Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

Найдем плотность равномерного распределения f (х), считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (a,b), на котором функция f (х) сохраняет постоянные значения:

По условию, X не принимает значений вне интервала (a,b), поэтому f(x)=O при х < а и х > b.

Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то должно выполняться соотношение

или

Отсюда

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения

График плотности равномерного распределения изображен на рис. 6

Замечание. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1), а через r-- ее возможные значения. Вероятность попадания величины R (в результате испытания) в интервал (с, d),. принадлежащий интервалу (0, 1), равна его длине:

Р (с < R < d)=d -- с.

Действительно, плотность рассматриваемого равномерного распределения

f(r)=1/(1-0)=1.

Следовательно, вероятность попадания случайной величины R в интервал (с, d) (см. гл. XI, § 2)

P(c<R<d)=

Распределение «хи квадрат»

Пусть Xi(i = 1, 2, ..., п) -- нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение--единице. Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону («хи квадрат») с k = п степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например ,то число степеней свободы k=n- 1.

Плотность этого распределения

где -- гамма-функция; в частности,

(n+1)=n!.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром -- числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента

Пусть Z--нормальная случайная величина, причем M(Z) = 0, ?(Z)=1, a V--независимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина

(*)

имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета), с k степенями свободы.

распределение плотность вероятность ляпунов

Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степенями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (§ 16).

Распределение F Фишера -- Снедекора

Если U и V--независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы k1 и k2, то величина

(*)

имеет распределение, которое называют распределением F Фишера--Снедекора со степенями свободы k1 и k2 (иногда его обозначают через V2).

Плотность этого распределения

Где

Мы видим, что распределение F определяется двумя параметрами--числами степеней свободы. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XIX, § 8).

Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х1 которое описывается плотностью

где l -- постоянная положительная величина.

Мы видим, что показательное распределение определяется одним параметром l. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большею числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока Найдем функцию распределения показательного закона

Итак,



Мы определили показательный закон с помощью плотности распределения; ясно, что его можно определить, используя функцию распределения.

Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рис. 12.

Найдем вероятность попадания в интервал (а,b) непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения

Используем формулу

P(a<X<b) = F(b) -- F(a).

Учитывая, что F(а)=,F(b)=,получим

P(a<X<b) = (*)

Значения функции е-x находят по таблице.

Пусть непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание

Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра l..

Найдем дисперсию

D(X)=1/l2.

Найдем среднее квадратическое отклонение

s(X)=1/l.----------

М (Х) =s(X)=1/l

Задачи

№1

Определить необходимый момент сопротивления балки, закрепленной и нагруженной, как показано на рисунке, если q является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием M(q)=220 кг/м и среднем квадратичным отклонением (q)=24 кг/м. Предельное напряжение для балки принять равным []= 2400 кг/м^2, а силу, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной .

Решение

Найдем реакции опор:

М(А)=0; 2Rв=2,5(q); Rв=1,25q

М(В)=0; Ra=0,25q

Построим эпюру моментов

Искомый момент сопротивления W определяется из условия:

P(0<<[])Po, что приводит к соотношению:

;

выразим W:

Ответ:

№2

Размер диаметра втулок, изготовляемых заводом, можно считать случайной величиной, распределенной по нормальному закону, с параметрами a=2,5 см, =0,01 см. Написать выражение для плотности вероятности и функции распределения. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки.

Решение

;

;

По правилу трех имеем:

т.к. в границах , можно практически гарантировать размер диаметра втулки.

Ответ: см, см

№3

Из данных, полученных от руководства цеха машиностроительного завода при его проверке, следует, что брак составляет 5% всей выпускаемой продукции. По данным, полученным из технической документации, установлено, что размер продукции представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 10 мм, и средним квадратичным отклонением, равным 0,2 мм. Величина максимально допустимого отклонения размера детали от номинального, при котором деталь ещё считается годной, составляет 0,3 мм. Оценить с помощью вероятности достоверность информации, полученной от руководства цеха о качестве выпускаемой продукции.

Решение

а=10; ;

информация недостоверная, на самом деле брак составит 13,36% всей продукции.

Ответ: 13,36%

№4

При расследовании причин поломки сверлильного станка установлено, что она могла произойти из-за установки на станок детали, размеры которой выходят за пределы допустимого интервала (15мм; 25мм). Известно, что размер деталей, поступающих на конвейер завода, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 20 мм, и средним квадратичным отклонением, равным 5 мм. Оценить вероятность того, что причиной поломки послужила установка на станок детали нестандартного размера.

Решение

Ответ: 0,3174

№5

Цена деления шкалы амперметра равна 0,1А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

Решение

Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения:

, где -длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, вне этого интервала . У нас длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,1, поэтому:

.

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале(0,02;0,08).

=

Ответ:0,6

№6

Рассматривая прочность качественной стальной проволоки, идущей на изготовление тросов, как нормально распределенную случайную величину X с математическим ожиданием М(X)=300 кг/см^2 и среднеквадратическим отклонением (X) =20 кг/см^2, по стандарту проволока идет на изготовление тросов, если её прочность не менее 270. Найти вероятность того, что проволока пойдет на изготовление троса.

Решение

Ответ:0,9332

№7

Случайная величина X- ошибка измерений прибора Ваттметр распределена по нормальному закону. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти среднее квадратическое отклонение, если ошибка измерения с вероятностью 0,8 не выходит за пределы 2 Вт.

Решение

Ответ:Вт

№8

Поезд состоит из ста вагонов. Масса каждого вагона - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а=65т и среднем кадратичным отклонением =0,9т. Локомотив может вести состав массой не более 6600т, в противном случае необходимо прицепить второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Решение

Математическое ожидание для всего состава а=6500т, а =90т (т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.)

Ответ: 0,867

№ 9

Вес изготавливаемой цехом алюминиевой полой трубки - случайная величина, распределенная по нормальному закону, среднее значение веса а=4,5кг, а среднее квадратичное отклонение =0,05кг. Записать аналитическое выражение плотности распределения веса изготавливаемых трубок. Определить вероятность того, что вес любой детали будет отличаться от его среднего значения не более чем на =0,1.

Решение

;

Ответ: 0,9544

№10

Удельный вес бетона можно рассматривать как нормально распределённую случайную величину X с математическим ожиданием М(X)=2200кг/м^3 и среднеквадратическим отклонением (X)= 200 кг/м^3. Найти вероятность того, что удельный вес бетона не превзойдет 2500 кг/м^3.

Решение

Ответ:0,9332

№11

Испытывают три различных конвейера, которые работают независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы конвейеров распределена по показательному закону. Для первого конвейера ,

для второго конвейера , для третьего . Найти вероятность того, что в интервале времени (0;5) откажет только один конвейер.

Решение

Вероятность безотказной работы вычисляется по формуле:

Вычислим вероятность безотказной работы в интервале времени (0;5) каждого конвейера:

Вычислим вероятность отказа каждого:

Вычислим вероятность того, что в интервале времени (0;5) откажет только один конвейер:

Ответ:0,291

Список литературы

1) Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»

2) Вентцель Е.С. «Теория вероятностей»

3) Колемаев В.А. «Теория вероятностей в примерах и задачах»

4) Агапов Г.И. «Задачник по теории вероятностей»

5) Гмурман В.Е «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике»

Размещено на Allbest.ru