• Содержание
• Введение
• 1. Линейные системы
• 1.1 Предварительные определения и обозначения
• 1.2 Линейные однородные системы
• 1.3 Неоднородные линейные системы
• 1.4 Линейные системы с постоянными коэффициентами
• 1.5 Линейные системы с периодическими коэффициентами
• 2. Линейные дифференциальные уравнения
• 2.1 Линейные дифференциальные уравнения порядка n
• 2.2 Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами
• 2.3 Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем
• 3. Решение задач
• Заключение
• Список литературы

Введение

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.

Таким образом, большинство физических явлений описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции под знаком производной или дифференциала.

В работе рассматриваются понятия простейших дифференциальных уравнений, а также линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка и систем таких уравнений. Особое внимание уделяется изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных уравнений.

Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения.

Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение.

Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения простейших обыкновенных дифференциальных уравнений , качественное исследование решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения их явного вида.

Цель дипломной работы - изучить понятие линейных дифференциальных уравнений.

В связи с поставленной целью необходимо выполнить следующие задачи:

1) Рассмотреть понятие линейных систем;

2) Изучить линейные дифференциальные уравнения различных порядков, в том числе с аналитическими коэффициентами;

3) Решить предложенные практические задания.

1. Линейные системы

1.1 Предварительные определения и обозначения

Пусть А = (a_ij) - квадратная матрица порядка n, где a_ij - комплексные числа. Определим норму А следующим образом:

. (1.1)

Если n-мерный вектор х представлять как матрицу с n строками и одним столбцом, то норма вектора совпадает с нормой x, определенной по формуле (1). Легко видеть, что норма обладает следующими свойствами:

(I) |A+B| |A|+|B|,

(II) |AB| |A|*|B|,

(III) |Ax| |A|*|x|,

где А и В - матрицы, х - n-мерный вектор.

По определению, расстояние между двумя матрицами А и В равно |A-B|, и это расстояние удовлетворяет обычным свойствам метрики.

Нулевая матрица будет обозначаться через О, единичная - через Е. В случае опасности смешения размерностей эти квадратные матрицы порядка n будут обозначаться соответственно через О_n и Е_n.

Заметим, что | О_n | = 0 и | Е_n | = n, а не 1.

Комплексно сопряженной матрицей для А = (a_ij) называется матрица , где - комплексно сопряженные числа для a_ij. Транспонированная матрица обозначается через и определяется так: . Сопряженная матрица для А определяется так: . Заметим, что |A*|=||=||=|A|. Далее, (АВ)*=В*А*. Определитель матрицы А обозначается как det А.

Если det А = 0, то матрица А называется особой. Не особая матрица имеет обратную матрицу А^-1, которая удовлетворяет соотношениям

А А-1 = А-1А = Е.

Многочлен det (лЕ-А) степени n от л называется характеристическим многочленом для матрицы А, а его корни - характеристическими корнями А. Если эти корни обозначены л_i (i = 1, …, n), то

det (лЕ-А) =

Две квадратные матрицы А и В порядка n называются подобными, если существует Неособая квадратная матрица Р порядка n, такая что

В = РАР-1.

Если А и В подобны, то они имеют один и тот же характеристический многочлен, ибо

det (лЕ-В) = det (Р(лЕ-А)Р^-1)= det Р* det (лЕ-А)* det Р^-1= det (лЕ-А).

В частности, коэффициенты многочлена det (лЕ-А) при степенях л инвариантны относительно преобразования подобия. Два наиболее важных инварианта - det А и sp A - определитель и след А соответственно.

Приведем следующий фундаментальный результат о канонической форме матрицы.

Теорема 1.1 Каждая квадратная матрица А порядка n и подобная матрица вида

где J₀ - диагональная матрица с элементами л₁, л₂,…, л_q и

(i = 1, …, s).

Здесь л_j , j = 1, …, q+s, - характеристические корни А, не обязательно различные. Если л_j - простой корень, то он встречается в J₀ и поэтому, если все корни различны, А подобна диагональной матрице

Из теоремы 1.1 непосредственно следует, что

det А = , sp A =

где произведение и сумма распространены на все корни, причем каждый корень считается столько раз, каков а его кратность. Матрицы J_i имеют вид

J_i = л_q+iЕ_ri+Z_i ,

где J_i - квадратная матрица порядка r_i и

Матрицы J_i можно представить также в виде л_q+iЕ_ri+гZ_i, где г - любая постоянная, отличная от нуля.

Последовательность матриц {А_m} имеет своим пределом А, если для любого е > 0 существует такое целое число N, что при p, q > N

|A_q - A_p| <е.

Очевидно, что последовательность {А_m} сходится в том и только в том случае, когда сходится каждая из последовательностей компонент, а отсюда следует, что {А_m} сходится в том и только в том случае, когда существует предельная матрица, к которой и сходится эта последовательность.

Бесконечный ряд

называется сходящимся, если сходится последовательность частных сумм, а суммой ряда называется предельная матрица для частных сумм. Важное значение при изучении линейных уравнений имеет специальный ряд, который называется экспонентной матрицей А, а именно:

(1.2)

где А_m есть m-я степень А. Ряд, определяющий е^А, сходится для всех А, июо для любых положительных целых p и q

а последнее выражение есть разность Коши для ряда е^А, сходящегося для всех конечных |A|. Далее,

|е^А|(n-1) + е^|А|. (1.3)

Для матриц, вообще говоря, равенство е^А+В = е^А е^В неверно. Это равенство верно, если А и В коммутируют. Далее будет показано, что

det е^А = е^spА, (1.4)

и поэтому е^А есть неособая матрица для всех А. Так как -А коммутирует с А, то е^-А = (е^А)^-1.

Каждая матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению det (лЕ-А) = 0, и это замечание часто бывает полезно для эффективного вычисления е^А.

Пусть В - неособая матрица. Покажем, что существует матрица А (называемая логарифмом В), такая, что е^А = В. В самом деле, если в имеет каноническую форму J теоремы 1, то А, очевидно, можно представить в виде

при условии, что е^Аi = J_j, j = 0, 1, …, s. Легко также проверить, что А₀ можно представить в виде

Далее,

где Z_j - нильпотентная матрица, определенная в теореме 1.1. так как высшие степени Z_j равны нулю, то ряд

содержит лишь конечное число членов и поэтому сходится. Положим, по определению, сумму этого ряда, который на самом деле является многочленом от, равной

Таким образом,

есть многочлен от . С другой стороны. Из тождества

(|x| < 1)

следует после приведения справа подобных членов, коэффициенты при х^k, k2, равны нулю, а коэффициент при х равен единице. Отсюда следует тот же результат для F, и поэтому

Отсюда легко получаем, что А_j можно представить в виде

Пользуясь тем, что для каждой матрицы М

(PMP^-1)^k = PM ^k P^-1 (k = 1, 2, …),

нетрудно видеть, что

Отсюда следует, что результат, полученный для канонической матрицы В, переносится на произвольную неособую матрицу В. В самом деле, если J = e^A и B = PJP^-1, то В = , где = PАP^-1. естественно, что матрица А не единственна.

Если Ф - произвольная квадратная матрица порядка n из функций, определенная на действительном i-интревале I (элементы матрицы могут быть действительными или комплексными функциями), то Ф называется непрерывной, дифференцируемой ли аналитической на I, если все элементы Ф соответственно непрерывны, дифференцируемы или аналитичны на I. Если Ф на I дифференцируема, то через обозначается произвольная матрица. Заметим, что если матрицы Ф, Ш дифференцируемы, то

(1.5)

и, вообще говоря, .

Если в точке t производная матрица (t) существует и матрица Ф - неособая, то матрица Ф^-1 в точке t дифференцируема. Это следует из равенства

где , а - алгебраические дополнения элементов . Из равенств (1.5) и Ф Ф^-1=Е следует, что

(1.6)

Если матрица А на t-интервале I непрерывна и Ф удовлетворяет уравнению (t) = А(t)Ф(t), то

(1.7)

а в интегральной форме

(1.8)

1.2 Линейные однородные системы

Пусть А - непрерывная квадратная матрица порядка n, элементами которой служат непрерывные комплексные функции, определенные на t-интервале I. Линейная система

(ЛО)

Называется линейной однородной системой порядка n. Для любого о и для фI существует единственное решение ц системы (ЛО) на интервале I, удовлетворяющее условию ц(ф) = о. Замечание: если каждый элемент матрицы А измерим на I и

, (*)

где m интегрируема по Лебегу на I, то существует единственное решение ц системы (ЛО), удовлетворяющее условию ц(ф) = о. В дальнейшем будем полагать, что для А выполняется по крайней мере условие (*).

Нулевая вектор-функция на I является решением системы (ЛО). Это решение называется тривиальным. Если решение системы (ЛО) равно нулю для некоторого , то в силу теоремы единственности оно равно нулю тождественно на I.

Теорема 2.1. Множество всех решений системы (ЛО) на интервале I образует n-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел.

Доказательство. Если ц₁ и ц₂ - решения (ЛО) и с₁ , с₂ - комплексные числа, то с₁ц₁ + с₂ц₂ также является решением (ЛО). Это показывает, что решения образуют векторное пространство.

Чтобы доказать, что это пространство n-мерно, следует показать, что существует n линейно зависимых решений ц₁ , ц₂ , …, ц_n , таких, что каждое другое решение системы (ЛО) есть линейная комбинация (с комплексными коэффициентами) этих ц_i . Пусть о_i , i=1, 2, …, n - линейно независимые векторы n-мерного х-пространства. Например, за о_i можно взять вектор со всеми компонентами, равными нулю, кроме i-й, которая равна 1. Тогда, по теореме существования, если , то существуют решения ц_i, i=1, 2, …, n, системы (ЛО), для которых ц_i(ф) = о_i . Покажем, что эти решения удовлетворяют поставленному выше условию.

Если бы решения ц_i были линейно зависимы, то существовали бы n комплексных чисел , не равных одновременно нулю и таких, что

.

Отсюда следует равенство

противоречащее предположению о том, что векторы о_i линейно независимы.

Если ц - некоторое решение (ЛО) на I, такое, что ц(ф)=о , то можно найти (единственным образом определенные) постоянные с_i , удовлетворяющие равенству

,

ибо векторы о_i образуют базис n-мерного х-пространства. Поэтому функция

есть решение (ЛО), принимающее при t = ф значение о, и, следовательно, в силу теоремы единственности

Итак, каждое решение ц есть (единственная) линейная комбинация ц_i и теорема 2.1 полностью доказана.

Всякое множество ц₁ , ц₂ , …, ц_n линейно зависимых решений системы (ЛО) называется базисом или фундаментальным множеством решений системы (ЛО).

Если Ф - матрица, n столбцов которой являются n линейно независимыми решениями (ЛО) на I, то Ф называется фундаментальной матрицей системы (ЛО). Очевидно, Ф удовлетворяет матричному уравнению

. (2.1)

Под матричным дифференциальным уравнением, соответствующим системе (ЛО) на I, подразумевается задача отыскания квадратной матрицы Ф порядка n, столбцы которой являются решениями системы (ЛО) на I. Эта задача обозначается так:

. (2.2)

Матрица Ф называется решением задачи (2.2) на I, и Ф удовлетворяет уравнению (2.1). Из теоремы 2.1. следует, что зная фундаментальную матрицу системы (ЛО), которая является, разумеется, частным решением уравнения (2.2), мы будем знать полную систему решений системы (ЛО).

Теорема 2.2. Для того, чтобы решение-матрица уравнения (2.2) была фундаментальной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы det Ф(t) 0 для .

Замечание. Если det Ф(t) 0 для некоторого , то в силу (1.8) det Ф(t) 0 для всех t.

Доказательство теоремы 2.2. Пусть Ф - фундаментальная матрица, столбцами которой являются векторы ц_j , и пусть ц - некоторое нетривиальное решение системы (ЛО). В силу теоремы 2.1 существуют единственным образом определенные постоянные с₁ , с₂ , …, с_n , не равные все нулю и такие, что

или, выражая при помощи матрицы Ф,

где с - вектор-столбец с элементами с₁ , с₂ , …, с_n . Это соотношение при каждом есть система n линейных уравнений с неизвестными с₁ , с₂ , …, с_n , имеющая единственное решение для каждого ц(ф). Поэтому det Ф(ф) 0 и, по сделанному выше замечанию, det Ф(t) 0 для каждого . Заметим, что это доказывает линейную независимость векторов-столбцов фундаментальной матрицы для каждого .

Наоборот, пусть Ф - матрица-решение уравнения (2.2) и пусть det Ф(t) 0 для каждого . Таким образом, векторы-столбцы матрицы Ф линейно независимы для каждого .

Матрица из векторов-столбцов может иметь определитель, тождественно равный нулю на интервале I, даже при линейно независимых векторах.

Например, пусть

для каждого действительного интервала I. Содержание теоремы 2.2 состоит в том, что этого не может случиться для векторов, которые являются решениями системы (ЛО).

Теорема 2.3. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО) и С - (комплексная) постоянная неособая матрица, то ФС также является фундаментальной матрицей системы (ЛО). Каждая фундаментальная матрица системы (ЛО) может быть представлена в такой форме при помощи некоторой неособой матрицы С.

Доказательство. Из (2.1), если Ф - фундаментальная матрица, вытекает, что

,

Или

и, следовательно, ФС есть матрица-решение уравнения (2.2). Так как

det (ФС)=( det Ф)( det С) 0,

то ФС - фундаментальная матрица.

Наоборот, если Ф₁ и Ф₂ - две фундаментальные матрицы , то Ф₂ = Ф₁С, где С - некоторая постоянная неособая матрица. Для доказательства этого положим Ф₁^-1Ф₂ = Ш(t). Тогда Ф₂ = Ф₁Ш. Дифференцируя это равенство, получим, что . Отсюда и из (2.1) следует, что , или . Поэтому и, следовательно, матрица ш = С постоянна. Она неособая, так как этим свойством обладают Ф₁ и Ф₂.

Замечания. Если предполагать, что Ф₂ - решение, то матрица С может быть особой.

Заметим, что если Ф - фундаментальная матрица системы (ЛО) и С - постоянная неособая матрица, то СФ, вообще говоря, не является фундаментальной матрицей.

Две различные однородные системы не могут иметь одну и ту же фундаментальную матрицу, ибо из уравнения (ЛО) следует, что Поэтому матрица Ф определяет матрицу А однозначно, хотя обратное утверждение и неверно.

Сопряженные системы. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то

или, переходя к сопряженным матрицам,

Поэтому - фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и матричное уравнение

. (2.3)

Система (2.3) называется сопряженной для системы (ЛО) и матричное уравнение

(2.4)

называется сопряженным для уравнения (2.2.). Это соответствие симметрично, ибо (ЛО) и (2.2) сопряжены (2.3) и (2.4) соответственно.

Теорема 2.4. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то Ш есть фундаментальная матрица для сопряженной системы (2.3) в том и только в том случае, когда

(2.5)

где С - постоянная неособая матрица.

Доказательство. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО) и Ш есть фундаментальная матрица системы (2.3), то так как - фундаментальная матрица частного вида уравнения (2.3),

где D - некоторая постоянная неособая матрица (теорема 2.3). Поэтому

и можно принять С = D^*.

Наоборот, если Ф - фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и удовлетворяет (2.5), то или и, следовательно, в силу теоремы 2.3 Ш - фундаментальная матрица сопряженной системы (2.3).

Если А = - А^*, то , будучи фундаментальной матрицей для системы (2.3), является также фундаментальной матрицей для системы (ЛО). Поэтому в силу теоремы 2.3 или

(2.6)

где С - постоянная неособая матрица. Из уравнения (2.6), в частности, следует, что эвклидова длина каждого вектора-решения системы (ЛО) постоянна.

Понижение порядка однородной системы. Если известно m (0<m<n) линейно зависимых решений системы (ЛО), то можно понизить порядок системы на m единиц, и следовательно, дело сведется к решению линейной системы порядка n-m.

Предположим, что ц₁ , ц₂ , …, ц_m - m линейно независимых векторов, которые являются решениями системы (ЛО) на интервале I. Пусть вектор ц_j имеет компоненты ц_ij (i = 1, …, n). Тогда ранг прямоугольной матрицы с элементами ц_ij (i = 1, …, n; j = 1, …, m) для каждого равен m, так как ее столбцы линейно независимы. Это означает, что для каждого в этой матрице найдется отличный от нуля определитель порядка m. Выберем некоторое и предположим для определенности, что в точке t₀ отличен от нуля определитель матрицы Ф_m с элементами ц_ij (i = 1, …, m; j = 1, …, m). Тогда в силу непрерывной зависимости определителя от его элементов ц_ij и непрерывности функций ц_ij в окрестности t₀ получим, что det Ф_m(t) 0 для t из некоторого интервала , содержащего t₀. Пусть - один из таких интервалов; процесс понижения проведем для . (Идея этого процесса является модификацией метода вариации произвольных постоянных.)

Пусть матрица U имеет своими первыми m столбцами векторы ц₁ , ц₂ , …, ц_m и своими n-m столбцами - векторы е_m+1, …, e_n, где e_j - вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме j-го, который равен 1. Очевидно, что U - неособая матрица на . Сделаем в (ЛО) подстановку

x = Uy. (2.7)

Заметим, что решениям х = ц_j (j = 1, …, m) при подстановке (2.7) соответствуют решения y = e_j (j = 1, …, m). Поэтому подстановку (2.7) можно рассматривать как систему относительно y, которая должна иметь решения e_j (j = 1, …, m).

Подставляя (2.7) в систему (ЛО), получаем

или в координатах,

(i = 1, …, m),

(i = m+1, …, n).

Выражая то обстоятельство, что векторы ц_j с компонентами ц_ij являются решениями системы (ЛО), получаем

(i = 1, …, n; j = 1, …, m),

откуда следует, что

(i = 1, …, m),

(i = m+1, …, n). (2.8)

Так как det Ф_m 0, то из первых m уравнений (2.8) можно выразить производные (i = 1, …, m) через ц_ij , a_ik и y_k (k = m+1, …, n), и затем эти значения подставить в остальные формулы (2.8). Мы получим совокупность уравнений первого порядка, которым удовлетворяют функции y_i (i = m+1, …, n) вида

(i = m+1, …, n), (2.9)

т.е. линейную систему порядка n-m.

Рассуждая в обратном порядке, предположим, что , …, ( имеет компоненты (i, j = m+1, …, n)) есть фундаментальная система решений на для системы (2.9). Пусть - матрица с элементами (i, j = m+1, …, n). Очевидно, что det 0 на . Для каждого j = m+1, …, n пусть (i = 1, …, m) определяется с помощью квадратур уравнений

(2.10)

(i = 1, …, m; p = m+1, …, n).

Пусть (p = m+1, …, n) обозначает с компонентами (i = 1, …, n) и пусть (p = 1, …, m). Так как (p = m+1, …, n) удовлетворяют системе (2.9) и первым m уравнениям (2.8), то они должны также удовлетворять остальным n-m уравнениям (2.8), и поэтому (p = m+1, …, n) являются решениями системы (2.8). таким образом, если Ш - матрица со столбцами (p = m+1, …, n) и

Ф=U Ш,

то Ф есть матрица-решение (ЛО) на I. U - неособая матрица.

Так как det =det на , то Ф есть неособая матрица на и, следовательно, является фундаментальным решением для системы (ЛО) на I.

Теорема 2.5. Пусть ц₁ , ц₂ , …, ц_m (m < n) - m известных линейно независимых решений системы (ЛО), причем ц_j (j = 1, …, m) имеют компоненты ц_ij (i = 1, …, n). Предположим, что определитель матрицы с элементами ц_ij (i, j = 1, …, m) на некотором подинтервале интервала i не обращается в нуль. Тогда с помощью подстановки (2.7) задачу определения n линейно независимых решений системы (ЛО) на можно свети к решению системы (2.9)порядка n-m и к квадратурам (2.10).

Избавимся теперь от ограничения, что матрица Ф_m неособая на некотором интервале. Ясно, что прямоугольная матрица с элементами ц_ij (i = 1, …, n; j = 1, …, m) имеет ранг m в силу независимости решений ц_j (j = 1, …, m). Таким образом, для каждого t = t₀ существует неособая квадратная матрица порядка m, которую мы получим, выбирая m строк i₁, …, i_m из прямоугольной матрицы с n строками и m столбцами. В силу непрерывности эта матрица неособая на некотором интервале .

Хорошо известно и легко доказывается, что существует такая постоянная неособая матрица Т, применив которую к любому вектору х с n компонентами, получим матрицу Тх, имеющую своим m первыми компонентами компоненты вектора х с номерами i₁, …, i_m. Полагая =Тх, мы заменим (ЛО) аналогичной системой, для которой выполняется первоначальное ограничение. Так как х=Т^-1, то утверждение для х следует из доказанного уже утверждения для .

1.3 Неоднородные линейные системы

Пусть А - неособая квадратная матрица порядка n из непрерывных функций, определенных на действительном t-интервале I и b - непрерывный вектор на I, не равный тождественно нулю. Система уравнений

+b(t) (ЛН)

называется линейной неоднородной системой порядка n. Если элементы А и b непрерывны и даже измеримы и мажорируются суммируемой функцией на I, то существует единственное решение ц системы (ЛН), для которого

ц(ф) = о ,

где и | о | < . Единственность решения следует из того, что если бы существовало два решения ц₁ и ц₂, то из разность ц = ц₁ - ц₂ была бы решением однородной системы (ЛО) на I при ц(ф) = 0. Но, по теореме единственности для (ЛО), разность ц должна равняться на I нулю тождественно и, следовательно, ц₁ = ц₂.

Если известна фундаментальная матрица Ф системы (ЛО), то легко найти решение системы (ЛН).

Теорема 3.1. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то функция

(3.1)

есть решение системы (ЛН), удовлетворяющее начальному условию

ц(ф) = 0 ().

Доказательство получается непосредственно при помощи прямой проверки.

Интуитивные соображения, с помощью которых можно получить выражение (3.1), заключаются в следующем6 для каждого постоянного вектора с функция Фс является решением системы (ЛО). Метод состоит в том, что мы рассматриваем с как функцию, определенную на I, и находим, какой должна быть с (если она существует), для того, чтобы функция ц = Фс была решением неоднородной системы (ЛН).

Пусть ц = Фс - решение системы (ЛН). Тогда

= +Ф=АФс + Ф= А ц + Ф= А ц + b,

где последнее равенство следует из (ЛН). Поэтому Ф= b, или

=b.

Последнее уравнение всегда разрешимо, причем если с(ф) = 0, то

 .

Итак, ц определяется по формуле (3.1).

Легко видеть, что в условиях теоремы 3.1 решение системы (ЛН), удовлетворяющее условию ц(ф) = о (и | о | < ), дается в виде

, (3.2)

где - решение системы (ЛО), удовлетворяющее условию

ц_h(ф) = о .

Формула (3.1) (или (3.2)) называется формулой вариации постоянных для системы (ЛН).

Заметим, что формулу (3.1) можно записать в виде

,

где Ш - фундаментальная матрица системы

,

сопряженной системе (ЛО). Другая форма записи формулы (3.1) такова:

,

однако здесь необходимо ограничение .

1.4 Линейные системы с постоянными коэффициентами

Пусть А - постоянная квадратная матрица порядка n и рассмотрим соответствующую однородную систему

. (4.1)

Если n = 1, то (4.1) имеет очевидное решение е^tА_, и решение, которое при t = ф равно о , имеет вид е^(t-ф)Ао . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, о являются векторами произвольной конечной размерности и А - квадратная матрица порядка n.

Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой

Ф(t) = е^tА (|t| < ), (4.2)

и решение ц системы (4.1), удовлетворяющее условию

ц(ф) = о (|ф | < , | о | < ),

имеет вид

ц(t) = е^(t-ф)Ао (|t| < ). (4.3)

Доказательство. Так как е^(t-Дt)А = е^tА е^ДtА, то из определения производной легко получаем, что

Поэтому Ф(t) = е^tА есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = е^tspА . Итак, Ф - фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.

Замечание. Заметим, что выражение не обязано быть решением системы , если матрицы А(t) и не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица А(t) либо постоянная, либо диагональная.

Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J - каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р - неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.

Тогда

(4.4)

и J имеет вид

(4.5)

где J₀ - диагональная матрица с элементами л₁, л₂,…, л_q и

(i = 1, …, s). (4.6)

Далее,

(4.7)

и легкое вычисление показывает, что

(4.8)

Так как , то . Таким образом,

(4.9)

где - квадратная матрица порядка r_i (n = q + r₁ + … + r_s). Поэтому, если известна каноническая форма (4.5), (4.6) матрицы А, то фундаментальная матрица е^tА системы (4.1) дается в явном виде формулой (4.4), в которой е^tJ может быть вычислена из (4.7), (4.8), (4.9).

Другая фундаментальная матрица системы (4.1) такова:

Ш(t) = е^tАP = P е^tJ. (4.10)

Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы р₁, …, р_n. Столбцы матрицы Ш. Которые мы обозначаем через ш₁ , ш ₂ , …, ш _n , образуют совокупность n линейно независимых решений системы (4.1) и из (4.10) и вида матрицы J получаем

, , …, ,

,

,

,

,

.

Так как АР = PJ, то векторы р₁, …, р_n удовлетворяют соотношениям

Ар₁ = л₁р₁,…, Ар_q = л_qр_q,

Ар_q+1 = л _q+1р_q+1,

Ар_q+2 = р_q+1 + л _q+1р_q+2,

Ар_n-rs+1 = л _q+sр _n-rs+1,

Ар_n-rs+2 = р _n-rs+1+л _q+sр _n-rs+2,

Ар_n = р _n-1+л _q+sр _n.

Решения ш_j выражаются посредством независимых векторов р₁, …, р_n из предыдущей последовательности уравнений.

Формула вариации постоянных (3.1) в применении к неоднородной системе

+b(t) , (4.11)

где А - постоянная матрица, дает для решения ц системы (4.11), удовлетворяющего условию ц(ф) = 0, , выражение

.

Решение ц системы (4.11), удовлетворяющее условию ц(ф) = о , где , | о |< , имеет вид

.

1.5 Линейные системы с периодическими коэффициентами

Рассмотрим линейную однородную систему

, (5.1)

где А - матрица элементами которой служат непрерывные комплексные функции, и

(5.2)

для некоторой постоянной щ 0. В этом случае (5.1) называется периодической системой с щ-периодом А. Основной результат для таких систем состоит в том, что фундаментальную матрицу можно представить как произведение периодической матрицы с тем же периодом щ и матрицы-решения для системы с периодическими коэффициентами.

Теорема 5.1. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (5.1), то тем же свойством обладает матрица

Ш(t) = Ф(t+щ) .

Каждой такой матрице Ф соответствует периодическая неособая матрица Р с периодом щ и постоянная матрица R, такие, что

Ф(t) = P(t)e^tR. (5.3)

Доказательство. Так как

,

то в силу (5.2)

.

Поэтому Ш есть матрица-решение системы (5.1), и эта матрица фундаментальная, так как det Ш(t) = det Ф(t+щ) 0 для .

Следовательно, существует постоянная матрица С, такая что

Ф(t+щ) = Ф(t)С, (5.4)

и, сверх этого, существует постоянная матрица R, такая что

С = е^щR. (5.5)

Из (5.4) и (5.5) получаем

Ф(t+щ) = Ф(t) е^щR. (5.6)

Определим матрицу Р по формуле

Р(t) = Ф(t) е^-tR. (5.7)

Тогда, используя (5.6), получаем

Р(t+щ) = Ф(t+щ) е^-(t+щ)R = Ф(t) е^щR е^-(t+щ)R = Ф(t) е^-tR = Р(t).

Так как матрицы Ф(t) и е^-tR для неособые, то Р(t) такая же, и это завершает доказательство.

Значение теоремы 5.1 состоит в том, что значение фундаментальной матрицы Ф на интервале длины щ, например , дает возможность определить Ф на всей числовой прямой. В самом деле, матрица С в (5.5) определяется как формула Ф^-1(0)Ф(щ), а отсюда R определяется как (lnC)/щ. Теперь матрица Р(t) определена на интервале (0,щ) по формуле (5.7), а так как Р(t) имеет период щ, то она определяется на интервале . Теперь матрица Ф определена на интервале по формуле (5.3).

Если Ф₁ - некоторая другая фундаментальная матрица системы (5.1), для которой выполняется (5.2), то

Ф = Ф₁Т,

где Т - некоторая постоянная неособая матрица. Из (5.6) следует, что

Ф₁(t+щ)Т = Ф₁(t)Те^щR,

или

Ф₁(t+щ) = Ф₁(t)(Те^щRТ^-1). (5.8)

Таким образом, в силу (5.8) каждая фундаментальна матрица Ф₁ определяет матрицу Те^щRТ^-1, подобную е^щR . Наоборот, если Т - любая постоянная неособая матрица, то существует фундаментальная матрица Ф₁ системы (5.1), такая, что выполняется (5.8). Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно матрица А, определяет однозначно все связанные с R величины, инвариантные относительно подобных преобразований. В частности, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1) определяет однозначно множество характеристических корней, а именно характеристические корни матрицы С = е^щR. Обозначим эти корни через л₁, л₂,…, л_n и назовем их мультипликаторами, соответствующими матрице А. Ни один из мультипликаторов не равен нулю, ибо = det е^щR 0. Характеристические корни матрицы R называются характеристическим показателями.

Интересно выяснить явный вид множества n линейно независимых векторов-решений системы (5.1). Пусть Т - постоянная неособая матрица, такая что матрица Т^-1RТ = J имеет каноническую форму, указанную в теореме 1.1, и положим Ф₁ = ФТ, Р₁ = РТ. Тогда из (5.3) следует

Ф₁(t) = Р₁(t) е^tJ , Р₁(t+щ) = Р₁(t). (5.9)

Поэтому, если с_i - характеристические корни R, то матрица е^tJ имеет вид

где

и

(i = 1, …, s; q+= n).

Очевидно, что л_i = е^щсi , и поэтому, хотя сами корни с_i определяются неоднозначно, но их действительные части определяются однозначно. Из (5.9) следует, что столбцы ц₁ , ц₂ , …, ц_n матрицы Ф₁, которые образуют множество n линейно независимых решений системы (5.1), имеют вид:

,

,

,

,

, (5.10)

,

,

.

В этих формулах р₁ , р₂ , …, р_n - периодические векторы-столбцы матрицы Р₁.

Из (5.10) очевидно, что если Reс_i < 0 или, что эквивалентно, | л_i | < 1, то при решения ц_i(t) экспоненциально убывают.

Из (5.6) следует, что Ф(щ) = Ф(0)е^щR, и поэтому л_i можно рассматривать как характеристические корни матрицы Ф^-1(0)Ф(щ). В частности, если Ф(0) = Е, то е^щR = Ф(щ) и л_i являются характеристическими корнями матрицы Ф(щ). Так как

(5.11)

то n-й корень можно определить из (5.11), если известны n-1 корней л_i.

Действительная неособая матрица С не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица В, такая что е^В = С. В самом деле, матрица с одной строкой и одним столбцом С = -1 доставляет соответствующий пример. Однако справедливо утверждение, что для действительной матрицы С существует действительная матрица В, такая, что С² = е^В .

Используя это при доказательстве теоремы 5.1, нетрудно получить следующий результат6 если в системе (5.1) матрица А (t) действительная периодическая с периодом щ, то каждой действительной фундаментальной матрице Ф соответствует действительная матрица Р периода 2щ и действительная постоянная матрица R, такие, что

Ф(t) = Р(t)е^tR.

2. Линейные дифференциальные уравнения

2.1 Линейные дифференциальные уравнения порядка n

Предположим, что n+1 коэффициентов а₀, а₁, …, а_n представляют собой непрерывные (комплексные) функции, определенные на действительном t-интервале I, и пусть L_n обозначает формальный дифференциальный оператор

;

это означает, что если функция g имеет n производных на I, то

Далее предположим, что а₀(t) 0 для . Тогда, по определению, уравнение

(в подробной записи ()) есть дифференциальное уравнение

;

оно называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система есть векторное уравнение

 (6.1)

где

(6.2)

Так как (6.1) - линейная система с непрерывной на I матрицей коэффициентов А, то существует единственный вектор-решение ц на I системы (6.1), удовлетворяющий условию

где , |о| < . Таким образом, ц₁ - первая компонента - удовлетворяет условиям

…, (6.3)

Так как ц₁ - решение уравнения , то это решение удовлетворяет условиям (6.3).

Применим теперь остальные результаты, полученные ранее для линейных систем, к уравнению .

Если ц₁, …, ц_n - n решений уравнения , то матрица

(6.4)

есть матрица-решение для (6.1). Определитель этой матрицы называется вронскианом уравнения , соответствующим решениям ц₁, …, ц_n, и обозначается через W(ц₁, …, ц_n). При фиксированных ц₁, …, ц_n он является функцией t на I и его значение в точке t обозначается W(ц₁, …, ц_n)(t). Из того, что для линейной системы вида (6.1)

,

следует (замечая из (6.2), что spA = - а₁/а₀)

W(ц₁, …, ц_n)(t) = W(ц₁, …, ц_n)(ф) . (6.5)

Теорема 6.1. Необходимое и достаточное условие того, чтобы n решений ц₁, …, ц_n уравнения на интервале I были линейно независимы, заключается в том, что

W(ц₁, …, ц_n) 0 .

Каждое решение уравнения есть линейная комбинация с комплексными коэффициентами любых n линейно независимых решений.

Доказательство. Если решения ц₁, …, ц_n на I линейно зависимы. То существуют постоянные с₁, …, с_n, не все равные нулю, такие, что

Отсюда следует тождество

(k = 0, 1, …, n-1),

и поэтому векторы с компонентами (i = 1, 2, …, n) линейно зависимы на I. Наоборот, если векторы линейно зависимы, то тем же свойством обладают решения ц₁, …, ц_n уравнения. Из теоремы 2.2 следует, что необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов заключается в том, что det Ф(t) 0 на I, где Ф - матрица (6.4). Но это требование в точности совпадает с условием W(ц₁, …, ц_n)(t) 0 на I. В силу (6.5), если W(ц₁, …, ц_n)(ф) 0 для некоторого , то W(ц₁, …, ц_n)(t) 0 для любого .

Так как каждый вектор-решение задачи (6.1), (6.2) есть линейная комбинация n линейно независимых векторов-решений, то каждое решение уравнения есть линейная комбинация n линейно независимых решений этого уравнения. Это доказывает теорему.

Ввиду свойства, указанного в теореме 6.1, множество n линейно независимых решений уравнения называется базисом или фундаментальным множеством для уравнения .

Теорема 6.2. Пусть ц₁, …, ц_n - n функций, имеющих на интервале I непрерывные производные порядка n, и пусть W(ц₁, …, ц_n)(t) 0 на I. Тогда существует единственное однородное дифференциальное уравнение порядка n (с коэффициентом при х⁽ⁿ⁾, равным единице), для которого эти функции образуют фундаментальное множество, а именно:

(6.6)

Замечание. Вронскиан W(х, ц₁, …, ц_n) представляет собой определитель матрицы, первая строка которой состоит из элементов х, ц₁, …, ц_n, а последующие строки являются последовательными производными первой строки до порядка n включительно.

Доказательство. Очевидно, что W(ц_i, ц₁, …, ц_n) = 0 (i = 1, …, n), ибо в этом определителе имеются два одинаковых столбца. Разложение числителя W(х, ц₁, …, ц_n) левой части уравнения (6.6) по элементам первого столбца показывает, что (6.6) есть дифференциальное уравнение порядка n. Коэффициент при х⁽ⁿ⁾ в W(х, ц₁, …, ц_n) равен (-1)ⁿ W(ц₁, …, ц_n), т.е. в (6.6) при х⁽ⁿ⁾ равен единице. Так как W(ц₁, …, ц_n) 0, то из теоремы 6.1 следует, что ц₁, …, ц_n образуют для (6.6) фундаментальное множество.

Единственность уравнения (6.6) следует из того, что соответствующие векторы с компонентами определяют матрицу коэффициентов (6.2), соответствующие системе (6.1), однозначно. Так имеется взаимно однозначное соответствие между линейными уравнениями порядка n и линейными системами вида (6.1), (6.2), то доказательство завершено.

Если одно или более из решений уравнения известно, то использование соответствующей системы (6.1) позволяет понизить порядок уравнения. Более прямо достигает цели следующий процесс, который является методом вариации постоянных применительно к уравнению . Пусть и положим х = уц₁. Тогда уравнение является для у линейным дифференциальным уравнением порядка n, которое имеет решение у = 1, ибо ц₁ есть решение уравнения . Поэтому в новом уравнении коэффициент при у должен обращаться в нуль. Рассматривая это уравнение относительно переменной u = , получим уравнение (n-1)-го порядка. Если ц₂ не зависит от ц₁ и , то есть решение (n-1)-го порядка для u, которое может быть аналогично сведено к уравнению (n-2)-го порядка, и т.д.

Сопряженные уравнения. С формальным оператором L_n тесно связан другой линейный оператор порядка n, называемый сопряженным для L_n и определяемый следующим образом:

Иначе говоря, если g - функция на I, для которой произведение (k = 0, 1, …, n) имеет n - k производных на I, то

Уравнение

(в подробной записи

),

называемое сопряженным для L_nх = 0 на I, определяется как задача отыскания функции ц (решения), на I, такой, что произведение (k = 0, 1, …, n) имеет n - k производных на I,удовлетворяющей на I уравнению

Если на I и ц - решение уравнения, имеющее n производных на I, то, используя правило дифференцирования произведения, получаем

разделив на , видим, что ц есть решение дифференциального уравнения порядка n рассмотренного выше типа.

Рассмотрим тот специальный случай оператора L_nх когда а₀ = 1. Для системы (6.1), (6.2), ассоциированной с уравнением

(6.7)

сопряженная система имеет вид

, (6.8)

где в силу (6.2)

(6.9)

Записывая (6.8) в компонентах, получаем в силу (6.9)

(k = 2, …, n). (6.10)

Таким образом, если ц₁, …, ц_n - решение системы (6.10), для которого и

существуют, то дифференцируя k-е равенство (6.10) k-1 раз и решая относительно, получаем

Поэтому ц_n удовлетворяет уравнению

которое является сопряженным к (6.7).

Важность оператора обуславливается интересным соотношением, связывающим L_n и и совершенно необходимым при изучении краевых задач.

Теорема 6.3. (Тождество Лагранжа). Предположим, что в L_n на I (k = 0, 1, …, n). Если u, v - произвольные (комплексные) функции на I, имеющие n производных, то

(), (6.11)

где [uv] - форма относительно величин (u, , …, ) и (v, , …, ), задаваемая равенством

(6.12)

Доказательство. Пользуясь правилом дифференциального произведения, имеем для m = 0, 1, …, n

Таким образом, получаем

что доказывает формулу (6.11).

Следствие (Формула Грина). Если а_к в L_n и u, v такие же как и в теореме 6.3, то для любых

(6.13)

где [u, v](t_i) - значение [u, v] при t = t_i.

Доказательство. Следует проинтегрировать тождество (6.11) в пределах от t₁ до t₂ .

Если ш - известное решение уравнения на I, то в силу (6.11) отыскание решения L_nх = 0 сводится к отысканию функции ц, удовлетворяющей уравнению (n-1)-го порядка

Неоднородное линейное уравнение порядка n. Предположим, что на действительном t-интервале I а₀ 0, а₁, …, а_n и b - непрерывные функции, и рассмотрим уравнение

,

которое совпадает с уравнением

Это уравнение (в случае b(t) 0) называется неоднородным линейным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система имеет вид

, (6.14)

где А - матрица (6.2) и - вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме последнего, который равен b/а₀. Таким образом, соответствующая уравнению L_nх = b(t) система (6.14) есть линейная неоднородная система; существование и единственность решения для системы (6.14) обеспечивает, как обычно, существование и единственность решения для уравнения L_nх = b(t).

Теорема 6.4. Если ц₁, …, ц_n - фундаментальное множество для однородного уравнения

( на I),

то решение ш неоднородного уравнения

L_nх = b(t) ( на I),

удовлетворяющее условию

(, |о| < ),

имеет вид

(6.15)

где - решение уравнения L_nх = 0, для которого , и W_k(ц₁, …, ц_n) -определитель, получаемый из W(ц₁, …, ц_n) в результате замены k-го столбца на (0, …, 0, 1).

Доказательство. В силу (3.1) первая компонента ш = ш₁ вектора-решения системы (6.14), для которого = 0, имеет вид

где - элемент, находящийся на пересечении первой строки и n-го столбца матрицы Ф(t)Ф^-1(s). Напомним, что на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы Ф(t) стоит элемент и что det Ф(t) = W(ц₁, …, ц_n)(t). Далее, на пересечении i-й строки и n-го столбца матрицы Ф^-1 стоит элемент

где - алгебраическое дополнение элемента в Ф. Поэтому

где W_k(ц₁, …, ц_n)(s) определен в формуле теоремы. Таким образом, решение ш уравнения L_nх = b(t) , удовлетворяющее условию = 0, имеет вид

и очевидно, что (6.15) дает решение, удовлетворяющее условию , если .

Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Рассмотрим тот случай, когда в L_n все коэффициенты а₀ = 1, а₁, …, а_n - постоянные. В этом случае можно предполагать, что I есть вся числовая ось. Далее, уравнению

(6.16)

соответствует система

(6.17)

где А - постоянная матрица

(6.18)

Можно предполагать, что для (6.16) можно указать фундаментальное множество решений, и точный вид этих функций зависит от характеристического многочлена f(л) = det (лE - A) постоянной матрицы А в (6.18).

Лемма. Характеристический многочлен для матрицы А в (6.18) имеет вид

f(л) = лⁿ + а₁ л^n-1 +…+ а_n. (6.19)

Заметим, что f(л) может быть получено из L_n(х) формальной заменой х^(k) на лk.

Доказательство проводится по индукции. Для n = 1 А = - а₁; значит det(лE₁ - A) = л + а₁ и, следовательно, (6.19) верно для n = 1. Предположим, что результат справедлив для n - 1. Разложим определитель

det(лE_n - A) =

по элементам первого столбца и заметим, что коэффициент при л есть определитель (n-1)-го порядка, именно det(лE_n-1 - A₁), где

Поэтому лdet(лE_n-1 - A₁) = лⁿ + а₁ л^n-1 +…+ а_n--1л. Единственный другой ненулевой элемент в первом столбце есть а_n и его алгебраическое дополнение равно 1. Поэтому det(лE_n - A) = лⁿ + а₁ л^n-1 +…+ а_n--1л + а_n, что и требовалось доказать.

Теорема 6.5 (без доказательства). Пусть л₁, …, л_n - различные корни характеристического уравнения

f(л) = лⁿ + а₁ л^n-1 +…+ а_n = 0

и пусть кратность корня л_i равна m_i (i = 1, …, s ). Тогда фундаментальное множество для (6.16) дается n функциями

t^ke^лi (k = 0, 1,…, m_i - 1; i = 1, 2,…, s). (6.20)

2.2 Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами

Предположим, что А - квадратная матрица порядка n и b - n-мерный вектор, определенные и аналитические в односвязной области D z-плоскости, и пусть . Используя метод последовательных приближений, нетрудно показать, что линейная система

(7.1)

при условии

имеет в D единственное аналитическое решение .

В самом деле, пусть и пусть С - дуга длины L, лежащая в D, соединяющая точки z₀ и z₁ и имеющая непрерывно вращающуюся касательную. Обозначим через s длину дуги вдоль С, начиная от точки z₀. Выберем постоянную К настолько большой, чтобы было | A(z) | < K и || < K для . Пусть и

причем интеграл берется вдоль С, так что приближения определены на С. Нетрудно получить оценки

Очевидно, эти оценки справедливы для всех точек z в D, достижимых из z₀ другой длины L, на которой |A(z)| и || ограничены постоянной K. Отсюда следует, что эти оценки справедливы в каждом фиксированном множестве R, содержащемся в D. Так как каждая функция аналитична в R, то из равномерной сходимости следует, что предельная функция также аналитична в R. Далее,

Это доказывает утверждение для R и, следовательно, для D.

Кроме того, все теоремы, доказанные в пп. 1.2 и 1.3, будучи существенно алгебраической природы, справедливы для системы (7.1).

Соответственно этому, если n+1 функций а₁, …, а_n, b аналитичны в D, то линейное уравнение порядка n

(7.2)

имеет в D единственное решение, удовлетворяющее условиям

, , …, ,

где w₁, …, w_n - n данных комплексных чисел. Наконец, все результаты п. 2.1 распространяются очевидным образом на случай (7.2).

2.3 Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем

Если коэффициенты линейной системы дифференциальных уравнений при стремятся к постоянным, то иногда возможно охарактеризовать поведение решений.

Здесь рассматривается проблема для действительного переменного. Рассмотрим пример

где v - действительная дифференцируемая функция, для которой , r - интегрируемая функция и

,

для некоторого t₀. (На самом деле достаточно, чтобы функция v имела в интервале ограниченную вариацию.) Без ограничения общности можно в дальнейшем предполагать, что t₀ = 0. Из доказанной ниже теоремы следует, что рассматриваемое уравнение имеет два решения ц и ш, такие, что