Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 01.05.2010
Размер файла 212,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

16

Вариант 1

№ 1

Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А - все 3 стрелка попадают в цель; В - только один стрелок попадает в цель; С - хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.

а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9•0,8•0,7 = 0,504.

б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,2•0,3 + 0,1•0,8•0,3 + 0,1•0,2•0,7 = 0,092.

в) Событие - все три стрелка промахиваются. Тогда

Р(С) = 1 - Р() = 1 - 0,1•0,2•0,3 = 1 - 0,006 = 0,994.

№ 11

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас n достаточно велику, р малу, л = np = 150 • 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,

№ 21

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х).

хі

1

2

3

4

5

рі

0,05

0,18

0,23

0,41

0,13

Последовательно получаем:

5

М(Х) = ? хірі = 0,05 + 2•0,18 + 3•0,23 + 4•0,41 + 5•0,13 = 3,39.

i=1

5

D(X) = ? xiІpi - MІ = 0,05 + 2І•0,18 + 3І•0,23 + 4І•0,41 + 5І•0,13 - 3,39І = i=1

1,1579.

у(Х) = vD(X) = v1,1579 = 1,076.

№ 31

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F= - 0 = .

Графики функций поданы далее.

№ 41

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у. Данные: б = 2; в = 13; а = 10; у = 4.

Используем формулу Р(б < x < в) =

Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф- Ф(-2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

Ф- Ф(-2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.

№ 51

По данному статистическому распределению выборки

хі

4

5,8

7,6

9,4

11,2

13

14,8

16,6

mі

5

8

12

25

30

20

18

6

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

, где С - одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 1,8).

Пусть С = 11,2. Тогда .

Заполним таблицу:

xi

mi

xiґ

ximi

(xiґ)Іmi

4

5

- 4

- 20

80

5,8

8

- 3

- 24

72

7,6

12

- 2

- 24

48

9,4

25

- 1

- 25

25

11,2

30

0

0

0

13

20

1

20

20

14,8

18

2

36

72

16,6

6

3

18

54

? = 124

? = - 19

? = 371

Используя таблицу, найдём ;

D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - (- 0,1532)І = 2,9685.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

_

x = xґh + C = - 0,1532•1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,9685•1,8І = 9,6178;

у(x) = vD(x) = v9,6178 = 3,1013.

№ 61

По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.

у х

6

9

12

15

18

21

ny

5

4

2

6

15

5

23

28

25

18

44

5

67

35

1

8

4

13

45

4

2

6

nx

4

7

42

52

13

2

n = 120

Для упрощения расчетов введем условные переменные

u = , v = . Составим таблицу:

v u

- 3

- 2

- 1

0

1

2

nv

nuvuv

- 2

4 6

2 4

6

32

- 1

5 2

23 1

28

33

0

18 0

44 0

5 0

67

0

1

1 -1

8 0

4 1

13

3

2

4 2

2 4

6

16

nu

4

7

42

52

13

2

n = 120

? = 84

Последовательно получаем:

;

;

;

;

уuІ = - (u)І = 1,058 - (- 0,425)І = 0,878; уu = v0,878 = 0,937;

уvІ = - (v)І = 0,742 - (- 0,125)І = 0,726; уv = v0,726 = 0,8521;

По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 84.

Находим выборочный коэффициент корреляции:

Далее последовательно находим:

x = u•h1 + C1 = - 0,425•3 + 15 = 13,725; y = v•h2 + C2 = - 0,125•10 + 25 = 23,75;

уx = уu•h1 = 0,937•3 = 2,811; уy = уv•h2 = 0,8521•10 = 8,521.

Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,

упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем

по уравнению:

ух=12 = 2,457•12 - 9,968 = 19,516; е1 = 19,762 - 19,516 = 0,246;

2) при х = 18 по таблице имеем

по уравнению:

ух=18 = 2,457•18 - 9,968 = 34,258; е2 = 34,258 - 34,231 = 0,027.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

Вариант 2

№ 2

Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:

а) только одного устройства;

б только двух устройств;

в) всех трёх устройств.

Обозначим события: А - срабатывает только одно устройство; В - срабатывают 2 устройства; С - срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда

а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,05 •0,15 + 0,1•0,95•0,15 + 0,1•0,05•0,85 = 0,02525.

б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9•0,95•0,15 + 0,9•0,05•0,85 + 0,1•0,95•0,85 = 0,24725.

в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9•0,95•0,85 = 0,72675.

№ 12

В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.

По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малу, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .

Таким образом,

№ 22

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х).

хі

2

3

4

5

8

рі

0,25

0,15

0,27

0,08

0,25

Последовательно получаем:

5

М(Х) = ? хірі = 2•0,25 + 3•0,15 + 4•0,27 + 5•0,08 + 8•0,25 = 4,43.

i=1

5

D(X) = ? xiІpi - MІ = 2І0,25 + 3І0,15 + 4І0,27 +5І•0,08 +0,25 - 4,43І і=1

= 5,0451.

у(Х) = vD(X) = v5,0451 = 2,246.

№ 32

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F=

Графики функций приводятся далее.

№ 42

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у. Данные: б = 5; в = 14; а = 9; у = 5.

Используя формулу имеем

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

№ 52

По данному статистическому распределению выборки

хі

7,6

8

8,4

8,8

9,2

9,6

10

10,4

mі

6

8

16

50

30

15

7

5

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

где С - одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 0,4).

Пусть С = 8,8. Тогда

Заполним таблицу:

xi

mi

xiґ

ximi

(xiґ)Іmi

7,6

6

- 3

- 18

54

8

8

- 2

- 16

32

8,4

16

- 1

- 16

16

8,8

50

0

0

0

9,2

30

1

30

30

9,6

15

2

30

60

10

7

3

21

63

10,4

5

4

20

80

? = 137

? = 51

? = 335

Используя таблицу, найдём

;

D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - 0,3723І = 2,3067.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

x = xґh + C = 0,3723•0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,3067•0,4І = 0,3961;

у(x) = vD(x) = v0,3961 = 0,6075.

№ 62

По данной корреляционной таблице

у х

4

8

12

16

20

24

ny

10

2

5

7

20

6

8

4

18

30

8

46

10

64

40

5

20

4

29

50

3

14

2

5

22

nx

2

19

62

48

6

3

n = 140

найти выборочное уравнение регрессии.

Для упрощения расчетов введём условные переменные

Составим таблицу.

v u

- 2

- 1

0

1

2

3

nv

nuvuv

- 2

2 4

5 2

7

18

- 1

6 1

8 0

4 -1

18

2

0

8 0

46 0

10 0

64

0

1

5 0

20 1

4 2

29

28

2

3 0

14 2

2 4

5 6

22

66

nu

2

19

62

48

6

3

n = 140

? = 114

Последовательно получаем:

;

;

;

;

уuІ = - (u)І = 0,9 - 0,329І = 0,792; уu = v0,792 = 0,89;

уvІ = - (v)І = 1,164 - 0,293І = 1,079; уv = v1,079 = 1,0385;

По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 114.

Находим выборочный коэффициент корреляции:

Далее последовательно находим:

x = u•h1 + C1 = 0,329•4 + 12 = 13,314; y = v•h2 + C2 =0,293•10 + 30 = 32,929;

уx = уu•h1 = 0,89•4 = 3,56; уy = уv•h2 = 1,0385•10 = 10,385.

Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,

упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем

по уравнению: ух=12 = 2,266•12 + 2,752 = 29,944; е1 = 30,484 - 29,944 = 0,54;

2) при х = 16 по таблице имеем

по уравнению: ух=16 = 2,266•16 + 2,752 = 39,008; е2 = 39,167 - 39,008 = 0,159.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.


Подобные документы

  • Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.

    контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010

  • Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.

    контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012

  • Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.

    контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014

  • Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.

    контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014

  • Основные понятия комбинаторики. Определение теории вероятности. Понятие математического ожидания и дисперсии. Основные элементы математической статистики. Условная вероятность как вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

    реферат [144,6 K], добавлен 25.11.2013

  • Расчет наступления определенного события с использованием положений теории вероятности. Определение функции распределения дискретной случайной величины, среднеквадратичного отклонения. Нахождение эмпирической функции и построение полигона по выборке.

    контрольная работа [35,1 K], добавлен 14.11.2010

  • Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.

    контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012

  • Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.

    контрольная работа [309,4 K], добавлен 18.09.2010

  • Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.

    контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012

  • Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности.

    задача [104,1 K], добавлен 14.01.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.