Задача 1:

Опишем с помощью рядов Фурье, периодически повторяющийся импульс на участке электрокардиограммы, так называемый комплекс QRS.

Рис

Комплекс QRS можно задать следующей кусочно-линейной функцией

Где

Данную функцию можно продолжить периодически с периодом T=2l.

Ряд Фурье функции:

Где

Определение 1:Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме конечного числа точек, в которых существуют ее конечные односторонние пределы.

Определение 2: Функция называется кусочно-гладкой на некотором отрезке, если она сама и ее производная кусочно-непрерывны.

Теорема 1 (Признак Дирихле): Ряд Фурье кусочно-гладкой на отрезке функции f(x) сходится в каждой точке непрерывности к значению функции в данной точке и к значению в каждой точке разрыва.

Наша функция удовлетворяет условиям теоремы.

Для заданной функции получаем следующие коэффициенты ряда Фурье:

Комплексная форма ряда Фурье

Для представления ряда в комплексной форме воспользуемся формулами Эйлера:

Введем обозначения:

Тогда ряд можно переписать в виде

Кроме того коэффициенты комплексного ряда Фурье можно получить и непосредственно, вычисляя их по формуле

Запишем в комплексной форме ряд Фурье заданной функции

+

Спектральные характеристики ряда

Выражение в ряде Фурье называется n-й гармоникой. Известно, что

где или

,

Совокупности , называется соответственно амплитудным и фазовым спектром периодической функции.

Графически спектры изображаются в виде отрезков длины , проведенных перпендикулярно оси, на которую наносится значение n=1,2 … или .

Графическое изображение соответствующего спектра называется амплитудной или фазовой диаграммой. На практике чаще всего применяют амплитудный спектр.

3.Пример решения задачи

Задача 2: Рассмотрим конкретный пример задачи для выбранной модели физического процесса.

Продолжим эту функцию на всю числовую ось, получим периодическую функцию f(x) c периодом T=2l=18 (Рис. 1.).

Рис. 1. График периодически продолженной функции

Вычислим коэффициенты Фурье заданной функции.

Запишем частичные суммы ряда:

;

Рис. 2. Графики частичных сумм ряда Фурье

С ростом n графики частичных сумм в точках непрерывности приближаются к графику функции f(x). В точках разрыва значения частичных сумм приближаются к .

Построим амплитудную и фазовую диаграммы.

с учетом четверти.

Таблица

Рис

4.Пример решения задачи в среде Matlab R2009a

Задача 3: В качестве примера рассмотрим полностью интервалы PR и QT.

Рис

Для данной функции построить графики частичных сумм, а так же амплитудную и фазовую диаграммы.

Возьмем конкретные значения параметров для нашей задачи:

Скрипт для построения требуемых графиков и диаграмм.

Скрипт позволяет решать ряд подобных задач путем выбора параметров и координат точек Q, R, S.

%ПОДСЧЕТ ЧАСТИЧНЫХ СУММ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ ЯВНОЙ

%ФУНКЦИИ

%Задача 3

%Спектральный анализ.

global L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase

L=18;

I1=6; I2=10; Q=11; Qy= -2; R=12; Ry=17; S=13; Sy=-4; I3=15; I4=20; I5=26;

P=2; T=3; ExprNum=9;

N=250;

Ns=30;

flag =0;

while flag == 0

k=1;

while (k<15)

k = menu( 'Перемена параметров ', ...

sprintf (' Параметр1 P = %g', P),...

sprintf (' Параметр2 I1 = %g', I1),...

sprintf (' Параметр3 I2 = %g', I2),...

sprintf (' Параметр4 Qx = %g', Q),...

sprintf (' Параметр5 Qy = %g', Qy),...

sprintf (' Параметр6 Rx = %g', R),...

sprintf (' Параметр7 Ry = %g', Ry),...

sprintf (' Параметр8 Sx = %g', S),...

sprintf (' Параметр9 Sy = %g', Sy),...

sprintf (' Параметр10 I3 = %g', I3),...

sprintf (' Параметр11 I4= %g', I4),...

sprintf (' Параметр12 T = %g', T),...

sprintf (' Параметр13 I5 = %g', I5),...

sprintf (' Параметр13 Ns = %g', Ns),...

' Продолжить ');

if k==1,

P = input( [sprintf('Текущее значение P = %g', P) ...

' Новое значение P= ']);

end

if k==2,

I1 = input( [sprintf('Текущее значение I1 = %g', I1) ...

' Новое значение I1= ']);

end

if k==3,

I2 = input( [sprintf('Текущее значение I2 = %g', I2) ...

' Новое значение I2= ']);

end

if k==4,

Q = input( [sprintf('Текущее значение Qx = %g', Q) ...

' Новое значение Qx= ']);

end

if k==5,

Qy = input( [sprintf('Текущее значение Q = %g', Qy) ...

' Новое значение Qy= ']);

end

if k==6,

R = input( [sprintf('Текущее значение Rx = %g', R) ...

' Новое значение Rx= ']);

end

if k==7,

Ry = input( [sprintf('Текущее значение Ry = %g', Ry) ...

' Новое значение Ry= ']);

end

if k==8,

S = input( [sprintf('Текущее значение Sx = %g', S) ...

' Новое значение Sx= ']);

end

if k==9,

Sy = input( [sprintf('Текущее значение Sy = %g', S) ...

' Новое значение Sx= ']);

end

if k==10,

I3 = input( [sprintf('Текущее значение I3 = %g', I3) ...

' Новое значение I3= ']);

end

if k==11,

I4 = input( [sprintf('Текущее значение I4 = %g', I4) ...

' Новое значение I4= ']);

end

if k==12,

T = input( [sprintf('Текущее значение T = %g', T) ...

' Новое значение T= ']);

end

if k==13,

I5 = input( [sprintf('Текущее значение I5 = %g', I5) ...

' Новое значение I5= '])

end

if k==14,

Ns = input( [sprintf('Текущее значение SumN = %g', Ns) ...

' Новое значение SumN= '])

end

end

%Применение параметров

w=Qy/(Q-I2);

v=Qy*I2/(I2-Q);

a=(Ry-Qy)/(R-Q);

b=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);

c=(Sy-Ry)/(S-R);

d=(Ry*S-R*Sy)/(S-R);

q=Sy/(S-I3);

r=I3*Sy/(I3-S);

Ts=2*L/N;

t=0:Ts:2*L;

Dim=length(t);

y=zeros(1,Dim);

u1=floor(I1*N/2/L)+1;

u2=floor((I2-I1)*N/2/L)+1;

u3=floor((Q-I2)*N/2/L)+1;

u4=floor((R-Q)*N/2/L)+1;

u5= floor((S-R)*N/2/L)+1;

u6= floor((I3-S)*N/2/L)+1;

u7= floor((I4-I3)*N/2/L)+1;

u8= floor((I5-I4)*N/2/L)+1;

u9= floor((2*L-I4)*N/2/L)+1;

for i=1:u1

y(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);

end

for i=u1:u2

y(i)=0;

end

for i=(u2+u1):(u3+u2+u1)

y(i)=w*t(i)+v;

end

for i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)

y(i)=a*t(i)+b;

end

for i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)

y(i)=c*t(i)+d;

end

for i=(u5+u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)

y(i)=q*t(i)+r;

end

for i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)

y(i)=0;

end

for i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)

y(i)=T*sin(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));

end

figure

plot(t,y,'LineWidth',2), grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16);

title('График процесса'); xlabel('Время (с)'); ylabel('Y(t)');

pause

%График частичной суммы

global n

n=0;

for j=1:ExprNum

nCase=j;

switch j

case 1

a0=quad(@f, 0, I1);

case 2

a0=a0+quad(@f, I1, I2);

case 3

a0=a0+quad(@f, I2, Q);

case 4

a0=a0+quad(@f, Q, R);

case 5

a0=a0+quad(@f, R, S);

case 6

a0=a0+quad(@f, S, I3);

case 7

a0=a0+quad(@f, I3, I4);

case 8

a0=a0+quad(@f, I4, I5);

case 9

a0=a0+quad(@f, I5, 2*L);

end

end

a0=a0/L;

an=zeros(1,Ns);

bn=zeros(1,Ns);

for i=1:Ns

n=i;

for j=1:ExprNum

nCase=j;

switch j

case 1

an(i)=quad(@f, 0, I1);

bn(i)=quad(@g, 0, I1);

case 2

an(i)=an(i)+quad(@f, I1, I2);

bn(i)=bn(i)+quad(@g, I1, I2);

case 3

an(i)=an(i)+quad(@f, I2, Q);

bn(i)=bn(i)+quad(@g, I2, Q);

case 4

an(i)=an(i)+quad(@f, Q, R);

bn(i)=bn(i)+quad(@g, Q, R);

case 5

an(i)=an(i)+quad(@f, R, S);

bn(i)=bn(i)+quad(@g, R, S);

case 6

an(i)=an(i)+quad(@f, S, I3);

bn(i)=bn(i)+quad(@g, S, I3);

case 7

an(i)=an(i)+quad(@f, I3, I4);

bn(i)=bn(i)+quad(@g, I3, I4);

case 8

an(i)=an(i)+quad(@f, I4, I5);

bn(i)=bn(i)+quad(@g, I4, I5);

case 9

an(i)=an(i)+quad(@f, I5, 2*L);

bn(i)=bn(i)+quad(@g, I5, 2*L);

end

end

an(i)= an(i)/L;

bn(i)= bn(i)/L;

end

x=t;

fn=zeros(1, length(x));

fn=fn+a0/2;

for i=1:Ns

n=i;

fn=fn+an(i)*cos(n*pi*x/L)+bn(i)*sin(n*pi*x/L);

end

figure

plot(t,y,x,fn,'LineWidth',2), grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16);

title('График сигнала и частичной суммы'); xlabel('Время (с)'); ylabel(sprintf('Sn(t)'));

pause

%Построение амплитудной диаграммы

A=zeros(1, Ns);

wn=pi/L;

Gn=wn:wn:wn*Ns;

for i=1:Ns

A(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);

end

figure

stem(Gn,A,'.'), grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16);

title('Амплитудная диаграмма сигнала'); xlabel('n'); ylabel('An');

pause

%Построение фазовой диаграммы сигнала

Fi=zeros(1, Ns);

for i=1:Ns

if (an(i)>0)

Fi(i)=atan(bn(i)/an(i));

end

if ((an(i)<0)&&(bn(i))>0)

Fi(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;

end

if ((an(i)<0)&&(bn(i))<0)

Fi(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));

end

if ((an(i)==0)&&(bn(i))>0)

Fi(i)=pi/2;

end

if ((an(i)==0)&&(bn(i))<0)

Fi(i)=-pi/2;

end

end

figure

stem(Gn,Fi,'.'), grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16);

title('Фазовая диаграмма сигнала'); xlabel('n'); ylabel('Fi');

pause

close Figure 1;

close Figure 2;

close Figure 3;

close Figure 4;

kon=0;

kon=input('Закончить работу-<3>, продолжить - <Enter>');

if kon==3,

flag=3;

end

end

Список литературы

1. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т., М., 1997. 3 т.

2. Воднев, В. Т., Наумович, А. Ф., Наумович, Н. Ф., Основные математические формулы. Минск, 1998

3. Харкевич, А.А, Спектры и анализ. Москва, 1958

4. Лазарев, Ю. Ф., Начала программирования в среде MatLAB. Киев 2003.

5. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу , М., 1988.

Размещено на Allbest.ru