Главная База знаний "Allbest" Математика Измеримые множества

Измеримые множества

Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.

Рубрика	Математика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	28.05.2007
Размер файла	122,6 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Покажем, что р а з л и ч н ы е классы K(х)--и K(у)--не пересекаются между собою. Действительно, предположим, что они пересекаются и пусть zОK(х)K(у). Тогда z =х + r_х=у + r_у, где r_хиr_урациональные числа, откуда

у =--х + r_х---r_у, где r_x и r_урациональные числа, откуда у =--x + r_x- r_у.

Теперь, если t О K(у), то

t = у +--r = x + (r_x- r_у+ r) = x + r',

так что tОK(x)--и K(у) М--K(x). Аналогично мы установим, что K(x)--М--K(у) и тогда окажется, что K(x) = K(у), т.е. K(x) и K(у) представляют собою один и тот же класс, вопреки предположению, что это различные классы.

Множество всех построенных таким образом классов и дает нам требуемое разбиение.

Сделав это, выберем из каждого класса по одной точке и обозначим через А множество выбранных точек.

Множество А неизмеримо.

Чтобы доказать это, перенумеруем все рациональные точки сегмента [-1,--+1]:

r_о =--_,--r₁, r₂, r_3,…

и обозначим через А_k множество, получаемое из множества А сдвигом

j_k (x) = x + r_k.

(Иначе говоря, если x О A, то x + r_kО A_k, и если x О A_k_,то x - r_kО A).

В частности, А₀ =--A. Все множества А_k конгруэнтны друг с другом, а потому (теорема 8)

m_*A_k = m_*A = a, m_*A_k = m*A = b (k = 0, 1, 2, …).

Убедимся, что

b >--0. (1)

Для этого заметим, что

[-,--+].--------------------------------------------------------------------------------(2)

Действительно, если х О--[- , +], то х попадает в один из классов произведенного выше разбиения. Если представитель этого класса в множестве A есть х_0,то разность х - х₀ есть число рациональное и притом, очевидно, принадлежащее сегменту [-1, +1], откуда х - х₀ = r_kи х О--A_k. Итак, (2) доказано.

Но тогда (теорема 5):

1=m[-, +] Ј m[] Ј ,

т. е.

1Јb--+--b--+--b--+--...,

откуда следует (1).

С другой стороны, легко показать, что

a=_.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(3)

Для этого прежде всего убедимся, что при n №--m

AnAm=0. (4)

В самом деле, если бы точка z входила в A_nA_m, то точки х_n=z-r_n, х_m=z-r_mбыли бы (очевидно, различными) точками множества A, т.е. представителями двух различных классов, чего быть не может, ибо их разность х_n-х_m=r_m-r_n есть число рациональное. Итак, (4) доказано.

С другой стороны, легко увидеть, что при любом k

A_kМ [- , + ]

( ибо, если хОA_k, то x= x₀+r_k, где ч--х₀ЅЈ--1/2, Ѕr_kЅЈ 1), так что

М--[-,+]. (5)

Из (5) и (4), в силу теоремы 6 следует, что

3=m_[- , + ] і--m_[] і ,

откуда

a+a+a+… Ј--3 и a=_

Сопоставляя (1) и (3), получим m_А<mА, что и доказывает неизмеримость множества А.

Замечание. Если бы мы с самого начала разбили на классы не сегмент [-1/2,--+1/2],--а произвольное измеримое множество Е положительной меры, то, буквально повторяя проведенное рассуждение, пришли бы к неизмеримому множеству А М Е. Итак, всякое множество положительной меры содержит неизмеримую часть.