Цилиндрические функции

т. е. функции, получаемые сложением или интегрированием по коэффициенту n (или другим вспомогательным переменным, лишь бы не r и z), будут гармоническими функциями. В частности составим, например, функцию , подобную правой части равенства (6):

Функция F (r, z) получилось из функции интегрированием по n и t (а не по r и z), и поэтому удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. может представлять установившееся распределение температуры внутри тела. При , т. е. на поверхности цилиндра, (находим под интегралом сокращаются Бесселевы функции)

Согласно (6) правая часть равна . Поэтому . Таким образом такая функция, которая удовлетворяет уравнению Лапласа, а на поверхности цилиндра равна т. е. равна заданной температуре. Можно доказать, что из всех функций, конечных при , только одна будет гармонической, а на поверхности равна заданной функции. Поэтому как раз и будет равна u, т.e. искомой температуре внутри цилиндра.

Следовательно, получаем:

Лаплас доказал, что

Поэтому окончательно находим:

Эта формула дает возможность вычислить температуру в любой точке внутри цилиндра. Вычисление интеграла не представляет затруднений. В самом деле, в виду того, что возрастающая функция, имеем неравенство: Далее находим:

Остающуюся величину, т. е. нетрудно вычислить, например, с помощью формулы Симпсона. Значения функции , нужные при этом берутся из таблицы.

2.6 Обобщение прежнего примера

Только что рассмотренный пример есть частный случай задачи, известной в теории гармонических функций под именем задачи Дирихле. Она состоит в отыскании гармонической функции, принимающей на данной поверхности заданные значения. Если поверхность замкнутая, то задача Дирихле определенная. В данном случае поверхность была бесконечный незамкнутый цилиндр. Здесь задача имеет бесчисленное множество решений. Если однако искать только такие функции, которые остаются конечными при беспредельном возрастании |z|, то задача имеет только одно решение. Это доказано автором данной книги.

Рассмотрим более общий случай задачи Дирихле для цилиндра. Предположим, что на поверхности цилиндра, т. е. при r=, значения гармонической функции u определяются равенством: . Требуется найти значения функции u внутри цилиндра. Замечаем, что при определенном выборе переменного z величина становится функцией одного только и притом периодической в силу однозначности и на поверхности цилиндра. Поэтому на основании теории рядов Фурье функцию можно разложить в ряд Фурье при весьма общих предположениях относительно . Поэтому должно быть:

Коэффициенты и будут при этом некоторыми функциями от z, которые мы обозначим через и . Согласно теории рядов Фурье эти коэффициенты могут быть определены по формулам:

В формуле (1) коэффициенты и можно выразить с помощью интеграла Фурье. Тогда она примет такой вид:

Представленная таким образом функция есть предел суммы слагаемых вида или . умноженных на множители, постоянные относительно . На основании данных § 3 мы знаем, что функции будут гармоническими.

Поэтому, если снабдить подинтегральные функции в равенстве (3) множителем , то подинтегральные функции, а следовательно и вся правая часть будет гармонической функцией. Однако при полученная функция может не быть равной , так как множитель не равен единице.

Чтобы получить гармоническую функцию и притом обращающуюся в , нужно взять множителем не , а величину , которая отличается от лишь постоянным множителем относительно r, а при обращается в единицу.

Таким образом окончательный ответ оказывается таким:

Если требуется решить задачу Дирихле для пространства, расположенного снаружи от цилиндра, то функция будет неприменима, так как при и дробь . В этом случае множитель , стоящий под интегралом формулы (4) должен быть заменен множителем По свойствам функции этот множитель стремится к нулю при .

Полученный ответ на первый взгляд может показаться чрезмерно сложным. Однако и сама задача Дирихле достаточно сложна. Например, если дело идет о тепловом равновесии, то температура внутри цилиндра должна зависеть от температуры всех точек поверхности. Последняя может меняться вдоль по поверхности весьма прихотливым образом. Формула должна учесть взаимодействие всех этих, быть может, очень сложных влияний, и нет основания думать, что существует возможность охватить всю сложность действительности простым образом.

Следующий пример имеет целью показать, что формула (4) и аналогичная ей при всей своей внешней сложности достаточно проста, чтобы допустить фактическое вычисление интересующей нас величины.

2.7 Задача из электростатики

Предположим, что цилиндр радиуса равный единице соединен с землей и потенциал его таким образом нуль. На поверхности цилиндра выделен с помощью изоляции участок, ограниченный с боков двумя образующими, а сверху и снизу двумя полукругами (рис. 4). Выделенный участок поверхности цилиндра ABDCEF имеет потенциал единица. При этом, положим, дано Ag = gF =1. Требуется найти потенциал в любой точке снаружи от цилиндра. В данном случае поступаем, следуя пути, указанному в предыдущем параграфе.

Функция определяется теперь условиями:

1) =0 при |z|

2) при величина =1, если и равна нулю, если лежит в одном из интервалов Разлагаем в ряд Фурье. При находим:

При этом функция четная относительно и коэффициенты и определяются формулами:

Очевидно При (z) имеем: , следовательно .

Таким образом находим:

Здесь при (z) и в противном случае. Величину можно представить интегралом Фурье. Согласно (4) § 5 находим:

Равенство (3) после замены интегралом (4) получает вид:

Если помножить подинтегральную функцию на дробь то полученная функция будет рядом интегралов от функции следовательно по § 3 будет гармонической. С другой стороны, ясно, что при r=1 дробь обращается в единицу, а полученная функция обращается в заданную . Таким образом потенциал и будет вне цилиндра выражаться формулой:

Так, в точке Н, в которой , получим:

Если решать вопрос о распределении потенциала внутри цилиндра, то функции K должны быть заменены функциями I. Потенциал u будет выражаться равенством:

Интегралы в формулах (6), (7), (8) могут быть легко вычислены приближенно в виду быстрого уменьшения подинтегральной функции. Благодаря этому интеграл до бесконечности может быть заменен интегралом до конечного и не очень большого предела, а последний может быть вычислен, например, по формуле Симпсона. При этом оказывается, что величины этих интегралов с возрастанием 2k+1 быстро уменьшаются. Поэтому достаточно взять немного членов бесконечного ряда, чтобы получить значительную точность. Сказанное будет особо справедливо при больших r в формулах (6) и (7). В формуле (8) при r близких к нулю сходимость будет однако медленная. Определение u при r=0 непосредственно по формуле (8) невозможно и требует довольно сложных дополнительных исследований.

2.8 Разложение по Бесселевым функциям

В виде примера еще одного способа применения Бесселевых функций рассмотрим задачу об установившемся распределении тепла в бесконечном цилиндре круглого сечения, опирающемся основанием на плоскость XOY. При этом ось симметрии цилиндра примем за ось OZ (рис. 5). Для простоты решения ограничимся простейшим случаем, а именно будем считать, что на боковой поверхности поддерживается температура, равная нулю, а на основании цилиндра температура и зависит только от расстояния r до оси цилиндра u=f(r). Радиус цилиндра примем за единицу. Согласно § 3 дело сводится к нахождению того интеграла уравнения Лапласа, который удовлетворяет данным условиям на поверхности.

По прежнему в основу решения кладется метод частных решений. На основании изложенного в том же параграфе, одно из решений уравнения Лапласа имеет вид: K,,Z, где К, Ф, Z функции от r, и z соответственно, удовлетворяющие условиям:

В данном случае в силу симметрии задания, температура u не должна зависеть от , поэтому b = 0. Поэтому условия (1) перепишутся так:

На этот раз положим . В таком случае частные решения для Z могут быть , . Из них берем второе, так как первое обращается в бесконечность при . Частные решения уравнения:

будут такие: . Из них второе при r = 0 обращается в бесконечность, поэтому берем только первое решение. После этого находим частное решение для u, а именно: . Подберем так, чтобы на поверхности цилиндра, т. е. при r = 1, обращалось в нуль. Для этого достаточно взять равным одному из корней функции . Таких значений бесчисленное множество. Помножая величины на произвольные постоянные … и складывая, находим такую величину для u:

При этом постоянные, значения которых определим впоследствии, a , . . . положительные корни функции . Чтобы определить коэффициенты a, положим в (4) z=0. В силу условия при z = 0 имеем u =f(r). Поэтому равенство (4) обращается в такое:

Дальше полезно воспользоваться свойствами ортогональности Бесселевых функций (см. гл. I, § 6):

Помножая равенство (5) на и интегрируя в пределах от 0 до 1, находим:

Вследствие формулы (6) все интегралы в правой части равенства (7) обращаются в нуль за исключением одного при n = m.

Поэтому оказывается:

Определив отсюда и подставив результат в (5) находим:

Это равенство дает разложение функции f(r), в ряд, расположенный по Бесселевым функциям. Это разложение по своему выводу и по своей общности напоминает разложение функций в ряд Фурье и поэтому часто называется разложением Фурье-- Бесселя.

Приведенное рассуждение не вполне полно, но более подробное исследование показывает верность равенства (9) в весьма широком классе случаев.

Подставляя величины коэффициентов в равенстве (4), получим ответ на задачу.

2.9 Дифференциальное уравнение второго порядка

Пример:

Решить дифференциальное уравнение:

Решение:

В данном уравнении сделаем замену

где

Следовательно,

Подставим найденные производные в исходное уравнение, получим:

Умножим на :

Пусть

,

тогда получим:

Разделим на :

Исходя из общего вида уравнения Бесселя (1) следует, что .

Общее выражение цилиндрической функции для на основании формулы (1.14) представляет линейную комбинацию построенных решений:

где и - произвольные постоянные.

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид:

.

Заключение

В данной работе были изучены цилиндрические функции (уравнение Бесселя и его интегралы), некоторые применения вышеуказанных функций и решено дифференциальное уравнение с использованием функций Бесселя.

Были получены следующие результаты:

1) Рассмотрены и изучены дифференциальное уравнение Бесселя с дробным индексом, дифференциальное уравнение Бесселя с целым индексом, бесселевы функции третьего рода, бесселевы функции мнимого аргумента, рекуррентные формулы для Бесселевых функций, бесселевы функции, индекс которых равен целому числу с половиной, о корнях Бесселевых функций, интеграл Бесселя, интеграл Пуассона, применение теоремы Коши к интегралу Пуассона, асимптотическое представление при больших значениях аргумента, асимптотические формулы Бесселевых функций.

2) Рассмотрены некоторые применения функций Бесселя: бесселевы функции в астрономии, приложение к теории продольного изгиба, приложение к теории гармонических функций, пример задачи на тепловое равновесие, тепловое равновесие бесконечного цилиндра, разобрана задача из электростатики, разложение по Бесселевым функциям.

3) Решено дифференциальное уравнение второго порядка с использованием функции Бесселя.

Список использованной литературы

1. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения (2-е изд.). - М.-Л.: ГИФМЛ, 1963г. - 359с.

2. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1966г. - 296с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1982 г. - 305с.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971г. - 344с.

5. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. - М.: 1953. - 372 с.

6. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. - М.: Наука, 1971г. - 287с.

7. Кузнецов Д.С. Специальные функции. - М.: Высшая школа, 1962г. - 249с.

8. Кузьмин Р.О. Бесселевы функции. - Л.-М.: ГТТИ, 1933г. - 152с.

9. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. - М.: ИЛ, 1960г. - 897с.

10. Очан Ю.С. Методы математической физики. - М.: Высшая школа, 1965г. - 254с.

11. Сабитов К.В. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. - М.: Высшая школа, 2005г. - 671с.

12. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977г. - 368с.

Размещено на Allbest.ru