Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп

Характеристика и определение общих свойств слабо нормальных подгрупп и их конечных групп. Доказательство новых критериев принадлежности группы насыщенной формации. Критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 02.03.2010
Размер файла 176,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра ТВ и матстатистики

Курсовая работа

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

Исполнитель:

Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.

Гомель 2007

Содержание

  • ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
  • ВВЕДЕНИЕ
  • 1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
  • 2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
  • ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  • ЛИТЕРАТУРА
  • Перечень условных обозначений
  • В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
  • Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
  • и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
  • - пустое множество;
  • - множество всех для которых выполняется условие ;
  • - множество всех натуральных чисел;
  • - множество всех простых чисел;
  • - некоторое множество простых чисел, т.е. ;
  • - дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
  • примарное число - любое число вида ;
  • Пусть - группа. Тогда:
  • - порядок группы ;
  • - порядок элемента группы ;
  • - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
  • - множество всех простых делителей порядка группы ;
  • - множество всех различных простых делителей натурального числа ;
  • -группа - группа , для которой ;
  • -группа - группа , для которой ;
  • - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
  • - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
  • - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
  • - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
  • - -ый коммутант группы ;
  • - наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
  • - -холловская подгруппа группы ;
  • - силовская -подгруппа группы ;
  • - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
  • - группа всех автоморфизмов группы ;
  • - является подгруппой группы ;
  • - является собственной подгруппой группы ;
  • - является максимальной подгруппой группы ;
  • нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
  • - является нормальной подгруппой группы ;
  • - подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
  • - индекс подгруппы в группе ;
  • ;
  • - централизатор подгруппы в группе ;
  • - нормализатор подгруппы в группе ;
  • - центр группы ;
  • - циклическая группа порядка ;
  • - ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
  • Если и - подгруппы группы , то:
  • - прямое произведение подгрупп и ;
  • - полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
  • - и изоморфны.
  • Группа называется:
  • примарной, если ;
  • бипримарной, если .
  • Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
  • - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
  • , где .
  • Группу называют:
  • -замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
  • -нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
  • -разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
  • -сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
  • нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
  • метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
  • разрешимой, если существует номер такой, что ;
  • сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
  • Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
  • Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
  • Минимальная нормальная подгруппа группы - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
  • Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
  • - цоколь группы .
  • Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
  • - класс всех групп;
  • - класс всех абелевых групп;
  • - класс всех нильпотентных групп;
  • - класс всех разрешимых групп;
  • - класс всех -групп;
  • - класс всех сверхразрешимых групп;
  • Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
  • Пусть - некоторый класс групп и - группа, тогда:
  • - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если - формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
  • Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
  • Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
  • Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т.е. .
  • Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .
  • Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
  • Пусть - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .
  • Пусть - группа и - различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что - силовская -подгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех .

Введение

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. для всех подгрупп из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .

Понятно, что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:

Таким образом, условие является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.

В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.

Определение. Подгруппа группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что и , - квазинормальные в подгруппы.

Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной.

Пример. Пусть

,

где . И пусть , . Тогда и . Пусть - группа простого порядка 3 и , где - база регулярного сплетения . Поскольку , и - модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

Определение. Подгруппа группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы , что и .

Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.

Пусть - группа и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда - слабо нормальная подгруппа в группе .

(2) Если - слабо нормальная в подгруппа, то - слабо нормальная в подгруппа.

(3) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , - слабо нормальная подгруппа в группе .

Доказательство. (1) Пусть - слабо нормальная в подгруппа и - такая квазинормальная в подгруппа, что

Тогда , - квазинормальная в подгруппа и . Значит, - слабо нормальная в подгруппа.

Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы мы имеем и

Ясно, что

Поскольку

то

и - квазинормальные в подгруппы. Следовательно, - слабо нормальная в подгруппа.

Утверждение (2) очевидно.

(3) Пусть - слабо нормальная подгруппа в группе и - квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и

Значит, слабо нормальна в и ввиду (1), - слабо нормальная в подгруппа.

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.

Группа разрешима тогда и только тогда, когда , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) - разрешима;

(2) , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо квазинормальны в ;

(3) , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Группа метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Доказательство. Допустим, что , где - -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Покажем, что группа метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1) не является нильпотентной группой.

Предположим, что нильпотентна. Так как ввиду леммы (3), субнормальна, то содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме (2). Тогда

нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (1).

(2) .

Допустим, что . Тогда ввиду леммы , нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).

(3) Если - абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то метанильпотентна.

Пусть - -группа и - силовская -подгруппа в . Тогда и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Поскольку по лемме , -квазинормальна в ,

то условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы , метанильпотентна.

(4) Условия теоремы справедливы для (это проямо следует из леммы ).

(5) разрешима.

Если , то метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы из мы имеем . Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5).

(6) В группе имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. ), то - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .

(7) Если -группа, то каждая силовская -подгруппа из , где , имеет квазинормальное дополнение в .

Пусть - силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), . По условию, слабо нормальна в и поэтому имеет квазинормальную подгруппу , такую что и

Заключительное противоречие.

Пусть - силовская -подгруппа в и . Тогда

По условию имеет квазинормальную подгруппу , такую что и

Тогда

и поэтому - дополнение для в , которое является квазинормальной в подгруппой. Если - -подгруппа из , где , то ввиду (7), имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы ). Тогда по лемме , нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .

Обратно, предположим, что метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда имеет силовскую подгруппу , которая не является слабо нормальной в . Пусть - произвольная минимальная нормальная подгруппа в и - подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что . Тогда слабо нормальна в и поэтому по лемме (1), слабо нормальна в , противоречие. Значит, и поэтому

Так как по условию метанильпотентна и - силовская подгруппа в , то имеет нормальное дополнение в . Но поскольку и - -группы, то - нормальное дополнение для в . Следовательно, слабо нормальна в . Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) - метанильпотентна;

(2) , где подгруппа субнормальна в , - абелева холлова подгруппа в и каждая силовская подгруппа из слабо квазинормальна в ;

(3) , где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть , где подгруппа -квазинормальна в , нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из слабо нормальна в . Тогда сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , сверхразрешима.

Пусть , где . Тогда

где нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу из , или циклична, или . Тогда сверхразрешима.

Если , то

нильпотентна. Пусть теперь . Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

где -квазинормальна в и нильпотентна. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем

где

Тогда

Так как - максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то

что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно, - максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,

слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) и сверхразрешима.

По выбору группы , и поэтому сверхразрешима согласно (1).

(4) - разрешимая группа.

По условию -квазинормальна в и поэтому по лемме (3), содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как группа нильпотентна, то разрешима.

(5) Если - простое число и , то .

Пусть . Тогда ввиду (2), сверхразрешима. Если - множество всех простых делителей порядка группы , то по лемме (1), , где - нормальная -подгруппа группы и поэтому

сверхразрешима. Но тогда

сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (5).

(6) .

Допустим, что . Тогда по лемме , нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы (3) субнормальна в , то субнормальна в . Тогда , согласно лемме (1). Но тогда ввиду (2), сверхразершима и поэтому , по выбору группы . Так как и

нильпотентно, то - силовская -подгруппа из . Пусть - холлова -подгруппа из и . По лемме , нормальна в и поэтому . Допустим, что для некоторого простого делителя порядка , отличного от , мы имеем . Тогда нормальна в и поэтому - нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда , что противоречит (5). Следовательно, и поэтому . Согласно теореме , сверхразрешима и поэтому - абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы . Но тогда - абелева группа экспоненты, делящей и поэтому сверхразрешима, согласно леммы . Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6).

Заключительное противоречие.

Пусть - минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . В силу (2), сверхразрешима и поэтому - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что и . Значит, по лемме для некоторой максимальной подгруппы из мы имеем . Ясно, что и поэтому по условию имеет дополнение в , которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда

и поэтому . Но тогда

и поэтому, ввиду минимальности , . Ввиду (5), имеет холлову -подгруппу. Так как в силу леммы (3), субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы содержится в . Следовательно, - -группа. Отсюда следует, что

сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Группа дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в .

Доказательство. Пусть , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в . Покажем, что группа дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , дисперсивна по Оре.

Пусть , где . Тогда

где дисперсивна по Оре и квазинормальна в . Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого простого числа . Допустим, что либо содержит силовскую -подгруппу из , либо циклична, либо . Тогда дисперсивна по Оре.

Если , то

дисперсивна по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

где квазинормальна в и дисперсивна по Оре. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем

где

Тогда

Так как - максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то , что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно, - максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,

слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) Если - простое число и , то .

Пусть

Тогда ввиду (2), дисперсивна по Оре. С другой стороны, если - множество всех простых делителей , то ввиду леммы (3) и леммы , , где - нормальная -подгруппа в и поэтому

дисперсивна по Оре. Но тогда

дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).

(4) разрешима.

По условию квазинормальна в и поэтому ввиду леммы (3) и леммы , содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как

дисперсивна по Оре, то разрешима.

(5) .

Предположим, что . Тогда согласно лемме , нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа группы . Поскольку субнормальна в , то субнормальна в . Значит, по лемме , . Но ввиду (2), дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы , . Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Если , то - силовская -подгруппа группы и поэтому дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно, . Но тогда -группа. Пусть - силовская -подгруппа в . Тогда - силовская -подгруппа в . Поскольку - подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то . Так как дисперсивна по Оре, то и поэтому . Следовательно, группа дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).

Заключительное противоречие.

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Рассуждая как выше видим, что . Но тогда -группа. Значит, и поэтому дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Заключение

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны в группе . Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности.

Основные результаты данной работы:

- доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;

- найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;

- получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;

- найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.

Литература

1.Боровиков, М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.

2.Боровиков, М.Т. О -разрешимости конечной группы / М.Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.

3.Го Веньбинь. -накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.

4.Пальчик, Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э.М. Пальчик // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.

5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.

6.Пальчик, Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик, Н.П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57.

7.Подгорная, В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25.

8.Подгорная, В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - 1999. - № 4(14). - С. 80-82.

9.Поляков, Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1966. - С.75-88.

10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. - 1998. - С. 177-182.


Подобные документы

  • Исследование существования примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах. Конечные бипримарные группы, разрешимые группы порядка. Порядки силовских подгрупп общей линейной группы. Доказательство лемм и теорем с использованием бинома Ньютона.

    курсовая работа [527,0 K], добавлен 26.09.2009

  • Характеристика и изучение замкнутости класса всех конечных сверхразрешимых групп относительно подгрупп, фактор-групп и прямых произведений. Исследование свойств подгрупп конечной сверхразрешимой группы. Обзор свойств сверхразхрешимых групп в виде лемм.

    курсовая работа [260,7 K], добавлен 06.06.2012

  • Понятие и виды бинарной алгебраической операции. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп. Характеристика и методика решения конечных групп с заданными -перестановочными подгруппами. Доказательство p-разрешимости конечных групп.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.09.2009

  • Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп как направлениt в теории конечных групп. Обзор конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп в случаях, когда F - произвольная S-замкнутая формация p-нильпотентных групп.

    курсовая работа [163,6 K], добавлен 07.03.2010

  • Цепь как совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Описание и применение теоремы Гольфанда. F-абнормальная максимальная подгруппа из G либо p-нильпотентна как бипримарная группа Миллера-Морено. Понятие группы Фробениуса с циклической подгруппой.

    курсовая работа [270,6 K], добавлен 07.03.2010

  • Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для F-субнормальных подгрупп. Общие свойства, использующиеся для изучения строения конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп. Особенности развития теории формаций.

    курсовая работа [155,1 K], добавлен 02.03.2010

  • Изучение свойств критических групп и субнормальных подгрупп. Нахождение серии наследственных насыщенных формаций Шеметкова (минимальная не F-группа тут группа Шмидта, либо простого порядка) и Фиттинга (замкнутые относительно произведения F-подгрупп).

    дипломная работа [272,8 K], добавлен 14.02.2010

  • Понятие f-субнормальных подгрупп, их основополагающие характеристики. Построение теории f-субнормальных подгрупп и теории субнормальных подгрупп Виландта. Локальные наследственные формации, обладающие решеточным свойством для f-субнормальных подгрупп.

    курсовая работа [464,9 K], добавлен 22.09.2009

  • Характеристика и основополагающие свойства силовых подгрупп конечных групп, определение и доказательство соответствующих лемм. Понятие и свойства супердобавлений. Строение группы с максимальной и силовской подгруппой, обладающей супердобавлением.

    курсовая работа [489,5 K], добавлен 05.01.2010

  • Доказательство теорем Силова о конечных группах, которые представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Нахождение силовских р-подгрупп.

    курсовая работа [161,3 K], добавлен 31.03.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.