Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 29.06.2010 |
Размер файла | 480,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Министерство высшего образования Украины
Национальный Технический Университет Украины
“Киевский политехнический институт”
Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления
К о н т р о л ь н а я р а б о т а
по дисциплине :
“ Теория вероятностей и математическая статистика”
Вариант № 24
Выполнил студент гр. ЗІС - 91
ІІI курса факультета ФИВТ
Луцько Виктор Степанович
2009г.
Задача 1
Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:
а) сумма числа очков не превосходит N;
б) произведение числа очков не превосходит N;
в) произведение числа очков делится на N.
Исходные данные: N=18.
Решение задачи:
Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.
Р(А) = |
m |
|
n |
где: n - число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;
m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.
а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:
n = 36;m = 36
Р(А) = |
36 |
= |
1 ; |
|||
36 |
б) при произведении числа очков, не превосходящих N:
n = 28;m = 36
Р(А) = |
28 |
= |
7 |
0,778 ; |
|||
36 |
9 |
в) при произведении числа очков, делящихся на N:
n = 3;m = 36
Р(А) = |
3 |
= |
1 |
0,083 . |
||
36 |
12 |
Ответы:
а) Р(А) = 1 ;
б) Р(А) = 7/9 0,778 ;
в) Р(А) = 1/12 0,083.
Задача 2
Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно .
Исходные данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1.
Решение задачи.
Определяем количество способов нужной комбинации:
С = Сn1 m1 x Сn2 m2 x Сn3 m3 x Сn4 m4 = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 ;
Определяем количество всех возможных способов:
С = Сn1+n2+n3+n4 m1+m2+m3+m4 = С12 7 ;
3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:
Р = |
С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 |
= |
3 х 1 х |
4 х 5 х 6 |
х 2 |
= |
|
2 х 3 |
|||||||
С12 7 |
8 х 9 х 10 х 11 х 12 |
||||||
2 х 3 х 4 х 5 |
= |
3 х 5 |
= |
5 |
0,15 |
|||
9 х 11 |
33 |
Ответ: Р = 5/33 0,15 .
Задача 3
Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.
Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.
Решение задачи.
Общее число случаев, очевидно, равно Сn m , число благоприятных случаев Сk l x Сn-k m-l , откуда:
Р(А) = |
Сk l x Сn-k m-l |
= |
С4 3 x С8-4 5-3 |
= |
3 |
0, 4286 . |
|
Сn m |
С8 5 |
7 |
Ответ: Р(А) = 3/7 0, 4286 .
Задача 7
В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2. Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6.
Решение задачи
P(A) = |
S |
. |
|||||||
R2 |
|||||||||
P(A1) = |
S1 |
= |
2,6 |
0,0042246 ; |
|||||
R2 |
3,14 x 142 |
P(A2) = |
S2 |
= |
5,6 |
0,0090991 ; |
|||||
R2 |
3,14 x 142 |
P(A) = |
S1+ S2 |
= |
2,6 + 5,6 |
= |
8,2 |
0,013324 . |
|||
R2 |
3,14 x 142 |
615,44 |
Ответ: Р(А) 0,013324 .
Задача 8
В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно доброкачественное и одно бракованное?
Исходные данные: k1 = 81; k2 = 37.
Решение задачи
События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:
Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .
Для любых событий А и В имеет место формула:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) .
Обозначения:
Событие А - выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 - k1) ;
Событие B - выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 - k2) .
События А и В - независимые.
а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = (1 - k1) + (1 - k2) - (1 - k1)(1 - k2) =
= 0,19 + 0,63 - 0,19 х 0,63 0,82 - 0,12 0,70 .
б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АВ) = Р(А) х Р(В) = (1 - k1)(1 - k2) = 0,19 х 0,63 0,12 .
в) Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 - k1)k2 + (1 - k2)k1 =
= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 0,07 + 0,51 0,58 .
Ответы:
а) 0,70;
б) 0,12;
в) 0,58.
Задача 9
Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым -- р2 . Первый сделал n1, второй -- n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
Исходные данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2.
Решение задачи.
Обозначения:
А - вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 - р1) ;
В - вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 - р2) ;
Р - цель не поражена в результате общего количества испытаний.
Р = (1 - р1)n1 x (1 - р2)n2 = (1 - 0,33)3 x (1 - 0,52)2 = 0,673 x 0,482 0,30 x 0,23 0,069 0,07 .
Ответ: 0,07 .
Задача 12
Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа -- бракованная.
Исходные данные: n1 = 350; n2 = 440.
Решение задачи
Рассмотрим три гипотезы:
Н1 - выбор лампы из первой партии;
Н2 - выбор лампы из второй партии;
Н3 - выбор лампы из третьей партии;
а также событие А - выбор бракованной лампы.
Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 - полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):
3 |
|||
Р(А) = |
P(Hi) x P(A/Hi) . |
||
i=1 |
Тогда:
P(H1) = 350/1000 = 7/20 ;
P(H2) = 440/1000 = 11/25 ;
P(H3) = 210/1000 = 21/100 .
Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .
Ответ: Р(А) = 0,0514 .
Задача 18
На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2. -- мелкий выигрыш и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша, . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.
Исходные данные: n = 14; n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 = 0,35.
Решение задачи
Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события - является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным - независимы (для разных і):
Pn(m1,m2,…,mk) = |
n! |
p1m1 p2m2 … pkmk . |
|
m1! m2!…mk! |
В задаче: А1 - билет оказался с крупным выигрышем;
А2 - билет оказался с мелким выигрышем;
А3 - билет оказался без выигрыша.
Р14(5,4,5) = |
14! |
х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 = |
6х7х8х9х10х11х12х13х14 |
х |
|
5! 4! 5! |
2х3х4х2х3х4х5 |
х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х
х 0,01024 0,0378.
Ответ: Р 0,0378 .
Задача 19
Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».
Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.
Решение задачи
q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99 .
Так как n - большое число (n = N = 500), а npq 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:
Рn(m) |
am |
e-a , a = np . |
|
m! |
Подсчет вручную дает следующие результаты:
Рn(m) |
59 |
х |
1 |
58 |
х |
1 |
|||
2х3х4х5х6х7х8х9 |
е5 |
2х3х4х6х7х8х9 |
2,75 |
390625 |
390625 |
0,03751 . |
|||||
72576 х 143,5 |
10 413 862 |
Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где
Рn(m) 0,03627 .
Ответ: Рn(m) 0,03627 .
Задача 20
Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.
Варианты 22--31:
Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1 = - ; k2 = 40.
Решение задачи
Вероятность Рn(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:
Pn(m) = Cnmpmqn-m, m = 0,1,2,…,n (1)
где q = 1 - p - вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.
Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.
При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:
(2)
где:
(3)
где:
(4)
(5)
(6)
Формула (2) основана на локальной теореме Муавра--Лапласа, (3) -- на интегральной теореме Муавра--Лапласа, (5) и (6) -- на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра--Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].
З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.
З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I--IV соответственно (см. приложение).
В данной задаче n = 100, т.е. n - число большое.
npq = 21, следовательно npq > 9.
При этом q = 1 - p = 0,7 ;np = 30 .
Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).
Тогда:
k2 - np |
40 - 30 |
10 |
2,18 . |
|||||
npq |
4,58 |
4,58 |
k1 - np |
0 - 30 |
-30 |
- 6,55 . |
|||||
npq |
4,58 |
4,58 |
Pn(m k2) Ф(х2) - Ф(х1) Ф(2,18) - Ф(- 6,55) Ф(2,18) + Ф(6,55)
0,48537 + 0,5 0,98537 .
Ответ: Pn(m 40) 0,98537 .
Задача 21
Дана плотность распределения р (х) случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М дисперсию D, функцию распределения случайной величины вероятность выполнения неравенства х1 < < х2
Варианты 17-24:
Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.
Решение.
Р(х) = |
, х [-1,5, 1], |
||
0, x [-1,5, 1]. |
Найдем . Должно выполняться соотношение:F(+) = 1;
p(x)dx = 1; |
dx = 1; |
x |
1 |
= 1; |
*(1+1,5) = 1; |
= |
1 |
=2/5 . |
||
-1,5 |
2,5 |
|||||||||
- |
-1,5 |
1 |
||||||||
Найдем: М = |
х 2/5 dx = |
2 х2 |
1 |
= |
1/5 (1-2,25) = |
-1,25 |
= -0,25 . |
|
5 2 |
-1,5 |
5 |
||||||
-1,5 |
1 |
|||||
Найдем: D = М2 - (М)2 = |
2/5 x2 dx - 0,0625 = 2/5 |
x3 |
1 |
- 0,0625 = |
|
3 |
-1,5 |
||||
-1,5 |
= 2/5 (1/3 + 3,375/3) - 0,0625 = 0,4 * 1,4583 - 0,0625 = 0,5833 - 0,0625 = 0,5208 .
0 , |
x < -1,5; |
|||||||
x |
x |
|||||||
Найдем: F (x)= |
p(х) dx = |
dt , |
-1,5 x < 1; |
|||||
- |
-1,5 |
|||||||
1 , |
x 1 . |
|||||||
x |
x |
|||||||
dt = |
t |
= |
x + 1,5 = |
2/5x + 0,6 . |
||||
-1,5 |
-1,5 |
Найдем: P{-1<<1} = F (1) - F (-1) = 1 - (-2/5 + 0,6) = 7/5 - 3/5 = 4/5 .
Ответы: 1) = 2/5; 2) М = - 0,25; 3) D = 0,5208; 4) F (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<<1} = 4/5.
Список использованной литературы
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. - 528 с.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. - 6-е изд.стер. - М.: Высш.шк., 1999. - 576 с.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. - М.: Наука, 1998. - 656 с.
Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. - М.: Просвещение, 1998. - 160 с.
Подобные документы
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010