Матрицы, действия с ними

Понятие матрицы, его источники и развитие в математической науке, основные элементы и их взаимодействие. Описание действий с матрицами: сложение, вычитание, умножение между собой и на число, транспортирование. Свойства транспортированных матриц.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 02.06.2010
Размер файла 92,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Контрольная работа на тему:

«Матрицы, действия с ними»

1. Историческая справка

Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.

2. Раскрытие темы

Понятие о матрице

Матрица - множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m-строк и n-столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:

aij, I - номер строки, j - номер столбца.

Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущие из верхнего левого угла называют главной диагональю, другую диагональ называют побочной.

пример 1.

Элементы главной диагонали: 1,6,5. Побочной диагонали: 3,6,3. (пример 1)

пример 2.

Если количество строк m матрицы не равно количеству столбцов n, то матрица называется прямоугольной (пример 2).

Если количество столбцов матрицы совпадают с количеством строк, то матрица называется квадратной (пример 1).

Количество строк или столбцов в квадратной матрице называются ее порядком.

Если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной (пример 3).

пример3

Если все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной (пример 4).

пример 4

Если в прямоугольной матрице m*n m=1, то получается матрица-строка (пример 5).

xT = (2 3 5). пример 5.

Если n=1, то получается матрица-столбец (пример 6).

пример 6.

Матрицы-строки матрицы-столбцы называются векторами.

Свойства матриц:

§ A + (B + C) = (A + B) + C

§ A + B = B + A

§ A(BC) = (AB) C

§ A (B + C) = AB + AC

§ (B + C) A = BA + CA

§ (AT) T = A

§ (A * B) T = BT * AT

Действия с матрицами

1. Сложение матриц

Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Символически будем записывать так: А+В=С.

Пример.

Легко видеть, что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С).

Нулевая матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел: А+0=А.

2. Вычитание матриц.

Разностью двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая, что

С+В=А

Из этого определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначается разность матриц А и В так: С=А - В.

Пример.

3. Умножение матриц

Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго порядка.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С=АВ.

Правила умножения прямоугольных матриц:

- Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк в матрице В.

- В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк было в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов было во второй матрице.

4. Умножение матрицы на число

При умножении матрицы A на число все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число . Например, умножим матрицу на число 2. Получим , т.е. при умножении матрицы на число множитель «вносится» под знак матрицы.

5. Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица - матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n - матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].

Например,

Свойства транспонированных матриц

1. (AT)T = A

2. (A + B)T = AT + BT

3. (AB)T = BTAT

4. detA = detAT

Список литературы

1. Баврин, Матросов В.Л. Высшая математика: Учебник для студентов ВУЗов - М.: 2002.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969

3. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999.


Подобные документы

  • Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.

    презентация [74,7 K], добавлен 21.09.2013

  • Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.

    реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003

  • Размеры прямоугольной, квадратной, диагональной, скалярной матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение строки на столбец (скалярное произведение). Транспонирование матрицы, ее элементы. Образование треугольной таблицы, состоящей из строк, столбцов.

    презентация [1,4 M], добавлен 03.12.2016

  • Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.

    учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010

  • Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

    учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009

  • Понятие и типы матриц. Определители (детерминанты) квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Единственность обратной матрицы.

    курс лекций [336,5 K], добавлен 27.05.2010

  • Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.

    лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008

  • Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.

    презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014

  • Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители.

    реферат [102,8 K], добавлен 05.08.2009

  • Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.

    реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.