Углы в плоскости и пространстве угла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Углы на плоскости

1.1 Понятие угла.

1.2 Положительные и отрицательные углы.

1.3 Измерение углов дугами окружности. Единицы измерения дуг и углов:

- градусная мера угла;

- радианная мера угла.

1.4 Классификация углов

2. Углы в пространстве

2.1 Угол между наклонной и плоскостью.

2.2 Двугранный угол.

2.3 Угол между двумя плоскостями.

Список литературы

1. Углы на плоскости

1.1 Понятие угла

Пара различных лучей Оа и Оb, выходящих из одной точки О, называется углом и обозначается символом (а, b). Точка О называется вершиной угла, а лучи Оа u Оb -- сторонами угла. Если А и В -- две точки лучей Оа и Оb, то (а, b) обозначается также символом АОВ (рис. 1.1).

Угол (а, Ь) называют развернутым, если лучи Оа и Ob, выходящие из одной точки, лежат на одной прямой и не совпадают (т. е. противоположно направлены).

Рис.1.1 Рис. 1.2

Два угла считаются равными, если один угол можно наложить на другой так, чтобы стороны углов совпадали. Биссектрисой угла называется луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Говорят, что луч ОС, исходящий из вершины угла АОВ, лежит между его сторонами, если он пересекает отрезок АВ (рис. 1.2). Говорят, что точка С лежит между сторонами угла, если через эту точку можно провести луч с началом в вершине угла, лежащий между сторонами угла. Множество всех точек плоскости, лежащих между сторонами угла, образует внутреннюю область угла (рис. 1.3). Множество точек плоскости, не принадлежащих внутренней области и сторонам угла, образует внешнюю область угла.

Угол (а, b) считают больше угла (c, d), если угол (с, d) можно наложить на угол (а, b) так, что после совмещения одной пары сторон вторая сторона угла (с, d) будет лежать между сторонами угла (а, b). На рис. 1.4 АОВ больше АОС.

Пусть луч с лежит между сторонами угла (а, b) (рис. 1.5). Пары лучей а, с и с, b образуют два угла. Об угле (а, b) говорят, что он является суммой двух углов (а, с) и (с, b), и пишут: (а, b) = (а, с) + (с, b).

Рис.1.3 Рис. 1.4

Обычно в геометрии имеют дело с углами, меньшими развернутого. Однако в результате сложения двух углов может получиться угол, больший развернутого. В этом случае ту часть плоскости, которая считается внутренней областью угла, отмечают дугой. На рис. 1.6 внутренняя часть угла АОВ, полученного в результате сложения углов АОС и СОВ и большего развернутого, отмечена дугой.

Рис.1.5 Рис.1.6.

Существуют также углы большие 360°. Такие углы образуются, например, вращением пропеллера самолета, вращением барабана, на который наматывается канат, и т. д.

В дальнейшем при рассмотрении каждого угла условимся считать одну из сторон этого угла его начальной стороной, а другую -- конечной стороной.

Любой угол, например угол АОВ (рис. 1.7), можно получить в результате вращения подвижного луча вокруг вершины О от начальной стороны угла (ОА) до его конечной стороны (ОВ). Мы будем измерять этот угол, учитывая полное количество оборотов, сделанных при этом вокруг точки О, а также и направление, в котором происходило вращение.

1.2 Положительные и отрицательные углы.

Пусть мы имеем угол, образованный лучами ОА и ОВ (рис.1.8). Подвижный луч, вращаясь вокруг точки О от своего начального положения (ОА), может занять конечное положение (ОВ) при двух различных направлениях вращения. Эти направления показаны на рисунке 1.8 соответствующими стрелками.

Рис.1.7 Рис.1.8

Подобно тому, как на числовой оси одно из двух направлений считается положительным, а другое отрицательным, различают и два различных направления вращения подвижного луча. Условились считать положительным направлением вращения то направление, которое противоположно направлению вращения часовой стрелки. Направление вращения, совпадающее с направлением вращения часовой стрелки, считается отрицательным.

В соответствии с этими определениями углы также подразделяются на положительные и отрицательные.

Положительным углом называется угол, образованный вращением подвижного луча вокруг начальной точки в положительном направлении.

Рис.1.9

На рисунке 1.9 даны некоторые положительные углы. (Направление вращения подвижного луча показано на чертежах стрелками.)

Отрицательным углом называется угол, образованный вращением подвижного луча вокруг начальной точки в отрицательном направлении.

На рисунке 1.10 изображены некоторые отрицательные углы. (Направление вращения подвижного луча показано на чертежах стрелками.)

Рис.1.10

Углу, содержащему 0?, будут соответствовать два совпадающих луча в их начальном положении (рис. 1.11).

А

О В

Рис.1.11

Но два совпадающих луча могут также образовать и углы +360°п и -360°п (п = 0,1,2,3,...). Обозначим через б наименьший возможный неотрицательный угол поворота, переводящий луч ОА в положение ОВ. Если теперь луч ОВ совершит дополнительно полный оборот вокруг точки О, то получим другую величину угла, а именно: АВО = б + 360°.

1.3 Измерение углов дугами окружности. Единицы измерения дуг и углов

В ряде случаев оказывается удобным измерять углы при помощи дуг окружности. Возможность такого измерения основа на известном предложении планиметрии о том, что в одном круге (или в равных кругах) центральные углы и соответствующие им дуги находятся в прямой пропорциональной зависимости.

Пусть некоторая дуга данной окружности принята за единицу измерения дуг. Соответствующий этой дуге центральный угол примем за единицу измерения углов. При таком условии любая дуга окружности и соответствующий этой дуге центральный угол будут содержать одно и то же число единиц измерения. Поэтому, измеряя дуги окружности, можно определять и величину соответствующих этим дугам центральных углов.

Рассмотрим две наиболее распространенные системы измерения дуг и углов.

- Градусная мера измерения углов

При градусном измерении углов в качестве основной единицы измерения углов (эталонного угла, с которым сравниваются различные углы) берется угол в один градус (обозначается 1?). Угол в один градус -- это угол, равный 1/180 части развернутого угла. Угол, равный 1/60 части угла в 1°, -- это угол в одну минуту (обозначается 1'). Угол, равный 1/60 части угла в одну минуту,-- это угол в одну секунду (обозначается 1").

- Радианная мера измерения углов

Наряду с градусной мерой измерения углов в геометрии и тригонометрии употребляется и другая мера измерения углов, называемая радианной. Рассмотрим окружность радиуса R с центром О. Проведем два радиуса О А и ОВ так, чтобы длина дуги АВ была равна радиусу окружности (рис. 1.12). Получившийся при этом центральный угол АОВ будет углом в один радиан. Угол в 1 радиан принимается за единицу измерения радианной меры измерения углов. При радианном измерении углов развернутый угол равен р радиан.

Рис.1.12

Градусная и радианная единицы измерения углов связаны равенствами:

1 радиан =180?/р57° 17' 45"; 1?=р/180 радиана0,017453радиана;

1'=р/180*60 радиана0,000291 радиана;

1''=р/180*60*60 радиана0,000005 радиана.

Градусную (или радианную) меру угла также называют величиной угла. Величину угла АОВ иногда обозначают /

1.4 Классификация углов

Угол, равный 90°, или в радианной мере р/2, называется прямым углом; его часто обозначают буквой d. Угол, меньший 90°, называется острым; угол, больший 90°, но меньший 180°, называется тупым.

Два угла, имеющие одну общую сторону и в сумме составляющие 180°, называются смежными углами. Два угла, имеющие одну общую сторону и в сумме составляющие 90°, называются дополнительными углами.

2. Углы в пространстве

2.1 Угол между наклонной и плоскостью

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость. Угол между наклонной а и плоскостью б часто обозначается (а, б).

2.2 Двугранный угол

Пара различных полуплоскостей б и в, имеющих общую границу -- прямую а, называется двугранным углом (рис.2.1).

Рис. 2.1. Рис. 2.2.

Прямая а называется ребром двугранного угла, а полуплоскости б и в - его гранями. Двугранный угол разбивает все пространство на две части -- внутреннюю и внешнюю области двугранного угла. Грани двугранного угла считаются не принадлежащими ни той, ни другой области,

Двугранный угол обозначается символом и буквами, указывающими его грани и ребро. При этом буква, обозначающая ребро, ставится между буквами, обозначающими грани. Например, угол, изображенный на рис. 2.1, обозначается бав. Применяется и краткое обозначение двугранного угла по его ребру, например: а; АВ (рис.2.1).

Пересечение двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру, называется линейным углом двугранного угла. На рис. 2.2 АОВ -- линейный угол двугранного угла бав.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Сколько градусов, минут и секунд имеет линейный угол, столько же градусов, минут и секунд имеет двугранный угол.

Двугранный угол будет прямым, острым или тупым в зависимости от того, будет ли линейный угол двугранного угла прямым, острым или тупым.

Два двугранных угла равны, если равны их линейные углы.

2.3 Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости определяют в пространстве четыре двугранных угла. Эти двугранные углы попарно равны, и сумма двух углов, имеющих общую грань, равна 180°. Меньший из двух углов называют углом между этими плоскостями. Если две плоскости параллельны, то угол между ними считается равным 0°.

Угол между плоскостями б и в обозначается (б, в).

угол дуга плоскость

Список литературы

1. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике для средних учебных заведений./под ред. С.А. Степанова

2. А.И. Маркушевич, К.П. Сикорский, Р.С. Черкасов. Алгебра и элементарные функции

3. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.

Размещено на Allbest.ru