Итак, теорема 8 доказана.

В случае, если матрица , задающая уравнение (3), действительна, перед нами встает задача выделения из всех решений (5) действительных решений.

Б) Будем считать, что матрица , задающая уравнение (3), действительна, и выберем векторы таким образом, чтобы действительным собственным значениям соответствовали действительные векторы, а комплексно сопряженным - комплексно сопряженные. Тогда в системе решений (4) каждому действительному собственному значению будет соответствовать действительное решение, а каждым двум комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные решения. Оказывается, что решение (5) тогда и только тогда действительно, когда константы, стоящие при действительных решениях, действительны, а константы, стоящие при комплексно сопряженных решениях, сопряжены.

Общий случай

Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матрица может иметь кратные собственные значения). Разбор этого случая опирается на весьма нетривиальную и сложно доказуемую алгебраическую теорему о приведении матрицы к жордановой форме.

В) Запишем систему (1) в векторной форме

(6)

и пусть

- некоторая серия с собственным значением относительно матрицы А, так что выполнены соотношения

Введем последовательность векторных функций, положив:

(7)

Оказывается тогда, что векторные функции

(8)

являются решениями уравнения (6), причем

(9)

Таким образом, каждой серии из k векторов соответствует система из k решений.

Для доказательства того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно векторных функций (7). Тождества эти следующие:

В этих соотношениях принято . Оба они проверяются непосредственно путем проведения элементарных вычислений. При помощи этих тождеств непосредственно проверяется, что функции (8) являются решениями уравнения (6). Действительно, мы имеем:

Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае.

Теорема 9. Пусть

(10)

- векторная запись системы (1). Существует базис , состоящий из серий относительно матрицы А. Для определенности будем считать, что есть серия с собственным значением ; есть серия с собственным значением ; и т.д. В силу предложения В) каждой из серий соответствует система решений, так что мы можем выписать следующие решения уравнения (10):

(11)

Оказывается, что формула

(12)

где - константы, всегда дает решение уравнения (10) и что каждое решение уравнения (10) описывается формулой (12).

Доказательство. Так как функции являются решениями уравнения (10) (см. В)), то в силу предложения А) §4 формула (12) всегда дает решение уравнения (10). Покажем, что всякое решение уравнения (10) при надлежащем подборе констант записывается в виде (12). Пусть - произвольное решение уравнения (10). В силу теоремы 3 решение можно считать заданным на всей прямой , и потому вектор определен. Разложим этот вектор по базису :



Если теперь подставить найденные константы в соотношение (12), то мы получим решение , удовлетворяющее начальным условиям

(см. (9)). Таким образом, решения и имеют общие начальные значения и потому совпадают.

Итак, теорема 9 доказана.

Теперь нам осталось выделить из решений, заданных формулой (12), действительные решения в случае, когда матрица действительна. Делается это совершенно так же, как и в случае простых корней характеристического уравнения.

§ 10. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства

Здесь будет дана геометрическая интерпретация автономной системы уравнений в виде фазового пространства этой системы. Эта интерпретация существенно отличается от геометрической интерпретации системы уравнений, указанной в §§ 1, 2 и правильнее должна называться не геометрической, а кинематической, так как в этой интерпретации каждому решению системы уравнений ставится в соответствие не кривая в пространстве, а движение точки по кривой. Кинематическая интерпретация (фазовое пространство) в некоторых отношениях более выразительна, чем геометрическая (система интегральных кривых).

Автономные системы

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное (или, как мы будем говорить, время) t. Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый системой уравнений не меняется с течением времени, как это обычно и бывает с физическими законами. Очень легко доказывается, что если

есть решение некоторой автономной системы уравнений, то

где с -- константа, также есть решение той же автономной системы уравнений. Проведем доказательство этого факта на примере нормальной автономной системы уравнений,

А) Пусть

(1)

- автономная нормальная система уравнений порядка n и

- векторная ее запись. Автономность системы (1) заключается в том, что функции являются функциями переменных и не зависят от времени t. Относительно функций мы будем предполагать, что они определены на некотором открытом множестве пространства размерности n, где координатами точки являются переменные . Мы будем предполагать, что функции и их частные производные первого порядка непрерывны на множестве . Оказывается, что если

(2)

решение уравнения (1), то

(3)

также есть решение системы (1).

Из правила дифференцирования сложной функции вытекает соотношение

(4)

Действительно,

Докажем теперь, что (3) есть решение системы (1). Так как (2) есть решение, то мы имеем тождества

Заменяя в этих тождества t через t + c, мы получаем:

Из этого в силу (4) и (3) вытекает

Перейдем теперь к кинематической интерпретации решений системы (1). Формально речь будет идти об интерпретации в n - мерном пространстве, но для наглядности разумно представлять себе случай плоскости (n = 2).

Б) Каждому решению

(5)

автономной системы (1) поставим в соответствие движение точки в n-мерном пространстве, задаваемое уравнениями (5), где -- координаты точки в пространстве, а t -- время. В процессе своего движения точка описывает некоторую кривую -- траекторию движения. Если сопоставить решению (5) не процесс движения, а траекторию движения точки, то мы получим менее полное представление о решении, поэтому желательно на траектории указать хотя бы направление движения. Оказывается, что если наряду с решением (5) имеется другое решение

(6)

то траектории, соответствующие этим решениям, либо не пересекаются в пространстве, либо совпадают. Именно, если траектории имеют хотя бы одну общую точку, т. е.

(7)

то

где (8)

Последние равенства показывают, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, но первое решение описывает ту же самую траекторию, что и второе, с «запозданием» на время с. Если точка, соответствующая первому решению, достигла некоторого положения на траектории в момент времени t + c, то точка, соответствующая второму решению, уже побывала в том положении в момент времени t.

Для того чтобы вывести из равенства (7) тождество (8), рассмот-рим наряду с решением (5) решение

(9)

(см. А)). Из равенства (7) при следует равенство

Таким образом, решения (6) и (9) системы (1) имеют общие началь-ные условия (а именно, значения в момент времени ) и потому в силу теоремы единственности совпадают, так что мы имеем:

Положения равновесия и замкнутые траектории

Поставим вопрос о том, может ли траектория, изображающая решение системы, пересекать себя.

В) Пусть

 (10)

некоторое решение системы (1). Допустим, что имеет место равенство

(11)

где числа и , конечно, принадлежат интервалу определения решения (10). Оказывается, что при этом условии решение (10) может быть продолжено на весь бесконечный интервал . Поэтому мы сразу будем считать, что само решение (10) определено на этом интервале . Оказывается далее, что возможны два следующих взаимно исключающих случая.

1) Для всех значений t имеет место равенство

где есть точка множества , не зависящая от t. Таким образом, в этом случае точка в действительности не движется при изменении t, а стоит на месте. Само решение (10) и точка в этом случае называются положением равновесия системы (1).

2) Существует такое положительное число Т, что при произвольном t имеют место равенства

но при хотя бы для одного имеет место неравенство

В этом случае решение (10) называется периодическим с периодом Т, а траектория, описываемая решением (10), называется замкнутой траекторией, или циклом.

Докажем предложение В). Как было отмечено в предложении Б) из равенств (11) следуют тождества

(12)

При этом функции также представляют решение системы (1) (см. А)). Это решение и первоначальное решение (10) совпадают там, где они оба определены (теорема 2). Если объединить эти два решения, мы получим новое решение с большим интервалом существования, чем исходное, а именно, с интервалом при с>0 и при с<0. Так как и равноправны, то знак величины с можно изменить, так что решение можно продолжить, на интервал . Так как, кроме того, для продолженного решения равенство (11) по-прежнему выполнено, то к нему опять можно применить указанный способ расширения интервала существования, и потому мы можем продолжить решение (10) на всю бесконечную прямую с сохранением для него тождества (12).

Каждое число с, для которого выполнено тождество (12), будем называть периодом решения (10); множество всех периодов решения (10) обозначим через F. Множество F есть некоторое множество чисел. Установим некоторые его свойства. Заменяя в соотношении (12) t через t - с, получаем . Таким образом, если с есть период, то -- с также есть период. Допустим, что и -- периоды, т. е.

Тогда

Таким образом, если и суть периоды, то также есть период. Допустим, что есть последовательность периодов, сходящаяся к некоторому числу ; тогда мы имеем

Так как функции непрерывны, то при мы получаем:

т.е. мы видим, что также есть период, так что множество F замкнуто.

Так как число с в равенстве (12) отлично от нуля , то множество F содержит числа, отличные от нуля. Из установленных свойств множества F легко выводится, что для него есть только две возможности: 1) множество F совпадает с множеством всех действительных чисел; 2) в множестве F имеется минимальное положительное число Т, и тогда F состоит из всех целочисленных кратных числа Т. Докажем, что действительно имеются только эти две возможности. Так как множество F вместе с каждым числом с содержит число - с и так как в F имеются числа, отличные от нуля, то в F имеются положительные числа.

Допустим, что в множестве F нет наименьшего положительного числа, т. е. что для произвольного положительного числа имеется положительный период с<. Из доказанных свойств множества F следует (так как с есть период), что все числа mc, где m -- целое, также являются периодами. Так как с<, то для произвольного действительного числа можно подобрать такое целое m, что . Таким образом, произвольное число является предельным для множества F, и потому, ввиду замкнутости множества F, это множество совпадает с множеством всех действительных чисел.

Допустим теперь, что F не есть множество всех действительных чисел. В силу доказанного, в F имеется тогда наименьшее положительное число Т. Пусть с -- произвольный период. Можно тогда выбрать такое целое число m, что . Допустим, что ; тогда есть отличный от нуля период, а это невозможно, так как , что противоречит минимальности числа Т. Итак, доказано, что каждое число с из F может быть записано в виде c = mТ, где m -- целое число.

Теперь уже легко проверить, что если F есть множество всех действительных чисел, то имеет место случай 1), а если F не есть множество действительных чисел, то имеет место случай 2). Таким образом, предложение В) доказано.

Кратко предложение В) можно сформулировать, сказав, что имеется три сорта траекторий: 1) положение равновесия; 2) периодические траектории (циклы); 3) траектории без самопересечений. Естественно считать, что последний случай является «наиболее общим».

Из теоремы 2 следует, что через каждую точку области зада-ния системы (1) проходит траектория, изображающая решение системы.

Таким образом, вся область заполнена траекториями, причем, сог-ласно Б), траектории эти попарно не пересекаются. Среди всех траекторий особо выделяются самопересекающиеся, которые являются либо положениями равновесия, либо циклами. Эти два сорта траекторий имеют весьма важное значение.

Такова кинематическая интерпретация решений автономной системы уравнений. Сама система уравнений также допускает геометрическую интерпретацию.

Фазовые пространства

Г) Поскольку автономная система уравнений (1) определена на открытом множестве , каждой точке множества поставлена в соответствие последовательность из n чисел, именно последовательность:

Эти числа можно рассматривать как компоненты вектора , проведенного в n-мерном пространстве и выходящего из точки . Таким образом, автономной системе ставится в соответствие геометрический образ -- векторное поле, заданное на открытом множестве . В каждой точке множества определен вектор , выходящий из этой точки. Связь между геометрической интерпретацией решений и геометрической интерпретацией самой системы уравнений заключается в следующем. Пусть - произвольная точка множества . В силу геометрической интерпретации системы уравнений этой точке поставлен в соответствие выходящий из нее вектор . Далее, в силу теоремы 2 существует решение системы (1), удов-летворяющее начальным условиям



В силу кинематической интерпретации решению соответствует в пространстве движение точки, описывающее траекторию, причем в момент времени движущая точка проходит через положение в пространстве. Оказывается, что векторная скорость точки, описывающей решение , в момент ее прохождения через положение совпадает с вектором . Именно это совпадение и выражается системой уравнений (1) при

Пространство размерности n, в котором интерпретируются решения автономной системы (1) в виде траекторий и сама автономная система (1) в виде векторного поля, называется фазовым пространством системы (1). Траектории называются фазовыми траекториями, векторы называются фазовыми скоростями. Связь между обеими интерпретациями заключается в том, что скорость движения точки по траектории в каждый момент времени совпадает с фазовой скоростью, заданной в том месте пространства, где в этот момент находится движущаяся точка.

Рассмотрим теперь положения равновесия с точки зрения фазовых скоростей.

Д) Для того чтобы точка множества была положением равновесия системы (1), т. е. чтобы имелось решение системы, для которого

 (13)

необходимо и достаточно, чтобы фазовая скорость в точке была равна нулю. Таким образом, для отыскания всех положений равновесия системы (1) нужно решить систему уравнений

Эта система представляет собой не систему дифференциальных уравнений, а, как говорят, систему конечных уравнений (производные в нее не входят).

Для доказательства утверждения Д) допустим, что есть положение равновесия, т. е. что имеется решение, для которого выполнены соотношения (13), и подставим в систему (1) это решение. Так как производная постоянной равна нулю, то подстановка дает

Таким образом, вектор фазовой скорости действительно обращается в нуль, в точке . Допустим, что, обратно, вектор фазовой скорости обращается в нуль в точке , т. е. что и покажем, что в этом случае равенства (13) определяют решение системы (1). Подстановка дает

равенства эти выполнены, так как слева стоит производная константы, а справа -- нуль.

Е) Геометрическая интерпретация решения (2) системы уравнений (1), указанная в §2, ставит в соответствие этому решению кривую К в (n + 1)-мерном пространстве переменных , определяемую системой уравнений (2). Здесь t является одной из координат в пространстве R. Переход к интерпретации в n-мерном фазовом пространстве S переменных заключается в том, что мы перестаем считать величину t координатой точки, а считаем ее параметром. Таким образом, фазовая траектория L получается из кривой К в результате проектирования пространства R на пространство S в направлении оси t.

Геометрическую наглядность это проектирование приобретает при n = 2. В этом случае пространство R трехмерно, а пространство S представляет собой плоскость (см. пример 4).

Примеры

1. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение

(14)

первого порядка, правая часть которого непрерывна и имеет непрерывную производную на всей прямой Р изменения переменного х. Предположим дополнительно, что нули функции f(x) или, что то же самое, положения равновесия уравнения (14), не имеют предельных точек. В этом предположении положения равновесия разбивают прямую Р на систему интервалов. Каждый интервал (a, b) системы обладает тем свойством, что на нем функция f (x) не обращается в нуль, а каждый конец a или b его является либо нулем функции f (x), либо равен . Таким образом, система состоит из конечного или счетного числа конечных интервалов и не более чем двух полубесконечных интервалов или же содержит только один бесконечный в обе стороны интервал . Пусть (a, b) - некоторый интервал системы , - точка этого интервала и , , - непродолжаемое решение уравнения (14) с начальными значениями 0, . Допустим для определенности, что ; тогда оказывается, что

при , (15)

(16)

Далее, если число а, или соответственно b, конечно, то число или соответственно , бесконечно. Таким образом (рис. 3), каждый интервал (a, b) представляет собой одну-единственную фазовую траекторию уравнения (14).

Докажем соотношения (15), (16). Из предположения следует, что на интервале (a, b) функция f (x) положительна и потому каждая точка этого интервала, описывая фазовую траекторию, движется слева направо. Таким образом, при возрастающем t точка может покинуть интервал (a, b), лишь перейдя его правый конец b. Допустим, что это происходит при некотором ; тогда при имеем , а это значит, что две различные траектории и x = b пересекаются, что невозможно. Точно так же доказывается, что точка не может покинуть интервал (a,b) при убывающем t. Таким образом, соотношение (15) доказано.

Допустим теперь, что и пусть -- решение уравнения (14) с начальными значениями 0, с. Так как f (с)> 0, то при некотором отрицательном значении имеем , а это значит, что две различные траектории и пересекаются, что невозможно. Таким образом, доказано, что . Точно так же доказывается и соотношение .

Допустим, наконец, что , и покажем, что тогда . Допустим противоположное, именно, что . Определим тогда функцию , положив при и при . Очевидно, что функция непрерывна и удовлетворяет уравнению (14), а это невозможно, так как тогда пересекаются две различные траектории и . Полученное противоречие показывает, что . Точно так же доказывается, что при имеем .

Пусть b -- произвольное положение равновесия уравнения (14), а (a, b) и (b, c) -- два интервала системы , примыкающие к нему (соответственно слева и справа). Каждый из интервалов (a, b), (b, c) представляет собой одну траекторию. Если обе точки, описывающие траектории (a, b) и (b, c), приближаются (при возрастании t) к положению равновесия b, то положение равновесия b называется устойчивым (рис. 4, а). Если обе точки, описывающие траектории (a, b) и (b, c), удаляются от точки b, то положение равновесия b называется неустойчивым (рис 4, б). Если по одной из траекторий точка приближается, а по другой удаляется, то положение равновесия b называется полуустойчивым (рис. 4, в). Для того чтобы положение равновесия b было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы функция f (x) была положительна на интервале (a, b) и отрицательна на интервале (b, c). Для того чтобы положение равновесия b было неустойчивым, необходимо и достаточно, чтобы функция f (х) была отрицательна на интервале (a, b) и положительна на интервале (b, c). Для того чтобы положение равновесия b было полуустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы функция f (х) имела один и тот же знак на обоих интервалах (a, b) и (b,c).

Допустим, что ; тогда знак функции f (х) вблизи точки b совпадает со знаком величины . Отсюда следует, что при положение равновесия b уравнения (14) устойчиво, а при оно неустойчиво.

2. Рассмотрим уравнение

(17)

где f (x) есть периодическая функция с непрерывной первой производной. Для определенности будем считать, что период ее равен . Все сказанное в примере 1 относительно уравнения (14) остается правильным и для уравнения (17), так как уравнение (17) является частным случаем уравнения (14). Однако, для того чтобы учесть специфику уравнения (17) (периодичность функций f (x)) разумно считать, что фазовым пространством уравнения (17) является не прямая, а окружность К радиуса единица, на которой выбрано некоторое начало отсчета 0 и направление обхода (например, против часовой стрелки). Каждому числу х поставим в соответствие точку окружности К, отложив от начала отсчета против часовой стрелки дугу длины х (рис. 5). При этом всем числам (k - целое число) будет соответствовать на окружности одна и та же точка . Так как f() = f(x), то можно положить f() = f(x), и функция f оказывается заданной на окружности К.

Уравнение (17) задает теперь движение точки по окружности К. Если x(t) есть некоторое решение уравнения (17), то соответствующая числу x(t) точка (t) движется по окружности К. Если -- такая точка на окружности К, что f () = 0, то существует такое решение x(t) уравнения (17), что , и есть положение равновесия уравнения (17). Допустим для простоты, что положения равновесия уравнения (17) на окружности К не имеют предельных точек: тогда их имеется лишь конечное число или нет вовсе (рис. 6). Положения равновесия разбивают окружность на конечную систему интервалов. Если положений равновесия вовсе нет, то система содержит лишь один «интервал» (окружность). Если имеется лишь одно положение равновесия , то система также содержит лишь один интервал, состоящий из всех точек окружности К за исключением точки . В первом случае интервал вовсе не имеет концов, во втором оба его конца совпадают. Пусть I -- некоторый интервал системы и x(t) -- некоторое решение уравнения (17) с начальными значениями 0, , где есть точка, интервала I. Решение x(t) всегда определено для всех значении t, и точка принадлежит интервалу I. Если интервал I имеет концы (один или два), то точка пробегает интервал I и определенном направлении, причем каждая точка интервала I проходится решением один раз. Если интервал I совпадает со всей окружностью, то, отправившись из положения , точка через некоторое время Т вернется в нее, так что . В этом случае периодически зависит от числа t с периодом Т. Соответствующее движению числовое решение x(t) уравнения (17) удовлетворяет условию

Из этого примера видно, что фазовым пространством системы уравнений не всегда целесообразно считать эвклидово координатное пространство, а иногда приходится считать более сложное геометрическое образование. Ниже, в примере 3, мы столкнемся с этим обстоятельством в более сложной обстановке, чем в этом примере.

3. Рассмотрим систему уравнений

(18)

где функции являются периодическими относительно обоих аргументов с периодами :

Как всегда, будем предполагать, что функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Ввиду периодичности функций разумно считать, что фазовым пространством системы (18) является не плоскость, а более сложное геометрическое образование, именно, поверхность тора или, как говорят, тор (рис. 7). Опишем эту поверхность.

Рис. 7.

В трехмерном эвклидовом пространстве с декартовыми координатами х, у, z выберем в плоскости х, z окружность K радиуса единица с центром в точке (2, 0, 0). Примем на этой окружности за начало отсчета точку с координатами (3, 0, 0). Тогда каждому числу х будет поставлена в соответствие точка окружности К (см. пример 2). Будем теперь вращать плоскость (х, z) в пространстве (х, у, z) вокруг оси z. Описываемая при этом вращении окружностью К по-верхность Р представляет собой тор. Пусть -- некоторая точка окружности К. В результате поворота плоскости (х, z) на угол , исчисляемый в радианах, точка перейдет в некоторую точку р, тора Р (рис. 7). Если сделать поворот не на угол , а на угол , то мы придем к той же точке р тора Р. Таким образом, точка р тора Р однозначно определяется двумя циклическими координатами , и каждой паре циклических координат соответствует на торе одна вполне определенная точка. Мы видим, таким образом, что функции можно считать заданными не на плоскости, а на поверхности тора Р:

Пусть теперь -- некоторое решение системы (18). Ставя в соответствие каждому из чисел и циклические координаты и , мы получаем точку тора Р. Таким образом, каждое решении системы (18) может быть изображено движением точки по тору, причем закон движения в каждый момент времени определяется той точкой тора, через которую траектория в этот момент проходит. Это объясняется тем, что функции заданы на торе. Таким образом, весь тор Р оказывается покрытым траекториями, каждые две из которых либо не пересекаются либо совпадают. В частности, если траектория пересекает самое себя, то она либо замкнута, либо является положением равновесия.

Изображение, фазовых траекторий системы (18) не на плоскости, а на поверхности тора отражает специфическое свойство системы (18) (периодичность функций ) и удобно при ее изучении.

4. Каждое решение автономной системы уравнений

записывается в виде:

(19)

где r и -- константы. Система уравнений (19) определяет в трехмерном пространстве R переменных t, х, у винтовую спираль при и прямую линию (именно, ось t) при r = 0.

В фазовой плоскости S переменных х и у та же система уравнений (19) определяет окружность при и точку (положение равновесия) при r = 0. Переход от кривых в пространстве R к кривым плоскости S осуществляется проектированием в направлении оси t на координатную плоскость ху.

5. Каждое решение неавтономной системы уравнений

записывается в виде:

(20)

где a и b -- константы. Из общей теории известно (единственность решения), что в трехмерном пространстве R переменных t, х, у две кривые, определяемые системой уравнении (20), либо не пересекаются, либо совпадают. Для того, чтобы получить проекцию кривой, определяемой системой (20), на плоскость S переменных х, у, следует из системы (20) исключить t. Производя это исключение, получаем:

Это уравнение определяет на плоскости ху параболу с осью, направленной вдоль положительной полуоси х и вершиной в точке (а, b). Две такие параболы: одна с вершиной в точке , а другая с вершиной в точке -- не пересекаются лишь в случае, если . Если же , то соответствующие параболы пересекаются (в одной точке). Пересечение траекторий происходит потому, что исходная система дифференциальных уравнений неавтономна. Поэтому изображение решений на плоскости ху в случае неавтономной системы нецелесообразно.

§ 11. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

Здесь будут построены фазовые траектории на фазовой плоскости системы

(1)

или в векторной форме

(2)

с постоянными действительными коэффициентами . При этом нам придется разобрать, несколько различных случаев, так как фазовая картина траекторий системы существенно зависит от значении коэффициентов.

Следует заметить, что начало координат (точка (0, 0)) всегда является положением равновесия системы (1). Это положение равновесия тогда и только тогда является единственным, когда детерминант матрицы отличен от нуля, или, что то же, оба собственных значения этой матрицы отличны от нуля.

Допустим, что собственные значения матрицы А действительны, различны и отличны от нуля. Тогда, как это следует из результатов § 9 (теорема 8) произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде:

(3)

Здесь и -- действительные линейно независимые собственные векторы матрицы А; и -- его действительные собственные значения, а и -- действительные константы. Решение (3) разложим по базису , положив

(4)

тогда мы будем иметь:

(5)

Координаты на фазовой плоскости Р системы (1) вообще говоря, не являются прямоугольными, поэтому отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Р* таким образом чтобы при этом векторы , перешли во взаимно ортогональные единичные векторы плоскости Р*, направленные соответственно по оси абсцисс и оси ординат (рис. 8). Точка плоскости Р перейдет при этом отображении в точку с декартовыми прямоугольными координатами в плоскости Р*. Таким образом, траектория заданная, параметрическими уравнениями (5) а плоскости Р перейдет в траекторию (которую мы также назовем фазовой), заданную теми же уравнениями в прямоугольных координатах плоскости Р*. Мы начертим сперва траектории, заданные уравнениями (5) в плоскости Р*, и затем отобразим их обратно в плоскость Р.

Рис. 8.

Наряду с фазовой траекторией (5) в плоскости Р* имеется траек-тория, задаваемая уравнениями

(6)

а также траектория, задаваемая уравнениями

(7)

Траектория (6) получается из траектории (5) зеркальным отражением относительно оси абсцисс, а траектория (7) -- относительно оси ординат. Таким образом, указанные два зеркальных отображения оставляют картину траекторий на плоскости Р* инвариантной. Из этого видно, что если вычертить траектории в первом квадранте, то уже легко представить себе всю фазовую картину в плоскости Р*.

Отметим что при мы получаем движение точки, описывающее положение равновесия (0, 0). При получаем движение, описывающее положительную полуось абсцисс, при получаем движение, описывающее положительную полуось ординат. Если , то движение, описывающее положительную полуось абсцисс, протекает в направлении к началу координат, если же , то движение это имеет противоположное направление от начала координат. В первом случае точка движется, неограниченно приближаясь к началу координат, во второй -- неограниченно удаляясь в бесконечность. То же справедливо и относительно движения, описывающего положительную полуось ординат. Если и положительны, то движение точки протекает в первой четверти, не выходя на ее границу.

Дальнейшее, более детальное описание фазовой плоскости проведем отдельно для нескольких случаев - в зависимости от знаков чисел .

А) Узел. Допустим, что оба числа и отличны от нуля и имеют один знак, причем

(8)

Разберем сперва случай, когда , .

При этих предположениях движение по положительной полуоси абсцисс направлено к началу координат, точно так же, как движе-ние по положительной полуоси ординат. Далее, движение по произ-вольной траектории внутри первого квадранта состоит в асимптотическом приближении точки к началу координат, причем траекто-рия при этом касается оси абсцисс в начале координат. При t, стремящемся к , точка движется так, что абсцисса и ордината ее бесконечно возрастают, но возрастание ординаты сильнее, чем воз-растание абсциссы, т. е. движение идет в направлении оси ординат. Эта фазовая картина называется устойчивом узлом (рис. 9, а). Если наряду с неравенством (8) выполнены неравенства

то траектории остаются прежними, но движение по ним направлено в противоположном направлении. Мы имеем неустойчивый узел (рис. 9, б).

а) Рис. 9. б)

Б) Седло. Допустим, что числа и имеют противоположные знаки. Для определенности предположим, что . В этом случае движение по положительной полуоси абсцисс идет к началу координат, а движение по положительной полуоси ординат -- от начала координат. Траектории, лежащие внутри первого квадранта, напоминают по своему виду гиперболы, а движения по ним про-исходят в направлении к началу вдоль оси абсцисс, и в направлении от начала вдоль оси ординат. Эта фазовая картина называется седлом (рис. 10).

Рисунки 9, а, б и 10 дают картину траекторий на вспомогательной фазовой плоскости Р*. Расположение траекторий на фазовой плоскости Р получается из этого с помощью аффинного преобразования и зависят от положения собственных векторов (см., например, рис. 11 и 12).

Рассмотрим теперь случай, когда собственные значения матрицы А комплексны. В этом случае они комплексно сопряжены и могут быть обозначены через и , причем . Собственные векторы матрицы А могут быть выбраны сопряженными, так что их можно обозначить через h и . Положим:

где и -- действительные векторы. Векторы и линейно независимы, так как в случае линейной зависимости между ними мы имели бы линейную зависимость между h и . Итак, векторы и можно принять, за базис фазовой плоскости Р уравнения (2).

Произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде:

(9)

где с -- комплексная константа. Пусть

тогда мы имеем:

Отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Р* комплексного переменного так, чтобы вектор перешел в единицу, а вектор - в i; тогда вектору будет соответствовать комплексное число . В силу этого отображения фазовая траектория (9) перейдет в фазовую траекторию на плоскости Р*, описываемую уравнением

(10)

Рис. 11. Рис. 12.

В) Фокус и центр. Перепишем уравнение (10) в полярных координатах, положив

Таким образом, получаем:

это есть уравнение движения точки в плоскости Р*. При каждая траектория оказывается логарифмической спиралью. Соответствующая картина на плоскости Р называется фокусом. Если , то точка при возрастании t асимптотически приближается к началу координат, описывая логарифмическую спираль. Это - устойчивый фокус (рис. 13, а). Если , то точка уходит от начала координат в бесконечность, и мы имеем неустойчивый фокус (рис. 13, б). Если число равно нулю, то каждая фазовая траектория, кроме положения равновесия (0,0), замкнута, и мы имеем так называемый центр (рис. 14).

а) Рис. 13 б)

Рисунки 13 и 14 дают картину во вспомогательной фазовой плоскости; в плоскости Р картина аффинно искажается (см., например, рис. 15 и 16).

Рис. 14. Рис. 15.

Выше мы рассматривали так называемые невырожденные случаи: корни и различны и отличны от нуля. Малое изменение элементов матрицы не меняет в этих предположениях общего характера поведения фазовых траекторий. Исключение составляет случай центра: при малом изменении элементов матрицы равенство может нарушиться, и центр перейдет в устойчивый или неустойчивый фокус.

ГЛАВА III. теоремы существования

§ 12. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения

В этом параграфе будет дано доказательство сформулированной в § 1 теоремы 1 существования и единственности для одного уравнения первого порядка

(1)

правая часть которого определена и непрерывна вместе со своей частной производной на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных t, х. Доказательство теоремы 2, приводимое в следующем параграфе, представляет собой усложнение доказательства теоремы 1 и содержит его как частный случай. Доказательство теорем 1 и 2 проводится методом последовательных приближений, принадлежащим Пикару и применяемым в анализе при доказательстве многих теорем существования. Этот метод является одновременно методом приближенного вычисления решения и потому имеет большую практическую ценность. В некоторых случаях метод последовательных приближений может быть истолкован как метод сжатых отображений.

Основные идеи доказательства

Первым шагом при доказательстве теоремы 1 методом последовательных приближений является переход от дифференциального уравнения к интегральному, который мы формулируем в виде отдельного предложения.

А) Пусть -- некоторое решение уравнения (1), определенное на интервале , так что выполнено тождество

(2)

и пусть

(3)

- некоторое начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что тогда для функции на всем интервале выполнено интегральное тождество

(4)

Обратно если для некоторой непрерывной функции на интервале выполнено тождество (4), то функция дифференцируема, является решением уравнения (1) и удовлетворяет начальному условию (3). Кратко говоря интегральное уравнение (4), эквивалентно дифференциальному уравнению (2) вместе с начальным условием (3).

Докажем это. Допустим сначала, что выполнено соотношение (4). Заменяя в нем переменное t его значением , получаем: . Таким образом, из (4) вытекает (3). Далее, правая часть тождества (4) очевидно дифференцируема по t, а потому дифференцируема по t и левая его часть. В результате дифференцирования тождества (4), получаем тождество (2).

Допустим теперь, что выполнены соотношения (2) и (3). Интегрируя соотношение (2) в пределах от до t, получаем:

В силу соотношения (3) из последнего равенства получаем (4).

Таким образом, предложение А) доказано.

Введем теперь некоторые обозначения, используемые ниже при доказательстве теоремы 1.

Б) Пусть - такая непрерывная функция, определенная на некотором отрезке , что ее график расположен в открытом множестве Г, и - некоторая точка отрезка . Тогда, пользуясь правой частью тождества (4), можно функции поставить в соответствие функцию , определенную также на отрезке , при помощи равенства

(5)

(график функции , конечно, уже может не проходить в множестве Г). Таким образом, правую часть тождества (4) можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции функцию . Обозначая этот оператор одной буквой А, мы запишем соотношение (5) в виде формулы

(6)

Пользуясь оператором А, интегральное уравнение (4) можно записать в виде:

(7)

В) Пусть, - некоторая непрерывная функция, определенная на отрезке . Нормой этой функции называется максимум ее модуля

Если и - две непрерывные функции, заданные на отрезке , то норма их разности является неотрицательным числом, оценивающим, насколько сильно отличаются эти функции друг от друга. Если число мало, то функции и «близки» друг к другу. Равенство = 0 имеет место тогда и только тогда, когда функции и тождественно совпадают. Пользуясь понятием нормы, легко можно формулировать известное из курса анализа условие равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пусть

(8)

- последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке . Последовательность (8) равномерно сходится к функции , определенной на том же отрезке , если

Для того, чтобы последовательность (8) равномерно сходилась, достаточно, чтобы имели место неравенства

где числа образуют сходящийся ряд.

Прежде чем перейти к детальному проведению доказательства теоремы 1, изложим кратко суть метода последовательных приближений, применяемого для решения уравнения (7). Строится последовательность

(9)

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности (9) определяется через предыдущую при помощи равенства

(10)

Если график функции , проходит в множестве Г, то функция , равенством (10) определяется, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график функции проходил в множестве Г. Этого, как мы покажем, удается до-стичь, выбрав отрезок достаточно коротким. Далее, также за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности (9) выполнялись неравенства

(11)

где 0<k<1. Из неравенства (11) следуют неравенства

и, таким образом, последовательность (9) равномерно сходится (см. В)). Далее уже легко устанавливается, что предел последовательности (9) удовлетворяет уравнению (7).

Ту же конструкцию можно описать несколько иным способом - в форме метода сжатых отображений. Выберем некоторое семейство функций, заданных на отрезке (причем ), так, чтобы графики этих функций проходили в множестве Г. Допустим еще, что в отношении оператора А семейство удовлетворяет следующим двум условиям: 1) применяя оператор А к любой функции семейства , мы вновь получаем функцию семейства ; 2) существует такое число k, 0<k<1, что для двух произвольных функций и семейства выполнено неравенство

В этом смысле отображение А является сжатым (правильнее было бы сказать «сжимающим»).

Легко видеть, что если для семейства выполнены формулированные условия, то, исходя из произвольной его функции , мы по индуктивной формуле (10) получим бесконечную последовательность (9), удовлетворяющую условию (11), и, как было отмечено выше, равномерно сходящуюся к решению уравнения (7).

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1 на основе изложенных соображений.

Доказательство теоремы 1

Начальные значения и искомого решения уравнения (1) являются координатами точки , лежащей в множестве Г. Выберем прежде всего какой-либо прямоугольник П с центром в точке со сторонами, параллельными осям, целиком вместе со своей границей содержащихся в множестве Г (рис. 17). Длину горизонтальной (параллельной оси t) стороны прямоугольника П обозначим через 2q, а длину вертикальной стороны - через 2а. Таким образом, точка тогда и только тогда принадлежит прямоугольнику П, когда выполнены неравенства:

, (12)

Так как прямоугольник П есть замкнутое множество, содержащееся в Г, то непрерывные на нем функции f и ограничены, и потому существуют такие положительные числа М и К, что для t и x, удовлетворяющих условиям (12), выполнены неравенства

, (13)

Наряду с прямоугольником П будем рассматривать более «узкий» прямоугольник , определяемый неравенствами

, (14)

где

(см. рис. 17). Более точно число r определим далее. Обозначим через семейство всех непрерывных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в прямоугольнике . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству , когда для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

(15)

Постараемся теперь выбрать число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия:

а) Если функция принадлежит семейству , то функция (см. (5), (6)) также принадлежит семейству .

б) Существует такое число что для любых двух функций и семейства имеет место неравенство

(16)

Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция принадлежала семейству необходимо и достаточно, чтобы при было выполнено неравенство

В силу (5) и (13) мы имеем:

Из этого видно, что при

(17)

условие а) выполнено.

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

,

.

Вычитая второе равенство из первого, получаем:

(18)

Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь формулой Лагранжа и вторым из неравенств (13):

; (19)

здесь - число, заключенное между и и, следовательно, удовлетворяющее неравенству . Из (18) и (19) следует:

Таким образом, условие б) выполнено, если число меньше единицы, т. е. если

(20)

Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (14), (17) и (20), то для семейства выполнены условия а) и б). В дальнейшем будем считать число r выбранным таким образом, что неравенства (14), (17) и (20) для него выполнены.

Построим теперь последовательность

(21)

функций, определенных на отрезке , положив:

(22)

(23)

Так как функция (22) принадлежит семейству , то и все функции последовательности (21) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (15)):

В силу (16) получаем:

,

откуда

Таким образом, и силу В), последовательность (21) равномерно сходится на отрезке к некоторой непрерывной функции . Так как все функции последовательности (21) принадлежат семейству то и функция принадлежит ему (см. (15)). Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (7). Для этого заметим, что последовательность

равномерно сходится к функции ; действительно, мы имеем:

.

Переходя в соотношении (23) к пределу при , получаем:

Итак, существование решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (3), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где r - произвольное число, удовлетворяющее неравенствам (14), (17) и (20).

Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть и - два решения уравнения (1) с общими начальными значениями , и -- интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений и ; очевидно, что . Покажем, что если решения и совпадают в некоторой точке интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где r - достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины , могут быть приняты за начальные значения обоих решений и . В этом смысле точка ничем не отличается от точки , и поэтому мы сохраним за точкой обозначение : это позволит нам сохранить и другие прежние обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (1) к интегральному уравнению (4), мы получаем для обеих функций и интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде:

. (24)

Выберем теперь, как и прежде, в открытом множества Г прямоугольник П с центром в точке , а затем прямоугольник таким образом, чтобы число r кроме неравенств (14), (17), (20) удовлетворяло еще тому условию, что при функции и определены и удовлетворяют неравенствам

Это возможно, так как функции и непрерывны. Тогда функции и , рассматриваемые на отрезке , входят в семейство , и, следовательно, в силу неравенства (16) и соотношений (24) получаем:

,

а это возможно только тогда, когда , т.е. когда функции и совпадают на отрезке .

Докажем теперь, что функции и совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, именно, что существует точка интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что

Обозначим через N множество всех тех точек отрезка , для которых , и докажем, что множество N замкнуто. В самом деле, пусть - последовательность точек множества N, сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций и ,

,

т.е. точка также принадлежит множеству N.

Обозначим через точную верхнюю грань множества N. Так как N замкнуто, то принадлежит этому множеству, т. е. ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции и должны совпадать на некотором интервале , и точка не может быть точной верхней гранью множества N. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Итак, теорема 1 доказана.

Пример

Для весьма простого уравнения найдем решение методом последовательных приближений. Решение будем искать с начальными значениями

Соответствующее интегральное уравнение запишется в виде:

Будем строить теперь последовательность

Мы имеем:

,

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пределом этой последовательности (равномерно сходящейся на любом отрезке числовой оси) является функция .

§13. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений

Здесь будет доказана сформулированная и §2 теорема 2 существования и единственности для нормальной системы уравнений

 (1)

правые части которые вместе с их частными производными определены и непрерывны на некотором открытом множестве Г пространства переменных . Полагая

, (2)

,

мы перепишем систему (1) в векторной форме:

. (3)

Доказательство будет проводиться в векторной форме методом последовательных приближений, и будет представлять собой почти буквальное повторение доказательства теоремы 1, данного в предыдущем параграфе.

Вспомогательные предложения

Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозначениями, установим прежде всего некоторые естественные определения и простые неравенства для векторов и векторных функций.

Длина или модуль вектора (2), как известно, определяется формулой

.

Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два вектора, то имеет место неравенство

.

Из этого неравенства следует аналогичное неравенство и для про-извольного числа векторов именно:

(4)

Пусть -- непрерывная векторная функция действительного переменного t, т. е. вектор, координаты которого являются непрерывными функциями переменного t. Если функция определена на интервале , то при на том же интервале можно определить векторную функцию

,

задав компоненты вектора формулами

;

при этом имеет место неравенство

. (5)

Установим еще одно неравенство для векторной функции

векторного переменного х, заданной на выпуклом множестве пространства переменных . Предположим, что имеют место неравенства:

,

где К -- положительное число. Оказывается тогда, что для двух любых точек х и у множества выполнены неравенства

. (6)

Так же, как при доказательстве теоремы 1, от дифференциального уравнения (3) перейдем к интегральному.

А) Пусть -- некоторое решение дифференциального уравнения (3), так что выполнено тождество

(7)

и пусть

 (8)

-- начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному соотношению

(9)

Докажем это. Допустим, что выполнено интегральное тождество (9). Подставляя в него , получаем равенство (8), а дифференцируя его по t, получаем тождество (7). Допустим теперь, что выполнены соотношения (7) и (8). Интегрируя соотношение (7) в пределах от и и принимай во внимание соотношение (8), мы получаем соотношение (9).

Б) Пользуясь правой частью тождества (9), каждой векторной функции , график которой проходит в множестве Г, поставим в соответствие функцию , положив:

. (10)

Кратко, в операторной форме то же соотношение запишем в виде:

. (11)

Уравнение (9) теперь может быть записано в виде:

. (12)

В) Пусть -- непрерывная векторная функция, заданная на отрезке . Определим норму этой функции, положив:

Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равномерной сходимости последовательности

(13)

непрерывных векторных функций, заданных на отрезке . Последовательность (13) векторных функций равномерно сходится к непрерывной функции , заданной на том же отрезке , если

.

Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, достаточно, чтобы были выполнены неравенства

где числа образуют сходящийся ряд.

Прейдем теперь к доказательству теоремы 2.

Доказательство теоремы 2

Так как точка принадлежит открытому множеству Г, то существуют такие положительные числа q и a, что все точки , удовлетворяющие условиям

, (14)

лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех точек удовлетворяющих условиям (14), замкнуто и ограничено (рис.18), то. непрерывные функции

и ,

ограничены на нем, т. е. существуют такие положительные числа М и К, что

, (15)

на множестве П.

Наряду с множеством П рассмотрим содержащееся в нем множество определяемое неравенствами

,

где

(16)

(рис. 18). Обозначим через семейство всех непрерывных векторных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству когда