Преобразования, повышающие порядок плоских алгебраических кривых

Рассмотрен выше - в определении - преобразования.

2 случай: точка лежит между точками и (рис. 2.3.3).

Построим точку такую, что (рис. 2.3.4).



Рис. 2.3.3 Рис. 2.3.4

3 случай: точка лежит между точками и (рис. 2.3.5).

Построим точку такую, что (рис. 2.3.6).

Рис. 2.3.5 Рис. 2.3.6

4 случай: точки и совпадают (рис. 2.3.7).

Построим точку такую, что (рис. 2.3.8).



Рис. 2.3.7 Рис. 2.3.8

Таким образом, при - преобразовании любая точка переходит в точку , т.е. .

Из самого определения следует, что - преобразование удобно задавать в полярных координатах: - начало, а перпендикуляр из точки к - полярная ось (рис. 2.3.9).

Рис. 2.3.9

Найдем формулы, по которым, зная координаты точки можно найти координаты точки .

, .

Пусть точка имеет полярные координаты . Полярный угол у точки такой ж, как и у прямой ,т.е. , а полярный радиус для точки равен . Тогда координаты точки вычисляются по формулам: . Следовательно, - преобразование в полярной системе координат записывается следующим образом: .

Выясним, как - преобразование записывается в декартовой системе координат: .

.

Таким образом

Значит, абсцисса преобразуется линейно, а ордината дробно-рационально.

Возможен более общий подход к определению С-преобразования. А именно, прямую можно заменить произвольной кривой , которая имеет уравнение в полярных координатах: . (Рис. 2.3.10).

В таком случае , и уравнение - преобразования в полярных координатах выглядит следующим образом:

.

Тогда

В общем случае, не имея никакой информации относительно функции , невозможно сделать какие-либо выводы относительно этого преобразования.

Рис. 2.3.10

Рассмотрим частный случай:

- окружность, - касательная к окружности, - точка, диаметрально противоположная точке касания. Получаем - циссоида (рис. 2.3.11).

Рис. 2.3.11

В предыдущем параграфе было показано, что подэрой кривой второго порядка является кривая третьего или четвертого порядка. Выясним теперь как при - отображении преобразуются кривые второго порядка.

Удобно будет использовать некоторый специальный способ записи уравнений кривых второго порядка. А именно, любую кривую второго порядка можно задать уравнением вида

. (2.3.1)

1) Ели , тогда уравнение (1) является уравнением эллипса;

2) , тогда уравнение (1) примет вид , что является уравнением параболы;

3) , тогда уравнение (1) является уравнением гиперболы;

4) , тогда уравнение (1) примет вид , что является уравнением двух пересекающихся прямых;

Докажем следующую теорему:

Теорема 2.3.1.

Если - преобразование производится относительно начала координат и прямой, перпендикулярной оси абсцисс, то образом кривой второго порядка будет кривая третьего порядка.

Доказательство теоремы 2.3.1.

Пусть кривая второго порядка в некоторой декартовой системе координат задана уравнением , и пусть прямая , относительно которой определено - преобразование, задается уравнением . (2.3.2)

От полярных координат перейдем к декартовым, т.е. .

Подставив эти уравнения в (2.3.1), получаем:

Следовательно в полярной системе уравнение (2.3.1) запишется в виде:

,

Так как уравнение прямой имеет вид: , то образ кривой (2.3.1) запишем уравнением

Помножим на обе части уравнения:



- уравнение кривой третьего порядка.

Таким образом, переходя к декартовой системе координат, получим: - общее уравнение циссоид второго порядка.

Теорема доказана.

Теорема 2.3.1'.

Если - преобразование производится относительно начала координат и произвольной прямой, то образом кривой второго порядка будет кривая третьего порядка.

Доказательство теоремы 2.3.1':

Пусть кривая второго порядка в некоторой декартовой системе координат задана уравнением , и пусть прямая , относительно которой определено - преобразование, задается уравнением . (2.3.3)

От полярных координат перейдем к декартовым, т.е. .

Подставив эти уравнения в (2.3.1), получаем:

Следовательно в полярной системе уравнение (2.3.1) запишется в виде:

,

Получим уравнение прямой в полярных координатах:

,

следовательно уравнение их циссоиды выразится равенством

- уравнение кривой третьего порядка.

Таким образом, переходя к декартовой системе координат, получим:

(4)

- общее уравнение циссоид второго порядка, если производящая прямая имеет вид .

Теорема доказана.

Рассмотрим частные случаи.

Покажем, что замечательную кривую «Декартов лист», можно получить из кривой второго порядка при некотором С-преобразовании.

Определение: Декартовым листом называется кривая третьего порядка, уравнение которой в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид

(Рис. 2.3.12) (2.3.4)

Рис. 2.3.12

Бывает полезным рассмотрение декартова листа в системе координат, повернутой на 45 градусов в положительном направлении. В такой системе координат осью абсцисс является ось симметрии декартова листа и сам декартов лист становится кривой, симметричной относительно оси абсцисс (рис. 2.3.13).

Возьмем точку на декартовом листе и найдем ее новые координаты в новой системе координат:

(2.3.5)



Рис. 2.3.13

Найдем уравнение Декартова листа в новой системе координат, для этого подставим (2.3.5) в (2.3.4), получим:

Получили уравнение декартова листа

, (2.3.6)

для которого ось симметрии принята за ось абсцисс.

Рассмотрим эллипс с полуосями и (рис. 2.3.14).

, , , ,

(2.3.7)

За производящую прямую для - преобразования возьмем вертикаль

(2.3.8)

Рис. 2.3.14

Из (2.3.7) и (2.3.1) найдем p и q: и

, , , ,

но из (2.3.8) , тогда ,

Подставим найденные данные в общее уравнение циссоиды кривых второго порядка:



- кривая третьего порядка

- уравнение кривой третьего порядка - декартова листа, см.(2.3.6).

Рассмотрим задачу, симметричную предыдущей. Найдем - преобразование эллипса с полуосями и (рис. 2.3.15).

Решение. , , , , Поэтому .

За производящую прямую для - преобразования возьмем прямую .

Найдем p и q: и

,

, ,



Рис. 2.3.15

Подставим найденные данные в общее уравнение циссоиды кривых второго порядка:

- уравнение кривой третьего порядка.

Задача 2.3.1. Найти циссоиду гиперболы с полуосями и относительно начала координат.

Решение

, , , ,

(2.3.9)

За производящую прямую возьмем прямую, выраженную уравнением

(2.3.10)

Из (2.3.9) и (2.3.1) найдем p и q: и

,

, ,

но из (2.3.10) , тогда ,

Подставим найденные данные в общее уравнение циссоиды кривых второго порядка:

(2.3.11)

- уравнение кривой третьего порядка. Покажем, что данное уравнение является уравнением замечательной кривой трисектрисы Лоншама.

Определение: Трисектрисой Лоншама называется кривая третьего порядка, уравнение которой в полярной системе координат имеет вид

. (2.3.12)

«Геометрический смысл»

Трисектриса Лоншама может быть определена как геометрическое место точек пересечения касательных к окружности радиуса равного , проведенных в точках и этой окружности, если эти точки являются концами дуг и , где - любой центральный угол, а точка фиксирована (рис 2.3.16).

Т.к. вписанные углы и , то , и - биссектриса , тогода и , получим .

В таком случае из прямоугольного треугольника :

,.

Преобразуем уравнение (2.3.11)

Перейдем к полярным координатам:



Рис. 2.3.16

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла:

получим: - уравнение трисектрисы Лоншама в полярных координатах.

Задача 2.3.1'. Найти циссоиду гиперболы с полуосями и относительно начала координат.

Решение

, , , ,

(2.3.13)

За вторую производящую функцию возьмем прямую, выраженную уравнением .

Из (2.3.13) и (2.3.1) найдем p и q: и

,

,

Подставим найденные данные в общее уравнение циссоиды кривых второго порядка:

- уравнение кривой третьего порядка.

Задача 2.3.2. Найти циссоиду параболы относительно начала координат и прямой, заданной уравнением . (Рис. 2.3.17)

Решение

Удобно радиус-векторы точек кривой определить не как разности, а как суммы соответствующих радиус-векторов точек прямой и параболы. При этом общее уравнение циссоид кривых второго порядка примет вид:



Рис. 2.3.17

В общем уравнении циссоиды кривых второго порядка положим , получим уравнение искомой циссоиды: - уравнение кривой третьего порядка, называемой смешанной кубикой (рис. 2.3.18).

Геккель показал, что эту замечательную кривую третьего порядка можно получить следующим образом:

1. пусть имеется парабола ;

2. проведем в произвольной точке касательную к этой параболе;

3. проведем прямую параллельно касательной ,

тогда геометрическое место точек касательной с ординатой точки будет смешанной кубикой .

Рис. 2.3.18

Задача 2.3.2'. Найти циссоиду параболы относительно начала отсчета и прямой, параллельной оси абсцисс, заданную уравнением . (Рис. 2.3.19)

Решение

Удобно радиус-векторы точек кривой определить не как разности, а как суммы соответствующих радиус-векторов точек прямой и параболы. При этом общее уравнение циссоид кривых второго порядка примет вид:

Рис. 2.3.19

В общем уравнении циссоиды кривых второго порядка положим , получим уравнение искомой циссоиды: - уравнение кривой третьего порядка.

2.4 Преобразования Маклорена

В действительности правильно было бы говорить о преобразованиях Маклорена, так как на самом деле речь идет о четырех параметрическом семействе преобразований плоскости.

Параметрами являются произвольная прямая и три точки , не лежащие на ней. Возьмем точку .



1. Найдем точку пересечения прямых и ;

2. проведем прямую ;

3. проведем прямую

4. Рассмотрим точку пересечения прямых из пунктов 2 и 3 ().

Преобразование Маклорена переводит каждую точку в точку , полученную по этому правилу.

Все построения могут быть выполнены одной линейкой. Другими словами, преобразование Маклорена является проективным.

Варьируя параметры , можно получить многопараметрическое семейство преобразований Маклорена (- преобразований).

Например, рассмотрим частный случай - преобразования, при котором один из параметров бесконечно удален: точка бесконечно удалена. В данном случае - преобразование оказывается центральным проектированием из точки на прямую, проходящую через точку параллельно прямой . Детальному изучению семейств - преобразования может быть уделена отдельная дипломная работа. Здесь мы рассмотрим некоторые частные случаи, связанные с рассмотренными выше кривыми. А именно, исследуем вопрос, в какие кривые при - преобразованиях переходят кривые второго порядка?



Теорема 2.4.1.

Строфоида может быть получена из окружности с помощью некоторого - преобразования.

Доказательство теоремы 2.4.1.

Рассмотрим случай, когда точка А лежит на заданной окружности, В является центром этой окружности, точка С бесконечно удалена в направлении, перпендикулярном к АВ, а - бесконечно удаленная прямая, в этом случае окружность преобразуется в строфоиду.

Проведем это построение: опишем его конкретно без бесконечно удаленных точек. В данном случае алгоритм определения - преобразования выглядит следующим образом. Из точки на окружность следует провести перпендикуляр к диаметру и провести секущую . Из центра следует провести прямую параллельную до пересечения с перпендикуляром из . Точка этого пересечения и будет точкой , в которую переходит точка при таком преобразовании Маклорена.



Докажем, что окружность перейдет в строфоиду.

Рассмотрим окружность радиуса с центром в точке . Запишем ее уравнение:

.

Преобразуем уравнение:

. (2.4.1)

Точка при данном - преобразовании перейдет в точку . Нужно показать, что геометрическое место точек образует строфоиду. Для этого необходимо выразить координаты точки , через известные координаты и точки .

По построению . Следовательно, остается найти координату .

Рассмотрим прямоугольные треугольники и . Они подобны по трем углам (так как гипотенузу параллельны, то соответственные острые углы - накрест лежащие).

Тогда . (2.4.2)

По построению ,

,

.

Тогда соотношение (2.4.2) примет вид: .

Возведем обе части этого равенства в квадрат и преобразуем, подставив из уравнения (2.4.1) вместо выражение , получим:

- уравнение строфоиды.

Таким образом, мы построили - преобразование точек окружности в точки строфоиды.

Теорема доказана.

Теорема 2.4.2.

Декартов лист может быть получен из окружности с помощью некоторого - преобразования.

Доказательство теоремы 2.4.2.

В третьем параграфе второй главы мы получили уравнение декартова листа

, (2.4.3)

для которого ось симметрии принята за ось абсцисс.

Пусть имеется окружность радиуса и центром в точке и прямая . Возьмем произвольную точку на этой окружности и проведем прямые и . Из точки пересечения прямой с прямой проводим прямую до ее пересечения в точке с прямой .

Таким образом, точке на окружности будет поставлена в соответствие точка . Заметим, что координаты точки можно записать в виде

где - угол, составляемый радиусом круга, проведенным в точку , с положительным направлением оси абсцисс.

Рассмотрим треугольник - равнобедренный (по построению ). Тогда , следовательно .

Из прямоугольного треугольника

: . (2.4.4)

Таким образом, ордината точки

.

Из прямоугольного треугольника

: . (2.4.5)

Из равенств (2.4.4) и (2.4.5):

.

- тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси , тогда уравнение прямой запишется в виде

. (2.4.6)

В то же время, уравнение прямой имеет вид . (2.4.7)

Исключая из уравнений (2.4.6) и (2.4.7) параметр , находим уравнение геометрического места точек :

Возведем обе части уравнения (2.4.6) в квадрат

,

Из уравнения (2.4.7)

, тогда

.

Подставив значение в выражение для , получаем уравнение геометрического места точек в виде:

Сопоставив данное уравнение с уравнением (2.4.3), заключаем, что найденное геометрическое место точек является декартовым листом.

Таким образом, мы построили - преобразование точек окружности в точки декартова листа.

Теорема доказана.

Заключение

В данной дипломной работе было проведено исследование на тему «Преобразования, повышающие порядок плоских алгебраических кривых».

Основной целью работы являлось нахождение взаимосвязей между алгебраическими кривыми второго порядка и третьего порядка. В дипломе изучены некоторые нелинейные отображения плоскости, при которых кривые второго порядка переходят в кривые третьего (или четвертого) порядка. А именно:

переход к подэре: (кратко, - преобразование);

циссоидальное преобразование: (кратко, - преобразование);

преобразование Маклорена: (кратко, - преобразование).

В работе показано, что циссоида является подэрой параболы относительно ее вершины. Более точно: если в каждой точке параболы провести к ней касательную и затем из вершины параболы опустить перпендикуляр на касательную, то геометрическое место всех полученных оснований перпендикуляров будет циссоидой. Так же рассмотрены подэры параболы относительно других точек плоскости и - преобразования других кривых второго порядка относительно произвольных точек плоскости. Из рассмотренных задач становится ясно, что подэрой любой кривой второго порядка является кривая либо третьего, либо четвертого порядка.

В параграфе, посвященном - преобразованиям, показано, что всякое циссоидальное преобразование относительно прямой и не лежащей на ней точке переводит произвольную кривую второго порядка в кривую третьего порядка. Например, при некотором - преобразовании из кривой второго порядка можно получить такие кривые третьего порядка, как циссоида, Декартов лист, трисектриса Лоншама, смешанная кубика и др. В последнем параграфе показано, как с помощью - преобразований из простейшей кривой второго порядка - окружности, получить кривые третьего порядка - строфоиду и декартов лист. Основные цели работы выполнены.

Библиография

1. Адлер, А. Теория геометрических построений. [Текст]. / Август Адлер. 3-е изд., стереотип.-- Л.: Учебно-педагогическое издательство НАРКОМПРОСА РСФСР, 1940.-- 230 с.: ил.

2. Акопян, А.А. Геометрические свойства кривых второго порядка. [Текст] : Учебник. / А.А. Акопян, А. В. Заславский. -- М.: МЦНМО, 2007.-- 340 с.

3. Атанасян, Л.С. Аналитическая геометрия. Ч.1. Аналитическая геометрия на плоскости. [Текст] : Учебник для студентов физико-математических факультетов во специальности «Математика». / Л.С. Атанасян. -- М.: Просвещение, 1967. -- 298с.: ил.

4. Атанасян, Л.С. Аналитическая геометрия. Ч.2. Аналитическая геометрия в пространстве. [Текст] : Учебник для студентов физико-математических факультетов во специальности «Математика». / Л.С. Атанасян. -- М.: Просвещение, 1970. -- 366с.: ил.

5. Баврин, И.И. Высшая математика [Текст]: Учеб. для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов / И.И Баврин. - М.: Издательский центр «Академия»: Высшая школа, 2000. - 616 с.

6. Головлева, Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения [Текст] : Учебное пособие для студентов вузов и естественно-научных факультетов университетов. / Л.И. Головлева.-- 2-е изд., дополненное.-- М.: Наука, 1975.-- 402 с.: ил.

7. Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках. Текст] : Учебное пособие для студентов вузов. / С.Г. Гиндикин. -- 3-е изд., расширенное. - М.: МЦНМО,

2001. - 448 с.

8. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике [Текст] : Справочник. / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. -- М.: ТетраСистемс, 1999.-- 640 с.

9. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Ч.2. Линейная алгебра. [Текст] : Учебное пособие для студентов вузов. / А.И. Констрикин.-- М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.-- 367 с.: ил.

10. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа (в трёх томах) [Текст]: Учебник для студентов университетов и втузов. Л.Д. Кудрявцев-- М.: Высш. школа, 1981, т.I. - 687 с., ил.

11. Маркушевич, А.И. Замечательные кривые [Текст] : Популярные лекции по математике / А.И. Маркушевич. -- М.: Гостехиздат, 1952.-- 32 с.

12. Математический энциклопедический словарь математики [Текст] : Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Л.Д. Кудрявцев, А.П. Юшкевич и др.; Под ред. А.М. Прохорова. М.: Советская энциклопедия, 1988.-- 292 с.

13. Мордкович, А.Г. Математический анализ [Текст]: Учебное пособие / А.Г. Мордкович, А.С. Солодовников. - Переизд. - М.: Вербум-М, 2000. - 416 с.: ил.

14. Никольский, С.М. Курс математического анализа [Текст]: Учебник для вузов / С.М. Никольский. - 5-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 592с.

15. Пархоменко, А.С. Что такое линия. [Текст]. / А.С.Пархоменко. -- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.-- 140 с.: ил.

16. Савелов, А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. [Текст] : Справочное руководство. / А.А. Савелов.-- М.: Физматгиз, 2002. -- 294с.: ил.

17. Смогоржевский, А.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка ». / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. -- М.: ФИЗМАТГИЗ, 1961.-- 264 с.: ил.

18. Хрестоматия по истории математики [Текст] : Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / И.Г. Башмакова, Ю.А.Белый, С.С. Демидов и др.; Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1976.-- 318 с.: ил.

19. Шикин, Е.В. Кривые на плоскости и в пространстве [Текст] : Справочник с приложением дискеты «Плоские кривые». / Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. -- М.: ФАЗИС, 1997.-- 336 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru