Основы изучения темы "Многогранники"

2. Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через противолежащие ребра. В сечении образуется параллелограмм. В некоторых случаях в сечении может образоваться ромб, прямоугольник или квадрат.

При рассмотрении каждого вида многогранников (параллелепипеда, призмы, пирамиды) можно рассмотреть с учащимися 7-9-х классов стандартные сечения, такие как сечение многогранника, плоскостью, параллельной плоскости одной из граней, и сечение многогранника плоскостью, проходящей через два не соседних параллельных ребра многогранника. При рассмотрении сечений многогранника вид сечения учащиеся 7-9-х классов, так же как и 5-6-х классов, определяют с помощью каркасных моделей многогранников или моделей, сделанных из пластилина. При этом от учащихся не требуется доказывать, что в сечении образуется та или иная фигура, главное -- просто увидеть ее на моделях рассматриваемых многогранников.

Призма -- это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма две противолежащие стороны лежат на основаниях призмы).

Свойства призмы

1. Основания призмы являются равными многоугольниками.

2. Боковые грани призмы являются параллелограммами.

3. Боковые ребра призмы равны.

Сечение призмы

1.Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.

2.Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат.

Рассмотрение правильной призмы возможно только после введения понятия правильный многоугольник. Однако с правильной треугольной призмой можно познакомить учащихся гораздо раньше. А с правильной четырехугольной призмой они знакомы еще из курса математики 5-6-х классов, так как она представляет собой прямоугольный параллелепипед с квадратами в основаниях. Правильная призма -- прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники.

Свойства правильной призмы

1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.

2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.

3. Боковые ребра правильной призмы равны.

Сечение правильной призмы

1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат.

Из курса математики 5-6-х классов учащиеся уже знакомы с описанием пирамиды. А именно: пирамида -- многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Знакомство с правильной пирамидой возможно только после изучения понятия правильный многоугольник. Однако с правильной треугольной и правильной четырехугольной пирамидой можно познакомить учащихся значительно раньше. Правильная пирамида -- пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник и все боковые ребра равны.

Свойства правильной пирамиды

1.Основание правильной пирамиды -- правильный многоугольник.

2.Боковые грани правильной пирамиды -- равнобедренные треугольники.

3.Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Сечение правильной пирамиды

1.Сечение правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании.

2.Сечение правильной пирамиды плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется равнобедренный треугольник. В некоторых случаях может образоваться равносторонний треугольник.

С некоторыми правильными многогранниками учащиеся уже встречались. Это треугольная пирамида и куб. Гранями треугольной пирамиды являются правильные треугольники. Ее называют правильным тетраэдром, что в переводе с греческого означает четырехгранник. Куб имеет шесть граней, поэтому называется правильным гексаэдром (по-гречески «гекса» означает шесть). Рассмотрение правильных многогранников следует начинать с тех из них, гранями которых являются правильные треугольники. Один из таких многогранников учащимся уже знаком -- это правильный тетраэдр. Другой многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, изображен на рисунке 39.

Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому его называют правильным октаэдром («окта» -- восемь).

И третий многогранник, гранями которого являются правильные треугольники -- это правильный икосаэдр («икоса» -- двадцать). Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников (рис. 40).

Многогранник, гранями которого являются квадраты -- это куб. Учащимся он хорошо знаком. Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, изображен на рисунке 41. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому его называют правильным додекаэдром («доде» -- двенадцать).

Как уже было отмечено выше, при рассмотрении каждого вида многогранников с учащимися 7-9-х классов целесообразно придерживаться такой же схемы, что и для 5-6-х классов, дополнительно рассмотрев симметрию многогранников. При ее рассмотрении учащиеся 7-9-х классов находят центр симметрии, плоскости симметрии и оси симметрии (если они существуют) с помощью моделей многогранников. При этом полезно предложить учащимся такое творческое и интересное задание, как изготовление моделей рассматриваемых многогранников с указанием на них плоскостей симметрии. Такие задания развивают пространственное мышление учащихся, дают возможность творчески подойти к выполнению задания и, что немаловажно, повышают интерес к предмету геометрия.

Симметрия куба

1.Центр симметрии -- центр куба (точка пересечения диагоналей куба) (рис.42).

2.Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра (рис.43).

3.Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис.44).

Симметрия прямоугольного параллелепипеда

1.Центр симметрии -- точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (рис.45).

2.Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер (рис.46).



3.Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней (рис.47).

Симметрия параллелепипеда

Центр симметрии -- точка пересечения диагоналей параллелепипеда (рис.48).

Симметрия прямой призмы

Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер (рис.49).



Симметрия правильной призмы

1.Центр симметрии при четном числе сторон основания -- точка пересечения диагоналей правильной призмы (рис.50)

2.Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания -- плоскости, проходящие через противолежащие ребра (рис.51).

3.Оси симметрии: при четном числе сторон основания -- ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней (рис.52).

Симметрия правильной пирамиды

1.Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания -- плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис.53).

2.Ось симметрии: при четном числе сторон основания -- ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис.54).

Изучение свойств многогранников

7-9 классы

Задачный материал

Задачный материал, связанный с многогранниками, для 7-9-х классов распределен по темам планиметрии.

7 класс

1.Основные свойства простейших геометрических фигур. Треугольник. Параллельные прямые

1.1.На верхней грани куба изображена (заштрихована) фигура f, содержащая точки A, B, C, D и M. Является ли эта фигура плоской? Является ли плоской фигура, составленная из двух треугольников DD₁P и DD₁Q (рис.55), лежащих в передней и боковой гранях куба?

1.2. На рисунке56? -- плоскость нижней грани параллелепипеда, прямая l лежит в плоскости ?. Постройте точки, в которых прямая l пересекается с прямыми AB, BC, DC и AD.

1.3. По рисунку57 укажите, какие прямые, проходящие через две вершины параллелепипеда, содержатся в плоскости ?.

1.4.Изобразите куб, обозначьте его буквами. Обозначьте через ? плоскость его передней грани. Какие вершины куба принадлежат плоскости ?, какие не принадлежат? Запишите знаками.

1.5.Сделайте чертеж прямоугольного параллелепипеда, обозначьте его буквами. Укажите, какие вершины принадлежат плоскости ?, содержащей нижнюю грань параллелепипеда.

1.6.Куб имеет длину ребра a. Каждая грань куба представляет собой квадрат с периметром 4a. Всего у куба шесть таких граней. Следует ли отсюда, что сумма длин ребер равна 24a?

1.7.У куба шесть граней и на каждой грани четыре прямых угла. Таким образом, на поверхности куба имеется 24 прямых угла, образованных ребрами. Как еще можно подсчитать число прямых углов на поверхности куба?

1.8.Назовите треугольники, образующие поверхность треугольной пирамиды (рис.58).

1.9.Можно ли с помощью шести спичек составить фигуру, состоящую из четырех одинаковых треугольников?

1.10.Запишите, какие ребра куба параллельны (см. рис.59).

1.11.Сделайте чертеж параллелепипеда и обозначьте вершины буквами. Приведите примеры пересекающихся прямых, а также примеры непересекающихся прямых.

1.12.Точки P и Q расположены внутри грани A₁B₁C₁D₁ куба. Сделайте чертеж и постройте на нем точки пересечения прямой PQ с ребрами куба или с их продолжениями.

1.13.Пересекаются ли в пространстве прямые DD₁ и A₁B₁ (см. рис.59)? Ответьте на тот же вопрос относительно прямых BB₁ и DC.

2.Смежные и вертикальные углы.

Перпендикулярные прямые. Биссектриса угла

2.1.Запишите, какие ребра куба перпендикулярны (рис.60).

2.2.Боковой гранью треугольной пирамиды SABC является треугольник ASB с углом SAB, равным 80°. В боковой грани проведена биссектриса AM. Чему равен угол между биссектрисой и стороной AB основания пирамиды?

Примечание. Задача 2.1 рассматривается при изучении перпендикулярных прямых, задача 2.2 -- при изучении биссектрисы угла.

3.Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник. Высота, биссектриса и медиана треугольника

3.1.Точки M и N -- середины ребер куба (рис.61). Докажите, что треугольник ADM равен треугольнику CDN. Укажите равные стороны и равные углы в этих треугольниках.

3.2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5см, а сумма периметров боковых граней 48см. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

3.3.Найдите площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, длина каждого ребра которой равна a, и вычислите ее значение при a=3,8см.

3.4.Сторона основания правильной треугольной пирамиды больше бокового ребра на 3см, а периметр боковой грани равен 27см. Найдите сторону основания и боковое ребро пирамиды.

3.5.Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при вершине, содержащим 52. Найдите величину угла x между высотой боковой грани и боковым ребром пирамиды (рис.62).

4.Сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник

4.1.Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при вершине, содержащим 64. Найдите углы при основании в этой грани.

4.2.Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник. Угол между высотой боковой грани, проведенной к основанию, и боковым ребром пирамиды равен 34°. Найдите углы боковой грани.

4.3.Боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при основании, содержащим 35°. Найдите величину угла между медианой боковой грани, проведенной к основанию, и боковым ребром пирамиды.



4.4.Дана треугольная пирамида SABC (рис.63). Боковая грань SAB является прямоугольным треугольником с прямым углом SAB. Угол ASB в два раза меньше угла ABS. Найдите острые углы грани SAB.

4.5. На рисунке 64 изображен куб, в верхней грани которого проведена диагональ A₁C₁. Является ли треугольник A₁C₁B₁, расположенный в верхней грани, равнобедренным? Является ли он на чертеже равнобедренным? Какие стороны этого треугольника, расположенного на поверхности куба, равны? Какие углы равны?

4.6.Дан куб (рис.65). На поверхности куба изображен (заштрихован) треугольник BCC₁. Назовите в этом треугольнике гипотенузу и катеты и найдите углы C₁BC и BC₁C.

5.Геометрические построения

5.1.Дана четырехугольная пирамида SABCD (рис. 66). Разделите AB и BC на две равные части.

5.2.Разделите ребро SA четырехугольной пирамиды SABCD на четыре равные части.

5.3.В грани ASB треугольной пирамиды SABC постройте медианы.

5.4.Точка K -- середина бокового ребра SC треугольной пирамиды SABC (рис.67). Треугольник AKB является сечением пирамиды. Постройте медианы треугольника AKB.

5.5.В правильной треугольной пирамиде SABC постройте медиану AM треугольника ABC к стороне BC и медиану SM треугольника BSC к стороне BC. Сколько перпендикулярных прямых проходит через точку M к стороне BC?

6.Четырехугольники. Теорема Фалеса.

Средняя линия треугольника

6.1.Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм.

6.2.Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит: а) ромб; б) прямоугольник; в) квадрат.

6.3.Нарисуйте развертку куба. Если это возможно, то нарисуйте различные варианты развертки куба.

6.4.Через середины боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Найдите длины сторон сечения, если в основании пирамиды лежит квадрат, длина стороны которого 6см (рис.68).

6.5.Через середины боковых ребер правильной треугольной пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Найдите периметр сечения, если длина стороны основания равна 10 см.

6.6.Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит трапеция.

6.7.Нарисуйте развертку наклонной призмы, в основании которой лежит: а) параллелограмм; б) ромб; в) прямоугольник; г) квадрат; д) трапеция.

7. Теорема Пифагора. Косинус угла. Перпендикуляр и наклонная. Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов

7.1.Вычислите периметр диагонального сечения куба, ребро которого равно 5см (рис.69).

7.2.Вычислите площадь диагонального сечения куба, ребро которого равно 6см.



7.3.Вычислите диагональ куба, ребро которого равно 4см (рис.70).

7.4.Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 10см, а боковое ребро 13см. Найдите биссектрису боковой грани, проведенную из вершины пирамиды.

7.5.Вычислите длины граней прямоугольного параллелепипеда (бруска) с размерами 3x5x8(см).

7.6.На рисунке 71 изображен куб, в верхней грани которого проведены отрезки B₁M и B₁N. Какой из отрезков B₁N, B₁M или B₁A₁ имеет наименьшую и какой имеет наибольшую длину: а) на кубе; б) на чертеже.

7.7.Может ли высота пирамиды быть больше длины бокового ребра SB (рис.72)?

7.8.Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды 12см, а высота пирамиды 26см. Вычислите длину бокового ребра пирамиды.

7.9.В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция с основаниями 5м и 17м (рис.73). Диагональ боковой грани AA₁D₁D равна 10см. Найдите расстояние между ребрами D₁C₁ и AB призмы.

7.10.Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6см, а высота пирамиды 13см (рис.74). Вычислите величину угла наклона бокового ребра пирамиды к диагонали основания.

7.11.В основании треугольной пирамиды SABC лежит равносторонний треугольник со стороной 9см. Боковой гранью SAB является прямоугольный треугольник с прямым углом A. Ребро SA равно 40см. Найдите неизвестную сторону, и острые углы этой грани.

7.12.Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит квадрат со стороной 8см. Боковая грань SBC является прямоугольным треугольником с прямым углом BSC. Угол наклона ребра SB к ребру BC основания равен 70°30'. Найдите неизвестные стороны и острый угол SBC.

8.Декартовы координаты на плоскости

9.Движение

9.1.Приведите примеры изображений предметов реального мира, являющихся симметричными фигурами. Укажите для каждого примера ось симметрии или центр симметрии.

9.2.Приведите примеры многогранников, являющихся симметричными фигурами. Изобразите их. Укажите для каждого примера ось симметрии или центр симметрии.

10.Векторы

10.1.На рисунке 75 изображен куб и показан вектор,изображаемый направленным отрезком, идущим от одной вершины куба к противоположной вершине. Сколькими способами можно представить вектор в виде суммы трех векторов, идущих по ребрам куба?

10.2.Вычислите длину диагонали AC₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если его ребра имеют длины 5см, 4см, 5см.

10.3.Докажите, что в треугольной пирамиде (рис. 76) длина отрезка, соединяющего середины двух противоположных ребер, меньше полусуммы длин двух других противоположных ребер.

10.4.Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде (рис.77) боковое ребро AA₁ перпендикулярно каждой диагонали основания.

10.5.В прямоугольном параллелепипеде (рис. 77) с длинами ребер AB=3см, AD=5 см, AA₁=7см вычислите угол между диагональю AC₁ и диагональю AC нижнего основания.

10.6.В пирамиде ABCD точки M и N -- середины ребер AB и CD. Докажите, что если AC = AD = BC = BD, то прямые AB, CD и MN попарно перпендикулярны.

10.7. Ребра AB и CD пирамиды ABCD перпендикулярны. Докажите, что AC² --AD² = BC² -BD².

10.8.Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, имеют длины a, b и c. Найдите длины ребер параллелепипеда.

10.9.В треугольной пирамиде SABC SD -- медиана боковой грани SBC (рис. 78). Выразите через векторы , и указанные на рисунке, следующие векторы:

10.10.В прямоугольном параллелепипеде (рис.39) точки M, K, T -- середины ребер. Выразите через векторы следующие векторы:



10.11.В треугольной призме (рис. 80) точки M, N и P -- середины ребер A₁A, C₁C и B₁C₁ соответственно. Выразите через следующие векторы:

9 класс

11.Подобие фигур

11.1.На рисунке 81 изображен прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием и подобный ему параллелепипед. Длины каких отрезков можно узнать, если известно, что AB=MN₁=5 см, NP = 3 см?

11.2.Через середины боковых ребер правильной пирамиды проведено сечение (рис.82). Найдите длины сторон сечения, если в основании пирамиды лежит квадрат, длины сторон которого 6 см.

11.3.В правильной треугольной пирамиде со стороной основания 18см и боковым ребром 27см проведено сечение (рис. 83) так, что оно отсекает от каждого бокового ребра пирамиды отрезок 9см, считая от вершины пирамиды. Найдите длину основания сечения.



11.4.Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 8,5см и боковым ребром 13,6см (рис.84) пересечена плоскостью. Найдите длину стороны получившегося сечения, если каждый из отрезков AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ имеет длину 8,8см.

12.Решение треугольников

12.1.Основанием параллелепипеда служит параллелограмм со сторонами a и b и острым углом ?. Найдите диагонали основания.

12.2.Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит ромб. Сторона ромба равна 5см, боковое ребро равно 6см, а синус угла A₁AB равен 0,6. Найдите диагонали боковой грани A₁ABB₁.

13.Многоугольники. Выпуклые многоугольники.

Правильные многоугольники

13.1.Углы выпуклого четырехугольника, лежащего в основании призмы, пропорциональны числам 2, 3, 3, 4. Найдите углы основания призмы.

13.2.Сколько сторон имеет основание правильной пирамиды, если каждый из внутренних углов основания равен 150 ?

13.3.Основанием правильной пирамиды служит многоугольник, у которого каждый из внешних углов основания равен 36. Какая это пирамида?

13.4.Из заготовки цилиндрической формы следует выточить правильную треугольную призму (рис. 85) с возможно большей стороной основания. Найдите длину стороны основания призмы, если диаметр заготовки равен 50 мм.

14.Площади фигур

14.1.Чему равна площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c?



14.2.Вычислите площадь диагонального сечения куба (рис. 86), ребро которого равно 4 см.

14.3.Сколько краски потребуется, чтобы окрасить куб с ребром 2,5 см, если на покраску одного квадратного метра требуется 200 г краски?

14.4.Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3 см, а высота 7см.

14.5.На рисунке 87 изображена развертка четырехугольной призмы. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь полной поверхности призмы.

14.6.Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковое ребро 20 см (основанием правильной пирамиды является квадрат, а все боковые ребра имеют одинаковую длину).

14.7.Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, длина каждого ребра которой равна a, и вычислите ее значение при a = 3,8 см.

14.8.Вычислите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 8,3 см, а боковое ребро 12 см.

14.9.Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, длина стороны основания которой равна a, а боковое ребро 2a, и вычислите ее значение при a=7,5 см. Вычислите также площадь полной поверхности этой пирамиды.

Заключение

В чем сущность современной математики? Л.Д. Кудрявцев так отвечает на этот вопрос: «Математическая модель - это логическая структура, у которой описан ряд отношений между ее элементами. Математика представляет собой стройную и глубокую совокупность знаний о математических моделях со своими проблемами, с собственными путями развития, обусловленными внутренними и внешними причинами и задачами». Как бы продолжая мысль Л.Д. Кудрявцева, академик В.И. Арнольд пишет: «Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования».

Геометрическое моделирование - это математическое моделирование геометрическими методами. Так же, как с аксиоматическим методом школьники знакомятся на примере построения курса геометрии, и к математическому моделированию можно приобщать учащихся на примере моделирования геометрических фигур. Рисунки в действующих школьных учебниках отличаются от тех, которые можно было бы называть моделями, так же, как схема метро отличается от тех, которые можно было бы называть моделями, так же, как схема метро отличается от топографической карты местности. Что знали бы школьники о географии, если бы они изучали ее только по схемам? Изучение географии немыслимо без контурных карт. Геометрия же в школе, как привило, изучается без использования печатных материалов с изображениями геометрических тел. Опыт показывает, что при использовании готовых рисунков к решаемым задачам число учащихся, способных решить эти задачи самостоятельно, увеличивается в 4-5 раз. Если учащиеся усвоили азы геометрического моделирования и в состоянии применять его для исследования свойств геометрических тел, то значение этого факта для их математического образования и развития функций головного мозга переоценить невозможно

Целью данной работы было рассмотрение особенностей использования моделей при решении стереометрических задач (на примере изучения темы «Многогранники»). В связи, с чем были выполнены следующие задачи: были рассмотрены различные подходы к определениям многогранника, выпуклого многогранника и правильного многогранника, а также были сделаны выводы о том, какие подходы целесообразнее использовать в школе. Кроме того, были рассмотрены особенности изучения темы в учебниках разной направленности: общеобразовательной, гуманитарной, с математическим уклоном. Были рассмотрены также различные средства обучения, которые могут быть использованы при изучении данной темы. И, наконец, были подобраны опорные задачи, которые можно использовать на уроке при изучении данной темы и разработана серия уроков с использованием моделей при решении стереометрических задач.

Таким образом, в данной работе были рассмотрены основные, общие особенности использования моделей при решении стереометрических задач (на примере изучения темы «Многогранники»).

Список использованной литературы

1. Автономова Т.В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя./ Т.В. Автономова, Б.И. Аргунов. - М.: Просвещение, 1988.

2. Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992. - 464 с.

3. Александров А.Д. Что такое многогранник? / А.Д. Александров// Математика в школе. - 1981. - № 1-2.

4. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 1998. - 207 с.

5. Бескин Л.Н. Стереометрия. / Л.Н. Бескин. - М.: Просвещение, 1971.

6. Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. / В.Г. Болтянский, И.М. Яглом // Математика в школе. - 1966. - № 3.

7. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. / В.Г. Болтянский. - М.: Просвещение, 1985. - 320 с.

8. Веселовский С.Б. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. / С.Б. Веселовский, В.Д. Рябчинская. - М.: Просвещение, 1998. - 96 с.

9. Глаголев Н.А. Геометрия: Стереометрия. / Н.А. Глаголев, А.А. Глаголев. - М.: Учпедгиз, 1958.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе IX-X классы - М.; Просвещение, 1983

11. Джордж Пойа. Математическое открытие. / Джордж Пойа. - М.: Наука, 1976.

12. Замечательные ученые. Под ред. Капицы С. П. - М.; издательство «Наука», 1980

13. Земляков А.Н. Геометрия в 10 классе: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова: Пособие для учителя. / А.Н. Земляков. - М.: Просвещение, 1986. - 208 с.

14. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. / Б.Г. Зив. - С.-Петербург, 1998.

15. Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2000.

16. Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. / М.И. Каченовский. - М.: Просвещение, 1959.

17. Киселев А.П. Геометрия: Учебник для 9-10 классов средней школы. / А.П. Киселев. - М.: Учпедгиз, 1956.

18. Клопский В.М. Геометрия: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. / В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский / Под. ред. З.А. Скопеца. - М.: Просвещение, 1979.

19. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. / Л.А. Люстерник. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

20. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. / Под. ред. А.И. Фетисова. - М.: Просвещение, 1967.

21. Методика преподавания математики: Общая методика. / Составители: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985.

22. Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии в 10-11 кл. по учеб. пособию А.Д. Александрова, А.Л. Вернера, В.И. Рыжика: Кн. для учителя. / В.М. Паповский. - М.: Просвещение, 1993. - 223 с.

23. Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике: Учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец.: В 3 ч. Ч. 1. Общая методика. / Е.С. Петрова - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.

24. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.

25. Преподавание геометрии в 9-10 классах. / (сб. статей) сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. - М.: Просвещение, 1980.

26. Саакян С.М. Изучение темы «Многогранники» в курсе 10 класса. / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. // Математика в школе. - 2000. - № 2.

27. Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Пирамида». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. - 2003. - № 7.

28. Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Призма». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. - 2003. - № 6.

29. Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. / И.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1995. - 144 с.

30. Смирнова И.М. Геометрия: Учеб. пособие для 10-11 кл. гуманит. Профиля. / И.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1997. - 159 с.

31. Смирнова И.М. Об определении понятия правильного многогранника. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. - 1995. - № 3.

32. Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. - 1994. - № 4.

33. Стройк Д.Я. Краткий очерк Истории математики. - М.; издательство «Наука», 1969

34. Ходеева Т. Свойства многогранников. / Т. Ходеева. // Математика. - 2002. - № 11.

35. Юшкевич Ф.П. История математики в России. - М.; издательство «Наука», 1968.

Приложение 1

Урок повторения по теме «Многогранники» (10 класс).

Урок был проведен в 10 классе после изучения основных многогранников перед изучением правильных многогранников и симметрии.

Цели:

1) повторить основные виды многогранников (призмы и пирамиды), их частные виды;

2) повторить основные формулы для нахождения площади поверхности многогранников и его частных видов;

3) решить задачи разного уровня сложности по данной теме с применением уже известных знаний по многогранникам.

Оборудование: справочная таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», которая содержит 4 столбца: вид многогранника, чертеж, площадь боковой и полной поверхности, объем; готовые чертежи на отвороте доски для решения задач.

Ход урока:

1) Организационный момент.

2) Актуализация знаний.

Проводится фронтальная работа по таблице. Листочками на таблице закрыты названия многогранников, основные формулы и чертежи. Постепенно открываются чертежи, учащиеся по чертежу называют вид многогранника и основные формулы нахождения его полной и боковой поверхности. Колонка таблицы с формулами объема в работе не участвует, так как объем изучается в 11 классе. Таким образом, учащиеся вспоминают все необходимые факты для решения задач.

3)Решение задач.

На уроке предлагается решить две задачи по готовым чертежам (устное решение), две задачи письменно с построением чертежа и дополнительную задачу более сильным ученикам.

Задача 1. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб. Найдите: tg б.

Задача 2.Дано: DABC - правильная треугольная пирамида, DO (ABC), AB = 3·DO. Найдите: б.

Задачи 1 и 2 имеют своей целью повторение некоторых фактов планиметрии и ранее изученных тем по стереометрии (например, перпендикулярность прямой и плоскости) и использование их в решении задач. При решении задачи, как правило, затруднения не возникают, но можно решение задачи 2 записать в тетрадь (что и было, сделано на уроке).

Задача 3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, C = 90°, A = 30°, BC = 10. Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите ребра пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.

Вычисление длины ребер в задаче 3 происходит без затруднений, площадь вычисляется немного сложнее. Но главная особенность данной задачи в том, что необходимо понять, куда падает высота и чем является ее основание. (При проведении урока как раз этот момент и вызвал затруднение.)

Задача 4. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основанием служит ромб. Сторона ромба равна a, BAD = 60°. Диагональ параллелепипеда B₁D составляет с плоскостью боковой грани угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Задача 4 сложна тем, что, во-первых, в ней не все данные представлены числами, во-вторых, сложности возникают при определении угла между B₁D и плоскостью боковой грани (задача была полностью разобрана на доске).

Задача 5. (дополнительная) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a. Угол между смежными боковыми гранями равен 2б. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4) Подведение итогов. По мере решения задачи проверяются, в конце урока даются указания для решения пятой задачи.

Вывод: урок поставленной цели достиг, учащиеся повторили основные виды многогранников, решили задачи разного уровня сложности, кроме того, повторили такие факты по планиметрии, как вычисление площадей многоугольников, и по стереометрии: угол между плоскостями, между прямой и плоскостью и другие. В целом уровень сложности задач соответствовал уровню подготовки учеников, и больших проблем при решении задач не возникло.

Приложение 2

Различные доказательства теоремы Эйлера.

Современная теория многогранников берет свое начало с работ Леонарда Эйлера (1707-1783) - одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих разделов математики. Л. Эйлер был не только выдающимся математиком, но и крупной творческой личностью. Им было написано около 760 научных статей для журналов, 40 книг, 15 работ для различных конкурсов. Поражает работоспособность ученого, росшая на протяжении всей жизни. Так, в первые 14 лет научной деятельности им было написано 80 работ объемом около 4000 печатных листов, а в последние 14 лет жизни, несмотря на тяжелую болезнь - слепоту, опубликовано свыше 359 работ общим объемом приблизительно 8000 печатных листов. Многие рукописи Эйлера сохранились до наших дней. Эйлер долгое время (с 1727 по 1741 год и с 1766 до конца жизни) жил и работал в России, был действительным членом Петербургской академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы, на подготовку кадров ученых - математиков и педагогов России.

Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский ученый П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас».

В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Рассмотрим различные доказательства этой теоремы. В дальнейшем данный материал можно использовать как для факультативных и кружковых занятий, так и для самостоятельного изучения учениками.

Прежде чем рассматривать доказательство, обратимся к следующей таблице (Г- число граней многогранника, В - вершин, Р - ребер ):

Название многогранника	Г	В	Р
Тетраэдр	4	4	6
Четырехугольная призма	6	8	12
Семиугольная пирамида	8	8	14
Пятиугольная бипирамида	10	7	15
Правильный додекаэдр	12	20	30

Теперь найдем сумму Г+В-Р для каждого из представленных в таблице многогранников. Во всех случаях получилось: Г+В-Р=2. Справедливо это только для выбранных многогранников? Оказывается это соотношение справедливо для произвольного выпуклого многогранника. Это свойство впервые было подмечено и затем доказано Л. Эйлером.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2 (*), где Г - число граней, В - число вершин и Р - число ребер данного многогранника.

Доказательство. Существует множество различных доказательств теоремы Эйлера. Предлагается рассмотреть три наиболее интересных из них.

1) Наиболее распространенный способ, берущий свое начало в работе самого Эйлера и развитый в работе французского математика Огюста Коши (1789 - 1857) «Исследование о многогранниках» (1811 г.), заключается в следующем. Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность «растянем» на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка, содержащая S=Г-1 областей (которые по-прежнему назовем гранями), В вершин и Р ребер (которые могут искривляться). Для данной сетки нужно доказать соотношение

S+В-Р=1,

тогда для многогранника будет справедливо соотношение.

Докажем, что соотношение не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет S+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е.

(S+1)+В-(Р+1)=Г?+В-Р.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники (диагонали изображены пунктирами), и докажем соотношение методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.

Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда S=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение. Пусть теперь соотношение имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами:

1. как ABC. Тогда сетка состоит из S+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно,

(S+1)+(В+1)-(Р+2)=Г?+В-Р;

2. Как MNL. Тогда сетка состоит из S+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно,

(S+1)+В-(Р+1)=S+В-Р.

Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение. Такое доказательство предложено в.

2)Способ доказательства теоремы Эйлера, связанный с нахождением суммы плоских углов выпуклого многогранника. Обозначим ее S_а. Напомним, что плоским углом многогранника являются внутренние плоские углы его граней.

Например, найдем S_а для таких многогранников:

а) тетраэдр имеет 4 грани - все треугольники. Таким образом, S_а = 4р;

б) куб имеет 6 граней - все квадраты. Таким образом, S_а = 6?р = 12р;

в) возьмем теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани - пятиугольники и пять граней - параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 3р. (Напомним, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна р (n-2).) Сумма углов параллелограмма равна 2р. Таким образом,

S₁=16р.

Итак, для нахождения S_а мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.

Введем следующие обозначения: S₁, S₂, S₃, …, S_r - число сторон 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника. Тогда

S_а = р (S₁-2)+ р (S₂-2)+…+ р (S_r-2) = р (S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r - 2Г ).

Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. Оно равно S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r. Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем:

S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r = 2*Р

(Напомним, что через Р мы обозначили число ребер данного многогранника.) Таким образом получаем:

S_а = 2р (Р-Г). (1)

Сосчитаем теперь S_а другим способом. Для этого будем менять форму многогранника таким образом, чтобы у него не менялось число Г, В и Р. При этом может измениться каждый плоский угол в отдельности, но число S_а останется прежним. Выберем такое преобразование многогранника: примем одну из его граней за основание, расположим его горизонтально и «растянем» для того, чтобы на него можно было спроектировать Другие грани многогранника. Например, на рисунке 4.а показано, к чему мы придем в случае тетраэдра, а на рисунке 4.б - в случае куба. На рисунке 5 показан многогранник произвольного типа.

Заметим, что спроектированный многогранник представляет слившиеся две наложенные друг на друга многоугольные пластины с общим контуром, из которых верхняя разбита на (Г-1) многоугольник, а нижняя на грани не делится. Обозначим число сторон внешнего окаймляющего многоугольника через r. Теперь найдем S_а спроектированного многогранника S_а состоит из следующих трех сумм:

1) Сумма углов нижней грани, у которой r сторон, равна р (r-2).

2) Сумма углов верхней пластины, вершинами которых являются вершины нижней грани, тоже равна р (r-2).

3) Сумма «внутренних» углов верхней пластины равна 2р (В-r), так как верхняя пластина имеет (В-r) внутренних вершин и все углы группируются около них. Итак,

S_а = р (r-2) + р (r-2) + 2р (В-r) = 2рВ - 4р. (2)

Таким образом, сравнивая выражения (1) и (2), получаем:

Г + В - Р = 2,

что и требовалось доказать.

Этот способ доказательства теоремы Эйлера рассмотрен в книге американского математика и педагога Джорджа Пойа.

3)Способ, предложенный математиком Л.Н. Бескиным.

Здесь, как и в случае 1), вырезаем одну грань многогранника и оставшуюся поверхность растягиваем на плоскость. При этом на плоскости получается некоторая плоская фигура.

Представим себе, что эта плоская фигура изображает собой остров, который со всех сторон окружен морем и состоит из отдельных полей - граней, отделенных друг от друга и от воды плотинами - ребрами.

Начнем постепенно снимать плотины, чтобы вода попала на поля. Причем плотину можно снять, только в том случае, если она граничит с водой, лишь с одной стороны. Снимая очередную плотину, мы орошаем ровно одно поле. Покажем теперь, что число всех плотин (т.е. Р - число ребер взятого многогранника) равно сумме чисел снятых и оставшихся плотин.

Итак, число снятых плотин равно (Г-1). Действительно, снимая плотины, которые омывает вода только с одной стороны, мы оросили все поля (т.е. грани, число которых равно (Г-1), так как одна грань была сначала вырезана). На рисунке 6 номера 1, 2, 3, …,15 показывают порядок снятия плотин. Число оставшихся плотин равно (В-1). Покажем это, наша система изображена после снятия всех возможных плотин. Больше ни одну плотину снять нельзя, так как они омываются с двух сторон. Далее никакие две вершины системы, например B и D, не могут соединяться двумя путями, так как в противном случае получился бы замкнутый контур, внутри которого не было бы воды, что противоречит тому, что все поля орошены водой. Отсюда следует, что в оставшейся системе плотин должен быть тупик, т.е. вершина, в которую ведет одно единственное ребро. Выберем какую-либо вершину, например вершину А, и пойдем по пути, составленному из плотин, причем не будем проходить никакую вершину дважды. В конце концов, так как число вершин, конечно, мы придем в тупик (например, в вершину G). Тогда отрезок-тупик, т.е. вершину G и прилежащее к ней ребро-плотину, отрежем. В оставшейся системе опять выберем какую-нибудь вершину, пойдем от нее и отрежем получившийся тупик. Поступая так, мы, наконец, придем к системе, в которой нет плотин, а имеется только одна вершина, которая останется после отрезания последнего тупика. Таким образом, число оставшихся плотин равно (В-1).

Окончательно получаем:

Р = ( Г - 1 ) + ( В - 1 ),

откуда

Г + В - Р = 2.

Теорема доказана.

Размещено на Allbest.ru