Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.05.2010 |
| Размер файла | 212,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
16
Вариант 1
№ 1
Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.
Найти вероятности того, что:
а) все три стрелка попадают в цель;
б) только один из них попадает в цель;
в) хотя бы один стрелок попадает в цель.
Обозначим события: А - все 3 стрелка попадают в цель; В - только один стрелок попадает в цель; С - хотя бы один стрелок попадает в цель.
Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.
а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9•0,8•0,7 = 0,504.
б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,2•0,3 + 0,1•0,8•0,3 + 0,1•0,2•0,7 = 0,092.
в) Событие - все три стрелка промахиваются. Тогда
Р(С) = 1 - Р() = 1 - 0,1•0,2•0,3 = 1 - 0,006 = 0,994.
№ 11
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас n достаточно велику, р малу, л = np = 150 • 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х).
|
хі |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
рі |
0,05 |
0,18 |
0,23 |
0,41 |
0,13 |
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ? хірі = 0,05 + 2•0,18 + 3•0,23 + 4•0,41 + 5•0,13 = 3,39.
i=1
5
D(X) = ? xiІpi - MІ = 0,05 + 2І•0,18 + 3І•0,23 + 4І•0,41 + 5І•0,13 - 3,39І = i=1
1,1579.
у(Х) = vD(X) = v1,1579 = 1,076.
№ 31
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F= - 0 = .
Графики функций поданы далее.
№ 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у. Данные: б = 2; в = 13; а = 10; у = 4.
Используем формулу Р(б < x < в) =
Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф- Ф(-2).
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф- Ф(-2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.
№ 51
По данному статистическому распределению выборки
|
хі |
4 |
5,8 |
7,6 |
9,4 |
11,2 |
13 |
14,8 |
16,6 |
|
|
mі |
5 |
8 |
12 |
25 |
30 |
20 |
18 |
6 |
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
, где С - одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 1,8).
Пусть С = 11,2. Тогда .
Заполним таблицу:
|
xi |
mi |
xiґ |
ximi |
(xiґ)Іmi |
|
|
4 |
5 |
- 4 |
- 20 |
80 |
|
|
5,8 |
8 |
- 3 |
- 24 |
72 |
|
|
7,6 |
12 |
- 2 |
- 24 |
48 |
|
|
9,4 |
25 |
- 1 |
- 25 |
25 |
|
|
11,2 |
30 |
0 |
0 |
0 |
|
|
13 |
20 |
1 |
20 |
20 |
|
|
14,8 |
18 |
2 |
36 |
72 |
|
|
16,6 |
6 |
3 |
18 |
54 |
|
|
? = 124 |
? = - 19 |
? = 371 |
Используя таблицу, найдём ;
D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - (- 0,1532)І = 2,9685.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = xґh + C = - 0,1532•1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,9685•1,8І = 9,6178;
у(x) = vD(x) = v9,6178 = 3,1013.
№ 61
По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.
|
у х |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
ny |
|
|
5 |
4 |
2 |
6 |
|||||
|
15 |
5 |
23 |
28 |
|||||
|
25 |
18 |
44 |
5 |
67 |
||||
|
35 |
1 |
8 |
4 |
13 |
||||
|
45 |
4 |
2 |
6 |
|||||
|
nx |
4 |
7 |
42 |
52 |
13 |
2 |
n = 120 |
Для упрощения расчетов введем условные переменные
u = , v = . Составим таблицу:
|
v u |
- 3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
nv |
nuvuv |
|
|
- 2 |
4 6 |
2 4 |
6 |
32 |
|||||
|
- 1 |
5 2 |
23 1 |
28 |
33 |
|||||
|
0 |
18 0 |
44 0 |
5 0 |
67 |
0 |
||||
|
1 |
1 -1 |
8 0 |
4 1 |
13 |
3 |
||||
|
2 |
4 2 |
2 4 |
6 |
16 |
|||||
|
nu |
4 |
7 |
42 |
52 |
13 |
2 |
n = 120 |
? = 84 |
Последовательно получаем:
;
;
;
;
уuІ = - (u)І = 1,058 - (- 0,425)І = 0,878; уu = v0,878 = 0,937;
уvІ = - (v)І = 0,742 - (- 0,125)І = 0,726; уv = v0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 84.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u•h1 + C1 = - 0,425•3 + 15 = 13,725; y = v•h2 + C2 = - 0,125•10 + 25 = 23,75;
уx = уu•h1 = 0,937•3 = 2,811; уy = уv•h2 = 0,8521•10 = 8,521.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению:
ух=12 = 2,457•12 - 9,968 = 19,516; е1 = 19,762 - 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблице имеем
по уравнению:
ух=18 = 2,457•18 - 9,968 = 34,258; е2 = 34,258 - 34,231 = 0,027.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.
Вариант 2
№ 2
Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:
а) только одного устройства;
б только двух устройств;
в) всех трёх устройств.
Обозначим события: А - срабатывает только одно устройство; В - срабатывают 2 устройства; С - срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда
а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,05 •0,15 + 0,1•0,95•0,15 + 0,1•0,05•0,85 = 0,02525.
б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9•0,95•0,15 + 0,9•0,05•0,85 + 0,1•0,95•0,85 = 0,24725.
в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9•0,95•0,85 = 0,72675.
№ 12
В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.
По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малу, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .
Таким образом,
№ 22
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х).
|
хі |
2 |
3 |
4 |
5 |
8 |
|
|
рі |
0,25 |
0,15 |
0,27 |
0,08 |
0,25 |
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ? хірі = 2•0,25 + 3•0,15 + 4•0,27 + 5•0,08 + 8•0,25 = 4,43.
i=1
5
D(X) = ? xiІpi - MІ = 2І•0,25 + 3І•0,15 + 4І•0,27 +5І•0,08 + 8І•0,25 - 4,43І і=1
= 5,0451.
у(Х) = vD(X) = v5,0451 = 2,246.
№ 32
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F=
Графики функций приводятся далее.
№ 42
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у. Данные: б = 5; в = 14; а = 9; у = 5.
Используя формулу имеем
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
№ 52
По данному статистическому распределению выборки
|
хі |
7,6 |
8 |
8,4 |
8,8 |
9,2 |
9,6 |
10 |
10,4 |
|
|
mі |
6 |
8 |
16 |
50 |
30 |
15 |
7 |
5 |
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
где С - одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 0,4).
Пусть С = 8,8. Тогда
Заполним таблицу:
|
xi |
mi |
xiґ |
ximi |
(xiґ)Іmi |
|
|
7,6 |
6 |
- 3 |
- 18 |
54 |
|
|
8 |
8 |
- 2 |
- 16 |
32 |
|
|
8,4 |
16 |
- 1 |
- 16 |
16 |
|
|
8,8 |
50 |
0 |
0 |
0 |
|
|
9,2 |
30 |
1 |
30 |
30 |
|
|
9,6 |
15 |
2 |
30 |
60 |
|
|
10 |
7 |
3 |
21 |
63 |
|
|
10,4 |
5 |
4 |
20 |
80 |
|
|
? = 137 |
? = 51 |
? = 335 |
Используя таблицу, найдём
;
D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - 0,3723І = 2,3067.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
x = xґh + C = 0,3723•0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,3067•0,4І = 0,3961;
у(x) = vD(x) = v0,3961 = 0,6075.
№ 62
По данной корреляционной таблице
|
у х |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
ny |
|
|
10 |
2 |
5 |
7 |
|||||
|
20 |
6 |
8 |
4 |
18 |
||||
|
30 |
8 |
46 |
10 |
64 |
||||
|
40 |
5 |
20 |
4 |
29 |
||||
|
50 |
3 |
14 |
2 |
5 |
22 |
|||
|
nx |
2 |
19 |
62 |
48 |
6 |
3 |
n = 140 |
найти выборочное уравнение регрессии.
Для упрощения расчетов введём условные переменные
Составим таблицу.
|
v u |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
nv |
nuvuv |
|
|
- 2 |
2 4 |
5 2 |
7 |
18 |
|||||
|
- 1 |
6 1 |
8 0 |
4 -1 |
18 |
2 |
||||
|
0 |
8 0 |
46 0 |
10 0 |
64 |
0 |
||||
|
1 |
5 0 |
20 1 |
4 2 |
29 |
28 |
||||
|
2 |
3 0 |
14 2 |
2 4 |
5 6 |
22 |
66 |
|||
|
nu |
2 |
19 |
62 |
48 |
6 |
3 |
n = 140 |
? = 114 |
Последовательно получаем:
;
;
;
;
уuІ = - (u)І = 0,9 - 0,329І = 0,792; уu = v0,792 = 0,89;
уvІ = - (v)І = 1,164 - 0,293І = 1,079; уv = v1,079 = 1,0385;
По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 114.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u•h1 + C1 = 0,329•4 + 12 = 13,314; y = v•h2 + C2 =0,293•10 + 30 = 32,929;
уx = уu•h1 = 0,89•4 = 3,56; уy = уv•h2 = 1,0385•10 = 10,385.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению: ух=12 = 2,266•12 + 2,752 = 29,944; е1 = 30,484 - 29,944 = 0,54;
2) при х = 16 по таблице имеем
по уравнению: ух=16 = 2,266•16 + 2,752 = 39,008; е2 = 39,167 - 39,008 = 0,159.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.
Подобные документы
Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Основные понятия комбинаторики. Определение теории вероятности. Понятие математического ожидания и дисперсии. Основные элементы математической статистики. Условная вероятность как вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
реферат [144,6 K], добавлен 25.11.2013Расчет наступления определенного события с использованием положений теории вероятности. Определение функции распределения дискретной случайной величины, среднеквадратичного отклонения. Нахождение эмпирической функции и построение полигона по выборке.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 14.11.2010Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
контрольная работа [309,4 K], добавлен 18.09.2010Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности.
задача [104,1 K], добавлен 14.01.2011
