Рис. 18.

для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

(17)

Постараемся выбрать теперь число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия:

а) Если функция принадлежит семейству , то функция (см. (10), (11)) также принадлежит семейству .

б) Существует такое число , что для любых двух функций семейства , имеет место неравенство

(18)

Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция при-надлежала семейству , необходимо и достаточно, чтобы при было выполнено неравенство:

.

В силу (10), (5) и (15) мы имеем:

.

Из этого видно, что при

(19)

условие а) выполнено.

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

. (20)

Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь неравенствами (6) и (15):

. (21)

Из (20) и (21) следует

Таким образом, условие б) выполнено, если

, (22)

где .

Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (16), (19), (22) (которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то для семейства выполнены условия а) и б).

Построим теперь последовательность векторных функций

, (23)

определенных на отрезке , положив

(24)

Так как функция принадлежит семейству , то и все функции последовательности (23) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (17)):

В силу (18) получаем:

,

отсюда

. (25)

Таким образом, в силу В) последовательность (23) равномерно сходится к некоторой непрерывной функции , принадлежащей семейству . Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (12). Для этого заметим, что последовательность

Равномерно сходится к функции ; действительно, мы имеем (см. (18))

.

Переходя в соотношении (24) к приделу при , получаем:

.

Итак, существование решении уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию (8), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где r - произвольное число; удовлетворяющее неравенствам (16), (19), (22).

Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть и - два решения уравнения (3) с общими начальными значениями и -- интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений и ; очевидно, что . Покажем, что если решения и совпадают в некоторой точке интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где r - достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины могут быть приняты за начальные значения обоих решений и . В этом смысле точка ничем не отличается от точки и потому мы сохраним за точкой обозначение ; это позволит нам сохранить и другие прежние, обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (3) к интегральному уравнению (9), мы получаем для обеих функций и интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде:

. (26)

Выберем теперь, как и прежде, в множестве Г множество П с цент-ром в точке (см, неравенства (14)), содержащееся в Г, а затем множество таким образом, чтобы число r, кроме не-равенств (16), (19), (22), удовлетворяло еще тому условию, что при функции и определены и удовлетворяют неравенствам:

, .

Это возможно, так как функции и непрерывны. Тогда функции и , рассматриваемые на, отрезке , входят в семейство и, следовательно, в силу неравенства (18) и соотношений (26), получаем:

,

а это возможно только тогда, когда , т.е. когда функций и совпадают на отрезке .

Докажем теперь, что функции и совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, именно, что существует точка интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что . Обозначим через N множество всех тех точек отрезка , для которых , и докажем, что множество N замкнуто. В самом деле, пусть -- последовательность точек множества N, сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций и ,

,

т.е. точка также принадлежит множеству N.

Обозначим через точную верхнюю грань множества N. Так как N замкнуто, то принадлежит этому множеству, т. е ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции и должны совпадать на некотором интервале , и точка не может быть точной верхней гранью множества N. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Итак, теорема 2 доказана.

§ 14. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки

Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Например, бывает важно знать, являются ли решения, удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функции и т.д. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений.

Одним из основных вопросов качественной теории является вопрос об устойчивости решения или об устойчивости движения; этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918).

Пусть дана система дифференциальных уравнений

. (1)

Пусть и - решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям

(1')

Пусть далее, и - решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям

(1”)

Решения и , удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям (1'), называются устойчивыми по Ляпунову при , если для каждого как угодно малого можно указать такое, что при всех значениях будут выполняться неравенства

(2)

если начальные данные удовлетворяют неравенствам

(3)

Выясним смысл этого определения. Из неравенств (2) и (3) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях . Если система дифференциальных уравнений является системой, описывающей некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных.

Рассмотрим, далее, систему линейных дифференциальных уравнений

(4)

Будем предполагать, что коэффициенты постоянные, при этом очевидно, что есть решение системы (4), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение было устойчиво. Это исследование проводится так.

Дифференцируем первое уравнение и исключаем и на основании уравнений системы:

или

. (5)

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5) имеет вид

(6)

Это уравнение принято записывать в виде определителя

(7)

Обозначим корни характеристического уравнения (7) через и . Как мы увидим ниже, устойчивость или неустойчивость решений системы (4) определяется характером корней и .

Рассмотрим все возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные: . Из уравнения (5) находим

Зная х, из первого уравнения (4) находим у. Таким образом, решение системы (4) имеет вид:

(8)

Если g = 0 и , то уравнение (5) мы составим для функции у. Найдя у, из второго уравнения системы (4) находим х. Структура решений (8) сохранится. Если же g = 0, а=0, то решение системы уравнений принимает вид:

(8')

Анализ характера решений в этом случае производится проще.

Подберем и так, чтобы решения (8) удовлетворяли начальным условиям

Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет

(9)

Из последних равенств следует, что при любом можно выбирать и столь малыми, что для всех t > 0 будет , так как .

Отметим, что в данном случае

(10)

В случае решений (9) особая точка называется устойчивым узлом (рис.9 а). Говорят, что точка, неограниченно приближается к особой точке при .

II. Корни характеристического уравнения действительные, положительные, различные: . В этом случае решения выражаются также формулами (8) и соответственно (9). Но в данном случае при как угодно малых и будет при , так как и при . На фазовой плоскости особая точка - неустойчивый узел: при точка на траектории удаляется от точки покоя х = 0, у = 0 (рис. 9 б).

III. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, например, . Из формул (9) следует, что при как угодно малых и , если , будет при . Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом (рис. 10).

IV. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью: . Решение системы (4) будет

(11)

Если ввести обозначение

то уравнения (11) можно переписать в виде

(12)

где и - произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий , при t = 0, причем

откуда находим

(13)

Снова заметим, что если g=0, то вид решения будет несколько иной, но характер анализа не изменится. Очевидно, что при любом при достаточно малых и будут выполняться соотношения

.

Решение устойчиво. В данном случае при

и ,

неограниченное число раз меняя знаки. На фазовой плоскости особая точка называется устойчивым фокусом (рис. 13 а).

V. Корни характеристического уравнения комплексные с положительной действительной частью: . В этом случае решение также выразится формулами (11), где . При любых начальных условиях и и при величины и могут принимать как угодно большие значения. Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограниченно удаляется от начала координат (рис. 13 б).

VI. Корни характеристического уравнения чисто мнимые: . Решение (11) в этом случае примут вид

(14)

Постоянные и определяются по формулам (13):

(15)

Очевидно, что при любом и при всех достаточно малых и будет при любом t. Решение устойчиво. Здесь х и у - периодические функции от t.

Чтобы произвести анализ интегральных кривых на фазовой плоскости, целесообразно первое из решений (14) записать в в следующем виде (см. (12)):

(16)

где С, - произвольные постоянные. Из выражений (16) следует, что х и у - периодические функции от t. Исключаем параметр t из уравнений (16):

Освобождаясь от радикала, получим

(17)

Это семейство кривых 2-го порядка (кривые действительные), зависящих от произвольной постоянной С. Каждая из них не имеет неограниченно удаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с=0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром (рис. 14).

VII. Пусть . Решение (8) в этом случае принимает вид

(18)

Очевидно, что при любом и при достаточно малых и будет , при t > 0. Следовательно, решение устойчиво.

VIII. Пусть . Из формул (18) или (8') следует, что решение неустойчиво, так как при .

IX. Пусть . Решение будет

(19)

Так как и при , то для любого можно подобрать и такие (путем выбора и ), что будет при любом t > 0. Следовательно, решение устойчиво. При этом и при .

Заметим, что в случае форма решения (18) сохраняется, но при

.

Решение неустойчиво.

X. Пусть . Тогда

(20)

Откуда видно, что и при . Решение неустойчиво.

Чтобы дать общий критерий устойчивости решения системы (4), поступим следующим образом.

Запишем корни характеристического уравнения в форме комплексных чисел:

(в случае действительных корней и ).

Возьмем плоскость комплексной переменной и будем изображать корни характеристического уравнения точками на этой плоскости. Тогда на основании рассмотренных случаев условие устойчивости решения системы (4) можно сформулировать следующим образом.

Если ни один из корней характеристического уравнения (6) не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво; если же хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси или оба корня равны нулю, то решение неустойчив (рис.19).

А.М. Ляпунов исследовал вопрос об устойчивости решений систем уравнений при довольно общих предположениях относительно вида этих уравнений.

В теории колебаний часто рассматривают уравнение

(21)

Обозначим

(22)

Тогда получаем систему уравнений

(23)

Фазовой плоскостью для этой системы будет плоскость . Траектории на фазовой плоскости дают геометрическое изображение зависимости скорости от координаты х и наглядно качественно характеризуют изменение х и . Если точка х = 0, = 0 является особой точкой, то она определяет положение равновесия.

Так, например, если особая точка системы уравнений есть центр, т. е. Траектории на фазовой плоскости представляют собой замкнутые линии, окружающие начало координат, то движения определяемые уравнением (21), - незатухающие колебательные движения. Если особая точка фазовой плоскости есть фокус (при этом при ), то движения, определяемые уравнением (21), - затухающие колебания. Если особая точка есть узел или седло (и это единственная особая точка), то при . В этом случае движущаяся материальная точка уходит в бесконечность.

Если уравнение (21) линейное вида , то система (23) имеет вид

Это система вида (4). Точка х = 0, = 0 есть особая точка, она определяет положение равновесия. Отметим, что переменная ч - не обязательно механическое перемещение точки. Она может иметь различный физический смысл, например, обозначать величину, характеризующую электрические колебания.

ГЛАВА IV. ПРАКТИЧЕСКИЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

(1)

Решение. Будем искать частное решение системы в следующем виде:

(2)

Требуется определить постоянные и k так, чтобы функции удовлетворяли системе уравнений (1). Подставляя их в систему (1), получим

,

,

,

.

Сократим на . Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при , получим систему уравнений

(3)

Выберем и k такими чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно . Составим определитель системы (3):

(4)

Нетривиальные решения (2) мы получим только при таких k , при которых определитель (4) обращается в ноль. Мы приходим к уравнению пятого порядка для определения k:

,

или

.

Находим корни этого уравнения, используя математическую программу Mach Cad

Для каждого корня (i=1, 2, 3, 4, 5) напишем систему (3) и определим коэффициенты . Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице.

Для корня составим систему (3):

Пусть =1, тогда получаем систему:



Решим эту систему с помощью программы реализующей метод Гаусса (см. приложение.)

Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса

Введите порядок матрицы системы (max. 10)

> 4

Введите расширенную матрицу системы

A 1 2 3 4 b

1 8.6 3 0 1 1

2 3 4.6 3 0 -2

3 -8 0 -1.4 3 7

4 4 -6 9 -6.4 1

Результат вычислений по методу Гаусса

1 = 2.4834281139E-01

2 = -1.6215428632E+00

3 = 1.5713562455E+00

4 = 3.7288804116E+00

Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня решение системы (1):

Для корня составим систему (3):

Пусть =1, тогда получаем систему:

Решим эту систему с помощью программы реализующей метод Гаусса (см. приложение.)

Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса

Введите порядок матрицы системы (max. 10)

> 4

Введите расширенную матрицу системы

A 1 2 3 4 b

1 0.3 3 0 1 1

2 3 -3.7 3 0 -2

3 -8 0 -9.7 3 7

4 4 -6 9 -14.7 1

Результат вычислений по методу Гаусса

1 = 1.2357323071E+01

2 = 5.8924432138E-01

3 = -1.2297255075E+01

4 = -4.4749298856E+00

Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня решение системы (1):

Для корня составим систему (3):

Пусть =1, тогда получаем систему:

Решим эту систему с помощью программы реализующей метод Гаусса (см. приложение.)

Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса

Введите порядок матрицы системы (max. 10)

> 4

Введите расширенную матрицу системы

A 1 2 3 4 b

1 -9.1 3 0 1 1

2 3 -13.1 3 0 -2

3 -8 0 -19.1 3 7

4 4 -6 9 -24.1 1

Результат вычислений по методу Гаусса

1 = -1.1863988144E-01

2 = 4.5529392393E-02

3 = -3.5073275152E-01

4 = -2.0434711016E-01

Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня решение системы (1):

Для корня составим систему (3):



Пусть =1, тогда получаем систему:

Решив эту систему методом Гаусса, получим:

Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня решение системы (1):

Для корня составим систему (3):

Пусть =1, тогда получаем систему:

Решив эту систему методом Гаусса, получим:

Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня решение системы (1):

Выпишем комплексное решение



Решением будут действительные и мнимые части:



Теперь можем написать общее решение

Исследуем устойчивость решения системы (1). Корни характеристического уравнения

Для того, чтобы решение было устойчивым необходимо чтобы все действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными. В данном случае положительные. Отсюда делаем вывод, что решение системы (1) неустойчиво.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследовательской работы были рассмотрены линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и один из методов их решения - метод исключения. Также были рассмотрены автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Было проведено исследование фазовой плоскости линейных систем второго порядка. В работе приведены доказательства теорем существования и единственности как для одного уравнения, так и для нормальной системы уравнений. В ходе исследовательской работы было рассмотрено лишь понятие об устойчивости решений, не были рассмотрены важнейшие теоремы устойчивости, что является темой для дальнейшего исследования. В каждом параграфе приведены примеры, что значительно облегчает понимание темы.

Характерным для данной работы является то, что многие важные утверждения и их доказательства приведены в виде предложений или примеров, обозначенных А), Б), и т.д. Поэтому при изучении некоторых тем игнорирование этих примеров нежелательно, так как они используются при доказательстве основных теорем.

В практической части работы было найдено общее решение системы дифференциальных уравнений



При решении этой системы была использована программа Mach Cad, составлена программа реализующая метод Гаусса на языке программирования Паскаль. При исследовании решения системы было выяснено, что решение системы не устойчиво.

ЛИТЕРАТУРА

1. Видаль П. Нелинейные импульсные системы: Монография: Пер. с фр. - М.: энергия, 1994. - 336с.

2. Гукасов Н.А. Механика жидкости и газа: Учеб. пособие для вузов. - М.: 1996. - 443с.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: - 5-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. - 576с.

4. Мудров А.Е.Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик. МП “Раско”, Томск, 1991 г.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: Учеб. пособие для втузов. - 13-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 560 с.

6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: - 4-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. - 332с.

7. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учеб. пособие. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1987.

8. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов/ Под ред. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. - М.: Просвещение, 1990.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Описание алгоритма. В данной программе реализован метод Гаусса со схемой частичного выбора.

В переменную n вводится порядок матрицы системы. С помощью вспомогательной процедуры ReadSystem в двумерный массив a и одномерный массив b вводится c клавиатуры расширенная матрица системы, после чего оба массива и переменная n передаются функции Gauss. В фукции Gauss для каждого k-го шага вычислений выполняется поиск максимального элемента в k-м столбце матрицы начинаяя с k-й строки. Номер строки, содержащей максимальный элемент сохраняеется в переменной l. В том случае если максимальный элемент находится не в k-й строке, строки с номерами k и l меняются местами. Если же все эти элементы равны нулю, то происходит прекращение выполнения функции Gauss c результатом false. После выбора строки выполняется преобразование матрицы по методу Гаусса. Далее вычисляется решение системы и помещается в массив x. Полученное решение выводится на экран при помощи вспомогательной процедуры WriteX.

Листинг программы

Uses CRT;

Const

maxn = 10;

Type

Data = Real;

Matrix = Array[1..maxn, 1..maxn] of Data;

Vector = Array[1..maxn] of Data;

{ Процедура ввода расширенной матрицы системы }

Procedure ReadSystem(n: Integer; var a: Matrix; var b: Vector);

Var

i, j, r: Integer;

Begin

r := WhereY;

GotoXY(2, r);

Write('A');

For i := 1 to n do begin

GotoXY(i*6+2, r);

Write(i);

GotoXY(1, r+i+1);

Write(i:2);

end;

GotoXY((n+1)*6+2, r);

Write('b');

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to n do begin

GotoXY(j * 6 + 2, r + i + 1);

Read(a[i, j]);

end;

GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r + i + 1);

Read(b[i]);

end;

End;

{ Процедура вывода результатов }

Procedure WriteX(n :Integer; x: Vector);

Var

i: Integer;

Begin

For i := 1 to n do

Writeln('x', i, ' = ', x[i]);

End;

{ Функция, реализующая метод Гаусса }

Function Gauss(n: Integer; a: Matrix; b: Vector; var x:Vector): Boolean;

Var

i, j, k, l: Integer;

q, m, t: Data;

Begin

For k := 1 to n - 1 do begin

{ Ищем строку l с максимальным элементом в k-ом столбце}

l := 0;

m := 0;

For i := k to n do

If Abs(a[i, k]) > m then begin

m := Abs(a[i, k]);

l := i;

end;

{ Если у всех строк от k до n элемент в k-м столбце нулевой,

то система не имеет однозначного решения }

If l = 0 then begin

Gauss := false;

Exit;

end;

{ Меняем местом l-ую строку с k-ой }

If l <> k then begin

For j := 1 to n do begin

t := a[k, j];

a[k, j] := a[l, j];

a[l, j] := t;

end;

t := b[k];

b[k] := b[l];

b[l] := t;

end;

{ Преобразуем матрицу }

For i := k + 1 to n do begin

q := a[i, k] / a[k, k];

For j := 1 to n do

If j = k then

a[i, j] := 0

else

a[i, j] := a[i, j] - q * a[k, j];

b[i] := b[i] - q * b[k];

end;

end;

{ Вычисляем решение }

x[n] := b[n] / a[n, n];

For i := n - 1 downto 1 do begin

t := 0;

For j := 1 to n-i do

t := t + a[i, i + j] * x[i + j];

x[i] := (1 / a[i, i]) * (b[i] - t);

end;

Gauss := true;

End;

Var

n, i: Integer;

a: Matrix ;

b, x: Vector;

Begin

ClrScr;

Writeln('Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса');

Writeln;

Writeln('Введите порядок матрицы системы (макс. 10)');

Repeat

Write('>');

Read(n);

Until (n > 0) and (n <= maxn);

Writeln;

Writeln('Введите расширенную матрицу системы');

ReadSystem(n, a, b);

Writeln;

If Gauss(n, a, b, x) then begin

Writeln('Результат вычислений по методу Гаусса');

WriteX(n, x);

end

else

Writeln('Данную систему невозможно решить по методу Гаусса');

Writeln;

End.