1. Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F(x) - первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ?f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx - подынтегр выр-ем, х - переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии. Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F'(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] - непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (?f(x)dx). Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (?f(x)dx)'=f(x). Док-во: (?f(x)dx)'= =(F(x)+C)'= F'(x)= f(x)dx

5. Выр. ?dF(x) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ?dF(x)=F(x)+C.Так как ?dF(x)= F'(x)dx, то ?F'(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулой F(x)+C, С=const.

Док-во: F(x)+C - первообр, тогда (F(x)+C)'= F'(x)+C'= F'(x)=f(x) Ф(х) - -тоже первообразная: Ф'(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))'= Ф'(х)-F'(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. ?'(x)=0 => ?(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: ?(x2)- ?(x1)=0, ?(x)=С

6. Если k-const, ненулевое число, то ?kf(x)dx=k?f(x)dx -k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) - первообр для ф-ии f(x), т.е. F'(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))'=kF'(x)=kf(x). k?f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=?kf(x)dx, где С1=kC 7. Если ?f(x)dx=F(x)+C, то и ?f(u)du= F(u)+C, u=?(x) - произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ?f(x)dx=F(x)+C, u=?(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(?(x)) -согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f'(x)dx y=f(u), u=?(x)- непрерыв, диф-я dy=f'(x)du dF(u)=F'(u)du= =f(u)du ?f(u)du=?d(F(u))=F(u)+C

8. Выражение d(?f(x)dx)=f(x)dx - Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(?f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F'(x)dx+0=f(x)dx

9. Интеграл ?[f(x)±g(x)]dx= ?f(x)dx±?g(x)dx -неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ий в отдельности: Пусть F(x) и G(x) - первообразные для ф-ий f(x) и g(x): ?[f(x)+g(x)]dx=?(F'(x)+G'(x))dx=?(F(x)+G(x))'dx=?d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =?f(x)dx+?g(x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка). Пусть ф-я x=?(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ?f(x)dx= ?f[?(t)]?'(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[?(t)]: (F[?(t)])'= F_x'[?(t)]?'(t) =f[?(t)]?'(t), т.е. ф-я f[?(t)]?'(t) имеет на мн-ве Т первообр F[?(t)] >?f[?(t)]?'(t)dt=F[?(t)]+C,Замечая что F[?(t)]+C=F(x)+C= ?f(x)dx, => получаем ?f(x)dx= ?f[?(t)]?'(t)dt.

Дарбу: M_n=sup (f(x)); m_n=inf (f(x)), x(x_i-1; x_i) S_?= M_n?x_{i -} верхний; S_?= m_{n ?}x_i- нижний; СВ-ВА:

1, верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек 0=< S_?-I< -для верх и ниж - Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u'(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v'(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ?u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-?v(x)u'(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]'= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]'-u'(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]' на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u'(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. , и ф-я u(x)v'(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ?u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-?v(x)u'(x)dx. Так как v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ?udv=uv-?vdu По лекциям: d(uv)=udv+vdu;?d(uv)= ?udv+vdu => ?udv=?d(uv)-?vdu=uv-?vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 +…+ a₁x¹+ a_0, n - натуральное число. a_i, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-мн-eн степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)^k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а - действит корень кратности k знамен-ля Q_n(x) прав-ой рацион дроби, т.е. Q_n(x)=(х-а)^k O_n-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: P_m(x)/Q_n(x)=A/(х-а)^k+Rs(x)/(х-а)^k-1O_n-k(x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x)=[A O_n-k(x)+ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k O_n-k(x)]=[ A O_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)]+[ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)]=A/(х-а)^k +[P_m(x)-A Q_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)], для каждого А. х=а - корень ура-я P_m(x)- A O_n-k(x)=0; P_m(а)- A O_n-k(а)=0; P_m(а)?0 и A O_n-k(а)?0; A= P_m(а)/A O_n-k(а); P_m(x)- A O_n-k(x)=(x-a) Rs(x); P_m(x)/Q_n(x)= A/(х-а)^k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) O_n-k(x)]= A/(х-а)^k + Rs(x)/[(х-а)^k-1 O_n-k(x)]; A= P_m(а)/O_n-1(а).

14. Если Q_n(x)= (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x), где p²-4q<0, Т_n-µ(x) мн-ен не делится на x²+px+q, то правильную рацион дробь P_m(x)/Q_n(x) можно представить в виде суммы 2 правильных: P_m(x)/Q_n(x) =(Mx+N)/ (x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1. Т_n-µ(x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x) =[(Mx+N) Т_n-µ(x)+ P_m(x)-(Mx+N) Т_n-µ(x)]//(x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)]= (Mx+N)/(x²+px+q)^µ+ [P_m(x)-(Mx +N) Т_n-µ(x)]/[ (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)] для люб µ и N. x²+px+q=0, D<0, x₁₂=?±i?, µ и N: P_m (?+i?)-[ µ (?+i?)+N]*T _n-µ(?+i?)=0. µ (?+i?)+N=[ P_m (?+i?)] /[ T _n-µ(?+i?)]=k+il. Система{ µ ?+N =k=> N=k- ?(L/b) µb=L=> m=L/b P_m(x)/Q_n(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1Т_n-µ(x)] конечному пределу при ранге разбиения 0.

15. Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)^r(x-b)^s…(x²+2px+q)^t(x²+2ux+v)^z …, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)²+…. An/(x-a)ⁿ+…. (M1x+N1) / (x²+2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x²+2px+q)²+…+(Mkx+Nk)/(x²+2px+q)^k +, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа

16. Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 ++ a₁x¹+ a_0, n - натуральное число. a_i, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов: f(x)= P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-мн-eн степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1)A/(x-a) 2)A/(x-a)^k k>=2 целое

3)(Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

1) ?R(sinx, cosx)dx Замена перем-ных tg(x/2)=t (универ. тригонометр замена) sinx=2t/(1+t²) cosx=(1-t²)/ /(1+t²) dx=2/(1+t²)dt;?R(2t/(1+t²), (1-t²)/ /(1+t²)) 2/(1+t²)dt=?R(t)dt

2)?R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=?R(t)dt

3)?R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-?R(t)dt

4) ?R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t²)|= ?R(t)dt/(1+t²) 5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)

?R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t²)| =?R(t)dt

6) ?sin ^m x cos ⁿ xdx

a)m=2k+1 ?sin ^2k x cos ⁿ x sinxdx=?(1-cos ² x)^k cos ⁿ x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-?(1-t ²)^k t ⁿ dt

b)n=2k+1 ?sin ^m x cos ^2k x cosxdx= ?sin ^m x (1-sin ² x)^k dsinx

7) ?sin ^2p x cos ^2a xdx sin²x=(1-cos2x)/2

cos²x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x

8) m=-µ n=-? замена t=tgx

1/ sin²x=1+ ctg²x 1/ cos²x=1+tg²x

9) ?tg ^m x dx; ?ctg ^m x dx, m-целое >0ое tg²x=1/ cos²x-1

сtg²x=1/ sin²x-1

10) ?sinmxcosnxdx ?sinmxsinnxdx

?cosmxcosnxdx sinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)

sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a,b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения 0.

ax²+bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b²)/(4a²) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=t^k=>

ax+b= cx t^k+ dt^k=>x=…; dx=(…)dt

Замена переменной: ?f(x)dx=|x= ?(t); t=g(x); dx= ?'(t)dt |=?f(?(t)) ?'(t)dt

Поднесение по знак дифф-ла: Если ?f(x)dx=F(x)+C, то ?f(n)dx=F(n)+C

Ф-цию вида R(x,^m(ax+b)/(cx+d) -называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=^m(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. t^m= (ax+b)/(cx+d); x=(b-dt^m)/(ct^m-a) -рацион ф-ция от t; dx=(mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a) R(x,^m(ax+b)/ (cx+d))dx=R((b-dt^m)/ (ct^m-a),t) (mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)= R1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида R(x,ax+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax+bx+c имеет действит корни х1 х2 то ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,ax+bx+c)=R(x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1); пусть ax+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=(ax+bx+c) +xa ax+bx+c=t-2xta+ax; x=(t-c)/2t(a)+b -рацион функ-ция от t Ч.Т.Д; Если а<0 с>0 (ax+bx+c)>=0) то можно сделать замену ax+bx+c=xt+c {}{} Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением [a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,i удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xi-1<xi{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения {} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) i[xi-1,xi] I=1,..,i и рассмотрим сумму (f,1,…,i)= _I=1ⁱf(I)x; -интегральная сумма {Определение} Число I -называется опред ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается _a^bf(x)dx Если E >0 _E=(E)>0 | при любом разбиении мелкости ||<_E и любом выборе (.) i[xi-1,xi], I=1,…,i | _I=1ⁱf(i)x-I | <E При этом пишут I=lim ||0. {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[x_j0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек {ⁿ_jo}>0 | lim_nf(ⁿ_jo)= Рассмотрим сумму =_I=1ⁱf(I)xi=f(io)xjo +_I=1ⁱf()xi=f(jo)xjo+B Зафиксируем произвольным образом i[xi-1,xi] ijo lim(f,1,…,₀ⁿ,..,i) =lim(f(jo)xjo+B)= m>0 существует n0 | (f,1,…,_jo⁽ⁿ⁾,…,_i)>m Отсюда , что интегр сумма при мелкости разбеения ||0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что I=lim_||0 E>0 _E>0 | , ||<_E и любой выбор точек i вып-ся нер-во |-I|<E||=|-I+I|<|-I|+|I| <E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении в частности при при ||<_E можно выбрать точки 1,..,_i такие, что ||>M ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д. Ф-ла Ньтона-Лейбница _a^bf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|_а^b -(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. (1) {Док-во} F(x)= _a^xf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] F(x)=Ф(х)+С; _a^xf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то _a^аf(t)dt=0 0=Ф(а)+С С=-Ф(а) _a^xf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

18. Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов. Признак Вейерштрасса. Ф-циональную посл-сть {fn)x)} x E наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для >0, сущ номер N, такой, что для т х E и n >N вып-ся: |fn(x)-f(x)|<. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn f.

наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает:Sn(x) f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся - есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где >=0 сх-ся и для x E и n = 1,2… если выполняется нер-во un(x)|<=n(8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.

Док-ва:

Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S(x) - сумма ряда (9), а Sn(x) - его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, n >N и вып. нерво . Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = . Это означает, что Sn(x) S(x) что означает равномерную сх-сть ряда..

19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a0+a1x+a2x²+… + anxⁿ = (1) xR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)²… + an(x-x0)ⁿ = (2) Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т.е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа an R, наз коэффициентами ряда(1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|>|x0|

Пусть(1) сх-ся при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1). Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то и справедлива формула: (15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0 При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6') и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расх-ся всюду, кроме х=х0

2 Сх-ся, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сх-ся к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения доп-ных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) дифф-ма на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех x (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток r_n(x) можно записать:

(8)

(9)

Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) - формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е x U(x0) |f⁽ⁿ⁾(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сх-ся в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.

22. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена). 1 Разложение ф-ции е^х ряд Маклорена. радиус сх-ти: R= следовательно ряд абсолютно сх-ся на всей числовой прямой. Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена сх-ся на всей числовой оси, сх-ся на всей числовой оси, f(x) = (1+x) наз. биномиальный ряд с показ-ем .

Разложение ф-ции ln(1+x)

сх-ся при -1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сх-ся при -1<=x<=1.