Группы с ограничениями на системы подгрупп

В сумме слева все слагаемые - целые числа, причем a_kF(k) при k = 1, 2,…, m делится на n, а a₀F(0) на n не делится. Это означает, что вся сумма, будучи целым числом, на n не делится, т.е. не является нулем. Следовательно,

Оценим теперь правую часть равенства (13). Ясно, что на отрезке [0; m] и поэтому на этом отрезке

Тогда:

где константы C₀ и C₁ не зависят от n. Известно, что

поэтому, при достаточно больших n, правая часть (13) меньше единицы и равенство (13) невозможно.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа .

Теорема 8 (Линдеман) [3, стр. 58]. Если - алгебраическое число и , то число - трансцендентно.

Теорема Линдемана позволяет строить трансцендентные числа.

Примеры:

Из теоремы Линдемана вытекает, например, что число ln 2 - трансцендентно, ведь 2=e^ln 2, а число 2 - алгебраическое и если б число ln 2 было алгебраическим, то за леммой число 2 было б трансцендентным числом.

Вообще, для любого алгебраического, ln за теоремой Линдемана является трансцендентным. Если же трансцендентное, то ln не обязательно трансцендентное число, например ln e =1

Оказывается, мы еще в средней школе видели массу трансцендентных чисел - ln 2, ln 3, ln () и т.п.

Отметим также, что трансцендентними являються числа вида , , для любого ненулевого алгебраического числа (по теореме Линдемана - Вейерштрасса которая является обобщением теоремы Линдемана). Например, трансцендентными являются числа , , .

Если же трансцендентно, то , , не обязательно трансцендентные числа, например , ,

Доказательство теоремы Линдемана можно провести с помощью тождества Эрмита, аналогично тому, как была доказана трансцендентность , с некоторыми усложнениями в преобразованиях. Именно так ее и доказывал сам Линдеман. А можна эту теорему доказывать иным путем, так как это делал советский математик А.О. Гельфонд, идеи которого привели в середине ХХ века к решению Седьмой проблемы Гильберта.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если , верно ли, что числа вида , где ,  - алгебраические и - иррационально являются трансцендентными числами?» [6, стр. 15]. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Доказательство трансцендентности значений показательной функции, предложенное Гельфондом, основывается на применении интерполяционных методов [7, стр. 16].

Примеры:

1) На основании теоремы Гельфонда можна доказать, например, что число является трансцендентным, поскольку, если б оно было алгебраическим иррациональным, то, поскольку то число 19 за теоремой Гельфонда было б трансцендентным, что неправда.

2) Пусть a и b - иррациональные числа. Может ли число a^b быть рациональным?

Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число  - трансцендентное (поскольку  - алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому  - иррациональное. С другой стороны,

Итак, мы просто предъявили такие числа: , Однако эта задача может быть решена и без каких-либо ссылок на результат Гельфонда. Можна рассуждать следующим образом: рассмотрим число . Если это число рациональное, то задача решена, такие a и b найдены. Если же оно иррациональное, то возьмем , , и .

Итак, мы предъявили две пары чисел a и b, таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.

Заключение

Алгебраические и трансцендентные числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделах математики и не только математики, а всюду, где применяются числа вообще. Они позволяют применить исследования алгебры для практических приложений. Изучение алгебраических и трансцендентных чисел имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы.

Изучение свойств алгебраических чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел.

Теория трансцендентных чисел сформировалась как теории, имеющая свои специфические методы и достаточное количество уже решенных проблем, только в XX веке. Отдельные постановки проблем этой теории существовали давно, и первая из них, насколько нам известно, принадлежит Л. Эйлеру. Проблема приближения алгебраических чисел рациональными дробями или, более общо, алгебраическими же числами также может быть отнесена к теории трансцендентных чисел, несмотря на то, что изучение приближения алгебраических чисел рациональными дробями стимулировалось проблемами теории диофантовых уравнений.

Эта курсовая работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических и трансцендентных чисел при подготовке учителей средней школы.

В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Приведенные примеры алгебраических чисел и действий над ними, даны с пояснениями и, в некоторых случаях, с доказательствами.

Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел. Помимо введения, дающего общий очерк развития теории чисел, второй параграф посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел. Третий параграф полностью посвящен трансцендентным числам, мощность множества которых - континуум. Так же на протяжении всей работы можно наблюдать исторические комментарии.

В данной работе проводится анализ развития теории чисел от глубокой древности до наших дней и она дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса.

Список использованной литературы

1. А.А. Бухштаб. «Теория чисел». Из-во «Просвещение», М. 1966.

2. А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский. «Введение в теорию чисел», М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984, 152 с.

3. А.О. Гельфонд. «Трансцендентные и алгебраические числа». М.: Книга по требованию, 2013. - 222 с.

4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. - М.: Высш. школа, 1979. - 559 с

5. Д.Я. Стройк. «Краткий очерк истории математики». М., Наука, 1990.

6. Н.И. Фельдман. «Седьмая проблема Гильберта». Изд-во МГУ, 1982.

7. А.Б. Шидловский. «Трансцендентные числа». М., Наука, 1987.

8. Number Theory, Encyclopжdia Britannica. http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422325/number-theory/233902/Number-theory-in-the-18th-century

Размещено на Allbest.ru