары чисел, и что каждой паре чисел соответствует вполне определенная точка плоскости, имеющая эти числа своими координатами. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством пар действительных чисел. Это соответствие позволяет для каждой линии составить ее уравнение, т. е. найти такую зависимость между координатами ее точек, которая справедлива для всех точек этой линии и не имеет места ни для каких других точек. Например, окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет уравнение , биссектриса угла между осями координат имеет уравнение , и т. д.

Возможность составить для каждой линии ее уравнение дает очень общий и сильный метод изучения уже известных линий.

Пусть дано одно уравнение с двумя неизвестными в виде F(x, у)=0, обозначим через F(x, у) выражение (функцию), стоящее в левой части уравнения. Предположим, что это уравнение имеет бесконечное множество действительных решений, т. е. что существует бесконечное множество пар действительных чисел х и у, удовлетворяющих этому уравнению. Будем рассматривать числа х и у как координаты точки относительно некоторой системы координат на плоскости и назовем линией, заданной уравнением F(x, y)=0, множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Теперь стало возможным дать общее определение линий, охватывающее все известные до сих пор частные примеры линий, и позволяющее построить столько же линий, сколько имеется различных уравнений. Определение Декарта: линией, заданной уравнением F(x, у)=0, называется множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Открытие Декарта имело решающее значение для всей математики, потому что, с одной стороны, оно позволило изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа, а с другой стороны, -- позволило применить терминологию и методы геометрии к алгебре и анализу, что сообщило изучению этих дисциплин большую простоту и наглядность. Открытие метода координат подготовило, в свою очередь, открытие могущественного метода науки - исчисления бесконечно малых. Рождение дифференциального и интегрального исчисления имело особо важное значение для изучения свойств кривых. Метод координат в соединении с анализом позволил от частных способов и оригинальных приемов или гениальных догадок при исследовании кривых перейти к их исследованию общим методом.

Определение линии, данное Декартом, является для того времени чрезвычайно общим. Оно охватывает все так называемые алгебраические кривые -- линии, уравнения которых являются алгебраическими, т. е. имеют вид F(x,y)=0, где F(x,y) -- многочлен с двумя переменными х и у. Степень многочлена F(x, у) называется порядком алгебраической линии.

Алгебраические линии первого порядка суть прямые, поскольку всякая прямая на плоскости выражается в декартовых координатах уравнением первой степени вида Ах+By+С=0 и всякое такое уравнение всегда выражает прямую. Алгебраические линии второго порядка -- это эллипс, гипербола, парабола (и еще линии, распадающиеся на две прямые), так как всякая такая линия выражается уравнением второй степени и всякое уравнение второй степени, если оно допускает бесконечное множество решений, всегда выражает одну из этих линий. Эти факты составляют содержание аналитической геометрии и в основном были уже известны Декарту. Изучение кривых более высокого порядка составляет предмет алгебраической геометрии .

Однако уже в то время были известны кривые, которые или вовсе нельзя было задать уравнением вида F(x,у)=0, где функция F(x,y) была бы достаточно простой, т. е. представляла собой комбинацию конечного числа элементарных функций, или же такое задание, хотя и было возможно, но ничего не могло дать для изучения линии. Это прежде всего кривые, являющиеся траекториями движущейся точки. Такова спираль Архимеда -- линия, описываемая точкой, равномерно перемещающейся по лучу, который, в свою очередь, вращается с постоянной угловой скоростью около неподвижной точки. Уравнение спирали Архимеда ничего не дает для ее изучения, так как каждому значению х здесь соответствует бесконечное множество значений у и наоборот.

Роберваль и Паскаль показывают, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определенным образом, и что, следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы. Ферма обобщает это предложение на спирали высших порядков, устанавливая, что их спрямление сводится к спрямлению парабол высших порядков. Нейль открывает алгебраическую кривую, которая спрямляется алгебраически (парабола Нейля). К этому же времени относится спрямление логарифмической спирали, выполненное Торричелли, спрямление эпи- и гипоциклоид, выполненное Де ла Гиром. Фаньано в 1714 году, исследуя вопрос о спрямлении лемнискаты, заложил основы спрямления эллиптических функций .

Для изучения линий, являющихся траекториями движущейся точки, наиболее естественным оказывается задание координат точки в зависимости от времени. Это приводит к так называемому параметрическому заданию линий, при котором координаты ее точек выражаются как функции некоторой третьей переменной величины t (обычно времени), называемой параметром: .

Задание линии параметрическими уравнениями вполне отвечало всем требованием, предъявляемым к этому понятию: все известные линии, как алгебраические, так и трансцендентные, могли быть заданы в такой форме, которая наилучшим образом соответствовала основному способу получения линии как траектории движущейся точки.

Определение линии как траектории движущейся точки и параметрический способ задания уже известных линий послужили основой для нового обобщения определения понятия линии: линией стали называть совокупность точек плоскости, координаты которых х и у даны как функции некоторой третьей переменной величины t, которая обычно понималась как время, но могла иметь и другой характер: угол, длина дуги и т. п.

При этом на функции и налагались, конечно, некоторые ограничения, которые становились тем более общими, чем более общим делалось само понятие функции. Таким путем, отталкиваясь от частных примеров, пришли во второй половине XIX века к следующему общему определению линии, сформулированному в наиболее отчетливой форме французским математиком Жорданом: линией называется совокупность точек плоскости, координаты которых суть непрерывные функции , параметра t, заданные на отрезке 0 t 1.

Но вскоре оказалось, что жорданово определение линии является уже чересчур общим: в 1890 г. итальянский математик Пеано показал, что можно так подобрать функции и , заданные на отрезке 0t1 и непрерывные на этом отрезке, что совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям: x = (t), (0t1),--заполняет целый квадрат (считая внутренние и граничные точки), т. е. какую бы точку т(х, у) на этом квадрате мы ни взяли, всегда найдется такое значение параметра t (0t1), что x = (t), .

Этот пример целиком ниспровергает определение линии, данное Жорданом, если взять это определение во всей его общности: множество точек, являющееся «линией» в смысле этого определения, заполняет целый кусок плоскости, что никак не согласуется с нашим представлением о линии, сформировавшимся на базе рассмотрения ряда конкретных линий, которые никогда не заполняют целого куска плоскости.

Попытки определения понятия линии лишь в недавнее время нашли свое завершение в работах советского математика П.С. Урысона (1898--1924), который в 20-х годах прошлого столетия сумел дать наиболее общее определение линии, позволяющее до конца исследовать сущность этого понятия: Линией называется континуум размерности 1, т.е. такой континуум, что каждая его точка обладает сколь угодно малой окрестностью, граница которой не содержит никакого континуума, состоящего более чем из одной точки .

Увлечение аналитическим методом изучения кривых, особенно характерное для 17 века, с течением времени вызвало реакцию со, стороны некоторых ученых. Как недостаток этого метода отмечалось то обстоятельство, что употребление его не раскрывает естественного происхождения кривой, так как объектом исследования фактически является не сама кривая, а соответствующее ей уравнение. Плодотворные попытки возвратиться к синтетическому методу древних породили новое направление в исследовании свойств кривых 2-го порядка. Первые достижения здесь связываются с именами Дезарга и Паскаля. Дезарг, исследуя проективные свойства фигур и используя установленное им понятие инволюции, обогатил теорию кривых 2-го порядка новыми открытиями. Паскаль открывает свою, знаменитую теорему о соотношении между шестью точками конического сечения, согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в кривую 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Де ла Гир приходит к важному предположению о том, что директриса кривой 2-го порядка является полярой ее фокуса.

Новые методы исследования свойств кривых 2-го порядка успешно развиваются в 19 столетии. Брианшон доказывает теорему, двойственную теореме Паскаля, и изучает проективные свойства гиперболы. Понселе исследует кривые 2-го порядка с помощью открытого им метода проективных соответствий. Штейнер и Шаль исследуют проективные свойства этих кривых на основе понятия двойного отношения и рассматривают их как производные от образов 1-ой ступени. Критика аналитического метода исследования формы и свойств кривых была также направлена на то обстоятельство, что система координат является посторонним элементом исследования, с которым кривая связывается искусственно.

Эти воззрения привели, с одной стороны, к созданию так называемой алгебраической геометрии, основы которой были заложены Гессе и Клебшем. Здесь исследование свойств кривых сводилось, к исследованию инвариантов алгебраических форм. Эти инварианты представляли собой некоторые величины, характеризующие форму кривой и не меняющиеся при изменении координатной системы. Крупнейшим достижением этого направления в исследовании кривых было создание обшей теории алгебраических кривых. Особые достижения в развитии этой теории связываются с именем Плюккера. Однако в алгебраической геометрии полностью отрешиться от системы координат как постороннего элемента все-таки не удалось .

Другое направление привело к представлению о так называемом натуральном уравнении кривой. Натуральное уравнение уже не зависит от положения системы координат и от ее вида. Это уравнение функционально связывает радиус кривизны кривой и длину ее дуги, т. е. те элементы, которые органически связаны с самой природой исследуемой линии. Было доказано, что натуральное уравнение полностью определяет кривую с точностью до ее положения на плоскости. Наибольших успехов это направление в исследовании кривых достигло в работах Чезаро, который присвоил ему название внутренней пли натуральной геометрии.

К концу 19 века в математику всё глубже начинает проникать теоретико-множественная точка зрения, заключающаяся в том, что всякий математический объект рассматривается как множество тех или иных элементов. При этом само понятие "множество" уже никак не определяется и относится к числу элементарных понятий. Наиболее отчётливо эту точку зрения сформулировал Г. Кантор (1845 -1918) в ряде своих работ, относящихся к 70-м и началу 80-х годов 19 века. Линия - это континуум С, обладающий следующим свойством: какова бы не была точка х континуума С и положительное число , на плоскости найдётся точка у, не принадлежащая континууму С и удалённая от точки х менее чем на . (Кратко: линия - континуум без внутренних точек. Континуумом Кантор называет связный компакт) .

В заключение хотелось бы сказать о плодотворной идее использования векторного аппарата при исследовании свойств линий, которая связывается с именем Грассмана, и о топологическом методе исследования кривых, имеющих наиболее сложные формы.

Таким образом, при исследовании линий используются и методы алгебры, и методы геометрии, и методы дифференциальной геометрии, а значит, и методы математического анализа.

1.2 Классификация Ньютона кривых третьего порядка

Классификации кривых второго порядка хорошо известны из курса аналитической геометрии. Оказывается, что различных типов кривых второго порядка весьма немного. Это эллипс, гипербола, парабола, пара параллельных прямых и пара пересекающихся прямых .

Кривая второго порядка -- геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

,

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Наиболее употребим способ классификации данных кривых по инвариантам. Вид кривой зависит от четырех инвариантов:

1. инварианты относительно поворота и сдвига системы координат

2. инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант)

Классификация невырожденных кривых второго порядка (кривая второго порядка называется невырожденной, если ):

· Эллипс -- при условии D > 0 и IД < 0;

· Окружность (частный случай эллипса) -- при условии a₁₁ = a₂₂, a₁₂ = 0.

· Мнимый эллипс (пустое множество) -- при условии D = 0 и IД > 0.

· Гипербола -- при условии D < 0.

· Парабола -- при условии D = 0.

Классификация вырожденных кривых второго порядка (кривая второго порядка называется вырожденной, если Д = 0):

· Точка -- при условии D > 0 (вырожденный эллипс)

· Пара пересекающихся прямых -- при условии D < 0 (вырожденная гипербола).

· Пара параллельных прямых -- при условии D = 0 и B < 0.

· Прямая (две слившихся параллельных прямых) -- при условии D = 0 и B = 0.

· Пара мнимых параллельных прямых -- при условии D = 0 и B > 0.

А вот первая полная классификация кривых третьего порядка была выполнена Ньютоном, который и положил тем самым начало систематическому исследованию этих кривых. И.Ньютон в своей классификации делит все кривые третьего порядка на 7 классов, которые содержат в себе 14 родов, подразделяющиеся на 72 типа.

В основу его классификации положен принцип подразделение их на группы в зависимости от количества и характера бесконечных ветвей. Рассмотрим данную классификацию подробнее.

Общее уравнение кривых 3-го порядка имеет вид:

. (1.2.1)

Пусть y = kx+b -- уравнение асимптоты кривой. Для определения параметров k и b необходимо подставить в уравнение этой кривой вместо у выражение kx+b и, взяв в полученном таким образом уравнении коэффициенты двух членов со старшими степенями х, приравнять их нулю. Получаемая при этом система с неизвестными k и b и служит для их определения.

Для кривой (1.2.1) угловой коэффициент асимптоты определится равенством

(1.2.2)

Второй параметр асимптоты -- ее начальная ордината b-- определится равенством

(1.2.3)

где k имеет значение, найденное из уравнения (1.2.2).

Уравнение (1.2.2), будучи кубическим относительно k, даст нам или три действительных значения для k, или одно действительное и два комплексных. Эти значения k и будут определять направление бесконечных ветвей и их количество. Однако нельзя утверждать, что определяемые таким образом бесконечные ветви будут обязательно иметь асимптоты. Для того чтобы асимптота в направлении k действительно существовала, необходимо, чтобы при этом значении k начальная ордината b определялась из равенства (1.2.3), чего может и не быть.

Таким образом, количество бесконечных ветвей кривой (1.2.1) зависит от числа действительных корней уравнения (1.2.2); характер ветвей определится равенством (1.2.3).

Если при k = , где -- действительный корень уравнения (1.2.2), уравнение (1.2.3) имеет решение --действительное число , то соответствующая ветвь кривой будет иметь асимптоту , т. е. будет ветвью гиперболического типа. Если же решение уравнения (1.2.3) при k=k₁ не существует или оказывается неопределенным, то соответствующая ветвь кривой будет параболической, т. е. не будет иметь асимптоты. Очевидно, параметр b не определяется уравнением (1.2.3), если одновременно

, (1.2.4)

(1.2.5)

, (1.2.6)

. (1.2.7)

В первом случае b не существует, во втором -- остается неопределенным. Рассмотрим, когда эти случаи возможны.

Если все три корня уравнение (1.2.2) действительны и среди них нет кратных, то левая часть равенства (1.2.4), являющаяся производной от левой части уравнения (1.2.2), не может равняться нулю и следовательно, соответственно трем значениям k будут определены три значения для b; кривая имеет три асимптоты трех гиперболических ветвей.

Если уравнение (1.2.2) имеет один действительный корень и два комплексных, то равенство (1.2.4) также не будет удовлетворяться и соответствующее значение для b выразится определенным числом кривая будет иметь одну асимптоту.

Если уравнение (1.2.2) имеет действительный двукратный корень, то производная левой части уравнения (1.2.2) обратится в нуль и, следовательно, значение двукратного корня удовлетворит равенству (1.2.4). Если оно при этом удовлетворит также неравенству (1.2.5), то b не существует и, следовательно, кратное значение корня соответствует параболической ветви кривой, а третьему, однократному значению корня будет соответствовать гиперболическая ветвь».

Если двукратный действительный корень уравнения (1.2.2), обязательно удовлетворяя равенству (1.2.6), удовлетворяет и равенству (1.2.7), то значение b оказывается неопределенным, так как уравнение (1.2.3) обращается в тождество. При отыскании асимптот алгебраической кривой в подобном случае приравнивается нулю коэффициент следующего старшего члена равенства, которое получается, если и уравнение (1.2.1) подставить вместо у выражение kx+b. В нашем случае но будет коэффициент при х; уравнение, которым должно определиться значение b, окажется квадратным:

. (1.2.8)

Обратимся теперь к рассматриваемому нами случаю. Так как мы предполагали корень уравнения (1.2.2) двукратным, то и, значит, уравнение (1.2.8) доставит нам два значения для b, которые могут быть действительными различными, равными или комплексными. Поэтому двукратному корню уравнения (1.2.2) соответствуют две параллельные асимптоты, которые могут совпасть в одну, а могут быть мнимыми.

5. Положим теперь, что уравнение (1.2.2) имеет трехкратный корень. При этом значении корня обращается в нуль не только первая, но и вторая производная от левой части уравнения (1.2.2), т. е. имеют место равенства

и

Здесь возможны следующие подслучаи:

а)если , то b не существует и кривая не имеет асимптот; значение трехкратного корня соответствует в этом случае параболической ветви кривой;

б)если, a , то уравнение (1.2.3) для определения b уже не годится и заменяется уравнением (1.2.8), которое станет линейным, так как , и доставит только одни значение ; следовательно, кривая будет иметь только одну асимптоту;

в) если и, но при этом, то не существует и, следовательно, асимптот у кривой нет (заметим, что если , то кривая распадается на три параллельные прямые).

На основе проведенных исследований имеется возможность, в зависимости от вида корней уравнения (1.2.2), подразделить все кривые 3-го порядка на семь групп. Рассмотренные выше случаи 1-5 приводят к 7 основным классам кривых третьего порядка. Сведения об этих 7 классах и их разделении на различные типы можно собрать в виде следующих таблиц 1-7 .

Таблица 1. Группа 1. hyperbolae redundantes (раскинутые гиперболы)

Корни уравнения (1.2.2)	Асимптоты и ветви	Вид уравнения	Формы кривых определяются вспомогательным уравнением
все три корня действительные и различные	три асимптоты и три гиперболические ветви		(1.2.9)
Возможны следующие случаи для корней вспомогательного уравнения:
Все корни уравнения (1.2.9) комплексные или все действительные различные. В этом случае кривая соответственно состоит из трех гиперболических ветвей и овала или из двух гиперболических ветвей и одной прямолинейной ветви (прямолинейной называется гиперболическая ветвь, вытянутая вдоль прямой, являющейся ее асимптотой, которую она пересекает и к которой приближается в двух прямо противоположных направлениях и с разных сторон) (рис.а и b).	2) Два корня уравнения (1.2.9) действительные и различные, а два других -- комплексные; кривая состоит из трех гиперболических ветвей (рис. в);	3)Два корня уравнения (1.2.9) равны между собой, а остальные корни или комплексные, или одновременно больше или меньше равных корней; кривая состоит из трех гиперболических ветвей, две из которых пересекаются между собой, или из трех гиперболических ветвей, одна из которых имеет узловую точку (рис. г и д);	все корни уравнения (1.2.9) действительны, причем два средних по величине равны" между собой; кривая состоит из трех гиперболических ветвей и имеет изолированную точку (рис. е);	5) три корня уравнения (1.2.9) равны между собой; кривая состоит из трех гиперболических ветвей, одна из которых имеет точку возврата (рис.1, ж).

Таблица 2. Группа 2. hyperbolae defectivae (дефективные гиперболы)

Корни уравнения (1.2.2)	Асимптоты и ветви	Вид уравнения	Формы кривых определяются вспомогательным уравнением
имеет один действительный корень	имеет одну асимптоту и одну бесконечную ветвь прямолинейного типа		(9)
Возможны следующие случаи для корней вспомогательного уравнения:
Все корни ур.(1.2.9) действительны и различны; кривая состоит из одной прямолинейной ветви и овала (рис.а);	два корня ур. (1.2.9) действительны и различны, два других-- комплексные; кривая состоит из одной бесконечной ветви прямолинейного характера (рис. б);	среди четырех действительных корней ур.(1.2.9) два средних по величине равны между собой; кривая представляет бесконечную прямолинейную ветвь, имеющую узел (рис. в);	4) среди четырех действительных корней ур. (1.2.9) два больших или два меньших равны между собой. Кривая состоит из изолированной точки и бесконечной прямолинейной ветви (рис. г);	5) ур. (1.2.9) имеет трехкратный корень. Кривая представляет собой бесконечную прямолинейную ветвь, имеющую точку возврата (рис. д).

Таблица 3. Группа 3. hyperbolae parabolicae (параболические гиперболы)

Корни уравнения (1.2.2)	Асимптоты и ветви	Вид уравнения	Формы кривых определяются вспомогательным уравнением
два корня, равные между собой, но не удовлетворяющие равенству	имеют две бесконечные ветви смешанного характера, но только одну асимптоту		(1.2.10)
Возможны следующие случаи для корней вспомогательного уравнения:
корни ур.(1.2.10) действительны и различны; если знаки корней одинаковые, то кривая состоит из двух бесконечных ветвей, одна из которых прямолинейная, если же корни имеют разные знаки, то кривая состоит из двух бесконечных ветвей и овала (рис.а ,б).	2)Ур.(1.2.10) имеет один действительный корень; кривая состоит из двух бесконечных ветвей смешанного типа (рис.в)	3)два корня ур.(1.2.10) равны между собой по модулю; кривая состоит из двух пересекающихся ветвей, если корни имеют разные знаки, и из двух бесконечных ветвей, на одной из которых узел, если корни имеют одинаковые знаки (рис.г,д);	два меньших корня ур.(1.2.10) равны между собой; кривая имеет изолир-ую точку и состоит из двух бесконечных ветвей (рис.е);	5)ур.(1.2.10) имеет трехкратный корень; кривая состоит из двух бесконечных ветвей, на одной из которых точка возврата (рис.ж).

Таблица 4. Группа 4. hyperbolbmi sectionum conicarum (гиперболизмы конических сечении)

Корни уравнения (1.2.2)	Асимптоты и ветви	Вид уравнения	Формы кривых определяются
два корня, равные между собой и удовлетворяющие равенству	имеет одну, две или три асимптоты, причем две из этих трех асимптот параллельны между собой и могут быть различными, совпадающими и мнимыми		выражением и знаком коэффициента с
Возможны следующие случаи:
1)при положительном с кривая имеет две параллельные асимптоты и бесконечно удаленную узловую точку, причем если >0, то кривая состоит из трех гиперболических ветвей, у одной из которых параллельные асимптоты, а если <0, то кривая состоит из трех гиперболических ветвей, на одной из которых точка перегиба (рис. а и б);	2)при отрицательном с кривая представляет собой бесконечную ветвь прямолинейного характера, имеющую бесконечно удаленную изолированную точку (рис. в);	3)если с=0, то кривая состоит из двух бесконечных ветвей с общими асимптотами и имеет бесконечно удаленную точку возврата (рис. г).

Таблица 5. Группа 5. parabolae divergentes (расходящиеся параболы)

Название группы	Корни уравнения (1.2.2)	Асимптоты и ветви	Вид уравнения	Формы кривых определяются вспомогательным уравнением
Группа 5. parabolae divergentes (расходящиеся параболы)	все три корня равны между собой, но не удовлетворяют уравнению	имеет бесконечную ветвь параболического типа; асимптот нет		(1.2.11)
	Возможны следующие случаи для корней вспомогательного уравнения:
	1) если уравнение (1.2.11) имеет один действительный корень, то кривая состоит из одной бесконечной ветви параболического типа (рис. а);	2)если корни уравнения (1.2.11) действительны и различны, то кривая состоит из параболической ветви и овала (рис. б);	3)если все корни уравнения (1.2.11) действительны и среди них два больших корня равны между собой, то кривая состоит из параболической ветви, имеющей узловую точку (рис. в);	4)если все корни ур.(1.2.11) действительны и среди них два меньших корня равны между собой, то кривая состоит из параболической ветви, имеющей изолированную точку (рис.г);	5) если все корни уравнения (1.2.11) равны между собой, то кривая представляет собой параболическую ветвь, имеющую точку возврата (рис.д).

Таблица 6. Группа 6. tridens (трезубец)

Корни уравнения (1.2.2)	Асимптоты и ветви	Вид уравнения	График
все три корня равны между собой и удовлетворяют равенству , но не удовлетворяют равенству	имеет две бесконечные ветви и только одну асимптоту (рис а)

Таблица 7. Группа 7. parabola cubica (кубическая парабола)

Корни уравнения (1.2.2)	Асимптоты и ветви	Вид уравнения	График
все корни равны между собой и удовлетворяют уравнениям и	кривая представляет собой параболическую ветвь (рис б)

1.3. Циссоида и ее свойства

Рассмотрим простейший способ образования циссоиды - кривой, открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба.

Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром и касательную к ней. Через точку проведем луч и на нем отложим отрезок . Построенная таким образом точка принадлежит циссоиде. Повернув луч на некоторый угол, и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1

Если точку принять за полюс, то но и , откуда получаем полярное уравнение циссоиды

(1.3.1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым , найдем уравнение циссоиды в прямоугольной системе:

 (1.3.2)

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, полагая , тогда, на основании уравнения (1.3.2), придем к системе

, , (1.3.3)

Основные геометрические характеристики:

Уравнение (1.3.2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравнений (1.3.3) следует, что она является рациональной кривой.

Осевая симметрия: циссоида симметрична относительно оси абсцисс, прямой . Рассматриваемая кривая имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая , служит для нее асимптотой -- вертикальная асимптота, а прямая -- касательная в точке возврата. Особые точки: - начало координат является точкой возврата 1-го рода. Центральная симметрия: нет. Циссоида является неограниченноой, связной кривой, без точек самопересечения .

Итак, циссоида Диоклеса -- неограниченная связная кривая с одной особой точкой (точка возврата 1-го рода), одной вертикальной асимптотой и одной осью симметрии.

Делоская проблема. Задача об удвоении куба.

Задача об удвоении куба состоит в следующем: если - сторона данного куба, тогда объем этого куба равен . .

Тогда необходимо найти сторону куба, объем которого будет равен , то есть . Пусть - сторона искомого куба, тогда его объем равен .

Получаем, . Отсюда, . Таким образом, задача об удвоении куба приводит к построению выражения .

Эта задача является частным случаем другой задачи, которая много раз рассматривалась древними, - задача о построении двух средних пропорциональных. На это впервые указал Гиппократ Хиосский (вторая половина V в. до н.э.) .

Рассмотрим задачу о построении двух средних пропорциональных.

Задача. Даны два отрезка и . Требуется построить два средних пропорциональных, то есть два отрезка и , которые удовлетворяли бы уравнениям: .

Решение.

Рассмотрим равенства

(1.3.4)

(1.3.5)

Из равенства (1.3.4) следует, что . Из равенства (1.3.5) следует, что и .

Подставив в выражение выражение , получаем , , .

Аналогично получаем: , .

Подставив в равенство выражение, получаем , , .

Таким образом, , .

В частности, если , , то и .

Удвоение куба требует построения выражения или графического определения корней уравнения: .

Это уравнение третьей степени не имеет рациональных корней и поэтому неразрешимо в квадратных радикалах. Таким образом, выражение не может быть построено с помощью циркуля и линейки.

Для решения этой задачи необходимы конические сечения или кривые высшего порядка.

Решение делоской задачи с помощью циссоиды Диоклеса (около 150 г. до н.э.).

Диоклес нашел для решения задачи об удвоении куба кривую. Построим ее.

Пусть дан отрезок , равный 1.

Проведем через его концы перпендикуляры g и h. (рис. 1.3.2)

Рис. 1.3.2

Отметим на прямой g произвольную точку P₁. Этой точке на прямой h поставим в соответствие такую точку P₂, для которой .

Если , то .

Теперь проведем прямые и они пересекутся в некоторой точке , которая при изменении опишет некоторую кривую, циссоиду Диоклеса. (рис. 1.3.3)



Рис. 1.3.3

Выведем уравнение этой кривой.

Введем прямоугольную систему координат: (рис. 1.3.4)

Рис. 1.3.4

Уравнение прямой ; а уравнение прямой .

Из этих уравнений, мы получаем, . Это и есть уравнение циссоиды.

Таким образом, для решения задачи об удвоении куба необходимо построить отрезок , циссоиду (рис. 1.3.5). Она пересечет отрезок в точке . После чего, построить прямую , она пересечет прямую h в точке, при этом получаем, что .



Рис. 1.3.5

Другие свойства циссоиды Диоклеса

Теорема 1.3.1. Объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты .

Доказательство теоремы разобьем на три шага:

1) Шаг I.

2) Шаг II. Объем тора из формулировки теоремы равен .

3) Шаг III.Объем тела вращения из формулировки теоремы равен .

Шаг I.

Доказательство:

Обозначим и проверим, что , и что верна рекуррентная формула , тогда ,

Интеграл вычислим непосредственно:



Для получения рекуррентной формулы используем интегрирование по частям:

,

Ч.т.д.

Шаг II

Доказательство:

Вращать вокруг асимптоты все равно, что вращать вокруг оси ординат.



Рис. 1.3.6

Рис. 1.3.7

- уравнение окружности радиуса R,

,

,

, - четная, значит

Ч.т.д.

Шаг III. Доказательство теоремы 1:

,

Рис. 1.3.8 Рис. 1.3.9

 (1.3.6)

Подставим в равенство (1), получим:

,

,

,

Теорема доказана.

кривая плоскость циссоида ньютон

Глава 2. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка

Невырожденное линейное или аффинное преобразование плоскости сохраняет порядок алгебраической кривой. Поэтому рассмотренные ниже преобразования будут нелинейными для того, чтобы увеличивался порядок кривых.

В данной работе разобраны три преобразования, которые могут повышать порядок кривых:

4. переход к подэре: (кратко, - преобразование);

5. циссоидальное преобразование: (кратко, - преобразование);

6. преобразование Маклорена: (кратко, - преобразование).

2.1. Циссоида, как подэра параболы относительно ее вершины

Определение: Пусть дана кривая , точка , не лежащая на ней. Возьмем произвольную точку , построим касательную к кривой в точке . Из точки опустим перпендикуляр к касательной и найдем основание этого перпендикуляра: . Множество точек называется подэрой кривой относительно точки . (Рис. 2.1.1)

Рис. 2.1.1

Приведем простейшие примеры:

Пример 1. Подэра прямой относительно точки, не лежащей на этой прямой, состоит из одной точки - основания перпендикуляра (рис. 2.1.2).

- прямая,

Рис. 2.1.2

Пример 2. Подера окружности относительно ее центра есть сама окружность (рис. 2.1.3).

- окружность, , О - центр окружности

Рис. 2.1.3

Пример 3. Подэра двух пересекающихся прямых относительно точки, лежащей на этих прямых есть точка на этих прямых.

Возьмем точку на кривой с координатами . Построим подэру двух пересекающихся прямых относительно этой точки.

Проведем касательную l к точке кривой. Она совпадет с той прямой, на которой и лежит точка. (Рис. 2.1.4). Из данной точки кривой опустим перпендикуляр на касательную. Точка является подерой кривой, если точка лежит на прямой (1). Если точка лежит на прямой (2), то подэрой кривой будет точка . Итак, подэра двух пересекающихся прямых - две точки: точка и точка с координатами .

Рис. 2.1.4

Очень интересным является то, что подэра устанавливает связь между кривыми второго порядка и кривыми третьего порядка. Начнем с конкретного примера такой связи.

Теорема 2.1.1. Циссоида является подэрой некоторой параболы относительно вершины этой параболы.

Доказательство:

Необходимо найти подэру параболы относительно ее вершины.

Пусть - точка на параболе. Построим касательную l к параболе в данной точке. Из общей теории кривых второго порядка следует, что касательная l к параболе, проведенная в точке , задается уравнением:



Рис. 2.1.5

Пусть прямая проходит через начало координат перпендикулярно l. Ее уравнение имеет вид , а т.к. , то , тогда . (Рис. 2.1.5)

Получаем систему из трех уравнений относительно четырех переменных :

Из этой системы найдем связь между и :

Из (2.1.3): , т.е. (2.1.4)

Из (2.1.1):

Но, поэтому получим: (2.1.5)

Подставим (2.1.4) и (2.1.5) в (2.1.2):

Получили уравнение кривой третьего порядка. Преобразуем его.

Подобрав так, что получаем уравнение циссоиды Диоклеса , см. выше стр. 20.

Т.о. мы получаем, что подерой параболы относительно ее вершины является циссоида Диоклеса. Теорема доказана.

Рассмотрим симметричную задачу:

Задача 1. Найти подэру параболы относительно ее вершины.

Решение

Пусть - точка на параболе. Построим касательную l к параболе в данной точке (рис. 2.1.6).

Составим систему трех уравнений:



Далее находим связь между и : - получили уравнение кривой третьего порядка, преобразовав которое получаем - уравнение циссоиды Диоклеса.

Рис. 2.1.6

Т.о. делаем вывод о том, что подерой параболы относительно ее вершины является циссоида Диоклеса.

Несколько изменим предыдущее утверждение, т.е. сместим по оси абсцисс точку, относительно которой рассматривается подэра.

Задача 2. Найти подэру параболы относительно точки .

Решение

Построим касательную к параболе в данной точке.

,

Пусть прямая проходит через начало координат перпендикулярно l. Ее уравнение имеет вид , а т.к. , то , и так как тогда проходит через точку , то , , и следовательно . (Рис. 2.1.7).

Рис. 2.1.7

Получаем систему из трех уравнений относительно четырех переменных :

Найдем связь между и :

Из (2.1.8): ,

 (2.1.9)

Из (2.1.6): , но , тогда: . (2.1.10)

Подставим (2.1.9) и (2.1.10) в (2.1.7): . Преобразуем равенство:

-

полученное уравнение является уравнением кривой третьего порядка.

Т.о. мы получаем, что подерой параболы относительно точки является кривая третьего порядка.

Теперь найдем подэру параболы относительно произвольной точки плоскости:

Задача 2'. Найти подэру параболы относительно точки .



Рис. 2.1.8

Решение

Проведем касательную к параболе в данной точке и запишем ее уравнение.

,

Далее построим перпендикуляр к касательной, проходящий через точку . (Рис. 2.1.8).

,

, , , , следовательно

.

Далее составим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:

Из уравнений системы найдем связь между и :

Из (2.1.13):

(2.1.14)

Из (2.1.11): , . Но , тогда:

. (2.1.15)

Подставим (2.1.14) и (2.1.15) в (2.1.12):

.

Полученное уравнение является уравнением кривой третьего порядка. Т.о. мы получаем, что подерой параболы относительно произвольной точки плоскости с координатами является кривая третьего порядка.

2.2 Подэры других кривых второго порядка

В предыдущем параграфе мы показали, что подэрой параболы относительно произвольной точки плоскости является кривая третьего порядка. Проверим переводит ли - преобразование другие кривые второго порядка в кривые третьего порядка.

Для этого рассмотрим следующие задачи:

Задача 2.2.1. Найти подэру окружности относительно точки , не лежащей на данной окружности.

Рис. 2.2.1

Решение

Пусть - точка на окружности. Построим касательную l к окружности в данной точке. Из общей теории кривых второго порядка следует, что касательная l к окружности, проведенная в точке , задается уравнением:

, .

Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно l. Ее уравнение имеет вид, а т.к. , то , тогда , . (Рис. 2.2.1).

Значит,

Получаем систему из трех уравнений относительно четырех переменных :

Найдем связь между и :

Из (2.2.3):

, (2.2.4)

Из (2.2.2) и (2.2.4) получим: , ,

. (2.2.5)

Подставив (2.2.5) в (2.2.4), получим:



(2.2.6)

Подставим (2.2.5) и (2.2.6) в (2.2..1), получим:

- уравнение кривой четвертого порядка.

Следовательно, в общем случае, подэра окружности является кривой четвертого порядка.

Задача 2.2.2. Найти подэру гиперболы относительно точки, лежащей на этой гиперболе.

Решение

Возьмем точку на гиперболе с координатами . Построим подэру гиперболы относительно этой точки. Для этого проведем касательную к кривой в точке . Запишем ее уравнение: .

Далее построим перпендикуляр к касательной, проходящий через точку . Т.к. , то , получаем

, ,

следовательно

. (Рис. 2.2.2).

Рис. 2.2.2

Мы получили систему трех уравнений

:

Найдем связь между и :

Из (2.2.8):

, (2.2.9)

Из (2.2.7) и (2.2.9) получим:

, ,

. (2.2.10)

Подставив (2.2.10) в (2.2.9), получим:

,

. (2.2.11)

Подставим (2.2.10) и (2.2.11) в (2.2.6), получим:

Получили уравнение кривой четвертого порядка. Следовательно, подэра гиперболы относительно точки , лежащей на этой гиперболе, является кривой четвертого порядка.

Задача 2.2.2'. Найти подэру гиперболы относительно точки, не лежащей на этой гиперболе.

Решение

Возьмем точку, не лежащую на гиперболе с координатами. Построим подэру гиперболы относительно этой точки. (Рис. 2.2.3).

Касательная имеет вид . Прямая , пепендикулярная к касательной и проходящая через точку задается уравнением

.

Рис. 2.2.3

Из получившейся системы трех уравнений

,

найдем связь между и :

Получили уравнение кривой четвертого порядка. Следовательно, подэра гиперболы относительно точки, не лежащей на этой гиперболе, является кривой четвертого порядка.

Задача 2.2.3. Найти подэру эллипса относительно точки на этом эллипсе.

Решение

Возьмем точку на эллипсе с координатами . Построим подэру эллипса относительно этой точки.

Для этого проведем касательную , к эллипсу в точке . Далее построим такую, что проходит через точку эллипса. , , , . (Рис. 2.2.4).

Таким образом,

.

Рис. 2.2.4

Составим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:



Из нее найдем связь между и :

Из (2.2.14):, (2.2.15)

Из (2.2.13) и (2.2.15) получим:

, ,

. (2.2.16)

Подставив (2.2.16) в (2.2.15), получим:

,

. (2.2.17)

Подставим (2.2.16) и (2.2.17) в (2.2.12), получим:

Получили уравнение кривой четвертого порядка. Следовательно, подэра эллипса относительно точки, лежащей на этой гиперболе, является кривой четвертого порядка.

Задача 2.2.3'. Найти подэру эллипса относительно точки не лежащей на этом эллипсе.

Решение

Возьмем точку не лежащую на эллипсе с координатами . Построим подэру эллипса относительно этой точки.

Проведем касательную в точке эллипса . К ней восстановим перпендикуляр , проходящий через данную точку . .



Рис. 2.2.5

Получим систему трех уравнений:

.

Из нее найдем связь между и : .

Получили уравнение кривой четвертого порядка. Следовательно, подэра эллипса относительно точки, не лежащей на этой гиперболе, является кривой четвертого порядка.

Из примеров и задач, рассмотренных в § 2.1. и § 2.2. второй главы, следует теорема:

Теорема.

Преобразование подеры переводит произвольную кривую второго порядка в кривую третьего или четвертого порядка.

Гипотеза.

Преобразование подеры переводит кривую n-го порядка в алгебраическую кривую -го или -го порядка.

2.3 Циссоидальные преобразования. Обобщенные циссоиды

Произвольно зафиксируем точку и некоторую прямую , не проходящую через нее. Искомое циссоидальное преобразование (для краткости - преобразование) будет параметрически зависеть от и от .

Это преобразование будет переводить точки плоскости в точки по следующему правилу:

1. проведем прямую ;

2. - точка пересечения прямых и ; (рис. 2.3.1)

3. - точка на прямой такая, что (рис. 2.3.2).

Рис. 2.3.1 Рис. 2.3.2

Другими словами, от точки мы откладываем по прямой отрезок, равный по длине , но противоположный ему по направлению.

Рассмотрим три частных случая расположения точки .

1 случай: точка лежит между точками и .