Решение геометрических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО "Пермский государственный университет"

Механико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

по курсу «Дифференциальная геометрия»

Работу выполнила:

Тюрикова Ю.П.

Пермь 2008

Оглавление

Введение

1. Использование электронных лекций

2. Векторный анализ

3. Теория кривых

4. Теория поверхностей

Литература

Введение

вектор уравнение геометрия индикатриса

Главная цель этой курсовой работы - создание лекций по курсу «Дифференциальной геометрии». Дифференциальная геометрия - область математики, занимающаяся решением геометрических задач средствами дифференциального исчисления.

При создании электронной лекции использовала программу Microsoft Word. Электронные лекции в значительной мере должны помочь студентам, изучающим курс «дифференциальной геометрии», в усвоении материала. При подготовке к экзаменам этот курс лекций будет незаменимым помощником.

Также при изучении теоретического материала очень существенно решение задач. Ещё Ньютон высказал мнение, что эта сторона дела важнее, чем усвоение теории. Но полностью с этим согласиться нельзя, поэтому теоретические вопросы сопровождаются разобранными практическими заданиями.

1. Использование электронных лекций

В последнее время наблюдается быстрое развитие информационных технологий, в частности их внедрение в учебный процесс, что позволит сделать процесс обучения более наглядным. При этом студенты или преподаватель могут корректировать или добавлять некоторые разделы курса. При использовании электронных лекций можно сэкономить много времени и потратить его на изучение более сложного материала или закрепление полученных знаний.

Данный курс «дифференциальной геометрии» включает в себя следующие разделы: векторный анализ, теорию кривых и теорию поверхностей. Данный материал охватывает программу подготовки студентов механико-математического факультета.

В разделе «векторный анализ» приведены основные понятия, связанные с векторами, описаны наиважнейшие свойства векторов, только после изучения этого раздела можно приступать к изучению раздела «теории кривых», ну а затем и «теории поверхностей».

2. Векторный анализ

Определение бесконечно малого вектора. Основные свойства векторов.

Определение: - бесконечно малый вектор, если .

Определение: - предел переменного вектора , если - бесконечно малый вектор.

, где t - скалярная величина, тогда - вектор-функция от скалярной величины.

Пусть - вектор-функция, где t - параметр. Необходимо определить правила дифференцирования вектор-функции. Будем находить производную, пользуясь основным определением производной:

, .

Доказательство:

Аналогично можно доказать следующее:

,

,

.

Утверждение 1.

Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство:

.

Утверждение 2.

имеет постоянное направление .

Доказательство:

вектор имеет постоянное направление, следовательно, , где - const, тогда .

.

Пусть,

, , , , .

.

Утверждение 3.

параллелен постоянной плоскости .

Доказательство:



Пусть , - постоянный вектор, , , следовательно, скалярное произведение векторов должно быть равно нулю:

, продифференцируем и получим , ещё раз продифференцируем

- компланарны, тогда их скалярное произведение равно нулю .

Пусть - компланарны.

Пусть , тогда продифференцировав, получим:

.

,

,

,

и , следовательно, , тогда вектор имеет постоянное направление и параллелен плоскости р.

3. Теория кривых

Непрерывные отображения.

Определение: Отображение называется непрерывным, если бесконечно близким точкам множества А соответствуют бесконечно близкие точки множества В. (А и В - точечные множества.)

Определение: Гомеоморфизмом называется отображение , которое является биекцией, f и f^-1 непрерывны (топологическое отображение).

Определение: А и В называются гомеоморфными множествами (топологически эквивалентными).

Важное свойство: при гомеоморфизмах размерность сохраняется.

Определение: Множество точек пространства, топологически эквивалентное отрезку прямой, называется простой дугой.

Определение: Образы концов отрезка называются концами дуги.

Определение: Кривой называется счётное множество попарно склеенных между собой простых дуг.

Задание кривой.



(1) - векторное уравнение кривой, если расписать по координатам получим:

(2) - параметрическое уравнение кривой.

Выбор точки на кривой содержит одну степень свободы - он определяется выбором значения одного параметра t, который пробегает интервал, например, единичный интервал [0,1] на вещественной числовой оси. Точки кривой задаются их радиус-векторами , компоненты которых x(t), y(t), z(t) являются функциями параметра t.

Если рассмотреть другой способ задания кривых: любая точка трехмерного пространства задаётся выбором трех координат x, y, z. Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют функциональному уравнению F(x, y, z)=0, где F - некоторая функция трёх переменных. В пересечении двух поверхностей получается кривая. Это значит, что система двух уравнений задаёт кривую в трёхмерном пространстве.

- задание кривой в виде пересечения двух поверхностей.

Ни один из рассмотренных способов задания кривой не является предпочтительным перед другим. В зависимости от ситуации используется как тот, так и другой.

Касательный вектор.

при - бесконечно малый касательный вектор.

При стремлении Дt к нулю точка с параметром t+Дt устремится к точке с параметром t, и вектор займёт своё предельное положение и станет касательной к кривой в точке с параметром t. Поэтому предельное значение вектора - это касательный вектор к кривой в точке с параметром t

Касательный вектор определяет направление перемещения точки вдоль кривой для данного значения параметра t.

Уравнение касательной.

Пусть прямая задаётся уравнением:

,

где - направляющий вектор прямой. Точка принадлежит прямой. - радиус-вектор точек касательной.

- уравнение касательной, - координаты касательного вектора.

Это следует из условия пропорциональности координат.

Длина дуги кривой. Натуральная параметризация.

- длина дуги кривой от точки с параметром t₁ до точки с параметром t₂.

,

.

S - натуральный параметр на кривой. S N(S)

- касательный вектор, .

Сопровождающий трехгранник кривой.

Пусть кривая задана: - натуральная параметризация кривой. . , так как .

Определение: Прямая, перпендикулярная касательной к кривой в точке x₀, называется нормалью.

В любой точке кривой имеется бесконечно много нормалей.

Определение: Нормаль кривой, параллельная вектору , называется главной нормалью.

Определение: Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью.

- направляющий вектор бинормали.

Определение: Касательная, главная нормаль и бинормаль являются рёбрами сопровождающего трехгранника кривой в данной точке.

Определение: Нормальной плоскостью кривой в точке Р называется плоскость, содержащая все нормали в данной точке.

Определение: Плоскость, содержащая касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающейся плоскостью.

Определение: Плоскость, содержащая касательную и бинормаль, называется спрямляющей плоскостью.

Уравнения:

Касательная:

- радиус-вектор точек на касательной, - точки на кривой, - касательный вектор; тогда , следовательно, можно написать в силу пропорциональности координат:

- уравнение касательной.

Главная нормаль:

- направляющий вектор главной нормали, так как .

- точки на кривой, - радиус вектор точек на главной нормали, тогда , следовательно, в силу пропорциональности координат можно записать:

- уравнение главной нормали.

Бинормаль:

- направляющий вектор бинормали, он должен быть перпендикулярен касательной и главной нормали, т.е. , тогда имеет координаты:

.

; ; .

- радиус-вектор точек на бинормали, - вектор бинормали, - точки на кривой, тогда , следовательно, в силу пропорциональности координат запишем:

- уравнение бинормали.

Нормальная плоскость:

=- радиус вектор точек нормальной плоскости,

- направляющий вектор касательной, - точки на кривой

, распишем это уравнение по координатам:

- уравнение нормальной плоскости.

Соприкасающаяся плоскость:

1. - вектор бинормали, =- радиус вектор точек соприкасающейся плоскости,

, распишем уравнение по координатам:

- уравнение соприкасающейся плоскости.

2. - радиус-вектор точек соприкасающейся плоскости, вектора касательная и главная нормаль лежат в соприкасающейся плоскости, тогда вектора должны быть компланарны, , .

- уравнение соприкасающейся плоскости.

Спрямляющая плоскость:

- направляющий вектор главной нормали, = - радиус-вектор точек спрямляющей плоскости.

, распишем уравнение по координатам:

- уравнение спрямляющей плоскости.

Сопровождающий трёхгранник в произвольной параметризации.

Пусть кривая задана: .

Утверждение 1.

Вектор лежит в соприкасающейся плоскости кривой в данной точке.

Доказательство:

, тогда .

Рассмотрим вектор

вектор лежит в плоскости векторов , т.е. в соприкасающейся плоскости.

Вектора - лежат в соприкасающейся плоскости кривой.

перпендикулярен соприкасающейся плоскости, следовательно, - направляющий вектор бинормали.

- направляющий вектор касательной.

- направляющий вектор главной нормали.

- правая тройка векторов.

Определение: Вектора называются направляющими векторами рёбер сопровождающего трёхгранника.

Задача 1.

Цилиндр радиуса R проходит через центр шара радиуса 2R. В пересечении цилиндра и шара лежит кривая Вивиани. Записать параметрические уравнения этой кривой.

Решение: Пусть

, а

Записать направляющие вектора граней и рёбер сопровождающего трёхгранника.

Репер Френе.

Определение: Репер Френе - три единичных вектора, задающие направления рёбер сопровождающего трёхгранника.

Пусть кривая задана .

- направляющий вектор главной нормали, но не единичный.

- единичный вектор главной нормали.

.

- правая тройка векторов составляет репер Френе.

Свойства:

·

·

·

Лемма.

Даны две некомпланарные упорядоченные тройки векторов и , причём , тогда и одинаковой ориентации; и различной ориентации.

Докажем, что .

Доказательство:

,

, .

- правая тройка векторов,

.

Репер Френе в произвольной параметризации.

Пусть кривая задана .

- касательный вектор,

- вектор бинормали,

- вектор главной нормали.

,

,

.

- левая тройка,

- правая тройка.

Формулы Сере-Френе.

,

.

По лемме

.

.

- формулы Сере-Френе.

Задача (Розендорн, стр. 12, №20 б))

, найти репер Френе.

, ,

,

.

,

,

,

.

Аналогично для .

Кривизна и кручение кривой. Кривизна.

Определение: Предел отношения угла поворота касательной на дуге кривой, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги называется кривизной кривой в данной точке.



- кривизна кривой.

Утверждение (о кривизне):

Величина k в формулах Серре-Френе равна кривизне кривой.

Лемма:

Отношение модуля приращения единичного переменного вектора к углу его поворота при стремлении этого угла к нулю равен единице.

Доказательство леммы:

,

.

(хорда в пределе равна длине дуги окружности).

.

Следовательно в (*) заменяем: .

Доказательство утверждения:

.

По лемме: .

Кручение.

Определение: Величина в формулах Сере-Френе называется кручением кривой.

Утверждение (о кручении):

Модуль кручения равен пределу отношения угла поворота бинормали на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги.

Доказательство:

.

.



Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризации.

Кривая задана: , , ,

.

.

Формулы для кривизны и кручения в случае произвольной параметризации.

Кривая задана: .

Обозначения:

 .

.

, так как

,

.

.

.

Задача №15 (стр. 11).

б) .

.

.

Утверждение 4.

Кривая лежит в одной плоскости в каждой точке этой кривой.

Доказательство:

Пусть кривая лежит в плоскости лежат в этой плоскости .

Пусть лежат в одной плоскости лежит в одной плоскости в любой точке кривой кривая плоская.

Определение: Точка пространственной кривой называется точкой спрямления, если в этой точке k=0.

Определение: Точка пространственной кривой называется точкой уплощения, если в ней .

Плоские кривые.

Пусть кривая целиком лежит в плоскости xOy.

Кривая задана:

параметрическое задание.

параметрическое задание плоской кривой.

исключим t:

- неявное уравнение плоской кривой.

Вычислим (она равна 0):



.

Выразим y:

- задание явной функции в виде графика.

Определение: Точка называется особой точкой плоской кривой, заданной неявным уравнением, если в ней выполняются равенства:

.

Если - не особая точка:

- угловой коэффициент касательной.

В особой точке k не находится.

Проблема: нахождения углового коэффициента в особой точке.

Классификация особых точек плоской кривой.

.

Продифференцируем по t:

, , , .

Рассмотрим в особой точке:

,

.

A. . Уравнение (34') не имеет решений. В точке нет касательной, следовательно, точка - изолированная.

B. . Уравнение (34') имеет 2 решения. Имеет 2 касательные, следовательно, через точку проходит 2 ветви кривой. Точка называется узловой.

C. .

a) - изолированная.

Пример:

 (последние две точки не принадлежат кривой).

(0,0) - особая точка.

.

b) Точка возврата 1-го рода.

В особой точке обе ветви кривой имеют общую касательную, но находятся по одну сторону от нормали, и по разные стороны от касательной.

Пример: .



c) Точка возврата 2-го рода.

В ней обе ветви находятся по одну сторону от нормали и по одну сторону от касательной.

d) Точка самоприкосновения.

e)

Однопараметрическое семейство плоских кривых.

Определение: Однопараметрическим семейством плоских кривых называется множество кривых на плоскости, удовлетворяющих неявному уравнению:

,

где а - параметр.

Примеры:

1.

2.

Определение: Плоская кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой однопараметрического семейства кривых, называется огибающей этого семейства.

Определение: Кривая на плоскости, удовлетворяющая системе уравнений:

,

где уравнения ОПСК, называется дискриминантной кривой семейства.

Теорема 1.

1) Огибающая ОСПК, если она существует, является дискриминантной кривой этого ОСПК,

2) Любая дискриминантная кривая ОСПК является огибающей, если она не состоит из особых точек кривых семейства.

Доказательство:

1) Пусть - огибающая ОСПК

по параметру а:

.

Рассмотрим точку касания некоторой кривой семейства и огибающей, так как кривые касаются, то у них в этой точке общая касательная, следовательно:

в точке касания.

- а фиксировано.

, следовательно, огибающая удовлетворяет системе уравнений:

, тогда огибающая есть дискриминантная кривая.

2) Пусть - дискриминантная кривая семейства.

,

следовательно, дискриминантная кривая касается в каждой своей точке некоторой кривой семейства, она является огибающей. Но в уравнении (*) может быть

, следовательно, дискриминантная кривая состоит из особых точек кривых семейства.

Кривизна плоской кривой.

- формула вычисления кривизны.

1) Параметрическое задание плоской кривой

2) - в виде графика.

, , ,

3) - неявное задание.

.

Подставим :

Определение: Окружность, проходящая через три точки плоской кривой, бесконечно сближающихся к данной точке кривой, называется соприкасающейся окружностью.

Рассмотрим плоскую кривую, - вектор главной нормали плоской кривой. Относительно точки М вдоль отложим расстояние , где k - кривизна плоской кривой в точке М, получим точку С. Строим окружность с центром в точке С и радиусом р. Это и есть соприкасающаяся окружность плоской кривой, построенная в точке М. р - радиус кривизны кривой, а С - центр кривизны кривой.

Уравнение соприкасающейся окружности.

Кривая задана .

- уравнение соприкасающейся окружности.

Эволюта.

Определение: Нормалью плоской кривой называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания и лежащая в плоскости этой кривой.

Нормаль плоской кривой совпадает с главной нормалью этой кривой, рассмотренной в пространстве.

.

- уравнение нормали.

Определение: Огибающая семейства нормалей плоской кривой называется эволютой.

Уравнение эволюты в натуральной параметризации.

Кривая задана .

, перпендикулярен нормали,

- радиус-вектор точек на нормали, ,

, распишем по координатам .

- уравнение семейства нормалей.

Продифференцируем уравнение по s:

.

,

.

Распишем по координатам и получим:

.

Уравнение эволюты в произвольной параметризации.

Пусть кривая задана .

- касательный вектор, перпендикулярен нормали, т.е. , (*).

- уравнение семейства нормалей.

Уравнение (*) продифференцируем по t:

.

.

- параметрические уравнения эволюты.

Пример:

.

,

.

Эвольвента.

Определение: Ортогональной траекторией данного семейства плоских кривых называется кривая, которая пересекает каждую кривую данного семейства под прямым углом.

Определение: Ортогональная траектория семейства касательных называется эвольвентой этой кривой.

Уравнение эвольвенты.

Пусть - уравнение кривой, - касательный вектор, - радиус-вектор точек на эвольвенте.

, - уравнение эвольвенты.

.

Натуральные уравнения пространственной кривой.

Задача №21 (стр.12):

.

.

,

,

,

,

.

Пусть , тогда

,

,

.

,

,

.

4. Теория поверхностей

Определение: Геометрическое место точек пространства, топологически эквивалентное множеству точек круга на плоскости, называется простым куском поверхности.



Определение: Два простых куска поверхности называются склеенными, если части их границ или целиком обе границы совпадают между собой.

Определение:Поверхностью называется множество точек, которые могут быть склеены из конечного или счётного множества простых кусков.

Уравнения поверхности. Криволинейные координаты на поверхности.

, выражает радиус-вектор точек поверхности в некоторой системе координат как функцию двух параметров u и v

- параметрическое уравнение поверхности.

В отличие от кривых, поверхности параметризуются двумя параметрами u и v

- матрица Якоби.

Пусть , из теоремы об обратной функции следует, что первые два уравнения системы (2) можно обратить: ,

- задание поверхности в явном виде.

- неявное уравнение поверхности.

Определение: рассмотрим линии на поверхности, в каждой точке которой выполняется: или . Такие линии на поверхности называются координатными, а - криволинейными координатами.

Определение: Если в каждой точке поверхности ранг матрицы Якоби равен 2, то система криволинейных координат на поверхности называется правильной.

Рассмотрим линию :

- уравнение кривой.

- касательный вектор к линии .

Рассмотрим линию :

- уравнение кривой.

- касательный вектор к линии .

Определение: - называются координатными векторами.

- строки в матрице Якоби.

Сеть криволинейных координат - правильная не параллелен .

Касательная плоскость поверхности. Нормаль.

Рассмотрим линию на поверхности, проходящую через точку Р:

- уравнение линии на поверхности.

- в точке P(u,v).

Определение: Все касательные векторы ко всем кривым, проходящие через точку Р, лежащим на поверхности, лежащие в плоскости векторов . Эта плоскость называется касательной плоскостью.

- радиус-вектор точек на касательной плоскости,

- компланарные вектора, следовательно, ,

- уравнение касательной плоскости.

Определение: Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости, проходящая через точку касания.

параллелен нормали, - радиус-вектор точек нормали

, тогда исходя из пропорциональности координат можно записать:

- уравнение нормали.

Задача.

Прямая равномерно вращается вокруг пересекающей её перпендикулярной кривой и движется поступательно вдоль этой прямой. Найти параметрические уравнения поверхности.

Решение:

Пусть Oz - неподвижная прямая.

, - вращается в плоскости xOy.

,

,

,

- прямой геликоид или коноид.

Длина дуги линии на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности.

,

.

,

,

,

,

.

От t₁ до t₂:

, , ,

- первая квадратичная форма поверхности.

, .

Угол между кривыми на поверхности.

Определение: Углом между двумя кривыми на поверхности называется угол между касательными к этим кривым, проведенных в точке их пересечения.

,

- касательный вектор вдоль одной кривой,

- бесконечно малый касательный вектор вдоль другой кривой (оба вектора рассматриваются в точке пересечения кривых).

Рассмотрим cos угла между координатными линиями (cos щ):

1) .

2) .

.

Площадь области на поверхности.

.

,

Формула Лагранжа: , тогда

,

.

Утверждение 1.

Первая квадратичная форма поверхности положительно определена. (Доказательство см. выше).

.

Задача №61 (Розендорн, стр. 30).

1) ,

2) .

,

,

.

,

,

.

,

Нормальная кривизна линии на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности.

Определение: Проекция вектора кривизны кривой, лежащей на поверхности, на нормаль к поверхности в данной точке кривой называется нормальной кривизной кривой.

Пусть кривая на поверхности задана уравнением: , .

- вектор кривизны кривой, ,

.

,

,

,

,

; ; ;

,

.

- нормальная кривизна кривой на поверхности.

; ; ;

,

,

,

.

Вычисление коэффициентов второй квадратичной формы.

.

,

,

.

.

Утверждение 2.

Нормальные кривизны двух кривых на поверхности, проходящие через точку Р и имеющих в этой точке общую касательную, в точке Р равны между собой.

Доказательство:



L, M, N, E, F, G - функции от u и v;

L₁=L₂, M₁=M₂, N₁=N₂, E₁=E₂, F₁=F₂, G₁=G₂ в точке Р.

- задаёт направление касательного вектора кривой в касательной плоскости, следовательно. Если у кривых общая касательная, то , следовательно,

Определение: Нормальная кривизна кривой на поверхности в данной точке называется нормальной кривизной поверхности в данной точке в данном направлении касательной плоскости.

Нормальные сечения поверхности и их свойства.

Определение: Кривая, лежащая в пересечении поверхности плоскостью, проходящую через нормаль к поверхности в данной точке, называется нормальным сечением поверхности в данной точке.

Утверждение 3.

Пусть k - кривизна нормального сечения, тогда в точке Р поверхности (22) , и - нормальная кривизна поверхности в точке Р в направлении данного нормального сечения.

Доказательство:

,

Нормальное сечение - плоская кривая, нормаль плоской кривой совпадает с главной нормалью, .

, докажем, что .

лежит в плоскости нормального сечения и перпендикулярен касательной нормального сечения; перпендикулярен касательной плоскости и лежит в плоскости нормального сечения, следовательно, перпендикулярен касательной нормального сечения, следовательно, .

.

Определение: , тогда нормальное сечение называется вогнутым. Если , то нормальное сечение называется выпуклым.

Выпуклое нормальное сечение.

Вогнутое нормальное сечение.

Теорема 1 (Менье).

Проведём в точке Р поверхности нормальное и наклонное сечение с общей касательной. Тогда проекция центра кривизны нормального сечения на плоскость наклонного сечения совпадает с центром кривизны наклонного сечения.

Доказательство:

В силу утверждения 2: (*),

(**).

.

- угол между плоскостями нормального и наклонного сечения (острый).

.

“+”, если , для вогнутых нормальных сечений;

“-“, если , для выпуклых нормальных сечений.

.

Подставим эту формулу и (**) в (*):

, следовательно, ,

,

,

.

Индикатриса Дюпена.

Определение: Проведём в точке Р поверхности касательную плоскость и в ней отложим от этой точки отрезок длины , где - нормальная кривизна поверхности в точке Р в направлении, в котором откладывается отрезок в касательной плоскости. Противоположный конец отрезка опишет кривую в касательной плоскости, которая называется индикатрисой Дюпена.

Уравнение индикатрисы Дюпена.

Зададим в касательной плоскости систему координат Pxy, с базисом .

.

Оси Px и Py должны быть касательными к координатным линиям и соответственно.

.

Пусть точка М на индикатрисе Дюпена (в касательной плоскости).

,

,

.

.

.

Умножим числитель и знаменатель левой дроби на , получим с использованием равенства:

,

следовательно, ,

- уравнение индикатрисы Дюпена в заданной системе координат в касательной плоскости.

Виды индикатрис Дюпена. Типы точек на поверхности.

Индикатриса Дюпена - кривая второго порядка, в уравнении которой отсутствует слагаемые первой степени.

Инвариант

1. Если , следовательно, индикатриса Дюпена - эллипс, и точка Р на поверхности называется эллиптической.

2. Если , следовательно, индикатриса Дюпена - пара смежных гипербол, точка Р называется гиперболической.

3. Если , тогда индикатриса Дюпена - пара параллельных прямых, точка Р называется параболической.

Примеры:

1. На эллипсоиде все точки эллиптические.

2. На однополостном гиперболоиде и гиперболическом параболоиде все точки гиперболические.

3. На торе все три типа точек на поверхности присутствуют:

Во внешней части тора - эллиптические точки, во внутренней части - гиперболические точки, а на окружностях, разделяющих внешнюю и внутреннюю части - параболические точки.

Вблизи эллиптической точки поверхность представляет собой часть эллипсоида. В близи гиперболической точки поверхность представляет собой гиперболический параболоид, а вблизи параболической точки - цилиндр.

Главные оси индикатрисы Дюпена. Формула Эйлера. Главные кривизны поверхности в данной точке.

Индикатрису Дюпена можно привести к главным осям, т.е. мы должны к системе координат, оси которой являются главными осями индикатрисы Дюпена. Уравнение Индикатрисы Дюпена будет каноническим:

.

,

,

Подставим в:

, т.к. если “+” и “-“, если .

1) Пусть и=0

- значение нормальной кривизны в первом главном направлении индикатрисы Дюпена.

2)

- значение нормальной кривизны во втором главном направлении индикатрисы Дюпена. Формула (25) преобразуется в

- формула Эйлера.

Определение: и называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Утверждение 4.

и являются экстремальными значениями нормальной кривизны, если индикатриса Дюпена не окружность.

Доказательство:

Продифференцируем (26) по и:

,

1) 

a)

b)

2)

В случае 2) , индикатриса Дюпена - окружность, не зависит от и.

В случае

, то min

, то max

, то - max

, то - min

Определение: Точка Р, в которой , называется омбилической (индикатриса Дюпена - окружность).

Вопрос: как определить главные направления индикатрисы Дюпена и вычислить главные кривизны, не переходя к другой системе координат?

Характеристическое уравнение поверхности в данной точке. Полная и средняя кривизны поверхности.

, ,

- задаёт направление касательной.

Пусть сначала изменяется, .

Продифференцируем по , при этом рассматриваем лишь экстремальные значения :

экстремально, задаёт экстремальное направление.

Пусть изменяется, .

Продифференцируем (27) по в точке экстремального значения :

.

- система уравнений, решение которой определяет главное направление, при этом или . Это система линейных однородных уравнений на , решение которой будет ненулевым, в случае, если её определитель равен нулю.

.

Распишем и получим:

,

,

.

Определение: Н - средняя кривизна поверхности в данной точке,

К - полная кривизна поверхности в данной точке.

Решение уравнения (32) являются . Дискриминант:

.

По теореме Виета:

,

.

Полная кривизна , , знак К определяется знаком :

K>0, то точка Р - эллиптическая,

K<0, то точка Р - гиперболическая,

К=0, то точка Р - параболическая.

Уравнение (32) называется характеристическим уравнение поверхности в точке Р.

Сферическое изображение поверхности. Роль Гауссовой кривизны при сферическом изображении поверхности.

Рассмотрим поверхность, в каждой точке Р можно построить нормальный вектор и рассмотрим произвольную точку О. Точка Р соответствует началу вектора .

Радиус сферы единичный. Точка М на сфере соответствует точке Р на поверхности. Радиус-вектор точек на сфере совпадает с вектором .

Определение: Множество точек на сфере единичного радиуса называется сферическим изображением поверхности.

На сфере координатные векторы - , на поверхности - , тогда - на сфере, - на поверхности, следовательно, - на поверхности.

Через у обозначим площадь области на поверхности, а - площадь области на сфере.

По формуле Лагранжа , . Рассмотрим связь между этими двумя выражениями. - компланарны, они перпендикулярны вектору (координатные векторы перпендикулярны нормальным векторам). На поверхности лежат в касательной плоскости, а вектор перпендикулярен касательной плоскости; определяют касательную плоскость к сфере, радиус-вектор сферы является нормальным вектором.

Итак , следовательно, , так как все векторы лежат в одной плоскости, а векторное произведение перпендикулярно векторным множителям.

,

используя Теорему о среднем, получим: , где - кривизна К, вычисленная в некоторой одной точке данной области, площадь которой мы считаем.

.

При и - правые тройки векторов,

при - левая тройка векторов,

при .

Внутренняя геометрия поверхности.

Определение: Изгибанием поверхности называется топологическое отображение поверхности (гомеоморфизм), которое исключает растяжения и сжатия.

Определение: Свойства поверхности, которые не изменяются при изгибаниях, составляют так называемую внутреннюю геометрию поверхности.

Примеры:

1. Длина дуги кривой на поверхности относится к внутренней геометрии поверхности, следовательно, первая квадратичная форма поверхности относится к внутренней геометрии.

2. Угол между двумя кривыми относится к внутренней геометрии поверхности.

3. Площадь области на поверхности относится к внутренней геометрии.

4. Нормальная кривизна кривой на поверхности, следовательно, и вторая квадратичная форма не относятся к внутренней геометрии поверхности.

Индексные обозначения в дифференциальной геометрии поверхностей.

Обозначим: , , ,

,

Первая квадратичная форма описывается матрицей:

.

.

Правило Эйнштейна: если в произведении индекс встречается один в верху и один раз внизу, то по этому индексу предполагается суммирование, при этом знак суммы не пишется.

.

,

,

,

где ,

.

, , тогда .

Сопровождающий трехгранник поверхности.

Деривационные формулы.

Рассмотрим в каждой точке поверхности три вектора: - они являются направляющими векторами ребер сопровождающего трехгранника поверхности.

Разложим производные этих векторов по этим же векторам.



(в силу утверждения 1 векторного анализа), (так как лежит в касательной плоскости, а лежит в плоскости, перпендикулярной касательной плоскости). Скалярно умножим на деривационную формулу I рода:

, в силу того, что , получим:

Скалярно умножим на деривационную формулу I рода:

. Учтем при этом, что:

Следовательно, подставив (37), получим, , но в свою очередь

.

и просуммируем по k

, так как , в итоге получили:

.

.

Скалярно умножим на деривационную формулу II рода:

, в силу того, что , получим, что . Учтем при этом, что:

.

Скалярно умножим на деривационную формулу II рода:

, так как . Используя формулу, получим: . Теперь нам нужно найти , для этого рассмотрим: , с другой стороны по правилу Лейбница

(а)

(б)

(в)

Просуммируем (а) и (б) и вычтем (в), учитывая, что :

, тогда

(1)

(2)

(1) - символы Кристоффеля I рода,

(2) - символы Кристоффеля II рода.

Геодезическая кривизна кривой на поверхности.

Геодезические линии.

Рассмотрим кривую на поверхности и вектор кривизны в некоторой точке этой кривой. Спроецируем вектор кривизны на касательную плоскость к поверхности в данной точке Р. Обозначим через проекцию вектора кривизны на касательную плоскость в точке Р.

Определение: геодезической кривизной называется модуль проекции вектора кривизны на касательную плоскость .

.

Рассмотрим проекцию вектора кривизны на касательную плоскость. Пусть кривая задана как , тогда

,



ф - касательный вектор кривой в точке Р, по теореме о трех перпендикуляров, следует, что .

,

тогда

,

,

.

, .

,

, но ,

тогда

Геодезические линии на поверхности.

Определение: линия на поверхности, в каждой точке которой , называется геодезической линией.

Утверждение: в каждой точке геодезической линии вектор кривизны этой линии направлен вдоль нормали к поверхности в этой точке.

Доказательство:

, в силу определения геодезической линии, в каждой

точке , тогда, как видно из рисунка, .

, по определению геодезической линии , тогда все в любой точке геодезической линии, следовательно:

- уравнение геодезической линии.

Геодезической линией на поверхности является линия наименьшего расстояния между точками.

Пример: на сфере геодезической линией является любая окружность наибольшего радиуса, т.е. окружности, не совпадающие с экватором, не являются геодезическими линиями, а все меридианы - геодезические линии.

Литература

1. Шарипов Р.А. Курс дифференциальной геометрии: учебное пособие для вузов. - Уфа, 1996.

2. И.П. Натансон Краткий курс высшей математики. - 1999.

Размещено на Allbest.ru