Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач



С детьми выясняется, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому, что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов.

Далее с детьми следует проанализировать структуру дерева возможных вариантов: дерево возможных вариантов начинается строго с определенного объекта (красный кубик является верхним для всех изображенных башенок, цифра 5 обозначает первый разряд при чтении показанных на дереве чисел), такой объект в структуре дерева называется корнем дерева; дерево возможных вариантов показывает последовательности вариантов выбора объектов (определенный порядок расположения кубиков в башенках и цифр, из которых состоят четырехзначные числа), они называются ветвями дерева. [5]

Задача 28. Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось?

Методические указания: в данной задаче речь идет о числе перестановок Р3 = 1 • 2 • 3 = 6, т.е. о выполнении трех визитов в разной последовательности. В качестве корня дерева возможных вариантов выступает Миша, который совершает визиты. [12]

Задача 29. В класс пришли четыре новых ученика Миша, Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора у него будет?

Методические указания: в отличие от предыдущей задачи корнем дерева возможных вариантов будет точка, а не кто-то из новых учеников. Важно обратить на это внимание учащихся. [12]

Задача 30. Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш или Ц, второй буквой могут быть О, И, Е, а оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х.

Методические указания: как и в предыдущей задаче, корнем дерева возможных вариантов будет точка, а не какая-то из букв. На это важно обратить внимание учащихся. [5]

Задача 31. Петя, Вася, Катя, Лиза и Миша должны участвовать в конкурсе чтецов. В каком порядке дети выступят, если Миша будет выступать первым, а за ним пойдут Катя и Лиза?

Методические указания: важно проконтролировать порядок расположения чтецов при записи учащимися. [11]

Задача 32. Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные трехзначные числа, в которых нет одинаковых цифр. Сколько среди чисел, меньше 900?

Методические указания: при решении задачи следует рассуждать так: «Если числа меньше 900, то первой цифрой в числе может быть 7 или 5, поэтому ставим 2 точки. Сначала составим все числа с первой цифрой 7. При этом второй цифрой может быть либо 9, либо 5, либо 0 (проводим линии, ставим три точки). Если первая цифра 7, вторая- 9, то третьей могут быть 5 или 0. Если первая цифра 7, вторая - 5, то третьей могут быть 9 или 0. Если первая цифра 7, вторая- 0, то третьей могут быть 5 или 0». Аналогичные рассуждения с первой цифрой 5. [5]

На этапе отработки умений выполнять организованный перебор предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов перебора, с другой - осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

Задача 33. Поставь между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства.

а) 3 3 3 3 = 10

б) 3 3 3 3 = 111

в) 3 3 3 3 = 4

г) 3 3 3 3 = 5

д) 3 3 3 3 = 7

е) 3 3 3 3 = 8

ж) 3 3 3 3 = 9

з) 3 3 3 3 = 3

и) 3 3 3 3 = 6

к) 3 3 3 3 = 1

Методические указания: задачу можно предложить в качестве домашнего задания. [12]

Задача 34. Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая (ч), кофе (к), булочки (б), печенья (п) и вафель (в)?

1. Пользуясь условными обозначениями, составь таблицу, соответствующую условию задачи. Сколько завтраков у тебя получилось?

2. Заполни схему дерева возможных вариантов в соответствии с условием задачи.

Сколько завтраков у тебя получилось?

Дострой граф так, чтобы он соответствовал условию задачи.

Сколько завтраков у тебя получилось?

Сравни ответы, которые у тебя получились в пунктах 1, 2, 3.

Методические указания: задача предлагается для проверки умения решать комбинаторные задачи разными способами, поскольку наглядно показывает уровень сформированности умения выполнять организованный перебор. Задача позволяет учащимся осуществлять действие самоконтроля. На решение данной задачи отводится 10 - 15 минут от урока. [13]

Задача 35. Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?

1. Закончи построение графа, соответствующего данной задаче.

2. Используя построенный граф, ответь на вопросы: «Сколько звонков сделала

а) первая семья _________,

б) вторая семья _________,

в) третья семья _________,

г) четвертая семья ________,

д) пятая семья _________,

е) шестая семья __________».

3. Обведи на графе красным цветом стрелки, обозначающие разговор между

а) третьей и пятой семьями;

б) первой и четвертой семьями;

в) второй и третьей семьями.

4. Ответь на вопрос задачи.

5. Проверь свой ответ, составив таблицу, соответствующую данной задаче. [13]

Задача 36. Поставь скобки так, чтобы получились верные равенства.

а) 8 + 40 : 8 - 3 • 2 = 0

б) 8 + 40 : 8 - 3 • 2 = 28

в) 8 + 40 : 8 - 3 • 2 = 24

Методические указания: см. Методические указания к задаче 33. [12]

Задача 37.

Выполни задание.

На отрезке АВ поставь три точки и обозначь их буквами М, К, Е.

2. Ответь на вопрос: «Сколько новых отрезков получилось?»

3. Проверь свой ответ, достроив граф.

Объясни, почему на этом графе не нужно ставить стрелки.

Запиши в таблицу все новые отрезки.

	А	В	М	К	Е
А	-	-	АМ
В
М
К
Е

Сколько клеток ты заполнил?

Методические указания: задачу можно предложить в качестве домашнего задания к уроку контроля и оценки знаний по теме «Отрезок» как нестандартную задачу. [13]

Приложение 2

Конспекты внеклассных занятий.

Занятие 1.

Цель: Совершенствовать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение) учащихся.

Ход занятия:

I. Оргмомент (приветствие, настрой на работу, концентрация внимания).

У каждого ребенка на парте две картинки.

Учитель: Из каких геометрических фигур составлены эти рожицы?

Чем они отличаются друг от друга? Какое настроение у каждой из них? А какое настроение у вас? Покажите с помощью картинки. А теперь посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь. Своей улыбкой вы желаете одноклассникам хорошего настроения. Посмотрите на меня. Я вам тоже желаю хорошего настроения и интересной работы.

II. Разминка.

Учитель: Как всегда, прежде чем начать занятие, займемся разминкой. Сегодня провести её мне помогут сказочные герои.

(На доске появляются изображения Нюши, Бараша и Кроша)

II. Учитель: Вы их узнали? (это Смешарики)

Нюша решила провести ревизию своих игрушек. Давайте ей поможем.

Я сегодня рано встала,

Кукол всех своих считала:

Три Матрешки -- на окошке,

Две Маринки -- на перинке,

Пупсик с Катей, Буратино

И Петрушка в колпачке --

На зеленом сундучке.

Я считала, я трудилась,

Но потом со счету сбилась.

Помогите мне опять

Кукол всех пересчитать

(9 игрушек)

2. Решение логических задач.

У Нюши было 20 рублей. Она купила хлеб и спички. Хлеб стоит 12 рублей, спички 3 рубля. Хватит ли Нюше на мороженое, если оно стоит 6 рублей? Сколько денег у неё останется или ей нужно будет добавить?

Учитель: сколько денег у Нюши было?(20 рублей)

- Сколько она потратила? (12 рублей и 3 рубля)

- Как найти остаток? (остаток это часть, значит, из целого нужно вычесть известные части)

20-12-3=5(руб)-остаток.

Хватит ли Нюше на мороженое, если оно стоит 6 рублей?

(нет, не хватит 1 рубля)

III. Задания на развитие памяти и внимания.

Учитель: ребята, посмотрите внимательно на фигуры, запомните их цвет, форму и порядок расположения. (Учитель демонстрирует рисунок в течение 5 секунд)

Учитель: А теперь на своих листах нарисуйте эти фигуры.



Учитель: поменяйтесь работами со своим соседом по парте, проверьте работы друг друга.

III. Подготовка к решению комбинаторных задач.

1. На каждой парте по три кубика: красный жёлтый и синий. Дети работают в парах.

Учитель: составьте из трех одинаковых по размеру кубиков красного, желтого и синего цвета несколько отличающихся друг от друга построек.

(дети хаотично переставляют кубики, считают, сколько различных вариантов получилось.)

(На первый стол выносят все шесть вариантов, необходимо поставить их так, чтобы рядом были постройки с одинаковыми нижними кубиками.)

Учитель: как лучше поступить, чтобы не пропустить не один вариант?

(нужно фиксировать один цвет)

2. Нарисуйте, как по-разному можно положить в ряд на столе тарелку, нож и вилку. Какой вариант будет более удобным для человека, который ест с помощью ножа и вилки?

Учитель: как лучше поступить, чтобы не пропустить не один вариант?

IV. Найди пуговицу, которая отличается от других. Объясни, в чем ее отличие.



V. Рефлексия.

Учитель: У вас на партах лежат бумажные человечки. Если вам было интересно на занятии, вы многое запомнили и узнали, у вас было хорошее настроение, вы работали дружно, вам было приятно общаться друг с другом, интересно, то вы поднимаете карточку с весёлым человечком. Если вы чувствовали себя неуютно, переживали, то вы поднимаете карточку с грустным человечком.

Занятие 2.

Цель: продолжить совершенствование мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение) учащихся.

Ход занятия:

VI. Оргмомент (приветствие, настрой на работу, концентрация внимания).

Ребята, сегодня вновь у нас в гостях Смешарики.

II. Разминка.

1. Смешарики купили себе робота. Вот его портрет. Из каких геометрических фигур он состоит?

Учитель: друзья решили написать портрет новой игрушки, но Бараш допустил одну ошибку. Где рисунок, который сделал Бараш, и какую ошибку он допустил?

2. Крош, Нюша и Бараш написали контрольную работу по математике. Они спросили у учителя, какая у них отметка. Учитель ответил: «Попробуйте догадаться. В классе двоек нет и у вас у всех отметки разные, причем, у Нюши не три, а у Бараша не три и не пять».

(Так как у Бараша не три и не пять, значит у него четыре. У Нюши не три и не четыре, значит у неё пять. Крошу остаётся тройка).

VII. Задача- шутка.

Крош по лесу шел

И пятак нашел.

А с Барашем пойдет,

Тогда сколько найдет?

III. Решение комбинаторных задач.

1. Смешарики решили, что у них должен быть свой флаг. Они выбрали три цвета: желтый, синий, красный. Раскрасьте флажки в эти цвета так, чтобы они отличались друг от друга. Сколько флажков получилось?



(В этом задании три полоски и три цвета. Число возможных перестановок цветов шесть. После того как дети выполнят задание, следует обсудить, как они действовали. Возможно, найдутся ученики, которые, раскрашивая полоски, действовали не хаотично, а соблюдали определенный порядок раскрашивания.)

2. Нюше на день рождения подарили три мячика: желтый, зелёный и красный.

Нарисуйте, в каком порядке она может расположить их на полке.

При обсуждении задания важно обратить внимание детей на рациональный способ действия: в первых двух случаях первые мячи одинаковые, а переставляются второй и третий; в третьем и четвертом случаях на первом месте появляется тот мяч, который был вторым, а два других переставляются; в пятом и шестом случае на первом месте оказывается третий мяч, а два других опять меняются местами.

Друзья решили поиграть двумя мячиками. Какие из трех они могут выбрать. Нарисуйте все возможные варианты.



IV. Рефлексия

VIII. Итог урока.

Занятие 3.

Цель: приобретение опыта образования объектов из отдельных элементов (осуществляя хаотический перебор)

Ход занятия:

IX. Оргмомент:

Учитель: Отгадайте, кто к нам придет в гости. Кто однажды сочинил про своего друга стихотворение:

Торопыжка был голодный, Проглотил утюг холодный!

Дети: Незнайка!

Учитель: Ребята, сегодня у нас необычный гость, послушайте, что он вам скажет. (Входит ребенок в костюме Незнайки и читает стихи)

Добрый день дорогие друзья,

Перед вами, как видите, я

Незнайкой коротышки меня зовут,

За знания, которые находятся вот тут.

Учитель: Ребята, вспомните, из какого произведения пришёл к нам Незнайка? Назовите ещё героев этого произведения. Вспомните другие рассказы Носова.

Незнайка: Думаю пора игру начать

Время мы даром не будем терять.

Незнайка в своем ранце принес различные занимательные вопросы. Он хочет выяснить, кто из вас самый сообразительный. Для этого мы поведем соревнование между командами. За каждый правильный ответ -жетон.

Команду, в которой окажутся самые сообразительные ребята, Незнайка наградит медалями.

II. Разминка.

X. Деление на группы.

Каждый ученик получает цветную карточку. Дети собираются в группы по цвету карточек, переворачивают их, складывают, получаются ребусы.

Кто первый разгадал ребус, получает 3 жетона, кто второй - 2, третий - 1.

2. Решение веселых задач.

На пасеке 3 медвежонка

Играли в прятки у бочонка.

Один в бочонок еле влез,

А сколько убежало в лес?

5 лампочек тускло горели в люстре,

Хлопнули двери - и 2 перегорели.

Сделать нужно вам малость-

Сказать, сколько ламп осталось?

5 лодок было у причала.

Волна их весело качала.

3 лодки взяли рыбаки,

Чтоб переплыть простор реки.

А сколько лодок у причала,

Волна по-прежнему качала

(Дети пишут ответы на карточках, каждый правильный ответ - жетон)

3. Логические задачи.

а) На дереве сидели 4 голубя и 6 воробьёв. 5 птиц улетели. Улетел хотя бы один воробей?

б) В двух корзинах лежало одинаковое количество яблок. Из первой корзины во вторую переложили 10 яблок. На сколько больше стало яблок во второй корзине, чем в первой?

4. Подведение итогов разминки.

III Образование объектов из отдельных элементов

Учитель: В сказке Носова самым умным и сообразительным был Знайка. Он предлагает вам несколько заданий.

1. Для гербария Знайка выбрал три листа клена: зеленый, желтый, красный. Покажи, в каком порядке он может расположить их в альбоме.

(Обсуждается рациональный способ действия). Далее идет самостоятельная работа в тетрадях.

2. Из каких фигур составлен первый домик?

Дорисуйте второй домик так, чтобы изменился порядок расположения фигур. Дорисуйте третий домик так, чтобы изменился набор используемых фигур. Раскрасьте домики так, чтобы они отличались по цвету друг от друга.

IV. Итог урока.

- Что больше всего понравилось на занятии?

- Чему учились?

- Подарите друг другу свои улыбки и хорошее настроение? А Незнайка дарит вам на память медали.

Занятие 4.

Цель: научить детей находить все возможные варианты в комбинаторных задачах, организуя перебор в определенной системе.

Ход занятия:

XI. Оргмомент:

Учитель: У отца был мальчик странный, Необычный, деревянный. Он имел предлинный нос, Что за сказка? Вот вопрос…

Послушайте песню и отгадайте о ком она? (Звучит кассета с записью песни Буратино, дети отгадывают, появляется изображение на доске)

Учитель: Вспомните сказку, автора и героев.

Учитель: Как звали учительницу Буратино, красивую девочку с голубыми волосами? (Мальвина)

Учитель: Она приготовила для вас необычные задания для разминки.

II. Разминка.

1. Учитель: Решите задачки в стихах:

Два щенка - баловника

Бегают, резвятся. К шалунишкам два дружка С громким лаем мчатся. Вместе будет веселей. Сколько же всего друзей? (Ищем целое 2 + 2 = 4 друга).

Пять лодок было у причала. Волна их весело качала. Три лодки взяли рыбаки, Чтоб переплыть простор реки. А сколько лодок у причала Волна по-прежнему качала? (Ищем часть 5 - 3 = 2 лодки).

2. Из каких геометрических фигур состоит рисунок?

Буратино, Мальвина и Пьеро катались на велосипедах. У них были трехколёсные и двухколёсные велосипеды, всего было 8 колёс. Сколько было трехколёсных велосипедов? (2 - трехколесных и 1 - двухколесный)



III. Решение комбинаторных задач.

1. Расставь модели фигур так, чтобы рядом не было одинаковых по форме или по цвету.

2. Проследите за тем, как изменяется расположение фигур в первых трех квадратах. Заполните пустые клетки. Объясните, на основании чего вы это сделали.

3.У Мальвины было 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Нарисуйте эти яблоки в своей тетради.

а) Буратино съел 2 яблока. Какого цвета могли быть эти яблоки? Раскрасьте заготовки.

(Детям необходимо следить за тем, чтобы пары отличались друг от друга. Четвертая пара яблок - «ловушка»).

б) Буратино съел 3 яблока. Какого цвета могли быть эти яблоки? Раскрасьте заготовки.

(Четвертая тройка яблок - «ловушка»).

в) Буратино съел 4 яблока. Какого цвета могли быть эти яблоки? Раскрасьте заготовки.

(Четвертый рисунок вновь - «ловушка»).

Рефлексия

XII. Занятие 5

Цель: научить детей находить все возможные варианты в комбинаторных задачах, организуя перебор в определенной системе.

Ход занятия:

XIII. Оргмомент:

Учитель: Сегодня вновь у нас гости из сказки

Гармошка в руках, На макушке фуражка, А рядом с ним важно

Сидит Чебурашка. Портрет у друзей

Получился отменный, На нём Чебурашка, А рядом с ним…Гена.

Учитель: Назовите автора сказки, героев.

II. Разминка.

1. Учитель: Вы помните Шапокляк? Эта вредная старуха всегда пыталась навредить нашим героям. Вот и теперь она зашифровала слова. Давайте решим ребусы.

2. Учитель: Во дворе гуляли куры и собаки. Мальчик посчитал их лапы, получилось 10 лап. Сколько могло быть кур и собак?

(2 собаки и 1 курица, или 1 собака и 3 курицы).

III. Решение комбинаторных задач.

1. Гена принес Чебурашке три яблока разного цвета: зеленое, желтое и красное. Нарисуйте эти яблоки в своей тетради.

а) Покажите, как можно разложить эти яблоки по разному друг за другом

(Важно вновь обратить внимание на рациональный способ действия. Фиксируем один цвет.)

2. У Чебурашки 5 разноцветных кубиков. Нарисуйте эти кубики.

а) Гена предложил построить башню из двух кубиков. Покажите на рисунке, какие варианты выбора двух кубиков из пяти возможны?

б) Чебурашка предложил выбрать три кубика из пяти. Сколько вариантов выбора получится в данном случае? Раскрасьте эти варианты.

(Учитель выясняет у детей, - в каком случае будет больше вариантов выбора: когда нужно 2 кубика из 5 или когда нужно 3 кубика из 5? Число вариантов выбора в обоих случаях одинаково.)

Рефлексия.

Приложение 3

Методика «Исключения понятий»

Цель: предназначена для исследования способностей к классификации и анализу.

Инструкция: Обследуемым предлагается бланк с 17 рядами слов. В каждом ряду четыре слова объединены общим родовым понятием, пятое к нему не относится. За 5 минут обследуемые должны найти эти слова и вычеркнуть их.

1. Василий, Федор, Семен, Иванов, Петр.

2. Дряхлый, маленький, старый, изношенный, ветхий.

3. Скоро, быстро, поспешно, постепенно, торопливо.

4. Лист, почва, кора, чешуя, сук.

5. Ненавидеть, призирать, негодовать, возмущаться, понимать.

6. Темный, светлый, голубой, яркий, тусклый.

7. Гнездо, нора, курятник, сторожка, берлога.

8. Неудача, волнение, поражение, провал, крах.

9. Успех, удача, выигрыш, спокойствие, неудача.

10 Грабеж, кража, землетрясение, поджег, нападение.

11. Молоко, сыр, сметана, сало, простокваша.

12. Глубокий, низкий, светлый, высокий, длинный.

13. Хата, шалаш, дым, хлев, будка.

14. Береза, сосна, дуб, ель, сирень.

15. Секунда, час, год, вечер, неделя.

16. Смелый, храбрый, решительный, злой, отважный.

17. Карандаш, ручка, линейка, фломастер, чернила.

Размещено на Allbest.ru