Уравнение Бернулли. Методы нахождения общего решения. Особое решение
Методы построения общего решения уравнения Бернулли. Примеры решения задач с помощью него. Особое решение уравнения Бернулли и его особенности. Понятие дифференциального уравнения, его виды и свойства. Значение уравнения Бернулли в математике и физике.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.11.2011 |
| Размер файла | 183,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга
Кафедра математики и физики
Дисциплина Дифференциальные уравнения
Курсовая работа
Уравнение Бернулли. Методы нахождения общего решения. Особое решение
Выполнила:
студентка 4 курса
физико-математического факультета
очного отделения специальности
«Прикладная математика и информатика»
Цой Алина Дмитриевна
Научный руководитель:
доцент кафедры математики и физики
Гудима Владимир Николаевич
Петропавловск-Камчатский, 2011
Оглавление
Введение
1. Уравнение Бернулли
2. Методы построения общего решения уравнения Бернулли
3. Особое решение уравнения Бернулли
4. Примеры решения задач с помощью уравнения Бернулли
Заключение
Библиографический список
Введение
В данной курсовой работе рассматривается один из важных вопросов курса дифференциальных уравнений - уравнение Бернулли. Оно является оптимальным и практичным методом решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.
Цель курсовой работы:
- Рассмотреть уравнение Бернулли;
- Изучить методы построения общего решения уравнения Бернулли;
- Рассмотреть особое решение уравнения Бернулли как особый случай;
- Рассмотреть применение данного уравнения на практических задачах.
Курсовая работа состоит из введения, четырех параграфов, заключения и списка использованной литературы.
Во введении дается краткое обоснование поставленных задач.
Первый параграф содержит общие понятия понятие дифференциального уравнения, неоднородного, линейного дифференциального уравнения; определяется понятие уравнения Бернулли.
Второй параграф рассматривает общие методы построения общего решения уравнения Бернулли.
Третий параграф акцентирует внимание на особом решении уравнения Бернулли, рассматривает его особенность.
В четвертом параграфе рассматривается применение метода Бернулли на примерах различных задач.
В заключении делается вывод о значении уравнения Бернулли в различных областях математики и физики, его применении в данных областях.
1. Понятие дифференциального уравнения. Уравнение Бернулли
Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.
В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.
Определение. Дифференциальное уравнение -- уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. ДУ содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные.
Одним из видов обыкновенного дифференциального уравнения является линейное дифференциальное уравнение.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде:
где p(x) и g(x)- заданные функции, в частном случае - постоянные.
Уравнение Бернулли всегда может быть сведено к ЛДУ.
Определение. Дифференциальное уравнение вида:
называется уравнением Бернулли. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.
Будем считать, что отлично от 0 и 1, ибо в этих случаях уравнение Бернулли вырождается в линейное. Относительно функций и будем предполагать, что они непрерывны в интервале .
2. Методы построения общего решения уравнения Бернулли
Первый способ. Преобразуем сначала правую часть уравнения Бернулли к виду правой части линейного уравнения. Для этого разделим обе части уравнения на уравнение бернулли дифференциальный математика
Введем теперь новую неизвестную функцию , положив
Тогда
Поэтому умножая обе части уравнения (2) на и выполняя подстановку (3), приходим к линейному уравнению
. (5)
Интегрируя это уравнения и возвращаясь к переменной , получим общее решение уравнения Бернулли в виде
. (6)
Второй способ. Произведем замену: . Тогда . Подставляя замененные переменные, получаем:
Подберем , так чтобы было
Для этого достаточно решить уравнение с разделяющими переменными первого порядка. После этого для определения получаем уравнение
- уравнение с разделяющимися переменными.
3. Особое решение уравнения Бернулли
Деля уравнение на , мы могли потерять решение Очевидно, что это могло случиться лишь при (так как при функция не является решением уравнения Бернулли). Далее, если , то решение содержится в формуле (6) при . Оно является частным решением, потому что через точки оси не проходит ни одна интегральная кривая, кроме самой оси , так что во всякой точки оси решение существует и единственно.
Если же , то решение не содержится в формуле общего решения (6) и является особым, так как в каждой точке этого решения нарушается единственность решения задачи Коши. Решение может быть получено из формулы (6) при .
4. Примеры решения задач с помощью уравнения Бернулли
Рассмотрим некоторые примеры решения дифференциальных уравнений с помощью уравнения Бернулли.
Пример 1.
Уравнение
разделим на , получаем:
Замена переменных дает:
Умножаем на
Результат:
.
Пример 2.
Уравнение
.
Произведем замену:
Получим:
Разделим правую и левую части на (-2), получаем:
Замена:
Отсюда получим:
Таким образом,
Заключение
Уравнение Бернулли широко используется в различных математических и физических областях наук.
Основное применение данное уравнение нашло в физике. С помощью него можно вывести уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, в общем случае уравнение Бернулли является специальным выражением основного физического закона сохранения энергии. С помощью уравнения Бернулли описывается переходный процесс в электрической цепи, скольжение веревки.
Уравнение Бернулли применяется в различных задачах геометрии.
Уравнение Бернулли является важным вопросом в изучении курса дифференциальных уравнений, он непрерывно связан с последующими изучаемыми темами и разделами данного курса.
Библиографический список
1. В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
2. Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
3. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.
4. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений (3-е изд.). Мн.: Наука и техника, 1979.
5. Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский. Дифференциальные уравнения. -- М.: Физматгиз, 1962.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Правила применения уравнения Бернулли для определения возможности наступления события. Использование формул Муавра-Лапласа и Пуассона при неограниченном возрастании числа испытаний. Примеры решения задач с помощью теоремы Бернулли о частоте вероятности.
курсовая работа [265,6 K], добавлен 21.01.2011Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
курсовая работа [160,5 K], добавлен 23.12.2010Определение вероятности наступления события по формуле Бернулли. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы для случайной величины. Вычисление коэффициента корреляции, получение уравнения регрессии. Пример решения задачи симплекс-методом.
контрольная работа [547,6 K], добавлен 02.02.2012Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.
реферат [111,0 K], добавлен 24.08.2015
