при , а ш имеет аналогичное поведение с заменой i на -i.

Этот результат показывает, что функция r нисколько не влияет на грубую асимптотику. Однако случай

(0 < б < 1)

убеждает нас в том, что влияние v существенно. Эти асимптотические формулы показывают также, что если положить в уравнении функцию r(t) равной нулю, а 1 + v(t) - постоянной, то результат будет отличаться от точного только членом о(1) при .

В дальнейшем будет рассматриваться линейная система

(8.1)

которая включает как частный случай предыдущий пример.

Теорема 8.1. Пусть А - постоянная матрица с различными характеристическими корнями м_j, j = 1, …, n. Пусть матрица V дифференцируема и удовлетворяет условию

(8.2)

и пусть при . Пусть матрица R интегрируема и

. (8.3)

Обозначим корни уравнения det (A + V(t) - лE) = 0 через л_j(t), j = 1, …, n. Очевидно, что можно, если это необходимо, переставить м_j так, чтобы . Для каждого k положим

Допустим, что все j, 1 j n, попадают в один из двух классов I₁ и I₂, где

, если при

и

, (8.4)

, если ; (8.5)

здесь k фиксировано и К - постоянная. Пусть p_k - характеристический вектор А, соответствующий м_k, так что

Аp_k = м_k p_k. (8.6)

Тогда существует решение ц_k системы (8.1) и число t₀, 0 t₀ , такие, что

(8.7)

Доказательство. Если условия теоремы выполняются для всех k, 1 k n, и Ф - матрица со столбцами ц₁, …, ц_n, то Ф - фундаментальная матрица, так как det Ф(t) 0 для больших t, ибо p_k линейно независимы.

Предположим в начале, что А + V(t) для t t₀ имеет диагональный вид А(t) причем t₀ выбрано так, что

(8.8)

Пусть Ш(t) - диагональная матрица:

Ш(t) =

так что

 (8.9)

Пусть е^К - вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, за исключением k-го, который равен 1, и ш_k - вектор, определенный равенством

При фиксированном k и I₁, I₂, определенных согласно неравенствам (8.4), (8.5), положим

Ш = Ш₁ + Ш₂,

где диагональные матрицы Ш₁ и Ш₂ содержат элементы Ш, соответствующие столбцам с индексами j, принадлежащим соответственно I₁ и I₂. Тогда

(j = 1, 2). (8.10)

Рассмотрим теперь уравнение

(8.11)

Можно непосредственно проверить, что если уравнение (8.11) имеет решение ц, то

= (A + R) ц. (8.12)

Последнее уравнение имеет рассматриваемый нами вид (8.1)

Пусть ц⁰(t) = 0 и

(8.13)

Тогда ц¹(t) = ш^k(t) и для t t₀

(8.14)

Каждый элемент диагональной матрицы имеет вид

или равен нулю. Но для t₀ ф t

Поэтому для t₀ ф t

Точно также для ф t получим

Используя эти неравенства, получаем из (8.13)

Из (8.8) и (8.14) теперь по индукции следует

Отсюда следует равномерная сходимость последовательности {ц^j} на каждом конечном подинтервале интервала [t₀,). Так как ц^j непрерывно, то предельная функция ц также непрерывна и, очевидно,

(8.15)

Покажем теперь, что

(8.16)

Это будет установлено, если мы покажем, что при t> ?

(8.17)

И

(8.18)

Доказательство соотношения (8.18) сразу получается из (8.15) и (8.5). Доказательство соотношения (8.17) основывается на равенстве

(8.19)

которое является следствием (8.4). Каково бы ни было е > 0, можно подобрать такое t₁, что

Поэтому, обозначая левую часть (8.17) через J(t), получаем

Из (8.19) следует, что

Так как е произвольно, то (8.17) доказано. Таким образом, теорема доказана для случая A + V(t) = A(t), если за ц взята ц_k.

Доказательство теоремы 8.1 вытекает из следующей леммы.

Лемма. Пусть A и V удовлетворяют условиям теоремы 8.1. Тогда существует матрица S(t), которая при t > ? стремится к постоянной неособой матрице Т, такая что

S(A + V) = ЛS, (8.20)

где Л(t) - диагональная матрица с диагональными элементами л_j(t), j = 1, 2, …, n. При t > ? л_j(t) > м_j , где м_j - характеристические корни матрицы А. Кроме того, для некоторого t₀

(8.21)

Доказательство теоремы 8.1. Так как S(t) > T при t > ? и Т - неособая матрица, то S(t) - неособая матрица для всех достаточно больших t. Выберем t₀ настолько большим, чтобы не только (8.21) выполнялось, но и S^-1(t) существовала для tt₀. Тогда, полагая в (8.1) у = S(t)х, получаем

(tt₀). (8.22)

Пусть = . Тогда из (8.3) и (8.21) следует, что норма интегрируема. Таким образом, данное выше доказательство теоремы 8.1 для специального случая годится для уравнения (8.22), так что (8.22) имеет решение и_k, для которого

Поэтому (8.1) имеет решение S^-1 и_k = ц_k. Так как S^-1(t) > T^-1, то Аp_k = м_kp_k. Это завершает доказательство теоремы 8.1.

3. Решение задач

Задача 1. Пусть матрица А и вектор b - интегрируемые функции от t на интервале [a, c]. Пусть

|A(t)| k(t),

|b(t)| k(t),

Пусть ф [a, c] и рассмотрим начальную задачу

, х(ф) = о.

Доказать, что существует решение ц на [a, c] в том смысле, что

на [a, c].

Доказательство.

Используем последовательные приближения. Пусть ц₀(t) = о и

, j 0.

Тогда

Пусть тогда

Значит,

где

Следовательно, последовательность {ц_j} сходится равномерно на [a, c].

Задача 2. Решить систему дифференциальных уравнений 2-го порядка методом Эйлера.

Решение:

Система дифференциальных уравнений второго порядка имеет вид:

Приведем систему к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Сделаем замену:

Пусть заданы начальные условия

и выбран шаг h по оси x.

Метод Эйлера для решения системы дифференциальных уравнений 2-го порядка в общем виде:

,

где j - номер шага.

Заключение

В дипломной работе рассмотрены вопросы решения линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений.

Можно сделать вывод, что многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением.

Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.

Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши.

Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее - целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти либо его частное, либо общее решение.

Линейные уравнения - это уравнения «первой степени» - неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy/dx + p(x) = q(x), где p(x) и q(x) - функции, зависящие только от x. Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

В работе также проведено решение конкретных заданий, связанных с нахождением решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Таким образом, дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Список литературы

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966. - 384 с.

2. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. - 428 с.

3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967. - 439 с.

4. Дородницын А.А. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. Сборник статей. М.: Наука, 1964. - 386 с.

5. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1972. - 563 с.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. - ч. 1. М.: Наука, 1973. - 591 с.

7. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1976. - 472 с.

8. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. - 475 с.

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 623 с.

10. Михлин С.Г., Смолицкий X.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. - 352 с.

11. Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963. - 349 с.

12. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1963. - 461 с.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977. - 522 с.

14. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1982. - 549 с.

15. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. - 419 с.

16. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984. - 463 с.

17. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. - 275 с.

18. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986. - 478 с.

19. Интернет-источник: www.mathematics.ru.

20. Интернет-источник: www.nsu.ru/matlab.

21. Интернет-источник: ru.wikipedia.org.

22. Интернет-источник: www.matclub.ru.