Философия А.Ф. Лосева в математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В конце 20 - начале 21 веков в связи с углублением знаний по всем направлениям появляется множество новых научных дисциплин на стыке различных наук. Огромный проблемный слой находится на границе математики и философии. Очень часто, столь многое, понятное математику, совершенно непонятно философу, а над тем, что с математической точки зрения является чем-нибудь очень простым приходится много размышлять. И вот сегодня, из глухих глубин небытия появляется новый, неизвестный пласт творчества выдающегося мыслителя - философско-математические и логические исследования А.Ф. Лосева, являющего собой и своим творчеством «союз философии и математики, который так часто в интуитивных глубинах у настоящих философов и математиков, и который так редок у тех, кому суждено повторять и распространять философские и математические идеи, но не создавать их». Без сомнения, математика - давнишняя любовь А.Ф. Лосева. И если бы он не был философом, то, конечно, был бы математиком. Мечту своей молодости - философски понять математику, А.Ф. Лосев смог осуществить, будучи уже «философом не первой молодости». Однако это подвиг целой жизни.

К моменту оформления лосевской философии числа многое существенное в этой области уже произошло. Целой армией мыслителей была проделана огромная работа, которая лишний раз убеждала самого А.Ф. Лосева в том, что подлинно философское осмысление математического материала еще слишком далеко от завершения.

Надо отметить, что А.Ф. Лосеву не удалось реализовать в силу ряда причин в полном объеме свой замысел строго диалектического обоснования математики. Чего-то философ не успел сделать или не дали, что-то было уничтожено, готовое. Потому теперь исследователям творчества А.Ф. Лосева приходится заниматься реконструкцией общей панорамы математических знаний, как она представлялась А.Ф. Лосеву, а также отыскивать следы прежних замыслов в более позднем творчестве философа. По ходу этих операций будут видны и более общие контуры всей конструкции, и знающие места утраченных ее деталей.

Целью же данной работы является рассмотрение философско-математических и логических исследований А.Ф. Лосева, представленных в труде «Хаос и структура», «Философия числа», образованный на стыке двух наук: математики и философии.

Задачи данной работы: изучить и проанализировать предпосылки формирования математических воззрений А.Ф. Лосева, рассмотреть число как предмет философского осмысления в работах А.Ф. Лосева, изучить учение А.Ф. Лосева и гилетических числах, а также определить модели усвоения и актуализации гилетических чисел.

лосев гилетический учение математический

1. А.Ф. Лосев: «Философ в математике»

1.1 Предпосылки формирования математических воззрений А.Ф. Лосева

Все философско-математические исследования А.Ф. Лосева представлены в работе «Хаос и структура». Они были созданы в 30-40_х годах, и ни одно из них не было опубликовано при жизни автора. Немаловажную роль в логико-математической активности философа сыграли внешние обстоятельства жизни А.Ф. Лосева. В.П. Троицкий в «Математике Алексея Лосева» отмечает: «Лагерный опыт учил, что дальнейшая разработка выдвинутых идей была бы попросту самоубийственна, поскольку она по необходимости требовала острых ощущений социологического, культурологического и богословского характера» [1, с. 806]. Нужно было искать новые темы и целые области приложения творческих сил.

Кроме обстоятельств внешнего порядка, сознательные логико-математические поиски диктовались и внутренней потребностью реализации творческого потенциала философа. Проделанная работа позволяла не только указать «тех китов», несущих, по Лосеву, весь груз трудоустройства - Имя, Миф, Число - но и точно определяла программу научных исследований.

В.П. Троицкий, принимая во внимание тяготение А.Ф. Лосева к систематическому методу диалектики, соотносит философа с давней традицией, первые звенья в цепи преемств которой составляют Платон и Аристотель, далее следуют неоплатоники Плотин и Прокл, затем - Николай Кузанский, потом - немецкие идеалисты в лице Шеллинга и Гегеля [1, с. 807]. Диалектическими методами владели многие из современников Лосева, однако, именно в работах Лосева подведен итог, произнесено последнее слово. По словам В.М. Лосевой, написавшей Предисловие к «Диалектическим основам математики», в «случае Лосева» мы имеем дело с одним из «завершительных, резюмирующих умов», каковые «всегда появлялись в конце великих эпох для того, чтобы привести в систему вековую работу мысли и создать инвентарь умирающей культуры, чтобы передать его новой культуре, только еще строящейся [2, с. 67].»

Со страниц логико-математических исследований А.Ф. Лосева, по выражению В.П. Троицкого, встают «тени великих предшественников» [1, с. 807]. Так, строение «Логической теории числа», нельзя не согласиться с В.М. Лосевой, «одного из шедевров в философской литературе, занимавшейся числом» [2, с. 12], соразмерена и соприродна построениям «учения о бытии» из «Науки логики» Гегеля. Когда в «Диалектических основах математики» обнаруживаются суждения о «множестве всех чисел» и за таковыми закрепляется термин «тотальность», то родственном ряду обнаруживается «единство множества» Шеллинга [1, с. 808]. Там, где затрагиваются одни и те же темы, разительно совпадают и результаты.

Приступая к характеристике Лосевской философии математики, В.П. Троицкий предлагает рассмотреть «ближнее и дальнее окружение», во взаимодействии, с которым оформились взгляды А.Ф. Лосева [1, с. 808], и воспользоваться для этого излюбленным приемом философа, методом «меонального отграничения»: чтобы подвести к какому-нибудь «это», нужно всесторонне рассмотреть, «то, что не есть это». Приверженность подобной интеллектуальной технике лишний раз показывает и доказывает действительную цельность творчества А.Ф. Лосева, который предстает диалектом и по содержанию полученных результатов, и по стилистике способа добывания таковых [1, с. 809].

А.Ф. Лосев, конечно же, желал видеть свои работы опубликованными, потому должен был, так или иначе, кодифицировать их на языке, господствующем в обществе. Ведь даже в относительно либеральные времена конца 20_х годов, когда «никакого классового содержания» еще можно было не находить «ни в Пифагоровой теореме, ни в правиле Ампера, ни в законах Менделя» [1, с. 810], уже тогда философская система Лосева была обречена на отторжение. Философское же освещение проблем математики в интеллектуальной атмосфере 30_х годов было направлено на борьбу с «оговорщиной» и «лузинщиной» [1, с. 810], а Д.Ф. Егоров и Н.Н. Лузин входили в круг ближайших друзей А.Ф. Лосева. Как отмечает Троицкий, в «Диалектических основах математики» нет и «слабого намека на идейное сближение» с «классиками марксизма-ленинизма» [1, с. 810]. Однако если же дело к тому все-таки шло, все «нужные» цитаты компоновались в локальные области вступительной части или в специальный отдельный параграф, где механически складируя высказывания без каких-либо оценочных суждений и реальной связи с собственными построениями [1, с. 811].

Более содержательным может быть рассмотрение дружественного А.Ф. Лосеву окружения. И, прежде всего это творческие и личные отношения А.Ф. Лосева с математиками Д.Ф. Егоровым и Н.Н. Лузиным. От первого А.Ф. Лосев получал уроки сжатого изложения математического материала, от второго - особый интерес к теории меры и проблематике измеримости. Признанные лидеры Московской математической школы своим творчеством являли тот самый союз, о котором хлопотал А.Ф. Лосев, - «тот союз философии математики, который так част в интуитивных глубинах у настоящих философов и математиков и который так редок у тех, кому суждено повторять и распространять философские и математические идеи, но не создавать их впервые» [3, с. 426].

В кругу современников А.Ф. Лосева необходимо выделить фигуру П.А. Флоренского. Безусловно, близкими для А.Ф. Лосева предстают пифагорейско-платоновские по своим основаниям взгляды П.А. Флоренского на число, а также трактовка им канторовской теории множеств. Троицкий указывает и на иные более общие установки, сближающие своих мыслителей: предпочтение диалектики иным философским системам, лишенное формалистики отношение к познавательным категориям, понимание не только мировоззренческих, но и мироустроительных функций символизма, готовность рассматривать любые факты и явления в единстве структурно-смысловых (Логос) и выравнивающее-десемантизированных (Хаос) процессов. Их одинаково волновали именно последние «как» и «почему», мысленный взор каждого устремлялся в одну и ту же глубинную точку [1, с. 813].

Нельзя не вспомнить и о фигуре В.Н. Муравьева. Он оставил яркий след в публицистике начала 20_го века и успел издать философскую работу «Овладение временем как основная задача организации труда» (1924). Однако значительная часть его творчества, как отмечает Троицкий, остающаяся неопубликованной, свидетельствует о том, что одновременно с А.Ф. Лосевым трудился мыслитель, интересы которого особенно тяготели к философским основаниям математики. Имя и число, ипостасийный характер учения Г. Кантора, последовательное развертывание числового принципа в диалектическом синтезе единства - множественности - вот только некоторые из тем, затронутых В.Н. Муравьевым вместе с А.Ф. Лосевым.

Логико-математические работы А.Ф. Лосева, по меньшей мере, по двум причинам правомерно рассматривать как целое и как некую световую точку на фоне мировых исследований в области математики [1, с. 814]. Во-первых, к началу 40_х годов, когда лосевская «философия числа» приняла известную форму, многое существенное в данной области уже произошло и о многом главном сам Лосев имел вполне ясное представление. А во-вторых, проделанная целой армией мыслителей работа убеждала самого Лосева в том, что подлинно философское осмысление математического материала еще слишком далеко от завершения и что «философию числа» можно и должно строить - ему, здесь и теперь [1, с. 814].

Необходимо отметить тот факт, что лосевское понимание природы математических объектов чуждо психологическому подходу, выводящему представление о числе непосредственно из некоторого комплекса переживаний субъекта. Автором «Диалектических основ математики» отрицалась доктрина о научных, в том числе математических понятиях, как результате абстракции, отвлечения от материальной действительности. Как отмечает В.П. Троицкий, «сама установка на абстрагирование имплицитно содержит знание именно того понятия, которое надлежит определить» [1, с. 815].

Не однозначно отрицательным было отношение А.Ф. Лосева к логицизму. Как отмечает Троицкий, с одной стороны Лосеву импонировали начинания некоторых выдающихся ученых, приступивших на рубеже 19-20_х веков к строительству оснований математике на аксиоматических принципах. Подобно тому, как приверженцы методов Гильберта получали многочисленные истины из немногих базовых утверждений-аксиом, так и Лосев последовательно выводил и отдельные математические понятия, и развернутые теоремы. Однако, с другой стороны, для него были неприемлемы многие особенности гильбертовской школы. Это, как отмечает Троицкий, и демонстративный формализм, т.е. сосредоточение на проблемах непротиворечивости вывода при игнорировании содержательных интерпретаций, это и установка на строго обозримые «финитные» методы рассуждений, это и самозамкнутость гильбертовской теории доказательств [1, с. 815]. По определению В.П. Троицкого, гильбертовская программа спасения классической математики от парадоксов состоит в том, что математика «должна быть сформирована в виде формальной аксиоматической теории, после чего следует доказать ее непротиворечивость, т.е. установить, что в этой формальной аксиоматической теории нельзя доказать противоречие». Сами доказательства при этом становятся «предметом специальной математической дисциплины названной Д. Гильбертом математикой, или теорией доказательств» [1, с. 815]. Данная программа полагалась к реализации для арифметики, функционального анализа и, в перспективе, геометрии. Далее выяснилось, что для всякой математической теории можно сформулировать вполне осмысленное, но недоказуемое и, вместе, неопровержимое утверждение, т.е. внутри всякой такой теории, содержательно достаточно богатой, гарантировано присутствие сомнительной ее составляющей. Также прояснился и тот факт, что непротиворечивость данной формальной теории, та в свою очередь нуждается в новом расширении. Потому доказательство непротиворечивости «извне» незавершимо. Таким образом, было строго доказано наличие принципиальных ограничений на строгость доказательств в математике. Это фактически указывало на необходимость выхода за пределы математики в объемлющие ее области, причем, как указывает Троицкий, по двум путям: либо путаться преодолеть барьер «за счет отказа от прежнего экстремизма и созданием новых формальных методов и через них повторного обращения к проблеме существования математических объектов, либо развивать более содержательную «метаматематику», действительно конструируя такие объекты из некоторых первооснов и уже не прибегая к математическим формализмам». [1, с. 816] Первым путем и по сей день следуют многие специалисты по основаниям математики, по второму пути пошел А.Ф. Лосев.

Однако же, насколько правильно будет, как предполагает В.П. Троицкий, связывать «математику» напрямую с именем Лосева? Сам автор называл свое учение либо, вполне определенно, «диалектическими основами математики» (как в названии основной своей книги по философским вопросам математики), либо, вполне общо, «философией числа». Кроме того, сам термин используется для обозначения сугубо математической дисциплины, введенной Д. Гильбертом. В.П. Троицкий отмечает, что все-таки, «смысловой пласт этого термина «математика» слишком богат и ценен, чтобы отказываться от него, доверяясь лишь формальным доводам» [1, с. 816].

Необходимо заметить, что построения А.Ф. Лосева нигде не расходятся с математическими данными. Автор даже с некоторой «назойливостью и монотонностью» вновь и вновь показывает, где и как его содержательная аксиоматика, его «основоположения числа» естественно перерастают в аксиомы и теоремы самой математики. Вслед за В.П. Троицким можно сказать, что «философская математика А.Ф. Лосева проделывает свой отрезок пути и заканчивается там, где начинает собственно математика, - в изощрениях профессионалов-нефилософоф». Логически А.Ф. Лосев оказался раньше и впереди специалистов по математике и ее основаниям. Исторически уже имелась математика со всеми ее достижениями, принципиальными кризисами, необозримостью тем и предметов, когда появились построения новой математики. В.П. Троицкий приводит «полезную» аналогию, вспоминая происхождение явно родственного «математике» термина, возникшего случайно, когда Андроник Родосский, переписывая труды Аристотеля, вслед за группой сочинений «о природе» поместил другую группу под условным названием «то, что после физики». С тех пор наука, «исследующая первые начала и причины» и самим Аристотелем величаемая «первой философией», стала «метафизикой».

О самом первом вхождении лосевской «философии числа» как математики в традицию «наук о первоначалах» В.П. Троицкий предлагает сулить, привлекая к «терминологическому» рассмотрению книгу С.Л. Франка «Предмет знания» (1915). В задаче построения единой «теории знания и бытия», которую Франк предпочитает называть «не онтологией, а старым и вполне подходящим аристотелевским термином «первой философии», узнаются и предпочтения А.Ф. Лосева [1, с. 817]. Таким образом, лосевская математика, в основе которой лежат глубокие неоплатонические интуиции, получало поддержку и примером непосредственного предшественника. В своем построении «числовых структур бытия». А.Ф. Лосеву удалось избежать некоторых недостатков. Так, для Лосева естественно относиться к извечной «меональной тьме» не только с пониманием, но и чрезвычайно конструктивно: «Из этого становящегося мрака как из некоей глины будем созидать те или иные смысловые фигурности» [3, с. 501]. Таков принцип лосевской теории строительства математических объектов, который он проводит в практике своей математики.

1.2 Математическая философия А.Ф. Лосева

После рассмотрения дальнего и ближнего окружения лосевской «философии числа», того окружения, во взаимодействии с которым она и оформилась, необходимо сосредоточить внимание на некоторых содержательных характеристиках самого ядра, по выражению Троицкого, «центра всех соотнесений» [1, с. 818], в его смысловой точке.

Троицкий отмечает, что А.Ф. Лосеву не удалось реализовать в полном объеме свой замысел строго диалектического обоснования математики, и причинами тому указывает как обстоятельства общего плана, т.к. подобное грандиозное намерение вряд ли по силам одному человеку, даже при самых благоприятных внешних условиях, так и частые биографические обстоятельства. К тому же значительная часть рукописей периода максимальной активности автора на философско-математическом поприще погибла летом 1941 года в результате попадания фашистской авиабомбы в квартиру А.Ф. Лосева. Поэтому исследователям творчества Лосева приходится заниматься «реконструкцией общей панорамы математических знаний, как она представлялась автору «Диалектических основ математики», а также отыскивать следы прежних замыслов в более позднем творчестве философа» [1, с. 818].

Проведя начальное тематическое разделение по сферам философии чистой математики, философии математического естествознания и культурно-социальной истории числа [3, с. 33], А.Ф. Лосев сосредоточил свой анализ на первой сфере, вынужденно «оставляя пока в стороне естествознание, психологию, социологию, теорию самой диалектики числа и историю» [3, с. 35]. Лосевские работы, специально посвященные «временно покинутым» темам, неизвестны, однако интерес к социально-культурным типологиям вообще, к «физиогномике» математических воззрений в частности проследить у него на протяжении всей жизни [1, с. 819]

В «Диалектических основах математики» легко обнаруживаются примеры внимания автора к социально-исторической обусловленности математических построений на них особо обращает внимание В.М. Лосева [2, с. 14]. Троицкий же предлагает взять «один из таких «бродячих» сюжетов в творчестве А.Ф. Лосева, как логику исчисления бесконечно малых» [1, с. 819].

Он многократно привлекался Лосевым то для характеристики мировоззренческого стиля Возрождения и вообще пресловутого «прогрессизма» новоевропейской культуры, то для анализа «телесных интуиций античности», то для понимания ранней истории представлений о дискретности, пределе и континууме.

Область собственно математики, с точки зрения Лосева, разделяется также на три сферы:

a). Общая теория (логика) числа, исследующая первопринципы числа, число как таковое, сущность числа;

b). Философия математических дисциплин, специальная теория числа, теория числа в частности, число как явление;

c). Философию теории вероятностей и математической статистики, исследующая число в казусах, в жизни, в действительности [3, с. 40].

В «Диалектических основах математики» представлена вся общая теория числа и один переход к специальным вопросам. Отдельного же исследования «числа в жизни», т.е. специального рассмотрения теоретико-вероятностной проблематики автор не оставил.

В специальной теории числа также проводится, по определению Троицкого, «классическое триадное разделение» [1, с. 819]: науки о бытии или сущности числа, об интенсивном числе (арифметика, алгебра, анализ), науки об инобытии или явлении числа об экстенсивном числе (геометрия), теория множеств как наука о синтезе арифметической и геометрической ипостасей числа, об эйдетическом числе [3, 429-435]. Необходимо отметить, что напоминание о единстве наглядно-геометрических и счетно-арифметических подходах, убедительно демонстрируемое лосевской метаматематикой, весьма кстати и сегодня, когда философа и математики все еще бьются над во многом решенными вопросами. В качестве примера В.П. Троицкий приводит аппозицию «арифметического» и «геометрического». А.Ф. Лосев призывает «обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики, а не замирать в безмолвном ужасе перед единой и неделимой и, в конечном итоге непостижимой тотальности математики или же вместо одной крайности - излишней арифметизации впадать в другую - в крайность геометризма» [3, с. 389]

Что касается науки о бытии или сущности числа, то, согласно А.Ф. Лосеву, ее можно представить в виде диалектической триады [3, с. 442]:

a). Арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях;

b). Дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях;

c). Векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном.

Здесь, второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики» утрачены. Однако, как отмечает Троицкий, достаточно определенный анализ диалектической сущности дифференциала и интеграла отыскивается в книге «Музыка как предмет логики» [1, с. 219].

Внутри первой сферы интенсивного числа А.Ф. Лосев выделяет очередную триадическую структуру [3, с. 430, 446]:

Арифметике как учение о непосредственной сущности числа в ее бытии, о числе в себе; о числе функционально выраженном; алгебраический анализ как учение о непосредственной сущности числа в ее становлении.

Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диалектических основ математики» [3, с. 23], степень детализации построенной лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры переход планировался лишь в самом конце обширного тома. От собственно же арифметической части книги сохранилось далеко не все. Однако В.П. Троицкий предпринимает «еще одно посещение мира числовых триад» и называет и последние структуры, и последние утраты [1, с. 220].

Так, внутри арифметики, согласно общей диалектической схеме А.Ф. Лосева, следует различать [3, с. 446-448]:

a). Натуральный ряд как бытие сущности числа, как акт ее полагания;

b). Типы чисел как инобытие чисел натурального ряда;

c). Действия с числами как становление сущности числа, типы числовых комплексов в разнообразных направлениях и комбинациях счета.

Сохранившийся текст «Диалектических основ математики» обрывается на материалах заключительной части второго из названных разделов. Однако Троицкий, основываясь на предыдущем разложении Лосева находит достаточно общих знаний и конкретных примеров, по которым он вполне уверенно предполагает достроить логико-диалектические аналоги для арифметических операций.

На полученную последовательность, по выражению Троцкого, «одна в другую врастающих триад» [1, с. 221] еще нужно наложить объединяющий все шаги и этапы процесс, чтобы картина получилась полной. Ведь вся математика, как показывает и доказывает А.Ф. Лосев, есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа. Число, как первая категория, первая «осмысленная, оформленная положенность, категориально оформленная положенность» [3, с. 105] составляет саму основу математических объектов. Все есть число. Однако ту перво-категорию, тот «акт полагания подвижного покоя самотождественного различия», что пронизывает, по Лосеву, любые закоулки математики, не обязательно называть именно «числом». Названную фундаментальную логико-диалектическую конструкцию В.П. Троицкий предлагает назвать, к примеру в честь А.Ф. Лосева «L - выражением», или принимая во внимание профессиональную семантику алгебраистов, которые называют кортежем последовательность элементов некоторого множества, Троицкий вводит термин «L - кортеж» [1, с. 221].

При изучении «Диалектических основ математики» нетрудно убедиться в том, что А.Ф. Лосев повсеместно обнаруживал, как математический материал «с огромной точностью воспроизводит» логико-диалектические прообразы [3, с. 294].

Оценивая лосевский проект математики и оценивая предложенный философом неблизкий путь от максимально общих принципов «философии числа» до мельчайших фактов самой частной из математических наук, арифметики, как отмечает В.П. Троицкий, можно судить и «о замысле - он масштабен, и о степени его воплощения - при многих потерях и необходимых оговорках, все самое трудное свершено, все самое главное было сформулировано и предано бумаге» [1, с. 221].

Обозревая труды, выполненные А.Ф. Лосевым, можно констатировать, что «задача философского обоснования математики» если и не разрешена единолично им, то вполне может быть разрешима коллективными усилиями на путях, проложенных лосевской математикой, а саму диалектику, как основное орудие этой математики «можно считать настолько зрелой и конкретизированной дисциплиной, что она вполне может (и даже обязана) войти в детали числовых конструкций, не ограничиваясь общими рассуждениями только о самом понятии числа» [3, с. 424].

2. Число как предмет философского осмысления в работах А.Ф. Лосева

2.1 Гилетические числа А.Ф. Лосева

Одной из важнейших заслуг А.Ф. Лосева в философии числа является различение так называемого эйдетического и арифметического чисел. Сущность этого различения он раскрывает следующим образом: «Схема - идеальный контур вещи, эйдетическое число, логос схемы есть обыкновенное математическое, точнее, арифметическое число; логос логоса схемы есть математика, т.е. прежде всего арифметика» [3, с. 421].

Но, кроме эйдетических и арифметических чисел, в лосевской философии математики фигурируют еще одни числа, отличающиеся от предыдущих тем, что обладают индивидуальной смысловой качественностью. Такие числа Лосев называет идеальными и отмечает, что идеальные числа - эта, числа, в которые входит некое идейное содержание, т.е. некая уже неисчислимость, неспособность к счету [3. c. 425].

В.П. Троицкий в своем исследовании лосевской философии математики следующим образом суммирует особенности таких чисел: «Натуральный ряд «неисчислимых» чисел существенно отличается от привычного ряда с тем же названием, ибо каждый его элемент существенно индивидуален, т.е. относительно своих соседей по ряду он выделен не простым наращиванием «нейтрального» количества, но отличен в аспекте «индивидуальной смысловой качественности». По его мнению, такие «индивидуально-семантизированные числа» можно сопоставлять, но недопустимо сводить друг к другу» [4, с. 138-139].

Далее в работах Лосева встречается иное название для идеальных чисел: гилетические числа (от греческого hyle - вещество) [5, с. 168]. Можно сказать, что идеальное число - это число, существующее, но не получившее еще бытия. Тогда гилетическое число можно понимать как идеальное число, обладающее не только существованием, но и бытием. Согласно Лосеву, идеальное число и присутствует в «обычном» арифметическом числе и существует вне его самостоятельно [6, с. 620]. Лосев пишет: «Не - объективная и не - субъективная, чистая идея числа, переходя в свое инобытие, превращается, прежде всего в физически-материальное, пространственно-временное число» [3, с. 440]. В работе «Диалектические основы математики» А.Ф. Лосев дает свое определение числа: «Число есть ставший результат энергии самосозидания акта смыслового полагания», а понимать его как непрекращающийся процесс, то это определение вполне приложимо и к гилетическим числам [5, с. 169].

В процессе создания учения о гилетическом числе А.Ф. Лосев широко использовал неоплатоническую терминологию. Когда в 20_х годах систематизирующая мысль А.Ф. Лосева касалась проблем идеологических, социальных и религиозных, платонизм получал православное переосмысление. Не порывая двухтысячелетней традицией, Лосев указывал ее недостатки. Когда же в 30-40_х годах философ сосредоточился на философских вопросах математики и логики, полагаясь на относительную нейтральность этой области, прежняя неоплатоническая техника мысли, как отмечает В.П. Троицкий, уже не требовала качественных изменений. В сфере числа великая цель укреплялась не столько наращиванием, сколько отделкой в некоторых старых звеньях. По приложении старинного метода, в свете незыблемых «принципов» недостающее обобщение получали именно «факты» той обширной области точных наук, что традиционно считалось самой структурированной и вообще развитой областью знаний Нового времени [1, с. 807].

2.2 Корреляция как основа взаимодействия гилетических чисел

А.Ф. Лосев указал место числа в структуре математики следующим образом: «Настоящая действительность вмещает в себя самопроизвольность своего протекания, и потому ей всегда свойственна стихия случайности. Случайность же, данная в смысловой сфере, есть как раз вероятность. И поэтому теория вероятностей и статистика есть то в математике, что максимально близко отражает на себе действительность, и притом действительность не природы только, но и жизни, животной и социальной. Это уже будет не просто действительность числа, но история числа, понимая под этим как животное развитие и всю органическую жизнь, так и человеческую, социальную» [3, с. 40]. В.П. Кудрин предполагает, что термин «случайность» Лосев употребил не в обыденном смысле, как синоним «хаотичности», а мера «фактичности», или конкретности событий, не детерминированных предшествующими событиями, а непредсказуемыми заранее и, именно в илу этой непредсказуемости, порождающими новую информацию [5, с. 170].

Важнейшей проблемой, возникающей при исследовании гилетических чисел, является проблема их взаимодействия. Любое их взаимодействие можно представить в виде математической операции с этими числами. Согласно Лосеву, становление сущности числа происходит именно в процессе операции с этим числом. Во введении к «Диалектическим основам математики» он показывает отличие в понимании сущности математической операции обыденным отношение - и философией числа: «В то время как сама математика есть совокупность чисто числовых операций, философия превращает эти числовые операции в понятийные, в принципиально-логические. Математика есть в этом смысле знание как бы одномерное, одноплановое; философия же заново пересматривает этот математический план, превращает его из структуры - для себя, понимая числа как понятия и тем перекрывая числовую структуру структурой логической» [3, с. 30]. Здесь представляется правомерным вспомнить кантовское различие интенсивных и экстенсивных величин. Экстенсивной же Кант называл «всякую величину, в которой представление о целом делается возможным благодаря представлению о частях» [7, с. 3]. Специфика математического определяется Кантом как специфика однородного, т.е. математика исследует не саму вещь, а ее созерцательный аналог. Это как бы внешний взгляд на вещь и фиксация занимаемого ею пространственно-временного места: С.Л. Катречко в статье «О (концепте) числе (а): его онтологии и генезисе» при исследовании формального характера числовых предикатов приводит следующий пример: «Вместо анализа свойств реального движения, математика изучает свойства математического аналога движения - неподвижной траектории. При этом познание внутренней самости вещи (например, сути движения) не изучается, зато схваченное с внешней точки зрения место вещи предстает как величина, т.е. поддается измерению» [7, с.4].

Как далее отмечает А.Ф. Лосев, многое, столь понятное математику, совершенно непонятно философу, а иной раз приходиться очень много размышлять над тем, что с математической точки зрения является чем-нибудь очень простым. А.Ф. Лосев пишет: «Нечего и говорить о таких операциях, как интегрирование или разложение в ряд; достаточно взять простой математический факт: 2 2 = 4. В этой простейшей операции арифметического умножения функционирует целый ряд логических категорий, о которых умножающий не имеет ровно никакого представления, как бы хорошо и быстро он ни умножал. Если я скажу, например, что умножение также отличается от возведения в степень, как понятие механизма от понятия организма, что возведение в степень и извлечение корня в логическом смысле есть аналогия органического роста (в отличие от внешнемеханического сопряжения), то это будет всякому математику без предварительного разъяснения по меньшей мере непонятно. А тем не менее логический (а не просто числовой) анализ простых арифметических действий приводит именно к такому заключению» [3, с.30-32].

Общеизвестные элементарные математические операции (сложение, возведение в степень и обратные к ним) далеко не исчерпывают всего богатства возможных операций. Детализация гилетического числа не сводится лишь к элементарным операциям. Ни на каком этапе своей детализации его невозможно адекватно выразить конечной последовательностью натуральных чисел, но можно аппроксимировать с достаточной степенью точности. Как отмечает В.П. Кудрин, в отличие от аппроксимации «обычного» иррационального числа, сводящейся к десятичному разложению числа, аппроксимация гилетического числа не предполагает обязательного уменьшения «идеального веса» последующих знаков по отношению к предыдущим. «Каждый новый знак в данном случае знаменует собой не уточнение заранее данного количества, а дальнейшее становление гилетического числа не предполагает обязательного уменьшения «идеального веса» последующих знаков по отношению к предыдущим» [5, с.172]. А.Ф. Лосев проводит принципиальное различие между функциональной и корреляционной зависимостью: «Стоит обратить внимание на значение категории «функция» в теории множеств и в теории вероятностей. В первой из названных наук эта категория связана с процессом отображения одного множества на другом и установлении того или иного соответствия отображенного с отображающим. Во второй из названных наук функция приобретает значение так называемой корреляции, которая, в связи с тем, что в данном случае происходит исчисление бытия фактически случайного, как раз и есть функция, но без чисто функционального содержания, а только с фактически опосредствованным» [5,169].

Если функциональная зависимость определяется общей действующей причиной, то корреляционную зависимость можно объяснить лишь единством цели. Таким образом, формирование гилетического числа завершается лишь с наступлением события, являющегося целевой причиной существования этих чисел. Для любых гилетических чисел такой причиной является полное объединение множеств их предикатов, с полным сохранением порядка расположения элементов этих множеств. Поэтому, как утверждает В.П. Кудрин, мерой взаимодействия гилетических чисел можно считать не функцию (меру каузальной зависимости), а корреляцию [5, с. 170]. Теория вероятности дает возможность интегрировать любое ненулевое значение корреляции в качестве меры информации, передаваемой и принимаемой гилетическим числом.

Само течение времени можно понимать как овеществление гилетического числа, т.е. его оформление в виде последовательности «обычных» натуральных чисел или вещественных структур, имеющих точные координаты в пространственно-временном континууме. Эти структуры в каком-то смысле представляют собой вещественные приближения гилетического числа.

Математическую дисциплину, изучающую законы информационного взаимодействия гилетических чисел, можно назвать корреляционным исчислением. Корреляционное исчисление не может быть сведено к применяемому в математической статистике корреляционному анализу, так как, как отмечает В.П. Кудрин, детерминизму каузальной зависимости противостоит не статическая зависимость, а зависимость корреляционная, допускающая индивидуальные биографии гилетических чисел при единстве цели. Поэтому и строится корреляционное исчисление должно не посредством отдельной разработки и последующего объединения алгебры и анализа. С самого начала оно должно учитывать неповторимую индивидуальность каждого числа [5, с. 170].

Может показаться странным противопоставление понятий «гилетический» и «вещественный»: ведь «hyle», как уже отмечалось, как раз и означает вещество. Но значения этих слов имеют существенные оттенки, позволяющие их строго различать. У Лосева речь идет не о том, чтобы дать новое название уже известному предмету. Число в общепринятом понимании представляет собой как бы моментальный снимок гилетического числа, сделанный на его вещественной стадии, оцепеневшее число, - тело числа, разлученное с душой. Поэтому и область его применения ограничивается вещественным миром.

Так как основной функцией мозга можно считать переработку информации с ее последующим усвоением живым веществом, т.е. трансляцией информации из пространственно оформленного мира в непротяженный мир сознания. Именно процесс усвоения, при котором гилетическое число интегрирует поступающую информацию, делает гилетическое число живым существом [5, с. 171]. При актуализации информация, хранящаяся во «внутреннем пространстве» гилетического числа, может вновь приобретать протяженную форму. Для актуализации хранящейся в памяти информации важна не временная последовательность усвоения этой информации, а ассоциативное подобие усвоенных образов. Несмотря на то, что вся информация содержится в гилетическом числе, пути раскрытия и оформления этой информации могут быть какими угодно, и именно в выборе этих путей проявляется свобода математического действия, производит ли это действие математик, или каким-то иным образом актуализованное гилетическое число [5, с. 171].

Геном представляет собой новое пространственное оформление реалий непротяженного мира. Он ответственен за новую актуализацию информации, заключающуюся в ее овеществлении (или объективации) в виде живого существа. Геному, как и созданному человеком тексту литературного или музыкального произведения, нисколько не мешает то, что, он записан дискретными единицами («буквами»), которые вполне могут быть представлены в виде ряда натуральных чисел. Все выше сказанное, позволяет видеть текст не как отдельное гилетическое число, а как программу взаимодействия гилетических чисел. Именно поэтому он способен передавать гораздо больше информации, чем содержит видимым образом.

2.3 Модели усвоения и актуализации гилетических чисел

Предложенный Троицким голографический метод сопоставления чисел дает возможность моделировать процессы усвоения и актуализации информации [4, с. 135]. Голограмма, подобно зеркалу, содержит информацию не в отдельных фрагментах, а во всей своей поверхности. Таким образом, видим сам предмет, а не его аналоговое или цифровое представление. Как отмечает Кудрин, отличается от исходного лишь его место в пространственно-временном континууме. Голограмму можно считать дальнейшим шагом к усвоению после обычного отражения. Однако ни зеркало, ни голограмма не «не кодируют» преобразуемую ими информацию, и принципы этого преобразования коренным образом отличаются от принципов цифровой записи. Зеркало и голограмму можно считать прообразом границы мира физического с миром непротяженным, границы, на разделяющей эти миры, а скорее связывающей их. Однако голографическая запись может быть представлена в цифровой форме [5, с.173].

Как отмечает В.П. Кудрин, «непрерывная детализация записи, при полном сохранении идентичности уже записанного, достигается тем, что суммарная частота любого фрагмента цифровой записи сохраняется неименной, а все составляющие этой суммы обрастают все новыми и новыми «обертонами», делая запись все более и более живой» [5, с.173]. Как отражение, являющееся простейшей формой преобразования информации, так и актуализация голографической информации, могут быть представлены в виде математических операций, которые уже не сводятся к элементарным «арифметическим действиям».

Следует отметить, что голограмма - все еще система без обратной связи, транслирующая информацию строго в одном направлении: из прошлого в будущее. В отличие от голограммы, зеркало работает в режиме «реального времени», но не обладает способностью фиксировать прошедшие мгновения. Многомерная голограмма отличается как от зеркала, так и от обычной голограммы тем, что она способна к усвоению входящей информации в своем гилетическом пространстве и последующей актуализации этой информации. Если при позиционной системе записи информации разрушение физического носителя приводит к потере информации, то при ассоциативной системе информация неуничтожима, так как многомерную голограмму невозможно разрушить. Можно лишь временно разучиться актуализировать уже усвоенную голограммой информацию. Время в физическом смысле внутри голограммы уже не течет, но сохраняются не только все вечные математические истины, но и память обо всех событиях, происшедших в физическом мире [5, с.174]. Это делает возможным осуществление новых операций над гилетическим числом, в том числе актуализацию по ассоциативному признаку информации, усвоенной числом в течение определенного отрезка времени его жизни.

Таким образом, если понимать под числом именно гилетическое число, обозначенное А.Ф. Лосевым, то многомерную голограмму, имеющую не только пространственные, но и временные измерения, можно считать физической моделью числового пространства или, иными словами, физическое пространство есть актуализация числового пространства. Тогда физическая корреляция не есть просто омоним математической корреляции, а есть конкретное проявление в вещественном мире обмена информацией между гилетическими числами, происходящего по законам корреляции математической [5, с.174].

В более поздних работах А.Ф. Лосева термин «гилетическое число» уже не встречается. Кудрин выносит предположение, что Лосев нашел некоторую аналогию гилетическому числу в понятии континуума [5, с.174]. В «Диалектических основах математики» Лосев осмысливает понятие континуума в качестве «антитезы утвержденному числу» [6, с.431]. «Континуум не остается тем пустым безразличием только с точки зрения чистого числа. Но в нем возможны и необходимы различные оформления так же, как и везде, хотя и с обязательным учетом всего своеобразия этой области, где осуществляется оформление. В то время как области чистого числа, например, раздельное полагание, создает единицу, в области континуума раздельное полагание дает точку. Один и тот же смысловой акт полагания дает в разных областях разные конструкции. Нужно только учитывать своеобразие области, где происходят акты полагания и единства, даже тождества, смысловых актов, которые происходят в этих областях. Тогда на основе континуума образуется особая система определенных структур, вполне параллельная системе арифметически-алгебраически-аналитических функций числа. Эта система есть геометрия в разных ее видах и формах» [6, с.430-431].

Так как всякий диалектический синтез А.Ф. Лосев рассматривает как полное и абсолютное слияние и тождество тезиса и антитезиса, то полный синтез, в понимании А.Ф. Лосева, требует, чтобы получилось «не тождество в том или другом отношении между числом и континуумом, а такое тождество есть просто различие, а не тождество, но абсолютное тождество, субстанциальное тождество того и другого» [6, с.434]. Далее Лосев отмечает, что «в предыдущем случае число (функция) остается само по себе, и тождество между ними не субстанциональное, но отвлеченно-смысловое: по функции (если ее брать как функцию, не привнося в нее никакого иного толкования) нельзя догадаться, что речь идет о данной кривой, а в кривой, если ее брать чисто оптически-геометрически, нельзя вычитать никакого уравнения. Здесь же, в этом полном синтезе, рассматривая данную структуру, мы уже не находим в отдельности число и в отдельности его континуальное инобытие, а видим то, в чем то и другое пребывает неразличимо» [6, с.435]. Подводя итог своему построению схемы наук и числе, А.Ф. Лосе пишет: «Существует действительность как факт, и вот это-то не фиксируется теорией множеств, какой бы наглядностью она не обладала и как бы ни была ближе к жизни, чем арифметика и геометрия. Факты должны быть зафиксированы в числе как факты, т.е. во всей их путаной случайности и неразберихе. Число вне оформления бытия как фактической действительности всегда несет с собою известную долю случайности и вероятности в отличие от конкретной действительности и потому максимального аподиктично. Следовательно, тут должна быть особая математическая наука и должна быть особая сфера числа. Это число есть математическая вероятность, и соответствующая наука есть исчисление вероятностей. Только на почве этой последней науки возможны все завершительные и выразительные формы математики» [6, с.436].

Значение лосевской теории гилетических чисел очень велико. Попытки связать непрерывное и дискретное, указать способы перехода между ними, приведшие к созданию кантовской теории поля, содержат в неявной форме представление о числе, как о числе именно гилетическом. В квантовой теории поля само число уже обладает свойствами квантового объекта. Благодаря этому математический аппарат квантовой теории поля, как указывает Кудрин, есть не просто математическое описание вещественных микрообъектов, обладающих квантовыми свойствами, но представляет собой квантовую математику, в которой традиционное понятие числа, сложившееся в науке XVII - XIX веков, дополнено понятие континуума [5, с.175].

Широко известно высказывание Р. Фейнмана о том, что нет двух различных миров: классического и квантового, а есть только один квантовый мир, и мы живем именно в нем. Расширяя мысль Фейнмана на область чистой математики, логично сказать, что так называемым «классическим» числам в реальном мире ничто не соответствует. Это - искусственные образования, получившие свое формально-логическое обоснование лишь в математике Нового времени, уже исчерпавшие свои возможности в познании реального мира и в информационном взаимодействии с этим миром. Кудрин утверждает, что есть только один математический мир, и реалиями этого мира являются числа гилетические [5, с.175]. Только гилетические числа дают увидеть в стохастических процессах, происходящих в живом веществе, не просто хаос, а информацию, не детерминированную прошлыми событиями, но обусловленную телеологически, при полном сохранении каждым гилетическим числом свободы выбора пути к общей цели.

После введения в научный обиход основных работах Лосева, посвященных философии математики, это наука должна непременно учитывать математические идеи А.Ф. Лосева. Современная философия числа немыслима без философских построений Лосева. Но их значение не исчерпывается только этим. Без них невозможно и философское осмысление тенденций развития математики, переходящей от конструирования отвлеченных «логических цепей», к целостному отображению мира, по выражению Лосева, в его фактической действительности.

Заключение

Определенный период научной биографии А.Ф. Лосева, пройденный под знаком ярко выраженного «отвлеченно-диалектического эроса», вполне закономерно завершился систематическими логико-математическими исследованиями. Как бы ни относиться к некоторым лосевским сочинениям ясно и достоверно следующее: мощный творческий потенциал позволил А.Ф. Лосеву занять достойное место в ряду немногих подлинных мыслителей, для которых постижение интегрального целого, обретение Логоса в Хаосе было превыше всего. До А.Ф. Лосева в этот ряд входили и входят преимущественно естествоиспытатели - отечественные созидатели систем, прежде всего Д.И. Менделеев, В.И. Вернадский, Н.И. Вавилов, А.А. Любищев, среди современных исследователей - Ю.А. Урманцев, Ю.А. Кулаков. В поисках единого универсального языка природы великие предшественники А.Ф. Лосева смогли догадаться. Творчество А.Ф. Лосева показывает, что русская философия оказалась способна еще и многое сформулировать. Если задача философского обоснования математики и не разрешена единолично А.Ф. Лосевым, то вполне может быть разрешима дальнейшими коллективными усилиями на путях, проложенных лосевской метаматематикой. После появления на свет и введения в научный обиход основных работ А.Ф. Лосева, посвященных проблемам философии математики, нужно непременно учитывать все его идеи. Концептуально существовавшая как «система» в трудах Пифагора, Прокла, Платона, Аристотеля, Канта, Гегеля философия числа в качестве новой сферы философского познания и творчества в виде особого термина введена А.Ф. Лосевым. Современная философия числа немыслима без философских построений Лосева. Но их значение не исчерпывается только этим. Без них невозможно и философское осмысление и описание современных тенденций развития математической науки, постепенно приближающейся к целостному отображению мира в его фактической действительности.

Список литературы

1. Троцкий В.П. Математика Алексея Лосева. // Лосев А.Ф. Хаос и структура. М., 1997, с. 804-821

2. Лосева В.М. Предисловие к работе А.Ф. Лосева «Диалектические основы математики»// Лосев А.Ф. Хаос и структура М., 1997. с. 1-22

3. Лосев А.Ф. Хаос и структура. М., 1997, с. 831

4. Троицкий В.П. О неединственности натурального ряда чисел. Кантор plus Лосев. // Вопросы философии. 1994. №11 с. 131-152

5. В.П. Кудрин. Учение А.Ф. Лосева о гилетическом числе. // Вопросы философии. 2005. №8. с.168-175

6. Лосев А.Ф. Миф - число - сущность. М., 1994, с. 630

7. Катречко С.Л. О (концепте) числе (а): его онтологии и генезисе. (http://www.philosophy.ru/library/katr/htm)

Размещено на Allbest.ru