Примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности

1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность ого, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию

РЕШЕНИЕ

Испытание: знак качества будет присвоен всем изделиям.

Событие: А=07 - присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 - присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 - присвоен третьему изделию; тогда Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.

а) Р_{всем изделиям}= Р(А)*Р(В)*Р(С)

Р_{всем изделиям}=0,7*0,9*0,8=0,504.

в) Р_{только одному}=Р(А,В,С или А,В,С или А,В,С)

Р_только._одному =0,7*0,1*0,2+0,3*0,9*0,2+

+0,3*0,1*0,8=0,014+0,054+0,024=0,092

с) Р_{хотя бы одному}=1 - Р_{ни одному}=1-Р(А)*Р(В)*Р(С)

Р_{хотя бы одному}=1-0,3*0,1*0,2=1-0,006=0,994.

11. Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность.

РЕШЕНИЕ

Обозначим событие А - поступила заявка

По условию р=Р(А)=0,5

q=P(A)=1-0,5=0,5

n= 9 к=6

а) Так как число повторных испытаний n= 9, применим формулу Бернулли.

Р9(6)=*

б) К1=5, К2=7

Р9(5?m?7)=P₉(5)+P₉(6)+P₉(7)

Р9(5)=*

Р9(7)=*

Р9(5?m?7)=0.246+0.0702+0.16=0.4762

в) Р_n(событие наступит хотя бы 1 раз)=1-qⁿ

Р₉=1-0,5⁹=1-0,001953=0,998

г) np-q?K₀?np+p

9*0.5-0.5?K₀?9*0.5+0.5

4?K₀?5 K₀=5

K₉(5)=*0.5⁵*0.5^9-5=

Ответ: а) 0,16 б) 0,4762 в) 0,998 г) K₀=5 Р(K₀)=0,246.

21. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:

Х	8	4	6	5
Р	0,2	0,5	0,2	0,1

Решение

а) Найдем математическое ожидание Х:

М(Х)=8*0,2+4*0,5+6*0,2+5*0,1=5,3.

б) Для нахождения дисперсии запишем закон распределения Х²:

Х2	64	16	36	25
Р	0,2	0,5	0,2	0,1

Найдем математическое ожидание Х²:

М(Х²)=64*0,2+16*0,5+36*0,2+25*0,1=30,5

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=M(X²)-[M(X)]²

D(X)=30.5-(5.3)²=2.41

в) найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

Ответ: а) 5,3 б) 2,41 в) 1,55

31. Случайная величина Х интегральной функцией распределения F(Х).

Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) б) найти математическое ожидание и дисперсию Х в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.

F(X

Решение:

а) = F(X

б) М(х)=

.

М(х²)=.

D(x)=M(x²)-[M(x)]²=2-

в) построить графики функций F(x) и f(x):

41. Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение б=2 нормально распределенной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше д=3

Решение

а) воспользуемся формулой:

по условию задачи б=9 в=19 а=15 б=2 следовательно,

По таблице приложения 2: 0,4772;

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (9; 19) равна:

0,4772+0,49865=0,976065

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше д=3, равна

Р(

Р(|х-а|<3)=2*Ф(3/2)=2*0,4332=0,8664.

Ответ: а)0,976065; б) Р(|х-а|<3)= 0,8664.

51. Даны выборочные варианты х₁ и соответствующие им частоты n_i количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью г=0,99

хi	10,2	15,2	20,2	25,2	30,2	35,2	40,2
ni	3	15	26	54	12	5	3

Решение

1. Объем выборки

n=

Средняя выборочная:

=

Выборочная дисперсия:

D_в=² - ², где =23,76

Средняя выборочная квадратов значений признака г

=

Тогда D_в=598,87-(23,76)²=34,33

Среднее квадратичное отклонение:

у_в= у_в=5,86

пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «у» этого распределения известно. Тогда с вероятностью г доверительный интервал заданный формулой

; ),

покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=г с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.

В данной задаче г=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58.

По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=D_в и, следовательно, у=у_в=5,86. ранее найдены значения n=118, и Х_в=23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал:

(23,76-1,39; 23,76+1,39)

(22,37; 25,15).

Ответ: Х_в=23,76; D_в=34,33; у_в=5,86; а(22,37; 25,15).

61. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Y_x и X_y. Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y и составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

Y\X	5	10	15	20	25	30	Ny
35	4	2					6
45		5	3				8
55			5	45	5		55
65			2	8	7		17
75				4	7	3	14
Nx	4	7	10	57	19	3	n=100

Найдем условные средние воспользовавшись формулами:

?_x= X_y=

Y_x=5= X_y=35=

Y_x=10= X_y=45=

Y_x=15= X_y=55=

Y_x=20= X_y=65=

Y_x=25 X_y=75=

Y_x=30

Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

Коэффициент r может принимать значения от -1 до +1.

Знак r указывает на вид связи: прямая или обратная. Абсолютная величина |r| на тесноту связи. При r>0 связь прямая, то есть с ростом х растет у.

При r<0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у.

Для нахождения rвычислим указанные общие средние: х, у, ху, а также средние квадратические отклонения у_х и у_у. Вычисления удобно поместить в таблицах, куда вписываем также найденные ранее условные средние.

Значение коэффициента линейной корреляции

Х	nx	x*nx	x2*nx	yx	x*nx*yx
5	4	20	100	35	700
10	7	70	700	42.14	2949.8
15	10	150	2250	54	8100
20	57	1140	22800	57.8	65892
25	19	475	11875	66.05	31373.75
30	3	90	2700	75	6750
	100	1945	40425	-	115765.55

Y	ny	y*ny	y2*ny	xy	y*ny*xy
35	6	210	7350	6.67	1400.7
45	8	360	16200	11.875	4275
55	55	3025	166375	20	60500
65	17	1105	71825	21.47	23724.35
75	14	1050	78750	24.64	25872
	100	5750	340500	-	115772.05

С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения:

Х=

X²=5

XY=

Y=57.5

Y²=

у_x===

у_y===9.94

Отсюда коэффициент корреляции равен:

r=

т.к r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.

т.к | r | > 0,78 то линейная связь высокая.

Находим линейное уравнение регрессии Y по X:

Y_x-57.5=0.78*

Y_x=1.52x+27.94

Аналогично находим уравнение регрессии X поY:

X_y-19.45=0.78*

X_y=0.4y-3.55

Данные уравнения устанавливают связь между признаками X и Y и позволяют найти среднее значение признака Y_x для каждого значения x и аналогично среднее значение признака X_y для каждого значения y.

Изобразим полученные результаты графически.

Нанесем на график точки (х;у_х) отметив их звездочками( ). Нанесем на график точки (х_у;у) отметив их кружочками ( ). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам:

х	5	30
у	35,54	73,54

Y_x=1.52x+27.94

х	10,45	26,45
у	35	75

X_y=0.4y-3.55

Обе прямые регрессии пересекаются в точке (х;у). В нашей задаче это точки (19,45; 57,5).

Оценка тесноты любой связи между признаками производится с помощью корреляционных отношений Y по X и X по Y:

з_ух=

Дисперсия называемые внутригрупповыми, определены ранее.

Величины называются межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам:

Они характеризуют разброс условных средних, от общей средней. В данной задаче:

б_х=

б_у=

Тогда корреляционные отношения равны:

з_ух=

з_ху=

Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая ее можно описать уравнениями:

Y_x=1.52x+27.94,

X_y=0.4y-3.55.