Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Размещено на http://www.allbest.ru/

методы решения нелинейных дифференциальных уравнений

РЕФЕРАТ

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР, РЯД ТЕЙЛОРА, ИНДУЦИРОВАННАЯ АЛГЕБРА.

ряд тейлора алгебра уравнение гармоническое

Объектом исследования является метод решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Цель работы - сравнить решения уравнения для гармонического осциллятора, полученные с помощью ряда Тейлора по начальным условиям и с помощью метода индуцированной алгебры для того чтобы проверить работоспособность метода.

Для реализации данной задачи было проделано следующее:

1. Построен ряд Тейлора по заданным начальным условиям.

2. Нашли индуцированные матрицы.

3. Построили алгебру.

4. Получили ряд методом индуцированной алгебры с теми же начальными условиями.

5. Провели сравнение полученных решений для первых членов ряда.

Результаты работы могут применяться при изучении физических процессов.

СОДЕРЖАНИЕ

Реферат

Введение

1. Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи разложения в ряд Тейлора

2. Метод индуцированной алгебры

2.1 Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи метода индуцированной алгебры

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Обычно физику делят на несколько разделов: механику, электричество и т. п., и мы «проходим» эти разделы один за другим. Но, то и дело происходят странные вещи: переходя к новым разделам физики и даже к другим наукам, мы сталкиваемся с уравнениями, почти не отличающимися от уже изученных нами ранее. Таким образом, многие явления имеют аналогию в совсем других областях физики. Простейший пример: распространение звуковых волн во многом похоже на распространение световых волн. Если мы достаточно подробно изучим акустику, то обнаружим потом, что «прошли» довольно большую часть оптики. Таким образом, изучение явлений в одной области физики может оказаться полезным при изучении других ее разделов. Хорошо с самого начала предвидеть такое возможное расширение, иначе могут возникнуть недоумения, почему мы тратим столько времени и сил на изучение небольшой задачи механики. Гармонический осциллятор, на примере которого мы проводим сравнение двух методов, будет встречаться нам почти всюду. Это уравнение непрестанно встречается в физике и в других науках и фактически описывает столь многие явления, что, право же, стоит того, чтобы изучить его лучше. Такое уравнение описывает колебания грузика на пружинке, колебания заряда, текущего по электрической цепи, колебания камертона, порождающие звуковые волны, колебания электронов в атоме, порождающие световые волны. Добавим сюда уравнения, описывающие действия датчиков-регуляторов, например поддерживающих заданную температуру термостата, сложные взаимодействия в химических реакциях и (уже совсем неожиданно) уравнения, относящиеся к росту колонии бактерий, которых одновременно и кормят и травят ядом, или к размножению лис, питающихся кроликами, которые в свою очередь едят траву. Осцилляторы рассматриваются и в экономике, в анализе финансовых рынков: кривая темпа, которая колеблется вокруг нулевой линии - технический индикатор, показывающий состояние перекупленности или перепроданности рынка. Мы привели очень неполный список явлений, которые описываются почти теми же уравнениями, что и гармонический осциллятор. Эти уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Известны надёжные общеупотребляемые методы решения задачи о свободных колебаниях гармонического осциллятора. Классическими являются решения при помощи разложения в ряд Тейлора [1], а также метод характеристического уравнения. Но, как известно математические методы имеют ряд ограничений, которые вытекают, как правило, из физики. Совершенствование методики приборов исследования привело к тому, что многие процессы стали рассматриваться как нелинейные. Возникла необходимость в универсальных методах для решения дифференциальных уравнений имеющих как линейный, так и нелинейный характер превращающихся друг в друга. В работе [2] предложена схема решения, базирующаяся на индуцированной алгебре, получающейся при записи дифференциальных уравнений в виде системы уравнений с квадратичной правой частью.

Данная методика достаточна, важна, так как многие физические процессы по существу полиноминальны. Было бы естественным совершенствовать методы их расчета. По сравнению с другими способами, этот отличается простотой и удобством записи полученного результата. В сущности, здесь используется только сложение и умножение.

1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ПРИ ПОМОЩИ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА

Движение материальной точки подчиняется уравнению (1.1):

(1.1)

Задаются так же начальные условия. Например:

(1.2)

Для произвольной монотонной функции ряд Тейлора [1] имеет вид:

(1.3)

Используя начальные условия и формулу (1.3) запишем ряд Тейлора.

используя эти данные, найдём вторую производную:

(1.4)

Далее чтобы получить третью производную, дифференцируем уравнение (1.1):

Отсюда следует, что и если t=0, то

(1.5)

Далее находим четвёртую, пятую и последующие производные:

если t=0, то

(1.6)

(1.7)

Получилась закономерность, что нечётная производная для значений равна 0.

Далее для того чтобы пронаблюдать закономерность для чётных производных мы найдём ещё шестую производную:

 (1.8)

Таким образом, можем записать найденные слагаемые в виде ряда:

-это и есть решение для рассмотренных начальных условий.

(1.9)

Таким рядом представляют функцию с амплитудой .

2.МЕТОД ИНДУЦИРОВАННОЙ АЛГЕБРЫ

Сущность метода заключается в том, что дифференциальное уравнение представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Правая часть уравнений составляющих систему преобразуются в квадратичные формы.

В статье [2] Ньюком показывает, как полиноминальные системы сводятся к системам с квадратичной правой частью.

Пусть -n -мерный вектор-столбец, элементами которого являются действительные функции времени t. Будем интерпретировать вектор x как вектор состояния некоторой физической системы. Зададим n действительных симметричных матриц размерностью , и определим систему квадратичных дифференциальных уравнений , в виде

(2.1)

где точка означает производную по времени, а ~- операцию транспонирования. Перепишем эту систему в координатной форме:

(2.2)

Верхний индекс у компонент вектора в (2.2), не является показателем степени, а номером компоненты.

В своей работе автор называет алгеброй, некоторый алгоритм, следуя которому любые два вектора можно перемножить, и получить вектор того же пространства. Предполагается, что вектор можно разложить по базису этого пространства и алгебра полностью определяется заданием таблицы умножения базисных векторов. Таким образом, любой вектор можно представить в виде

, (2.3)

где - действительные функции времени, а - векторы базиса.

Следуя Маркусу [3], автор определяет таблицу умножения базисных векторов:

(2.4)

и тем самым определяет алгебру индуцированную системой дифференциальных уравнений. Таблицу умножения (2.4), можно записать в компактном матричном виде

(2.5)

Далее Ньюком использует разложение (2.3) и переписывает систему (2.1) в виде:

(2.6)

Для решения системы (2.6) необходимо использовать начальное условие , которое в индуцированной алгебре записывается в виде:

. (2.7)

Предполагая, что решение можем представить в виде степенного ряда, запишем его

(2.8)

здесь - вектор, векторные коэффициенты каждого слагаемого из (2.8)

, (2.9)

(2.10)

Для получения решения уравнения необходимо приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в рядах (2.9) и (2.10). Поскольку j+k=i-1, в результате имеем:

(2.11)

Коэффициент определяется из начального условия

(2.12)

Используя (2.11) и коммутативность алгебры для упрощения, найдём соотношение между коэффициентами ряда (2.8):

, (2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16) (2.17)

2.1 Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи метода индуцированной алгебры

Дано уравнение (1.1) с теми же начальными условиями:

Представим его в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, согласно [1].

Введём обозначение , (2.1.1)

тогда вторая производная запишется . (2.1.2)

Выражение (1.1) запишется как

(2.1.3)

Согласно схеме, приведённой Ньюкомом, правые части системы должны быть представлены в виде квадратичной формы. Для этого введём переменную , такую, что . Тогда система (2.1.3), запишется в виде:

(2.1.4)

Для приведения к стандартному виду, введём трёхмерный вектор состояний , такой, что система (2.1.4) запишется в виде:

(2.1.5)

Выражение (2.1.5) запишем как произведение матрицы ) на вектор столбец:

(2.1.6)

Изменение во времени каждой компоненты вектора определяется соответствующей квадратичной формой, имеющей только ей присущую матрицу - компоненту некоторого оператора , генерирующего систему (2.1.5). С помощью этого оператора записывают уравнения и строят алгебру перемножения базисных векторов. Запишем (2.1.6) в виде.

,где (2.1.7)

Выпишем матрицы - компоненты оператора :

; (2.1.8)

Таким же образом выпишем матрицу (:

; (2.1.9)

; (2.1.10)

Из формулы (2.11) следует, что нам необходимо знать ответ на вопрос: чему равно произведение любой пары базисных векторов?

Символическая запись алгоритма для вычисления их оформили в виде таблицы перемножения базисных векторов , которая имеет вид:

; (2.1.11)

Так как =0, таблицу можно записать в следующем развёрнутом виде:

(2.1.12)

В результате получили таблицу перемножения базисных векторов (i=1,2,3) и тем самым оформили алгебру индуцированную системой (2.1.5). Чтобы подчеркнуть, что имеем дело именно с таблицей запишем результат в виде:

0	0
0	0
		0

(2.1.13)

В таблице (2.1.13) индексы пробегают значения 1,2,3. Здесь пары индексов задают положения в таблице результат перемножения соответствующих пар базисных векторов. Например:

и так далее

Решение системы (2.1.5) представим в виде суммы векторного ряда:

(2.1.14)

Нулевой член этого ряда выразим через начальное условие:

=,=0, согласно (1.2) ,=1 следует из (2.1.4).

Поэтому

(2.1.15)

Будем использовать не рекуррентное соотношение (2.11) для векторных коэффициентов ряда, а формулы (2.13)-(2.17).

Вычисляем

(2.1.16)

так как, а это видно из таблицы (2.1.13)

Вычисляем

(2.1.17)

Из (3.1.13)

Вычисляем

(2.1.18)

И так далее вычисляем и

(2.1.19)

(2.1.20)

Из(2.1.13)

Запишем несколько первых слагаемых векторного решения:

(2.1.21)

В выражении (2.1.21) произведём перегруппировку коэффициентов стоящих перед соответствующими базисными векторами.

Закону движения гармонического осциллятора соответствует часть суммы стоящая перед вектором .

(2.1.22)

Но т.к. (из начального условия), то

(2.1.23)

Выражение (2.1.23) совпадает для двух первых слагаемых с (1.9).

Таким образом, решения, полученные двумя разными методами в приделах ограниченных исследованными членами рядов, совпадают. Мы делаем из этого вывод, что метод индуцированных алгебр является корректным методом для решения систем дифференциальных уравнений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проделанной выше работы, мы пришли к следующим выводам:

1) Решения, полученные двумя разными методами в приделах ограниченных исследованными членами рядов, совпадают. Мы делаем из этого предположение, что метод индуцированных алгебр можно применять для решения систем дифференциальных уравнений, если, получается, выделить квадратичные формы.

2)В современной физике очень интенсивно изучаются и моделируются нелинейные процессы. Моделирование, как правило, связано с решением нелинейных дифференциальных уравнений. В связи с этим особую ценность представляют собой простые и универсальные методики получения решений. Метод алгебры, индуцируемой системой дифференциальных уравнений, относится к разряду именно таких способов. В работе, этим методом получено решение уравнения классического гармонического осциллятора, в виде функционального ряда с сохранением параметрических коэффициентов . Это позволяет в дальнейшем аналитически изучать свойства системы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов.- Изд. стер. - Москва: Интеграл - Пресс, 2005.- 415 с.

2 Ньюком Р.У. Системы нелинейных дифференциальных уравнений. Канонические многомерные представления / Р.У. Ньюком. - ТИИЭР, т.65, №6, 1977. 205 с.

3 Markus L. Quadratic differential equations and nonassociative algebras / L. Markus. - Princeton, 1960. 413 с.

Размещено на Allbest