Вычисление вероятности случайного события
Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.04.2012 |
| Размер файла | 167,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru/
Размещено на http://allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тихоокеанский государственный университет»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
Хабаровск 2012
Содержание
- Задание № 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события
- Задание № 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события
- Задание № 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли
- Задание № 32 . Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , ,
- Задание № 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности
- Задание № 52. Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии
- Список литературы
- Задание № 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события
- Из колоды карт в 36 листов вытягивают 6 карт. Найти вероятность того, что среди этих карт 4 дамы и 2 короля.
- Решение. Вероятность того, что среди 6-ти карт, вытянутых из колоды в 36 листов, находятся 4 дамы и 2 короля, найдем по формуле:
- ,
- где - число благоприятных исходов события А; - число всевозможных событий, образующих полную группу.
Число всевозможных исходов выбора 6-ти карт из 36 листов равно числу сочетаний из 36 карт по 6 (все выборки отличаются только составом):
Так как число карт 36, то она содержит по 4 карты каждого достоинства.
- Число благоприятных исходов выбора 4-х дам из 4-х возможных равно единице (), а число благоприятных исходов выбора 2-х королей из 4-х возможных равно числу сочетаний из 4-х карт по 2:
- Следовательно, вероятность того, что среди 6-ти карт, вытянутых из колоды в 36 листов, находятся 4 дамы и 2 короля равна:
- .
- Ответ: .
- Задание № 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события
- В банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, вероятность допустить ошибку при расчете платежной ведомости для кассира равна 0,05,для ученика кассира - 0,25. Найти вероятность того, что в платежной ведомости будет обнаружена ошибка.
Решение
- Формула полной вероятности:
- ,
- где , ,…, - вероятности событий , , …,, которые образуют полную группу несовместных событий и вероятность события может наступить лишь при условии появления одного из них.
- Пусть событие А = {в платежной ведомости будет обнаружена ошибка}.
Введем систему гипотез:
- H1 = {ошибка будет допущена кассиром};
- H2 = {ошибка будет допущена учеником кассира}.
- Так как в банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, то
- ; .
Согласно условию задачи условные вероятности равны
- ;
- Применим формулу полной вероятности:
- Ответ: .
Задание № 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли
математический дисперсия регрессия уравнение
На полке магазина располагаются 10 продуктов. Вероятность того, что спрос на каждый продукт снизится, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса: а) на 8 продуктов, б) хотя бы на один продукт.
Решение
Формула Бернулли :
,
Где - вероятность появления события в каждом из испытаний;
- вероятность не появления события в каждом из испытаний.
а) Найдем вероятность того, что из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса на 8 продуктов.
б) Найдем вероятность того, что из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса хотя бы на один продукт. Событие состоит в том, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса или на 1 продукт, или на 2 продукта,…, или на 10 продуктов, т.е. величина количества продуктов на которые произойдет снижение спроса, может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 или .
Ответ: а) 0,233474441; б) 0,9999940951.
Задание № 32 . Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , ,
В партии из 14 деталей имеются 2 нестандартные. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики , , .
Решение
Очевидно, что число стандартных деталей среди отобранных 3-х деталей будет 1, 2, 3.
Рассмотрим все возможные случаи выбора стандартных деталей среди отобранных 3-х из партии в 14 деталей, где имеются 2 нестандартные.
Число всевозможных способов выбора 3-х деталей из 14 равно числу сочетаний из 14 деталей по 3 (все выборки отличаются только составом):
- одна стандартная деталь среди трех отобранных.
Число благоприятных способов выбора одной детали из 12-ти стандартных и 2-х деталей из 2-х нестандартных деталей:
Вероятность выбора одной стандартной детали среди трех отобранных найдем по формуле классической вероятности:
- две стандартные детали среди трех отобранных.
Число благоприятных способов выбора двух деталей из 12-ти стандартных и одной детали из 2-х нестандартных деталей:
- три стандартные детали среди трех отобранных.
Число благоприятных способов выбора трех деталей из 12-ти стандартных:
Запишем ряд распределения числа стандартных деталей в выборке:
|
1 |
2 |
3 |
||
Проверка:
Составим функцию распределения случайной величины и построим ее график.
, если ;
если ,
;
если ,
;
если ,
Функция распределения случайной величины определяется следующим образом:
Построим график функции распределения случайной величины.
Формула для нахождения математического ожидания:
.
Формула для нахождения дисперсии:
, где
Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется равенством: .
Ответ: ; ; .
Задание № 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности
В ОТК были измерены диаметры 300 валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала (мм) даны в табл. 8. На уровне значимости проверить гипотезу, что отклонения диаметров от номинала можно описать нормальным распределением, используя критерий согласия Пирсона.
Таблица 8
|
Номер интервала |
Границы отклонений |
Число валиков |
|
|
1 |
-30...-25 |
3 |
|
|
2 |
-25...-20 |
8 |
|
|
3 |
-20...-15 |
15 |
|
|
4 |
-15...-10 |
35 |
|
|
5 |
-10...-5 |
40 |
|
|
6 |
-5... 0 |
60 |
|
|
7 |
0-5 |
55 |
|
|
8 |
5-10 |
30 |
|
|
9 |
10-15 |
25 |
|
|
10 |
15-20 |
14 |
|
|
11 |
20-25 |
8 |
|
|
12 |
25-30 |
7 |
Решение
1. Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты среднее арифметическое концов интервала.
; ; ; и т.д.
Получили распределение:
|
№ п/п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
-27,5 |
-22,5 |
-17,5 |
-12,5 |
-7,5 |
-2,5 |
2,5 |
7,5 |
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
||
|
3 |
8 |
15 |
35 |
40 |
60 |
55 |
30 |
25 |
14 |
8 |
7 |
2. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее.
Результаты вычислений представим в таблице.
|
№ п/п |
|||||
|
1 |
-27,5 |
3 |
-82,5 |
2268,75 |
|
|
2 |
-22,5 |
8 |
-180 |
4050 |
|
|
3 |
-17,5 |
15 |
-262,5 |
4593,75 |
|
|
4 |
-12,5 |
35 |
-437,5 |
5468,75 |
|
|
5 |
-7,5 |
40 |
-300 |
2250 |
|
|
6 |
-2,5 |
60 |
-150 |
375 |
|
|
7 |
2,5 |
55 |
137,5 |
343,75 |
|
|
8 |
7,5 |
30 |
225 |
1687,5 |
|
|
9 |
12,5 |
25 |
312,5 |
3906,25 |
|
|
10 |
17,5 |
14 |
245 |
4287,5 |
|
|
11 |
22,5 |
8 |
180 |
4050 |
|
|
12 |
27,5 |
7 |
192,5 |
5293,75 |
|
|
Итого |
300 |
-120 |
38575 |
Выборочную среднюю вычислим по формуле:
.
Квадратичное отклонение вычислим по формуле:
.
3. Вычислим концы интервалов по формуле:
,
где , .
Наименьшее значение полагаем равным , наибольшее значение полагаем равным .
4. Вычислим теоретические частоты по формуле:
,
где - вероятности попадания в интервалы .
- интегральная функция Лапласа: ; .
Заполним таблицу:
|
Номер интервала |
Границы интервала |
Границы интервала |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
1 |
-30 |
-25 |
-2,17 |
-0,5000 |
-0,4850 |
4,5 |
||
|
2 |
-25 |
-20 |
-2,17 |
-1,73 |
-0,4850 |
-0,4582 |
8,04 |
|
|
3 |
-20 |
-15 |
-1,73 |
-1,29 |
-0,4582 |
-0,4015 |
17,01 |
|
|
4 |
-15 |
-10 |
-1,29 |
-0,85 |
-0,4015 |
-0,3023 |
29,76 |
|
|
5 |
-10 |
-5 |
-0,85 |
-0,41 |
-0,3023 |
-0,1591 |
42,96 |
|
|
6 |
-5 |
0 |
-0,41 |
0,04 |
-0,1591 |
0,0160 |
52,53 |
|
|
7 |
0 |
5 |
0,04 |
0,48 |
0,0160 |
0,1844 |
50,52 |
|
|
8 |
5 |
10 |
0,48 |
0,92 |
0,1844 |
0,3212 |
41,04 |
|
|
9 |
10 |
15 |
0,92 |
1,36 |
0,3212 |
0,4131 |
27,57 |
|
|
10 |
15 |
20 |
1,36 |
1,80 |
0,4131 |
0,4641 |
15,3 |
|
|
11 |
20 |
25 |
1,80 |
2,24 |
0,4641 |
0,4875 |
7,02 |
|
|
12 |
25 |
30 |
2,24 |
0,4875 |
0,5000 |
3,75 |
||
|
Итого |
300 |
5. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:
а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу.
|
Номер интервала |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
3 |
4,5 |
0,5 |
9 |
2 |
|
|
2 |
8 |
8,04 |
0,0002 |
64 |
7,9602 |
|
|
3 |
15 |
17,01 |
0,2375 |
225 |
13,2275 |
|
|
4 |
35 |
29,76 |
0,9226 |
1225 |
41,1626 |
|
|
5 |
40 |
42,96 |
0,2039 |
1600 |
37,2439 |
|
|
6 |
60 |
52,53 |
1,0623 |
3600 |
68,5323 |
|
|
7 |
55 |
50,52 |
0,3973 |
3025 |
59,8773 |
|
|
8 |
30 |
41,04 |
2,9698 |
900 |
21,9298 |
|
|
9 |
25 |
27,57 |
0,2396 |
625 |
22,6696 |
|
|
10 |
14 |
15,3 |
0,1105 |
196 |
12,8105 |
|
|
11 |
8 |
7,02 |
0,1368 |
64 |
9,1168 |
|
|
12 |
7 |
3,75 |
2,8167 |
49 |
13,0667 |
|
|
300 |
300 |
9,5972 |
309,5972 |
Графы 5 и 6 служат для контроля вычислений:
Получили значение , следовательно, вычисления произведены правильно.
б) По таблице критических точек распределения Пирсона, по уровню значимости и числу степеней свободы ( - число интервалов) находим критическую точку .
Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности партии валиков принимаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо. Это означает, что данные наблюдений отклонения диаметров валиков от номинала согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
Задание № 52. Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии
Дана выборка двумерной случайной величины .
Требуется: a) Построить корреляционное поле.
b) Вычислить выборочный коэффициент корреляции.
c) Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии.
Таблица
|
2,1 |
20,1 |
|
|
2,5 |
18,2 |
|
|
2,9 |
17,6 |
|
|
3,3 |
17 |
|
|
3,7 |
15,1 |
|
|
4,1 |
14,5 |
|
|
4,5 |
11,2 |
|
|
4,9 |
10,6 |
|
|
5,3 |
10,6 |
|
|
5,7 |
10 |
|
|
6,1 |
9,4 |
|
|
6,5 |
9,5 |
|
|
6,9 |
8,9 |
|
|
7,3 |
8,3 |
|
|
7,7 |
6,2 |
|
|
8,1 |
5,6 |
|
|
8,5 |
5 |
|
|
8,9 |
5,3 |
|
|
9,3 |
4,7 |
|
|
9,7 |
4,1 |
Решение
a) Построим корреляционное поле, для этого на плоскости отмечаем точки с координатами .
Рис. 1 Корреляционное поле
b) Для нахождения выборочного коэффициента корреляции применим формулу:
,
где и - выборочные средние; и выборочные средние квадратические отклонения.
и ;
и ;
и .
Найдем выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения.
|
2,1 |
20,1 |
4,41 |
404,01 |
42,21 |
||
|
2,5 |
18,2 |
6,25 |
331,24 |
45,5 |
||
|
2,9 |
17,6 |
8,41 |
309,76 |
51,04 |
||
|
3,3 |
17 |
10,89 |
289 |
56,1 |
||
|
3,7 |
15,1 |
13,69 |
228,01 |
55,87 |
||
|
4,1 |
14,5 |
16,81 |
210,25 |
59,45 |
||
|
4,5 |
11,2 |
20,25 |
125,44 |
50,4 |
||
|
4,9 |
10,6 |
24,01 |
112,36 |
51,94 |
||
|
5,3 |
10,6 |
28,09 |
112,36 |
56,18 |
||
|
5,7 |
10 |
32,49 |
100 |
57 |
||
|
6,1 |
9,4 |
37,21 |
88,36 |
57,34 |
||
|
6,5 |
9,5 |
42,25 |
90,25 |
61,75 |
||
|
6,9 |
8,9 |
47,61 |
79,21 |
61,41 |
||
|
7,3 |
8,3 |
53,29 |
68,89 |
60,59 |
||
|
7,7 |
6,2 |
59,29 |
38,44 |
47,74 |
||
|
8,1 |
5,6 |
65,61 |
31,36 |
45,36 |
||
|
8,5 |
5 |
72,25 |
25 |
42,5 |
||
|
8,9 |
5,3 |
79,21 |
28,09 |
47,17 |
||
|
9,3 |
4,7 |
86,49 |
22,09 |
43,71 |
||
|
9,7 |
4,1 |
94,09 |
16,81 |
39,77 |
||
|
118 |
211,9 |
802,6 |
2710,93 |
1033,03 |
;
;
; ;
; ;
.
Выборочный коэффициент корреляции:
.
Выборочный коэффициент корреляции очень близок к единице, связь между и по таблице Чеддока очень высокая. Знак минус указывает на обратную связь между и .
c) Составим уравнение регрессии на и построим линию регрессии:
,
Где , .
;
Уравнение регрессии на имеет вид:
На корреляционном поле построим линию регрессии.
Ответ: ; .
Список литературы
1. Математика (теория вероятностей и математическая статистика): методические указания и задания к выполнению контрольной работы № 2 для студентов экономических специальностей заочного ускоренного факультета / сост. Т.М. Попова, М.В. Червякова, Т.Н. Ряйсянен, Т.Г. Уленгова, Е.А. Битехтина, И.К. Искандеров.- Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010.-44 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Определение вероятности случайного события, с использованием формулы классической вероятности, схемы Бернулли. Составление закона распределения случайной величины. Гипотеза о виде закона распределения и ее проверка с помощью критерия хи-квадрата Пирсона.
контрольная работа [114,3 K], добавлен 11.02.2014Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Определение вероятности наступления события по формуле Бернулли. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы для случайной величины. Вычисление коэффициента корреляции, получение уравнения регрессии. Пример решения задачи симплекс-методом.
контрольная работа [547,6 K], добавлен 02.02.2012Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
контрольная работа [212,0 K], добавлен 01.05.2010Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013
