Основы изучения темы "Многогранники"

При решении задач на комбинации куба и сферы можно сначала построить изображение сферы в ортогональных проекциях и только потом изображение куба. При изучении же уравнения сферы или другой поверхности вращения в курсе геометрии преподаватель вынужден сначала построить изображение декартовой прямоугольной системы координат в ортогональных проекциях и только потом изображение изучаемой поверхности [Погорелов А.В., 1990].

Рассмотрим прямой трехгранный угол О'х'уУ и плоскость изображений, пересекающую этот угол по треугольнику ЛВС (рис. 8).

В тетраэдрепротивоположные ребра перпендикулярны.

Поэтому ортогональная проекция О точкина плоскость ABC является ортоцентром треугольника ABC. Основания высот треугольника ABC принадлежат его сторонам, так как являются также основаниями высот, проведенных через вершину О' в прямоугольных треугольниках. Поэтому треугольник ABC -остроугольный, а ортогональные проекцииребер данного прямого трехгранного угла, принадлежат прямым, содержащим высоты этого треугольника. Нетрудно доказать, что и наоборот: прямые, содержащие высоты любого остроугольного треугольника на плоскости изображений, содержат ортогональные проекции ребер некоторого прямого трехгранного угла.

Приходим, таким образом, к следующему построению изображения декартовой прямоугольной системы координат (а следовательно, и куба) в ортогональных проекциях. Строим на плоскости изображений остроугольный треугольник ABC и его ортоцентр О. Прямые ОА, ОВ, ОС и являются изображениями осей декартовой прямоугольной системы координат в ортогональных проекциях. Построение изображений единичных отрезков на осях координат и куба в ортогональных проекциях показано на рис. 9.

При определенном уровне развития образного мышления построение остроугольного треугольника и его высот может быть воображаемым.

Цилиндр. Отметим только наиболее значимые в курсе геометрии изображения цилиндра. На рис. 10 для определенности приведены изображения одного и того же цилиндра с квадратным осевым сечением, причем изображения а) и б) выполнены соответственно в полуортогональной и косоугольной диметрии, а изображение б) - в ортогональных проекциях. Поэтому на изображениях а) и б) осевое сечение цилиндра представлено в натуральную величину, а на изображении в) - прямоугольником.

Конус. При построении изображения конуса необходимо обратить внимание учащихся на то, что две контурные образующие конуса не могут совпадать с его двумя фронтальными образующими. На рис. 11 представлены изображения а) и б) конуса соответственно в полуортогональной и косоугольной диметрии, причем изображение б) выполнено так, что одна из контурных образующих конуса совпадает с одной из фронтальных.

Сфера. Как и в случае цилиндра на рис. 12 представлены изображения а) и б) сферы соответственно в полуортогональной и косоугольной фронтальной диметрии и изображение в) в ортогональных проекциях. На изображении а) главный меридиан сферы представлен окружностью, а на изображении в) - эллипсом.

Рассмотрим теперь типичные ошибки в изображениях пространственных, возникающие как правило в результате игнорирования основных принципов построения системы изображений в курсе геометрии. В учебниках А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна и др. горизонтальная плоскость изображается единственным образом так, как на рис. 1 ,а, и для цилиндра, конуса и сферы тоже приняты только такие изображения, как на рис. 10, а, 11, а и 12, в соответственно. Объединяя изображение плоскости с изображениями цилиндра, конуса и сферы, учащиеся естественно получат изображения, представленные на рис. 13-16.

Эти изображения неверны, так как на каждом из них направления сторон параллелограмма, представляющего прямоугольник, не сопряжены относительно эллипса, представляющего окружность. На этих изображениях и далее знак означает, что соответствующее изображение неверно.

Соответствующие верные изображения представлены на рис. 16-19.

Использование в систематическом курсе геометрии изображений, подобных представленным на рис. 12 - 15, только на первые взгляд может показаться допустимым. Дело в том, что оно порождает устойчивое неверное пространственное представление.



Рис.15 Рис. 16

Рис.17 Рис.18

Человек, воспринявший это представление, будет изображать цилиндр и сферу, вписанные в правильную четырехугольную пирамиду так же, как на рис. 17 и 18, тогда как верные изображения в ортогональных проекциях представлены на рис. 19 и 20, а в косоугольной фронтальной диметрии - на рис. 21 и 22.

Рис. 19 Рис. 20



Рис. 21 Рис. 22

Другим примером, когда использование однообразных изображений геометрических фигур приводит к возникновению неверных пространственных представлений, служат комбинации сферы с кубом и декартовой прямоугольной системы координат. Часто в учебниках куб и декартову прямоугольную систему координат изображают только в кабинетной проекции, а сферу - только в ортогональных проекциях. Совмещая эти изображения, получают неверные изображения, представленные на рис. 23 и 24. Соответствующие верные изображения в кабинетной проекции приведены па рис. 25 и 26, а в ортогональных проекциях - на рис. 27 и 28.

Рис. 23 Рис. 24

Рис. 25 Рис. 26

Рис.27 Рис.28

Роль изображений при решении геометрических задач

При изучении теории курса геометрии доминирующую роль играют такие свойства изображений, как наглядность, простота выполнения и чтения изображения. При решении геометрических задач на первое место выходит функциональность изображения, позволяющая понять суть решаемой проблемы.

В лекции «О профессии математика» академик А.Н. Колмогоров приводит такой пример: «В задаче: В куб вложено два правильных тетраэдра так, что четыре вершины куба служат вершинами одного из них, а остальные четыре вершины куба - вершинами другого. Какую долю куба составляет объем общей части этих тетраэдров? вся трудность заключается в том, чтобы наглядно понять, что за фигура получается при пересечении тетраэдров».

Опыт педагогической работы и эксперименты показывают, что 90% учащихся, построивших верное, наглядное и функциональное изображение рассматриваемой в задаче пространственной фигуры, в состоянии решить эту задачу. И учащихся необходимо приобщать к построению таких изображений, показывая образцы их выполнения.

Очень часто наиболее функциональными изображениями оказываются федоровские модели фигур. Поэтому именно на примере их использования и покажем применение изображений при решении задач.

Задача1. Пусть РАВС - правильный тетраэдр, PQ - его высота. Точка X лежит на грани АРС, точка Y - на ребре РВ, Z - па ребре АВ. В каких границах лежит угол, который составляют с высотой PQ прямые: а) ВХ; б) YZ ?

Построение модели. Расположим тетраэдр так, чтобы точки А, В, С находились в плоскости изображений, а точки В, Р, Q во фронтальной плоскости. Тогда треугольники ABC и BPQ будут представлены на модели в натуральную величину. Поэтому строим правильный треугольник ABC, находим середину Е стороны АС, на отрезке BE строим треугольник со сторонами ВР и ЕР, равными соответственно отрезкам АВ и BE, и, проведя отрезки АР и СР, завершим построение федоровской модели правильного тетраэдра.

Решение.

а)Выберем точку X на грани АРС и построим се основание Х_о (рис. 149). Угол Z.BXX₀ - угол между прямыми ВХ и PQ. Определим его натуральную величину, повернув треугольник ВХХ₀ относительно перпендикуляра в точке В к плоскости ABC до совмещения его плоскости с плоскостью РВЕ. Для этого через точку Х_п проведем окружность с центром в точке В, найдем ее точку пересечения Х'_ос лучом BE и на перпендикуляре к прямой BE в точке Х'_п по одну сторону с точкой Р от прямой BE отложим отрезок Х'₀Х'» равный отрезку Х₀Х. Прямая ВХ' пересекает отрезок PQ в точке R. Угол Z.BRQ равен рассматриваемому, а его величина как величина внешнего угла треугольника BPR не меньше величины угла L BRQ и не больше 90°.

Рис.29 Рис.30

б)Выберем точку Y на ребре ВР, точку Z- на ребре АС и построим основание Y_o точки Y (рис. 150). Угол /_ZYY₀ и есть угол между прямыми YZ и PQ. Определим его натуральную величину, повернув треугольник YY₍₎Z вокруг прямой YY₀ до совмещения его плоскости с плоскостью РВЕ. Для этого через точку Z проведем окружность с центром в точке Y_o и найдем ее точку пересечения Z' с лучом Y_QE. Прямая YZ' пересекает отрезок PQ в точке R. Угол LQRZ' равен рассматриваемому, а его величина как величина внешнего угла треугольника PRF не меньше величины угла Z.QPE и не больше 90°.

Задача 2. Точка D - середина ребраправильной треугольной призмы. Правильная треугольная пирамида SMNP расположена так, что се основание MNP лежит в плоскости ABC, точка М лежит на продолжении отрезка АС, причем ребро SM проходит через точку D, а ребро SP пересекает отрезок ВВ, в точке К. В каком отношении отрезок ВВ_[ делится точкой К?

Построение модели. Построим сначала федоровскую модель призмы АВСАС,. Затем построим середину Е отрезка АС и точку М, удовлетворяющую условию задачи. Из точки О - основания высоты пирамиды - отрезки BE и ME видны под углом 120°. Поэтому точку О строим как пересечение двух дуг окружностей с угловой величиной 120°, стягивающих соответственно отрезки ME и BE (рис. 31).

Основание MNP пирамиды можно построить как правильный треугольник, вписанный в окружность\, а ее вершину S -как точку пересечения прямой DN с прямой, проходящей через точку О параллельно боковым ребрам призмы. Теперь нетрудно построить точку К, точкупересечения ребра SP с основанием и основание L точки(рис. 32).

Анализ модели. Из подобия треугольников КРВ и КLВ, находим KB KPBP ОМ-ОВ KB, KL BL ОВ-ОЕ

Задача сводится, таким образом, к определению длин отрезков ОЕ, ОВ, ОМ. Решение. Положим АВ = а и обозначим через Q и R центры дуг окружностей, при пересечении которых получается точка О (рис. 151). Прямая QR пересекает отрезок АК в точке F и отрезок BE в точке G. Точка R является серединой отрезка АВ, с основанием Н перпендикуляра, опущенного из точки R на прямую АС, - серединой отрезка АЕ. Так каки из равенстваследует, что ', Кроме того, так как и по теореме Пифагора Таким образом,

и

Подставляя в равенство найденные значения длин отрезков ОЕ, ОМ и ОВ, находим, что искомое отношение равно.

Рис. 31

Задача 65. Куб поворачивается, проходящей через середины двух параллельных ребер, не принадлежащих одной грани. Каким должен быть угол поворота, чтобы объем пересечения данного куба с повернутым составлял бы объема данного куба?

Построение модели.Диагональная плоскость куба, перпендикулярная оси вращения, является плоскостью симметрии, как данного куба, так и повернутого. Поэтому достаточно рассмотреть вращение только половины куба, отсекаемой диагональной плоскостью, Модель объединения половины данного куба и половины повернутого получается в результате применения решения задачи 30. В зависимости от значенияугла поворота возможны два случая, представленные соответственно на рис. 33 и 34:



Рис. 32

1) Анализ модели. Менее наглядное, но более функциональное по сравнению с рис. 33 соответствующее изображение представлено на рис. 35. Анализируя его, находим, что плоскости ОХР, OPZ и OXZ разбивают пересечение рассматриваемых полукубов на четыре равных многогранника, один из которых есть KPOXYZ. Последний же многогранник плоскостью КОХ разбивается на четырехугольную пирамиду KOXYZ и тетраэдр КОРХ, равновеликий тетраэдру ZOPX. В рассматриваемом случае задача, таким образом, сводится к вычислению площадей треугольников OXZ и XYZ. 2) Анализ модели. Как и в первом случае заменим изображение на рис. 34, более функциональным, представленным на рис. 36.

Рис. 33 Рис. 34

Рис.35

Рис. 36

Заметим, что в этом случае пересечение двух полукубов получится, если от одного полукуба отсечь два тетраэдра, равных тетраэдру EKLP, и две усеченные пирамиды, равных пирамиде KUD'LNC'. Поэтому для вычисления объема пересечения двух полукубов достаточно вычислить длины отрезков DT и U А.

Решение. Обозначим через а длину ребра данного куба и через V его объем. В первом случае (рис. 37) имеем и, еслиS- площадь четырехугольника OXYZ,"" - объем пересечения рассматриваемыхкубов, или то есть в этом случае

Во втором случае (рис.158), положив AU= p, DT=<, находим

Рис.37 Рис.38

Обозначив черезобъем тетраэдра EKLP и черезобъем пирамиды,получаем

Таким образом, объем пересечения данного и повернутого кубов равен

Или

Решая уравнение находим, что искомое значениеравно 45°.

Во всех трех рассмотренных задачах построенные изображения помогают найти схему решения задачи и кратко записать ее решение. Выбор изображения или системы изображений определяется условием задачи и ходом ее решения.

В задаче 63 нахождение угла между двумя прямыми, одна из которых содержит высоту правильного тетраэдра, предполагает вращение другой прямой вокруг прямой, перпендикулярной плоскости основания тетраэдра. Это и определило выбор изображения в пользу федоровской модели.

Решение задачи 2 связано с построением основания высоты пирамиды и последующим построением пересечения пирамиды и призмы. Здесь федоровская модель пространства использована потому, что на ней евклидова структура горизонтальной плоскости совпадает со структурой плоскости изображений (основания призмы и пирамиды изображены в натуральную величину). Чтобы изображение было простым для чтения, оно разбито на два.

Из условия задачи 3 (данный и повернутый кубы имеют общую плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения) следует, что вместо кубов можно рассматривать соответствующие полукубы, а наличие вращения снова вынуждает отдать предпочтение федоровской модели. Использование по три изображения для каждого случая обусловлено тем, что функции этих изображений различны.

И.Ф. Шарыгин считает, «что пространственные тела можно разделить на две группы: -«хорошие», удобные для изображения, и «плохие»». И далее: «К первой группе относятся треугольные призмы (в первую очередь правильные), параллелепипеды, треугольные и четырехугольные пирамиды. Ко второй - и-угольные (я>4) призмы и пирамиды, усеченные пирамиды и круглые тела, особенно сфера.

Один из весьма распространенных приемов состоит в том, что в заданной «неудобной» конструкции вычленяется в качестве ключевого элемента «хороший» многогранник».

С высказанными положениями согласиться довольно трудно. К задаче: На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причем три из лих попарно касаются друг, друга, а четвертый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса, касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров - не надо строить изображение шести шаров не потому, что шар - «плохая» фигура, а потому, что задача к шарам имеет лишь формальное отношение. По сути, задача относится лишь к системе точек, состоящей из центров шаров и точек их касания. В задачах же, относящихся к сферическим треугольникам (особенно в небесной механике), изображения сферы и сферических треугольников на ней совершенно необходимы и приобщать учащихся к этим изображениям можно и нужно на примерах именно вписанных и описанных около многогранников сфер. Построение таких изображений развивает пространственное представление и воспитывает графическую грамотность учащихся. По мнению П.Я. Павлинова, «каждый может научиться рисовать». И еще: «Время всеобщей графической грамотности неизбежно придет. Недопустимо ожидать, чтобы само собой появилось умение грамотно рисовать. За овладение графической грамотностью надо взяться сейчас же, не задерживаясь».

III. Методические аспекты изложения темы «Многогранники» в школьном курсе

1. Обзор изложения темы «Многогранники» в учебниках разных авторов

В школьных учебниках после изучения «бесконечно-протяженных» и в силу этого весьма абстрактных геометрических фигур: прямых и плоскостей (вернее сказать, их взаимного расположения в пространстве) изучаются зримые, «конечные», даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в первую очередь многогранники. Многогранник (точнее, модель многогранника) можно изготовить, повертеть в руках, «развернуть» его поверхность или даже «разрезать» - посмотреть на сечение. В данной теме это весьма существенно, и учителю необходимо использовать значительно расширившиеся возможности привлечения наглядности, наглядных средств (не забывая уделять достаточное внимание и построению проекционных чертежей). О наглядных средствах поговорим немного позднее.

Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изучение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматриваются простые характеристики - численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей, - и качественные, типа «правильности». Собственно говоря, качественные характеристики - это одна из основ классификации многогранников. Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные многогранники (пять «платоновых тел»), то логическую схему классификации «школьных» многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и строго определяются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды. Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов - призмы и пирамиды бывают n-угольными, где n = 3, 4, 5,…. Более детальная классификация - по взаимному расположению ребер и граней, по виду граней. Для призм она относительно «разветвленная».

Школьная классификация пирамид менее разветвленная:

Первая задача учителя - добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естественный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников - параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов); 2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы); 3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.

Последнее преимущество обусловлено свойствами симметричности; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избранным» многогранникам, причем, совсем, просто доказываются и наполовину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). Поэтому вторая задача учителя - добиться знания учащимися всех теорем (с доказательствами).

Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - научить школьников решать задачи. Практически все задачи (упражнения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем раскрываются большие возможности в продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах находят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, сведение стереометрических задач к планиметрическим.

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном.

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» по учебнику Атанасяна. Этот учебник предназначен для общеобразовательной школы. Остановимся на нем подробнее.

Данная тема изучается в главе. На изучение ее отводится 12 уроков. Ниже приведено поурочное планирование в таблице.

Номер урока	Содержание учебного материала
1-4	§1. Понятие многогранника. Призма. Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы. ( п.25-27)
5-9	§2. Пирамида. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды. (п.28-30)
10	§3. Правильные многогранники. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников. (п. 31-33)
11	Контрольная работа.
12	Зачет по теме.

Еще до изучения темы «Многогранники» учащиеся знакомятся с их простейшими видами в главе 1 §4 «Тетраэдр и параллелепипед». На их изучение отводится 5 часов. Понятия тетраэдра и параллелепипеда вводятся в данной главе для того, чтобы рассмотрение их свойств, построение сечений способствовали углублению понимания вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей, поэтому необходимо, чтобы решение задач сопровождалось ссылками на аксиомы, определения и теоремы.

При объяснении понятий тетраэдра и параллелепипеда необходимо подчеркнуть, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед - поверхности, составленные из плоских поверхностей (многоугольников).

Для формирования у учащихся представления о способах изображения на чертеже тетраэдра и параллелепипеда полезно с помощью диапроектора показать на экране различные проекции их каркасных моделей. Полезно также обсудить простейшие свойства параллельной проекции.

В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, что называется тетраэдром, параллелепипедом, указывать и называть на моделях и чертежах элементы этих многогранников; знать свойства граней и диагоналей параллелепипеда; уметь изображать тетраэдр и параллелепипед, строить их сечения.

Основная цель темы «Многогранники» - дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников.

Учащиеся уже знакомы с такими понятиями, как тетраэдр и параллелепипед, и теперь им предстоит расширить представления о многогранниках и их свойствах. В учебнике нет строгого математического определения многогранника, а приводится лишь некоторое описание, так как строгое определение громоздко и трудно не только для понимания учащимися, но и для его применения. Такое наглядное представление о геометрических телах вполне достаточно для ученика на первичном уровне рассмотрения понятия. Ниже, в п. 26, рассматривается определение геометрического тела, в связи, с чем вводится ряд новых понятий. Этот материал могут прочитать самостоятельно наиболее подготовленные учащиеся, проявляющие повышенный интерес к математике.

На уроке, используя модели многогранников (куб, параллелепипед, тетраэдр, призма), необходимо назвать учащимся их элементы: вершины, грани, ребра, диагонали граней и диагонали рассматриваемых тел. Важно, чтобы школьники усвоили эти понятия, что позволит правильно понимать формулировки задач, не смешивая названия различных элементов в процессе их решения. После этого вводится понятие выпуклого и не выпуклого многогранников; обязательно учащимся показать примеры невыпуклых многогранников.

Призма А₁ А_2… А_n В₁ В₂ …В_n определяется как многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁ А_2… А_n и В₁ В₂ …В_n,расположенных в параллельных плоскостях, и n-параллелограммов А₁ А₂ В₂ В₁, …, А_n А₁ В₁ В_n. Далее вводятся определения элементов призмы, с помощью моделей разъясняются понятия прямой призмы, наклонной призмы, правильной призмы. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что четырехугольная призма - это знакомый им параллелепипед. У произвольного параллелепипеда все шесть граней - параллелограммы, а боковые грани - прямоугольники, у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней - прямоугольники. При изучении площади поверхности призмы доказывается теорема о площади боковой поверхности прямой призмы.

Пирамида определяется как многогранник, составленный из n-угольника А₁ А₂ … А_n и n-треугольников. При введении понятия правильной пирамиды следует акцентировать внимание учащихся на двух моментах: основание пирамиды - правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Можно устно доказать, что боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. После этого вводится понятие апофемы правильной пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины), при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.

При изучении теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды полезна символическая запись доказательства. Пусть сторона основания n-угольной пирамиды равна а, апофема равна d, S_? - площадь боковой грани. Тогда

S_бок=n* S_?, S_бок=n*ad, S_бок=(n*a)*d, S_бок= Pd, где P - периметр основания пирамиды.

Далее вводится понятие усеченной пирамиды. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника: один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой. Усеченная пирамида - это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. При выполнении рисунков к задачам на усеченную пирамиду удобно вначале начертить полную пирамиду, а затем выделить усеченную пирамиду.

При введении понятия правильной усеченной пирамиды надо отметить, что ее основания - правильные многоугольники, а боковые грани - равные равнобедренные трапеции; высоты этих трапеций называются апофемами усеченной пирамиды. Также выводится формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Последнее, что изучается в теме «Многогранники» в учебнике, это симметрия в пространстве и понятие правильного многогранника. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. При введении понятия правильного многогранника нужно подчеркнуть два условия, входящие в определение: а) все грани такого многогранника - равные правильные многоугольники; б) в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. В учебнике доказано, что существует пять видов правильных многогранников и не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n. Целесообразно предложить учащимся изготовить дома модели правильных многогранников. Для этой цели надо использовать развертки, изображенные в учебнике.

Таким образом, в данном учебнике многогранники изучаются с опорой на наглядность, предметы окружающей действительности.

Весь теоретический материал темы относится либо к прямым призмам, либо к правильным призмам и правильным пирамидам. Все теоремы доказываются достаточно просто, результаты могут быть записаны формулами, поэтому в теме много задач вычислительного характера, при решении которых отрабатываются умения учащихся пользоваться сведениями из тригонометрии, формулами площадей, решать задачи с использованием таких понятий, как «угол между прямой и плоскостью», «двугранный угол» и др.

Учебник Смирновой И.М. предназначен для преподавания геометрии 10-11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.

Как и в, особенностью учебника является раннее введение пространственных фигур, в том числе многогранников, «Основные пространственные фигуры». Цель - сформировать представления учащихся об основных понятиях стереометрии, ознакомить с пространственными фигурами и моделированием многогранников. Вводиться понятие многогранника как пространственной фигуры, поверхность которой состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны этих многоугольников называются ребрами многогранника, а вершины многоугольников - вершинами многогранника.

Учащимся демонстрируются следующие многогранники:

- куб - многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;

- параллелепипед - многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов;

- прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого грани - прямоугольники;

- призма - многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма два противоположных ребра лежат на основаниях призмы);

- прямая призма - призма, боковые грани которой - прямоугольники; правильная призма - прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники;

- пирамида - многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды;

- правильная пирамида - пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны.

Показываются более сложные многогранники, в том числе правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Рассматривается несколько способов изготовления моделей многогранников из разверток и геометрического конструктора. Моделирование многогранников служит важным фактором развития пространственных представлений учащихся.

Таким образом, к началу непосредственного изучения темы «Многогранники» учащиеся уже знакомы (на доступном для них уровне) с традиционным материалом по этой теме. Появляется возможность расширить представления учащихся о многогранниках, рассмотрев с ними более подробно правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.

Основная цель данного раздела - ознакомить учащихся с понятием выпуклости и свойствами выпуклых многогранников, рассмотреть теорему Эйлера и ее приложения к решению задач, сформировать представления о правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках.

Можно привести примерное тематическое планирование данной темы.

Пункт учебника	Содержание	Кол-во часов
18	Выпуклые многогранники	2
19	Теорема Эйлера	2
20*	Приложения теоремы Эйлера	2
21	Правильные многогранники	2
22*	Топологически правильные многогранники	1
23	Полуправильные многогранники	2
23	Звездчатые многогранники	1

Среди пространственных фигур особое значение имеют выпуклые фигуры и, в частности, выпуклые многогранники. Данное понятие в учебнике вводится следующим образом: многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Далее рассматриваются свойства выпуклых многогранников.

После изучения выпуклых многогранников рассматривается теорема Эйлера и ее приложения. В качестве таких приложений рассматриваются задача о трех домиках и трех колодцах, проблема четырех красок, вводится понятие графа.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Рассматриваются пять видов правильных многогранников, некоторые виды полуправильных и четыре звездчатых многогранника.

При изучении правильных, полуправильных и звездчатых многогранников следует использовать модели этих многогранников, изготовление которых описано в учебнике, а также графические компьютерные средства.

Учебник Александрова А.Д. предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе не доступны даже для «сильных» учеников, например, сферическая геометрия.

Отметим особенности изучения многогранников в данном учебнике. Во-первых, многогранники изучаются после круглых тел. Во-вторых, при изучении многогранника и его элементов прослеживается связь с многоугольником. Вследствие чего возможны две последовательности изложения темы: 1) обобщить понятие многоугольника, затем разобрать аналогичные вопросы в пространстве; 2) пользуясь, дать сначала определение многогранника, далее обобщить понятие многоугольника. Особенностью является введение двух определений призмы (как в учебниках, рассмотренных выше, и как цилиндр, в основании которого лежит многоугольник), причем доказывается равносильность этих определений. Аналогично дается другое определение пирамиде: как конус с многоугольником в основании. Пункт содержит раздел о триангулировании многогранника, и в нем дается другое, конструктивное определение многогранника. «Выпуклые многогранники» впервые излагается в столь серьезном виде, рассматривается вопрос равносильности двух определений выпуклого многогранника. Изложение темы «Правильные многогранники» также отличается от ее изложения в учебниках по геометрии других авторских коллективов: сначала показываются пять типов правильных многогранников, построением доказывается, что все пять типов правильных многогранников существуют, и только после этого доказывается, что других правильных выпуклых многогранников быть не может. Обычно же после определения сразу доказывалась теорема, а существование показывалось позже, что усложняло методику рассказа.

Таким образом, учебник содержит очень богатый теоретический материал по многогранникам, которого нет в других учебниках по геометрии, также он может быть использован как учебник для дополнительного изучения в основной школе. Ниже в таблице приведено примерное поурочное планирование материала.

№ урока	Содержание учебного материала
1-2	Обобщение понятие многоугольника. Многогранник.
3-5	Призма, параллелепипед. Упражнения.
6-10	Пирамида. Виды пирамид. Упражнения.
11-13	Выпуклые многогранники.
14-16	Теорема Эйлера. Развертка выпуклого многогранника.
17-19	Правильные многогранники.

Подводя итоги выше сказанного, можно сказать, что во всех учебниках при изучении многогранников рассматривается практически одни и те же основные темы: определение многогранника, выпуклые многогранники, призма, пирамида, правильные многогранники. Разница лишь в глубине изучения этих вопросов: в гуманитарных классах тема изучается более поверхностно, практически без доказательств, в классах с углубленным изучением математики данный вопрос рассматривается глубоко, с научными обоснованиями. Также есть различия в некоторых дополнительных темах, например, полуправильные и звездчатые многогранники. В настоящее время во многих общеобразовательных школах идет обучение по учебнику, поэтому при выборе содержания можно опираться на него.

2. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников

Тема «Многогранники», как никакая другая тема школьного курса стереометрии, за исключением, быть может, изучения круглых тел, дает широкие возможности использования различных наглядных средств.

Наглядность является обязательным качеством любого обучения. Путем целенаправленных действий мы формируем в сознании учащегося некоторую систему понятий, отношений между ними. Для того чтобы обучение было успешным, необходимо, чтобы ученик мог воспринимать эту систему и работать с ней. Но для этого, в свою очередь, необходимо предъявить ученику некоторую ее материальную модель. Для этого применяют наглядные средства обучения. Например, если изучается понятие пирамиды, то такой моделью может быть: 1) словесное описание (определение) этого понятия; 2) объемная модель пирамиды (каркасная или сплошная); 3) ее развертка; 4) изображение пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране и т. п. Все перечисленные объекты являются материальными моделями, с той или иной стороны отражающими понятие пирамиды.

Основными наглядными средствами при изучении многогранников являются объемные модели. Такие модели, сделанные из разных материалов, соответствуют различным дидактическим целям.

Так, например, с помощью картонной модели можно показать форму многогранника. Также на таких моделях удобно показать развертку поверхности тела. Но из-за непрозрачности картона уже нельзя использовать картонные многогранники для демонстрации сечения тел и тел, вписанных друг в друга. Стеклянные модели рекомендуется использовать в тех случаях, когда необходимо показать в многограннике сечение или другое вписанное в него геометрическое тело. Деревянные модели отличаются прочностью. Проволочные каркасные модели также находят широкое применение на уроках стереометрии. Они позволяют показать виды, элементы и проекцию многогранника на плоскость (тень модели на листе белой бумаги), сечение многогранника плоскостью, комбинации геометрических тел. Такая модель является связующим звеном между объемной моделью многогранника и чертежом на бумаге. Можно перечислить серии каркасных моделей, которые могут быть использованы на уроке: набор моделей правильных призм и пирамид (полных и усеченных), набор моделей четырехугольных пирамид, вершины которых проектируются в точку пересечения диагоналей основания (кроме основного контура, модель должна иметь высоту, диагональ основания и высоты боковых граней), набор моделей на комбинации многогранников.

Выпускаемые промышленностью модели не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обучении школьников математике. Поэтому учителя часто прибегают к изготовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют необходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усовершенствования, учитель привлекает учащихся к изготовлению нового варианта модели. Это содействует получению учащимися более глубоких и прочных знаний, умений применять теоретический материал на практике. Модели, как фабричного, так и самодельного изготовления могут быть использованы при введении новых понятий и доказательстве теорем, при решении задач, при выполнении практических и лабораторных работ.

Другим удобным видом учебного оборудования являются резиновые штемпели (штампы) с изображением различных плоских и объемных фигур, графиков, таблиц и т. д. К сожалению, такое средство обучения сейчас редко встречается в школе. При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штемпелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени. Естественно, применение штемпелей недолжно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен, вначале научить учащихся изображать фигуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных контрольных заданий. Можно, например, заготовить 35-40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, проставив размеры, получить набор индивидуальных заданий.

Также при изучении многогранников можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся, как по усвоению нового теоретического материала, так и по его закреплению. С помощью рабочих таблиц, возможно, осуществить выполнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков, можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед всем классом. Например, при ведении понятия «пирамида» можно использовать таблицу с изображением пирамиды, ее основных элементов и частных видов. В отличие от рабочих таблиц справочные таблицы, т.е. таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зрительный аппарат учащегося. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является (помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль) их дидактическая направленность. Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др. Примером таких таблиц может служить таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», в которой изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади поверхности для каждого вида.

Большие возможности воспитания самостоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной основой. В настоящий момент они все чаще появляются в школах. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоятельной работы на этапе закрепления и повторения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально использовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста заданий и основное внимание сосредоточивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь. Как правило, такие тетради чаще используются в младших классах. Тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Задания могут дать ученику образец способа рассуждений, решения, данные в тетради, могут содержать пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью (причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций). Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать понятия и прививать учащимся навыки решения типовых задач.

Также нельзя забывать и про такие средства обучения как диапозитивы, кодопозитивы, компьютерные средства, которые могут быть эффективно применены при изучении многогранников и не только их.

Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний. Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдвигается даже дидактическое правило: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики. Принять такую точку зрения и вытекающее из нее дидактическое правило нельзя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступенях обучения.

Таким образом, готовясь к конкретному уроку, учитель выбирает те средства, с которыми легче организовать необходимую работу учащихся, т. е. наиболее в данный момент простые для их восприятия. Например, если на уроке предполагается начать знакомство с понятием какого-то частного вида многогранника, то наиболее удобными окажутся объемные изображения или изображения на киноэкране. В процессе же закрепления этого понятия достаточно просты для восприятия плоские чертежи или словесные описания.

Таким образом, чтобы некоторая материальная модель позволяла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприятия учащихся.

3. Опорные задачи по теме «Многогранники»

Как уже говорилось, изучение многогранников является важнейшей частью курса стереометрии. Они дают богатый задачный материал, как при изучении самой темы «многогранники», так и при изучении последующих тем стереометрии. Чаще всего в учебниках мало простых задач «на геометрические тела», поэтому на уроке удается решить всего 2-3 задачи средней трудности. Но они не всем ученикам под силу. Если ограничиваться только такими задачами, то многие ученики не смогут принимать активное участие в их решении, и будут отставать. Если же специально уделять на уроке время для задач, которые сводятся к одной-двум операциям и потому доступны для устного решения, то можно втянуть в работу всех учеников.

Устное решение задач «на многогранники» значительно улучшает пространственное мышление учащихся, которое играет важную роль в стереометрии. Поэтому подробнее остановимся именно на таких задачах.

Так как основные геометрические тела, изучаемые в школе, это призмы и пирамиды, то задачи, приведенные ниже, посвящены темам: «Призма. Пирамида. Их сечения. Площади полной и боковой поверхностей». Кроме того, задачи разбиты на типы: задачи на доказательство, на исследование, на построение, на вычисление.

Большое количество задач можно предлагать для решения вместе с готовым рисунком, когда один рисунок будет сопровождать несколько задач, в которых идет речь об одном и том же геометрическом теле. Но готовые рисунки сопутствуют далеко не всем задачам, поскольку само изготовление изображения является важной частью решения. Учитель может варьировать стратегию обучения. В одних случаях - начинать с готового рисунка, а в других -демонстрировать рисунок (на откидной доске или на экране) только после того, как учащиеся сами сделали нужные изображения в своих тетрадях.

4. Изучение свойств многогранников

Пространственное мышление значимо для каждого человека, независимо от уровня его образования и вида деятельности. Значительную роль в развитии пространственных представлений и пространственного мышления играет изучение свойств многогранников. В то же время, в сложившейся практике изучения геометрии, материал, связанный с многогранниками, рассматривается в конце изучения геометрии, что связано со строгим следованием аксиоматическому методу изложения этого курса. Изучая планиметрию, ученики не только не должны забывать о пространственных фигурах, а наоборот, должны расширить знакомство с ними. Ведь нас окружают реальные предметы -- пространственные фигуры. Многие учащиеся, закончив девять классов, продолжают обучение в училищах, средних специальных заведениях, лицеях, колледжах или начинают заниматься практической деятельностью, и им необходимы элементарные знания трехмерной геометрии. Поэтому курс планиметрии целесообразно строить на фузионистских принципах, то есть в органичной связи с планиметрическим материалом должны быть введены свойства многогранников и, возможно, предусмотрено рассмотрение других стереометрических объектов. Общеобразовательная школа должна при первой возможности знакомить учащихся с простейшими видами многогранников, их изображениями, изготовлением, развертками, измерениями площади поверхности и объема, что подготовит учащихся, ориентированных на дальнейшее обучение в 10-м классе, к лучшему восприятию систематического курса стереометрии, а учащихся, заканчивающих обучение в 9-м классе, более полно познакомит с окружающим миром.

Распределение учебного и задачного материала, связанного с многогранниками, по темам планиметрии

В курсе геометрии 7-9-х классов можно рассмотреть такие многогранники, как параллелепипед, призма, пирамида, а также правильные многогранники. Учащиеся этих классов учатся рассуждать, доказывать различные утверждения при изучении систематического курса планиметрии, а также хорошо представлять себе пространственные формы, видеть в них красоту.

Многогранник «определяется» в 5-6-х классах. Определение многогранника дается на описательном уровне следующим образом. Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника. Вершины этих многоугольников являются также и вершинами многогранника, а стороны многоугольника -- ребрами многогранника. Здесь очень важно показать учащимся различные модели многогранников. Прежде чем изучать каждый вид многогранников в отдельности, определим общий подход к рассмотрению основных видов многогранников в 7-9-х классах. При рассмотрении многогранников в курсе планиметрии 7-9-х классов применим именно индуктивный путь ознакомления с основными видами многогранников. Рассмотрение призмы целесообразно начать с частных видов призм. А именно, рассмотреть уже знакомые виды призм, которые встречались в курсе математики 5-6-х классов (Ходеева Т.В. Изучение свойств многогранников в курсе математики 5-6 классов. Математика (еженедельная газета ИД «Первое сентября»), № 11, 13/2002), затем рассмотреть и другие. После этого можно дать общее описание произвольной призмы. Аналогичный подход и при рассмотрении пирамиды. При изучении основных видов многогранников в 7-9-х классах, так же как и в 5-6-х классах, нельзя дать точных определений, поэтому приводится описание многогранников каждого вида. При рассмотрении каждого вида многогранников целесообразно придерживаться некоторой схемы: описание данного вида многогранников; нахождение данного вида многогранников на рисунках, чертежах, среди окружающих предметов; изображение; развертка; некоторые свойства; сечение (имеется в виду сечения: параллельно плоскости основания или некоторой грани, проходящие через два не соседних ребра и другие), симметрия. Рассматривая различные виды многогранников, с которыми уже учащиеся встречались, целесообразно напомнить установленные свойства.

Из курса математики 5-6-х классов учащиеся уже знакомы с кубом, прямоугольным параллелепипедом, прямой призмой. Рассмотрение прямого и наклонного параллелепипеда, наклонной призмы возможно только после изучения понятия параллелограмм. Итак, параллелепипед -- многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов. Здесь очень важно показать учащимся модели различных видов параллелепипедов: прямоугольного параллелепипеда, прямого параллелепипеда и наклонного параллелепипеда. На моделях с учащимися полезно обсудить, какими четырехугольниками являются грани параллелепипедов различных видов.

Свойства параллелепипеда

1. У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

2. Каждая грань параллелепипеда -- параллелограмм.

3. Противолежащие грани параллелепипеда равны.

4. Параллельные ребра параллелепипеда равны.

Сечение параллелограмма

1. Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной грани. В сечении образуется параллелограмм.