Теория вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. За последний период времени 500 автомобилей было возвращено на автомобильный завод из-за наличия дефектов, причем 100 из них были выпущены в понедельник, 100 во вторник, 100 в среду, 100 в четверг и 100 в пятницу. Оказалось, что 40 автомобилей нуждаются в устранении серьезных неполадок, возникших в течение гарантийного периода. Среди автомобилей, выпущенных в пятницу, 15 имеют серьезные неполадки. Являются ли события А="автомобиль был выпущен в пятницу" и В="автомобиль имеет серьезные неполадки" независимыми? Сравнить вероятности Р(В) и Р(В/А)

Условная вероятность Р(В / А) = Р_A(В) ? это вероятность осуществления события В при условии, что событие А уже произошло (причем последнее не является невозможным, т.е. Р(А) > 0). Эту вероятность можно вычислить по формуле

В нашем случае Р_A(В) - вероятность того, что автомобиль, который был выпущен в пятницу, имеет серьезные неполадки

- вероятность того, что автомобиль был выпущен в пятницу.

- вероятность того, что автомобиль был выпущен в пятницу и имеет серьезные неполадки.

По классическом определению вероятности, вероятность того, что автомобиль был выпущен в пятницу: .

Вероятность того, что автомобиль был выпущен в пятницу и имеет серьезные неполадки:

Тогда

Вероятность что автомобиль имеет серьезные неполадки:

Т.к. следовательно, события зависимые.

2. Известно, что 40% пациентов, у которых выявлено некоторое заболевание "альфа", должны сделать операцию. В палате находятся четверо больных, которым недавно поставлен диагноз "альфа". Какова вероятность того, что операцию сделает только один из них (все равно кто именно)

По формуле Бернулли

В данном случае р=0,4 - вероятность что пациенту нужно сделать операцию, q=1-р=0,6, n=4, к=1

Вероятность, что операцию сделает только один из пациентов:

3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта

1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

2)Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-500	-200	200	600	900
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

У	-100	100	200	300	500
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Z	-500	-200	200	600	900
р	0.015	0.035	0.9	0.035	0.015

Ожидаемый доход проекта можно найти как математическое ожидание дискретной случайной величины:

М(Х) =

М(Х)=-500*0,1-200*0,2+200*0,4+600*0,2+900*0,1=200

М(У)=-100*0,1+100*0,2+200*0,4+300*0,2+500*0,1=200

М(Z)=-500*0,015-200*0,035+200*0,9+600*0,035+900*0,015=200

Т.е. ожидаемый доход по каждому из проектов составляет 200 д.е.

Рискованность инвестиций определим как среднее квадратическое отклонение соответствующей случайной величины.

D(X) = M(X²) - (M(X))²

M(X²)= (-500)²*0,1+(-200) ²*0,2+(200) ²*0,4+(600) ²*0,2+(900) ²*0,1=202000

D(X) = 202000 - 200²=162 000

M(У²)= (-100)²*0,1+(100) ²*0,2+(200) ²*0,4+(300) ²*0,2+(500) ²*0,1=62000

D(У) = 62000 - 400²=22 000

M(Z²)= (-500)²*0,015+(-200) ²*0,035+(200) ²*0,9+(600) ²*0,035+ (900) ² * 0,015 =65900

D(Z) = 65900 - 400²=25 900

Следовательно, наименее рисковый проект В и менеджер должен выбрать именно его.

У	-100	100	200	300	500
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Для нахождения функции распределения воспользуемся её определением применительно к каждому промежутку изменения случайной величины

у?-100	F(у)=P(у<-100)=0
-100?у?100	F(у)=P(у<100)=p0=0,1
100?у?200	F(у)=P(у<200)=p0+p1=0,1+0,2=0,3
200?у?300	F(у)=P(у<300)=p0+p1+p2=0,7
300?у?500	F(у)=P(у<500)=p0+p1+p2+p3=0,9
500?у??	F(у)=1

Итак, искомая функция распределения выглядит следующим образом:

Вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода, т.е. у<0 или в данном случае у<100

P(y<100)=0.1

4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-2<X<3)

Показатель экспоненты приравняем к , откуда а = -3 , ??= 2. Числовой коэффициент должен быть равен А, следовательно, , M (X) = a = -3, D(X) = ??² = 2.

Р(x₁ < X < x₂) = ,

где а и s - параметры нормального закона. Следовательно,

Р(-2 < X < 3) =

Получены статистические данные зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 1).

Таблица 1

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
X	168	169	156	171	175	159	167	169	170	156	168	169
Y	90	91	81	89	96	90	88	97	90	84	85	79
N	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
X	164	171	174	176	170	173	171	169	155	174	176	160
Y	89	86	89	94	85	95	89	83	86	90	89	88
N	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
X	172	172	163	187	172	161	176	164	166	168	162	163
Y	88	91	89	99	90	85	88	84	82	82	82	89

N	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48
X	172	175	156	164	167	177	183	163	172	172	172	173
Y	90	88	82	92	89	93	90	91	99	85	89	96

N	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
X	163	166	178	169	171	165	175	171	186	165	164	163
Y	86	86	89	91	80	93	95	97	92	93	89	91

N	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72
X	173	173	177	173	156	172	160	176	171	169	163	163
Y	89	84	92	90	88	82	87	87	83	88	88	94

N	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84
X	172	178	166	164	171	163	163	182	163	169	164	164
Y	99	102	85	87	90	93	88	90	88	87	91	85

N	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96
X	170	176	163	179	176	182	169	159	169	166	165	167
Y	96	82	91	99	93	95	96	91	92	87	87	89

N	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108
X	173	170	170	169	164	177	173	166	161	162	190	167
Y	96	90	88	91	91	95	90	99	94	100	105	91

N	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
X	160	165	156	157	174	168	176	170	173	168	164	164
Y	87	94	89	91	91	86	92	95	93	93	92	88

N	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132
X	172	173	173	165	167	173	184	163	179	161	162	158
Y	91	86	101	93	82	91	98	80	92	82	82	85
N	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144
X	171	177	164	166	171	174	170	174	169	174	169	175
Y	87	87	84	84	86	93	86	97	83	90	85	85

N	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156
X	167	172	168	163	168	161	173	164	167	164	173	176
Y	85	94	93	96	92	81	91	89	86	83	97	88

N	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168
X	172	167	173	161	171	169	161	170	174	168	164	170
Y	91	90	93	78	95	88	87	89	91	83	90	88

N	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
X	164	162	166	172	169	169	163	178	166	168	168	180
Y	97	84	89	89	88	84	88	98	90	90	87	90

N	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192
X	163	165	163	158	171	175	170	165	184	169	167	167
Y	86	87	93	91	94	97	93	89	93	89	84	88

N	193	194	195	196	197	198	199	200	201	202	203	204
X	179	165	173	161	166	164	159	175	169	172	172	167
Y	85	84	89	91	91	87	83	89	91	96	87	91

N	205	206	207	208	209	210	211	212	213	214	215	216
X	160	156	161	174	167	174	167	168	168	167	167	171
Y	81	85	92	92	85	86	86	85	83	84	90	100

N	217	218	219	220	221	222	223	224	225	226	227	228
X	168	162	174	173	173	165	167	172	176	174	171	169
Y	92	91	88	92	96	93	92	99	93	98	92	91

N	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240
X	161	173	170	176	171	166	171	167	156	167	166	167
Y	82	87	98	90	87	78	88	78	85	88	89	89
N	241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252
X	173	169	176	168	163	169	164	170	172	166	163	164
Y	90	87	88	91	82	87	88	85	90	87	92	84

N	253	254	255	256	257	258	259	260	261	262	263	264
X	166	175	162	164	164	164	167	170	161	174	165	171
Y	88	90	85	84	84	90	83	81	79	91	88	82

N	265	266	267	268	269	270	271	272	273	274	275	276
X	166	172	170	180	164	184	168	172	165	176	171	169
Y	89	88	90	90	88	101	88	91	87	86	83	96

N	277	278	279	280	281	282	283	284	285	286	287	288
X	171	170	164	167	164	165	162	164	178	159	171	169
Y	89	87	85	86	87	88	80	86	92	86	90	90

N	289	290	291	292	293	294	295	296	297	298	299	300
X	169	178	180	167	164	170	165	181	170	173	182	166
Y	87	90	85	81	87	86	94	89	92	90	88	90

N	301	302	303	304	305	306	307	308	309	310	311	312
X	163	165	180	162	171	171	161	167	167	169	178	164
Y	87	87	90	81	94	92	84	83	85	92	92	92

N	313	314	315	316	317	318	319	320	321	322	323	324
X	171	168	177	161	172	154	170	167	162	168	168	173
Y	94	81	99	80	94	84	92	83	87	90	92	90

N	325	326	327	328	329	330	331	332	333	334	335	336
Х	162	165	171	161	159	163	163	170	173	173	170	168
Y	89	84	91	85	81	88	93	96	95	90	92	88

N	337	338	339	340	341	342	343	344	345	346	347	348
X	169	175	161	171	171	169	170	171	166	171	169	177
Y	87	88	81	91	91	91	90	88	94	90	89	94
N	349	350	351	352	353	354	355	356	357	358	359	360
X	158	167	166	176	163	161	168	172	156	166	165	165
Y	85	95	96	87	84	83	81	98	85	82	93	91

N	361	362	363	364	365	366	367	368	369	370	371	372
X	166	167	167	171	165	160	157	165	166	157	165	165
Y	84	89	85	84	94	85	82	90	88	88	87	91

N	373	374	375	376	377	378	379	380	381	382	383	384
X	160	166	168	186	171	170	170	167	169	168	162	178
Y	83	87	92	92	85	91	90	90	90	84	85	87

N	385	386	387	388	389	390	391	392	393	394	395	396
X	176	161	171	159	168	167	178	169	163	169	170	187
Y	96	87	90	80	97	91	91	90	86	90	88	86

N	397	398	399	400	401	402	403	404	405	406	407	408
X	174	162	165	164	173	162	179	162	166	176	175	155
Y	86	85	85	84	95	82	88	92	88	95	95	85

N	409	410	411	412	413	414	415	416	417	418	419	420
X	161	168	165	165	164	171	169	171	163	171	172	165
Y	83	98	86	94	94	89	82	90	88	90	94	89

N	421	422	423	424	425	426	427	428	429	430	431	432
X	170	173	169	169	167	162	170	175	175	170	168	185
Y	93	85	92	82	85	90	84	91	90	91	90	91

N	433	434	435	436	437	438	439	440	441	442	443	444
X	166	161	176	179	167	163	167	179	180	166	171	163
Y	85	90	87	84	87	88	85	85	98	86	85	89

N	445	446	447	448	449	450	451	452	453	454	455	456
X	180	179	176	164	168	174	170	162	157	157	177	161
Y	92	92	93	83	89	96	90	86	90	82	93	84
N	457	458	459	460	461	462	463	464	465	466	467	468
X	148	168	176	166	169	168	176	167	159	164	181	165
Y	87	86	91	94	87	91	95	104	84	82	92	91

N	469	470	471	472	473	474	475	476	477	478	479	480
X	171	159	174	160	169	167	170	161	174	178	168	168
Y	92	91	88	85	89	83	91	85	87	91	90	93

N	481	482	483	484	485	486	487	488	489	490	491	492
X	165	173	166	175	158	174	178	170	167	168	161	161
Y	85	89	84	98	83	86	90	86	93	94	89	88

N	493	494	495	496	497	498	499	500
X	166	169	164	181	165	171	169	168
Y	84	85	89	90	90	90	81	80

Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.

Требуется:

1 часть.

произвести выборку из 200 значений;

построить эмпирическую функцию распределения, полигон, гистограмму для случайной величины Х;

построить точечные и интервальные оценки для мат. ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;

сделать статистическую проверку гипотезы о законе распределения случайной величины Х;

часть 2.

1) нанести на координатную плоскость данные выборки (x;y) и по виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;

2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;

вычислить коэффициент корреляции;

получить уравнение регрессии;

Произведём из генеральной совокупности N=500 выборку n=200 значений. Для этого воспользуемся таблицей случайных чисел. Для данного примера выбрана дата 7 января. В 1м столбце определили 7 номер случайного числа. Это число 9213. Значит выбранными будут столбцы №1;9;11;13.

Для представленного примера получилась выборка:

Таблица 2 "Выборочные данные X и Y"

N	34	128	47	306	415	382	213	410	474	402	188	325
X	168	163	172	171	169	168	168	168	167	162	165	162
Y	82	80	89	92	82	84	83	98	83	82	89	89

N	301	103	214	117	289	205	340	162	139	237	417	138
X	163	173	167	173	169	160	171	169	170	156	163	174
Y	87	90	84	93	87	81	91	88	86	85	88	93

N	358	30	106	33	258	224	372	138	458	265	487	152
X	166	161	162	166	164	172	165	174	168	166	178	164
Y	82	85	100	82	90	99	91	93	86	89	90	89

N	383	403	30	179	265	198	385	232	142	14	244	229
X	162	179	161	168	166	164	176	176	174	171	168	161
Y	85	88	85	87	89	87	96	90	90	86	91	82

N	358	22	202	325	413	402	227	320	111	26	489	421
X	166	174	172	162	164	162	171	167	156	172	167	170
Y	82	90	96	89	94	82	92	83	89	91	93	93

N	241	364	205	174	178	124	413	445	119	327	467	416
X	173	171	160	169	168	165	164	180	164	171	181	171
Y	90	84	81	84	90	93	94	92	92	91	92	90
N	73	316	28	187	369	247	92	242	153	196	461	107
X	172	161	187	170	166	164	159	169	167	161	169	190
Y	99	80	99	93	88	88	91	87	86	91	87	105

N	387	154	257	42	354	33	419	346	150	159	203	106
X	171	164	164	177	161	166	172	171	161	173	172	162
Y	90	83	84	93	83	82	94	90	81	93	87	100

N	191	279	185	226	489	22	55	259	303	351	68	113
X	167	164	171	174	167	174	175	167	180	166	176	174
Y	84	85	94	98	93	90	95	83	90	96	87	91

N	143	315	280	187	184	416	24	146	420	478	453	473
X	169	177	167	170	158	171	160	172	165	178	157	169
Y	85	99	86	93	91	90	88	94	89	91	90	89

N	162	145	42	470	45	480	83	262	23	465	490	292
X	169	167	177	159	172	168	164	174	176	159	168	167
Y	88	85	93	91	99	93	91	91	89	84	94	81

N	367	5	295	323	172	422	153	438	351	462	337	42
X	157	175	165	168	172	173	167	163	166	168	169	177
Y	82	96	94	92	89	85	86	88	96	91	87	93

N	139	187	242	359	90	482	106	493	66	201	274	158
X	170	170	169	165	182	173	162	166	172	169	176	167
Y	86	93	87	93	95	89	100	84	82	91	86	90

N	223	336	362	162	96	20	288	251	257	152	279	478
X	167	168	167	169	167	169	169	163	164	164	164	178
Y	92	88	89	88	89	83	90	92	84	89	85	91

N	86	439	368	203	271	395	396	94	305	341	12	128
X	176	167	165	172	168	170	187	166	171	171	169	163
Y	82	85	90	87	88	88	86	87	94	91	79	80

N	492	407	172	86	441	29	140	59	70	453	487	447
X	161	175	172	176	180	172	174	164	169	157	178	176
Y	88	95	89	82	98	90	97	89	88	90	90	93
N	105	232	94	456	80	225	147	101
X	161	176	166	161	182	176	168	164
Y	94	90	87	84	90	93	93	91

Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной величины Х.

Таблица 3 "Ранжированный ряд случайной величины Х"

X	156	156	157	157	157	158	159	159	159	160	160	160
Y	85	89	90	82	90	91	84	91	91	81	81	88
X	161	161	161	161	161	161	161	161	161	161	162	162
Y	85	85	82	80	91	81	83	88	94	84	82	89
X	162	162	162	162	162	162	163	163	163	163	163	163
Y	100	85	82	89	100	100	80	87	88	88	92	80
X	164	164	164	164	164	164	164	164	164	164	164	164
Y	90	89	87	94	94	92	88	83	84	85	91	84
X	164	164	164	164	165	165	165	165	165	165	165	166
Y	89	85	89	91	89	91	93	89	94	93	90	82
X	166	166	166	166	166	166	166	166	166	166	166	167
Y	82	89	89	82	88	82	96	96	84	87	87	83
X	167	167	167	167	167	167	167	167	167	167	167	167
Y	84	83	93	86	84	93	83	86	81	85	86	90
X	167	167	167	167	168	168	168	168	168	168	168	168
Y	89	89	92	85	88	82	84	83	98	86	87	91
X	168	168	168	168	168	168	168	169	169	169	169	169
Y	90	93	94	92	91	93	88	82	87	88	84	87
X	169	169	169	169	169	169	169	169	169	169	169	169
Y	87	85	89	88	87	91	87	88	83	90	79	88
X	170	170	170	170	170	170	170	171	171	171	171	171
Y	86	93	93	93	86	93	88	92	91	86	92	84
X	171	171	171	171	171	171	171	171	172	172	172	172
Y	91	90	90	90	94	94	91	90	89	99	91	96
X	172	172	172	172	172	172	172	172	172	172	173	173
Y	99	94	87	94	99	89	82	87	89	90	90	93
X	173	173	173	173	174	174	174	174	174	174	174	174
Y	90	93	85	89	93	93	90	98	90	91	90	91
X	174	175	175	175	176	176	176	176	176	176	176	176
Y	97	95	95	96	87	96	90	89	86	93	90	82
X	176	176	177	177	177	177	178	178	178	178	179	180
Y	82	93	93	93	93	99	91	90	91	90	88	90
X	180	180	181	182	182	187	187	190
Y	92	98	92	90	95	86	99	105

Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .

Таблица 4 "Дискретный вариационный ряд"

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	156	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167
	2	3	1	3	3	10	8	6	16	7	12	17

i	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
	168	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179
	15	17	7	13	14	6	9	3	10	4	4	1

i	25	26	27	28	29
	180	181	182	187	190
	3	1	2	2	1

В данном примере случайные величины сплошь заполняют промежуток (156;190). Число возможных значений велико. Их нельзя представить в виде случайных величин, принимающих отдельные, изолированные значения, тем самым отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Поэтому для построения вариационного ряда будем использовать интервальный ряд распределения. Весь возможный интервал варьирования разобьём на конечное число интервалов и подсчитаем частоту попадания значений величины в каждый интервал. Минимальное и максимальное значения случайной величины: Тогда интервал варьирования R ("размах") будет равен R= Длину интервала рассчитывают по формуле:

При этом значение признака, находящегося на границе интервалов относят к правой границе интервала.

На практике считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов. Часто интервальный вариационный ряд заменяют дискретным вариационным рядом, выбирая средние значения интервала (таблица №7).

Для данного примера , округлим до 4, т.е. размер интервала h=4, а число интервалов будет равно 8. Соответствующий интервальный вариационный ряд приведён в таблице №5.

Таблица 5 "Интервальный вариационный ряд"

Индекс интервала i	Рост студентов (интервалы)	Частота	Относительная частота
1	156-160	9	9/200
2	160-164	27	27/200
3	164-168	52	52/200
4	168-172	52	52/200
5	172-176	32	32/200
6	176-180	19	19/200
7	180-184	6	6/200
8	184-190	3	3/200

=1

2) После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию F*(x)=, то есть функцию найденную опытным путём. Здесь - относительная частота события Х< х, n - общее число значений.

Эмпирическое распределение можно изобразить в виде полигона, гистограммы или ступенчатой кривой.

Построим выборочную функцию распределения. Очевидно, что для функция так как . На концах интервалов значения функции рассчитаем в виде "нарастающей относительной частоты" (таблица 6).

Таблица 6 "Расчёт эмпирической функции распределения"

Индекс интервала i
1	9/200
2	9/200+27/200=36/200
3	36/200+52/200=88/200
4	88/200+52/200=140/200
5	140/200+32/200=172/200
6	172/200+19/200=191/200
7	191/200+6/200=197/200
8	197/200+3/200=200/200=1

Табличные значения не полностью определяют выборочную функцию распределения непрерывной случайной величины, поэтому при графическом изображении её доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой (рис.1).

Полученные данные, представленные в виде вариационного ряда, изобразим графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами , где - среднее значение интервала , а - относительная частота.(таблица 7 и рис.2). На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические) частоты.

Таблица 7 "Дискретный вариационный ряд"

Номер интервала i	Среднее значение интервала	Относительная частота	Выборочная оценка плотности вероятности
1	158	0,045	0,0113
2	162	0,135	0,0338
3	166	0,26	0,065
4	170	0,26	0,065
5	174	0,16	0,04
6	178	0,095	0,0238
7	182	0,03	0,0075
8	187	0,015	0,0025

Рис.1



Рис.2

Предположим, что случайная величина Х распределена нормально. В этом случае выравнивающие частоты находим по формуле:

где n-число испытаний,

h-длина частичного интервала,

-выборочное среднее квадратичное отклонение,

( - середина i - го частичного интервала)

- функция Лапласа

Результаты вычислений отобразим в таблице №8.

Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.

Таблица 8 "Расчёт выравнивающих частот"

158	-11,355	-1,888	0,067	8,925	9	0,045
162	-7,355	-1,223	0,189	25,120	26	0,13
166	-3,355	-0,558	0,341	45,425	46	0,23
170	0,645	0,107	0,397	52,771	53	0,265
174	4,645	0,772	0,296	39,384	40	0,2
178	8,645	1,438	0,142	18,883	19	0,095
182	12,645	2,103	0,044	5,816	6	0,03
187	17,645	2,934	0,005	0,716	1	0,005

Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной h=3, а на оси Y значения ,расчёт которых представлен в таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

Рис.3

3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №4.

Выборочная средняя ():

или ,

где - частоты,

а -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).

Вычисления приведем в таблице:

Таблица 9 "Расчёт среднего выборочного и дисперсии"

Номер интервала i	Среднее значение интервала	Частота
1	158	9	1422	-11,355	128,936	1160,424
2	162	27	4374	-7,355	54,096	1460,593
3	166	52	8632	-3,355	11,256	585,313
4	170	52	8840	0,645	0,416	21,633
5	174	32	5568	4,645	21,576	690,433
6	178	19	3382	8,645	74,736	1419,984
7	182	6	1092	12,645	159,896	959,376
8	187	3	561	17,645	311,346	934,038
Итого	1377	200	33871	22,160	762,258	7231,795

Выборочная дисперсия ():

=7231,795=36,159

Среднеквадратическое отклонение:

=

==6,013

Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения ("исправленную" выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:

и

==36,341 и S=6,013=6,028

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:

P(-tФ(t)=

Из соотношения Ф(z)=/2 вычисляем значение функции Лапласа: Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа находим z=1,96. Таким образом,

,

168,522<a<170,188.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находим по формуле:

где S - несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;

q - параметр, который находится по таблице на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .

На основании данных значений =0,95 и n=200 по таблице можно найти значение q=0,099. Таким образом,

,

5,485<6,617

4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5 и 7) полученные оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:

, , S=6,028.

Для расчёта теоретических частот используются табличные значения функции Лапласа Ф(z). Алгоритм вычисления состоит в следующем:

по нормированным значениям случайной величины Z находит значения Ф(z), а затем :

, =0,5+Ф().

Например,

; ; Ф(-1,88)=-0, 46995;

;

- далее вычисляются вероятности

=P(;

находим числа , и если некоторое <5, то соответствующие группы объединяются с соседними.

Результаты вычисления , , и приведены в таблице 10.

По таблице находим число по схеме: для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1=9-2-1=6=12,6. Следовательно, критическая область - (12,6;). Величина =13,2 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.

При б=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6;). Величина =13,2 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.

При б=0,01 =16,8, (16,8;). В этом случае нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.

Таблица 10 "Определение "

i			Ф()
0	158	0	-0,500	0,000	0,03005	0,030	6,010	6,01
1	158162	9	-0,3877	0,03005	0,1123	0,082	16,450	3,374012
2	162166	27	-0,21226	0,1123	0,28774	0,175	35,088	1,864334
3	166170	52	0,0438	0,28774	0,5438	0,256	51,212	0,012125
4	170174	52	0,27935	0,5438	0,77935	0,236	47,110	0,50758
5	174178	32	0,42364	0,77935	0,92364	0,144	28,858	0,342095
6	178182	19	0,48214	0,92364	0,98214	0,059	15,272	1,090529
7	182187	6	0,49831	0,98214	0,99831	0,016
8	187	3	0,5	0,99831	1	0,002

,0000

2 часть

1) Данные таблицы №3 сгруппируем в корреляционную таблицу №11.

2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4).

По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .

3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.

Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.

Рис.4

Для случайной величины Y, используя формулу , получим h=3, число интервалов равно 8. Результаты внесём в таблицу со сгруппированными данными №12.

Находим средние значения , по формулам:

,

,

,

.

Таблица 11 "Корреляционная таблица"

	105	100	99	98	97	96	95	94	93	92	91	90	89	88	87	86	85	84	83	82	81	80	79	Y/X
2													1				1							156
3												2								1				157
1											1													158
3											2							1						159
3														1							2			160
10								1			1			1			2	1	1	1	1	1		161
8		3											2				1			2				162
6										1				2	1							2		163
16								2		1	2	1	3	1	1		2	2	1					164
7								1	2		1	1	2											165
12						2							2	1	2			1		4				166
17									2	1		1	2			3	2	2	3		1			167
15				1				1	2	1	2	1		2	1	1		1	1	1				168
17											1	1	1	4	5		1	1	1	1			1	169
7									4					1		2								170
13								2		2	3	4				1		1						171
14			3			1		2			1	1	3		2					1				172
6									2			2	1				1							173
9				1	1				2		2	3												174
3						1	2																	175
10						1			2			2	1		1	1				2				176
4			1						3															177
4											2	2												178
1														1										179
3				1						1		1												180
1										1														181
2							1					1												182
2			1													1								187
1	1																							190
200	1	3	5	3	1	5	3	9	19	8	18	23	18	14	13	9	10	10	7	13	4	3	1

Для вычислений воспользуемся MS Excel.

158*83,5*2+158*86,5+…+187*102,5=3036934

Используя формулы:

,

,

Получим =,=

Таблица 12 "Сгруппированные данные выборки"

№		1	2	3	4	5	6	7	8
	XY	158	162	166	170	174	178	182	187
1	80,5		6	1	1					8
2	83,5	2	5	13	7	1	2			30
3	86,5	1	4	10	11	3	2		1	32
4	89,5	3	6	14	14	10	6	2		55
5	92,5	3	2	9	15	7	7	2		45
6	95,5		1	5	3	6	1	1		17
7	98,5				1	5	1	1	1	9
8	102,5		3						1	4
		9	27	52	52	32	19	6	3	200

4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции по формуле:

.

=

Т.к. 0,3<<0,5 -связь между X и Y умеренная.

Получаем выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде:

и выборочное уравнение линейной регрессии X на Y :

.

и

или

3. Составить математическую модель задачи и решить ее двумя способами: симплекс-методом и графически. Для полученной задачи составить двойственную и проверить оптимальность плана исходной задачи с помощью критериев оптимальности планов двойственных задач

Для кормления животных требуется составить суточный рацион, обладающий определенной питательностью, а именно он должен содержать не менее 10 единиц микроэлементов, не менее 8 кормовых единиц и не более 24 единиц биостимуляторов. Вещества, входящие в рацион, не могут быть получены в чистом виде. Они содержатся в комбикормах двух видов I и II. Известно, что в одном килограмме комбикорма каждого вида содержится соответственно a_ij (i=1,2,3; j=1,2) единиц каждого питательного вещества. Кроме того, известна себестоимость c_j (j=1,2) одного килограмма комбикорма каждого вида. Условия задачи можно кратко записать в виде следующей таблицы.

Виды питательных веществ	Виды комбикормов	Норма питательных веществ
	I	II
Микроэлементы	3	2	10
Кормовые единицы	1	3	8
Биостимуляторы	3	4	24
Себестоимость	3	2

Требуется определить, сколько килограммов комбикорма каждого вида нужно взять для составления суточного рациона, чтобы он удовлетворял условиям питательности и имел бы наименьшую себестоимость.

Обозначим через количество килограмм комбикорма первого вида, через - второго. Тогда в суточном рационе будет содержаться единиц микроэлементов, кормовых единиц, биостимуляторов.

Себестоимость рациона составит: денежных единиц.

Учитывая необходимое количество содержания питательных веществ запишем математическую модель задачи:

Решим задачу симплекс-методом:

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных

В 1-м неравенстве вводим базисную переменную x₃ со знаком минус. В 2-м неравенстве вводим базисную переменную x₄ со знаком минус. В 3-м неравенстве вводим базисную переменную x₅.

3x₁ + 2x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 10

1x₁ + 3x₂ + 0x₃-1x₄ + 0x₅ = 8

3x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 24

Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x₆; в 2-м равенстве вводим переменную x₇;

3x₁ + 2x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ = 10

1x₁ + 3x₂ + 0x₃-1x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇ = 8

3x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ + 0x₇ = 24

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

F(X) = 3x₁+2x₂ - Mx₆ - Mx₇ > max

М-очень большое положительное число.

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

x₆ = 10-3x₁-2x₂+x₃

x₇ = 8-x₁-3x₂+x₄

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = 3x₁ + 2x₂ - M(10-3x₁-2x₂+x₃) - M(8-x₁-3x₂+x₄) > max

или

F(X) = (3+4M)x₁+(2+5M)x₂+(-1M)x₃+(-1M)x₄+(-18M) > max

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₆, x₇, x₅,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,24,10,8)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	10	3	2	-1	0	0	1	0
x7	8	1	3	0	-1	0	0	1
x5	24	3	4	0	0	1	0	0
F(X0)	-18M	-3-4M	-2-5M	1M	1M	0	0	0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее: min (10 : 2 , 8 : 3 , 24 : 4 ) = 8/3

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разделим вторую строку на 3.

Умножим вторую строку на -2 и сложим с первой.

Умножим вторую строку на -4 и сложим с третьей.

Умножим вторую строку на (2+5М) и сложим с четвертой.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	14/3	7/3	0	-1	2/3	0	1	-2/3
x2	8/3	1/3	1	0	-1/3	0	0	1/3
x5	40/3	5/3	0	0	4/3	1	0	-4/3
F(X1)	16/3-14/3M	-7/3-7/3M	0	1M	-2/3-2/3M	0	0	2/3+5/3M

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1 и из них выберем наименьшее: min (¹⁴/₃ : ⁷/₃ , ⁸/₃ : ¹/₃ , ⁴⁰/₃ : ⁵/₃ ) = 2

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разделим первую строку на 7/3.

Умножим первую строку на -1/3 и сложим со второй.

Умножим первую строку на -5/3 и сложим с третьей

Умножим первую строку на 7/3+7/3М и сложим с четвертой

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	2	1	0	-3/7	2/7	0	3/7	-2/7
x2	2	0	1	1/7	-3/7	0	-1/7	3/7
x5	10	0	0	5/7	6/7	1	-5/7	-6/7
F(X2)	10	0	0	-1	0	0	1+1M	1M

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3 и из них выберем наименьшее: min (- , 2 : ¹/₇ , 10 : ⁵/₇ ) = 14

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разделим вторую строку на 1/7

Умножим втроую строку на 3/7 и сложим с первой.

Умножим вторую строку на -5/7 и сложим с третьей.

Сложим вторую строку с четвертой.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	8	1	3	0	-1	0	0	1
x3	14	0	7	1	-3	0	-1	3
x5	0	0	-5	0	3	1	0	-3
F(X3)	24	0	7	0	-3	0	1M	3+1M

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₄, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i4 и из них выберем наименьшее: min (- , - , 0 : 3 ) = 0

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разделим третью строку на 3

Сложим третью строку с первой.

Умножим третью строку на 3 и сложим со второй.

Умножим третью строку на 3 и сложим с четвертой.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	8	1	4/3	0	0	1/3	0	0
x3	14	0	2	1	0	1	-1	0
x4	0	0	-5/3	0	1	1/3	0	-1
F(X4)	24	0	2	0	0	1	1M	1M

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

x₁ = 8

x₃ = 14

x₄ = 0

F(X) = 3*8 = 24

Т.е. суточный рацион состоит из 8 кг корма I и не включает корм II. При этом себестоимость рациона составит 24 ден.ед.

Решим задачу графическим методом.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x₁+2x₂ > max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+2x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке F. Так как точка F получена в результате пересечения прямых (4) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x₂=0 3x₁+4x₂?24 Решив систему уравнений, получим: x₁ = 8, x₂ = 0 Откуда найдем максимальное значение целевой функции: F(X) = 3*8 + 2*0 = 24

Составим двойственную задачу к прямой задаче. 3y₁+y₂+3y₃?3 2y₁+3y₂+4y₃?2 10y₁+8y₂+24y₃ > min y₁ ? 0 y₂ ? 0 y₃ ? 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов. Найдем решение двойственной задачи из последней симплекс-таблицы, учитывая взаимное соответствие между переменными прямой и двойственной задачи.

Вычислим оптимальное значение целевой функции двойственной задачи: , т.е. , что соответствует первой теореме двойственности (Если прямая или двойственная задача имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, при этом оптимальные значения целевых функций совпадают, т.е. ).

4. Решить транспортную задачу. Заданы мощности поставщиков а_i (i= 1, 2, 3), емкости потребителей b_j (j= 1, 2, 3) и матрица (c_ij) _{i=1, 2, 3, j= 1, 2, 3} стоимости перевозок единицы продукции от каждого поставщика каждому потребителю. Требуется найти план перевозок, при котором суммарные транспортные затраты будут наименьшими

bj аi	9	31	20
20	3	9	8
14	4	6	7
12	2	4	5

Математическая модель транспортной задачи:

F = ??c_ijx_ij,

при условиях: ?x_ij = a_i, i = 1,…, 3,

?x_ij = b_j, j = 1, …, 3,

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

?a = 20+14+12 = 46

?b = 9+31+20 = 60

Т.к. ?a<?b то задача является открытой моделью транспортной задачи и для сведения ее к закрытой модели введем фиктивного поставщика с мощностью а_ф=60-46=14. Стоимости перевозки единицы продукции от фиктивного поставщика каждому потребителю положим равными нулю. В результате получим закрытую модель транспортной задачи, условия которой содержатся в следующей таблице

bj аi	9	31	20
20	3	9	8
14	4	6	7
12	2	4	5
14	0	0	0

Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

	1	2	3	Запасы
1	3[9]	9	8[11]	20
2	4	6[14]	7	14
3	2	4[12]	5	12
4	0	0[5]	0[9]	14
Потребности	9	31	20

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 3*9 + 8*11 + 6*14 + 4*12 + 0*5 + 0*9 = 247

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 3; 0 + v₁ = 3; v₁ = 3

u₁ + v₃ = 8; 0 + v₃ = 8; v₃ = 8

u₄ + v₃ = 0; 8 + u₄ = 0; u₄ = -8

u₄ + v₂ = 0; -8 + v₂ = 0; v₂ = 8

u₂ + v₂ = 6; 8 + u₂ = 6; u₂ = -2

u₃ + v₂ = 4; 8 + u₃ = 4; u₃ = -4

	v1=3	v2=8	v3=8
u1=0	3[9]	9	8[11]
u2=-2	4	6[14]	7
u3=-4	2	4[12]	5
u4=-8	0	0[5]	0[9]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят: F(x) = 3*9 + 8*11 + 6*14 + 4*12 + 0*5 + 0*9 = 247

5. Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платежной матрицей А. Сделать проверку

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	B3	B4	a = min(Ai)
A1	5	-3	2	3	-3
A2	1	4	-1	2	-1
A3	5	2	5	5	2
b = max(Bi )	5	4	5	5	0

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₃.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = 4.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 2 ? y ? 4. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.

С позиции проигрышей игрока В стратегия B4 доминирует над стратегией B3 (все элементы столбца 4 больше элементов столбца 3), следовательно исключаем 4-ой столбец матрицы. Вероятность q4 = 0.

5	-3	2
1	4	-1
5	2	5

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.

Мы свели игру 3 x 4 к игре 3 x 3.

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (3). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

8	0	5
4	7	2
8	5	8

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти минимум функции F(x) при ограничениях:

8x₁+4x₂+8x₃ ? 1

7x₂+5x₃ ? 1

5x₁+2x₂+8x₃ ? 1

F(x) = x₁+x₂+x₃ > min

найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:

8y₁+5y₃ ? 1

4y₁+7y₂+2y₃ ? 1

8y₁+5y₂+8y₃ ? 1

Ф(y) = y₁+y₂+y₃ > max

Решаем эти системы симплексным методом.

Решим прямую задачу линейного программирования двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ?, умножив соответствующие строки на (-1).

Определим минимальное значение целевой функции F(X) = x₁ + x₂ + x₃ при следующих условиях-ограничений.

- 8x₁ - 4x₂ - 8x₃?-1

- 7x₂ - 5x₃?-1

- 5x₁ - 2x₂ - 8x₃?-1

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных .

В 1-м неравенстве вводим базисную переменную x₄. Во 2-м неравенстве вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве вводим базисную переменную x₆.

-8x₁-4x₂-8x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = -1

0x₁-7x₂-5x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = -1

-5x₁-2x₂-8x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = -1

Первый опорный план:X1 = (0,0,0,-1,-1,-1)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	-1	-8	-4	-8	1	0	0
x5	-1	0	-7	-5	0	1	0
x6	-1	-5	-2	-8	0	0	1
F(X0)	0	-1	-1	-1	0	0	0

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x₄ следует вывести из базиса.

Минимальное значение и соответствует 1-му столбцу, т.е. переменную x₁ необходимо ввести в базис.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	1/8	1	1/2	1	-1/8	0	0
x5	-1	0	-7	-5	0	1	0
x6	-3/8	0	1/2	-3	-5/8	0	1
F(X0)	1/8	0	-1/2	0	-1/8	0	0

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x₅ следует вывести из базиса.

Минимальное значение и соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x₃ необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-5).

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	-3/40	1	-9/10	0	-1/8	1/5	0
x3	1/5	0	12/5	1	0	-1/5	0
x6	9/40	0	47/10	0	-5/8	-3/5	1
F(X1)	1/8	0	-1/2	0	-1/8	0	0

План 2 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x₁ следует вывести из базиса.

Минимальное значение и соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x₂ необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (^-9/₁₀).

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	1/12	-11/9	1	0	5/36	-2/9	0
x3	1/12	15/9	0	1	-7/36	1/9	0
x6	-1/6	52/9	0	0	-15/18	4/9	1
F(X2)	1/6	-5/9	0	0	-1/18	-1/9	0

План 3 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 3-ая строка, а переменную x₆ следует вывести из базиса.

Минимальное значение и соответствует 4-му столбцу, т.е. переменную x₄ необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1⁵/₁₈).

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	3/46	-25/46	1	0	0	-4/23	5/46
x3	5/46	35/46	0	1	0	1/23	-7/46
x4	3/23	-42/23	0	0	1	-8/23	-18/23
F(X3)	4/23	-18/23	0	0	0	-3/23	-1/23

В базисном столбце все элементы положительные.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Оптимальный план можно записать так:

x₂ = ³/₄₆

x₃ = ⁵/₄₆

x₄ = ³/₂₃

F(X) = 1*³/₄₆ + 1*⁵/₄₆ = ⁴/₂₃

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

8y₁ + 5y₃?1

4y₁ + 7y₂ + 2y₃?1

8y₁ + 5y₂ + 8y₃?1

y₁ + y₂ + y₃ > max

y₁ ? 0

y₂ ? 0

y₃ ? 0

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A^-1. Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:



Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных .

Тогда Y = C*A^-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = 0

y₂ = ³/₂₃

y₃ = ¹/₂₃

Z(Y) = 1*0+1*³/₂₃+1*¹/₂₃ = ⁴/₂₃

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:

p_i = g*x_i; q_i = g*y_i.

Цена игры: g = 1 : ⁴/₂₃ = 5³/₄

p₁ = 5³/₄ * 0 = 0

p₂ = 5³/₄ * ³/₄₆ = ³/₈

p₃ = 5³/₄ * ⁵/₄₆ = ⁵/₈

Оптимальная смешанная стратегия игрока I:

P = (0; ³/₈; ⁵/₈)

q₁ = 5³/₄ * 0 = 0

q₂ = 5³/₄ * ³/₂₃ = ³/₄

q₃ = 5³/₄ * ¹/₂₃ = ¹/₄

Оптимальная смешанная стратегия игрока II:

Q = (0; ³/₄; ¹/₄)

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (3), то вычтем это число из цены игры.

5³/₄ - 3 = 2³/₄

Цена игры: v=2³/₄

Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

?a_ijp_i ? v

?a_ijq_j ? v

M(P₁;Q) = (5*0) + (-3*³/₄) + (2*¹/₄) = -1.75 ? v

M(P₂;Q) = (1*0) + (4*³/₄) + (-1*¹/₄) = 2.75 ? v

M(P₃;Q) = (5*0) + (2*³/₄) + (5*¹/₄) = 2.75 ? v

M(P;Q₁) = (5*0) + (1*³/₈) + (5*⁵/₈) = 3.5 > v

M(P;Q₂) = (-3*0) + (4*³/₈) + (2*⁵/₈) = 2.75 < v

M(P;Q₃) = (2*0) + (-1*³/₈) + (5*⁵/₈) = 2.75 < v

вероятность бернулли корреляция регрессия

Размещено на Allbest.ru