Дослідження систематичного використання історизмів в курсі лекцій з математичного аналізу

3) Сучасний порядок викладання тем математичного аналізу пов'язаний з вимогами до математичної строгості і відрізняється від того шляху, яким математичний аналіз розвивався історично.

4) Діяльнісний підхід до організації навчально-виховного процесу під час вивчення математичного аналізу сприяє використанню історичного матеріалу на лекціях з даного навчального предмету.

5) Теоретичне дослідження вказує на необхідність застосування історичної методики на лекціях з математичного аналізу.

Розділ 2. Змістове наповнення та методика використання історичного матеріалу на лекціях з математичного аналізу

2.1 Ознайомлення студентів з творцями математичного аналізу

Повідомлення та зауваження історико-математичного характеру у вивченні різних тем математичного аналізу не мають на меті підмінити історію математичного аналізу. Вони покликані торкнутися генезису основних понять, створити у студента загальну орієнтацію в хронології найважливіших подій з історії аналізу, гуманізувати зміст курсу, ознайомлюючи слухачів з творцями цієї математичної галузі.

Слід відмітити, що історичні зауваження органічно вплітаються у лекційний курс математичного аналізу, оскільки більшість теорем цього курсу - “іменні” теореми. Зупинимося в цьому пункті детально на ознайомленні студентів з творцями математичного аналізу [2].

Вивчаючи розділ “Дійсні числа”, а саме - питання “Множина ірраціональних чисел”, доцільно зауважити, що вперше ірраціональні числа з'явилися ще в середні віки. Однією з важливих теорем, які вивчаються в цьому розділі, є теорема про існування точних меж. Вона “безіменна”, тому варто повідомити, що вперше ця теорема (тільки в інших термінах) була сформульована у 1817 році чеським математиком Бернгардом Больцано (1781 - 1848).

Творчий шлях Б. Больцано цікавий і тернистий. Основні його наукові результати стали відомі і отримали визнання лише у 80-х роках 19 ст., а найважливіший твір “Вчення про функції” опубліковано в 1930 році. Його математичні досягнення довгий час не були відомі широкому загалу через те, що, виступаючи за звільнення своєї Батьківщини (Чехії) від австрійської імперії, Больцано потрапив під таємний нагляд поліції. Його позбавили права публічно виступати і друкуватися, а згодом (1820) звільнили з університету. Лише п'ять робіт з математики побачили світ за його життя, а решту опублікували через сто років. Зараз історичну справедливість відновлено і деякі теореми математичного аналізу носять подвійне ім'я: теорема Больцано-Коші, теорема Больцано-Вейєрштрасса [15].

Обмаль часу не дає змогу лекторові висвітлити досягнення Б. Больцано в розвитку математики, але студентам можна запропонувати самостійно ознайомитися з життям і науковим доробком видатного вченого, використавши для цього додаткову літературу. В процесі вивчення наступних тем студенти можуть повідомляти, які поняття і теореми Б. Больцано вивів і обґрунтував раніше О. Коші, К. Вейєрштрасса і Г. Кантора.

На першій лекції з розділу “Теорія границь” варто повідомити, що поняття границі є основою для строгої побудови всього математичного аналізу. Це поняття пронизує сьогодні весь математичний аналіз. Хоча так було не завжди. Як відмічалося раніше, теорія границь була створена пізніше інтегрального і диференціального числення.

Вперше означення поняття границі з'являється у роботі англійського математика Дж. Валліса (1616-1703), датованій 1655 роком. Зародки теорії границь можна зустріти і у І. Ньютона, він же ввів символ . Велику роль у створенні і розвитку теорії границь зіграли Л. Ейлер, Б. Больцано та інші. І тільки в руках французького математика О. Коші (1789-1857) теорія границь стала дійовим знаряддям для строгого обґрунтування і логічної побудови всього математичного аналізу. Позиція Коші розвіяла містичний туман, яким до нього були покриті початки аналізу, і отримала загальне визнання. Варто продемонструвати портрет Коші, відмітити, що Коші належить до “чистих” математиків 19 ст., оскільки він надавав великого значення не тільки гнучкості, але й точності як форм, так і висновків. Роботи Коші, які були присвячені різним галузям математики, відзначилися сучасною строгістю, обґрунтованістю викладок. Математичні журнали Франції епохи Коші не встигали друкувати його праці [16].

Що стосується вивчення неперервності функції однієї змінної, то чотири основні теореми цієї теми “іменні” (дві теореми Больцано-Коші, дві теореми Вейєрштрасса). Тому бажано показати портрети Больцано і Вейєрштрасса, відмітивши їх великий внесок у розвиток математики в цілому. Крім того, можна зауважити, що для окремого випадку (коли розглядувана функція є цілим многочленом) теореми Больцано-Коші були сформульовані, без достатнього обґрунтування у роботах Л. Ейлера і Ж. Лагранжа. Відповідну строгість доведення теорем про властивості неперервних функцій отримали лише на основі розвинених у другій половині 19 ст. арифметичних теорій дійсних чисел.

Під час вивчення основ диференціального та інтегрального числення треба звернути увагу студентів на те, що ідеї цього числення зародилися ще в 17 ст. Основоположниками диференціального та інтегрального числення були англійський фізик, астроном і математик Ісаак Ньютон (1642-1727) та німецький філософ і математик Готфрід Лейбніц (1646-1716). Перший з них виходив з механічних ідей (задача про швидкість), а другий - із геометричних (задача про дотичну). Після формулювання означення похідної функції в точці варто відмітити, що самий термін “похідна” був введений Ж. Лагранжем на межі 18-го і 19-го століття. І. Ньютон користувався терміном флексія [20].

Для актуалізації опорних знань студентів доцільно продемонструвати їм портрети цих вчених і з'ясувати, які відомості про життєвий і творчий шлях І. Ньютона і Г. Лейбніца студенти отримали в школі. Для підвищення інтересу студентів до теми і систематизації отриманих знань бажано показати різні символи, які використовувалися для позначення похідної:

або (Г. Лейбніц);

? (похідна часу) (І. Ньютон);

або (Ж. Лагранж);

або (О. Коші).

Після введення означення диференціала функції варто зауважити, що поняття диференціала і самий термін “диференціал” (від латинського слова differentia, що означає різниця) належить Г. Лейбніцу, який точного означення цьому поняттю не дав. Поряд з диференціалами Г. Лейбніц розглядав частки двох диференціалів, що рівносильно зараз сучасному позначенню похідних . Саме диференціал був для Г. Лейбніца основним поняттям. І тільки з часів О. Коші, який своєю теорією границь створив фундамент для аналізу і вперше чітко визначив похідну як границю, стало звичним спочатку розглядати похідну, а поняття диференціала будувати вже на основі похідної [14].

Всі теореми теми “Теореми про середнє значення ” - “іменні”. Тому бажано на лекції дати студентам таке домашнє завдання: підготувати коротку біографічну довідку про П'єра Ферма, Мішеля Ролля і Жозефа-Луї Лагранжа. На практичному занятті під час розв'язування задач на застосування відповідних теорем можна обговорити відомості, підготовлені студентами.

Матеріал з історії розвитку математики допоможе викладачам в процесі навчання математичного аналізу виховувати у студентів патріотизм і гордість за свою Батьківщину. Наприклад, програма курсу математичного аналізу передбачає в розділі “Невизначений інтеграл” вивчення теми “Інтегрування раціональних функцій”. В процесі вивчення цієї теми студенти знайомляться з методом М. В. Остроградського, за допомогою якого, не виконуючи попередньо інтегрування і, не розкладаючи знаменник на множники, можна виділити раціональну частину інтеграла . А саме , де - правильний дріб, - найбільший спільний дільник і , , і - многочлени степеня відповідно на одиницю менше, ніж степені многочленів і [14].

Їх можна знайти методом невизначених коефіцієнтів з тотожності . Ця формула дає змогу виділити раціональну частину інтеграла не виконуючи інтегрування і не розкладаючи знаменники на множники.

Пояснюючи студентам цей метод, викладач має чудову нагоду зробити короткий історичний екскурс, скажімо, так:

- Михайло Васильович Остроградський (1801-1862) - славетний український математик і механік, видатний вчений, організатор наукової школи прикладної математики і механіки, талановитий педагог і прогресивний реформатор математичної освіти.

Багато теорем і формул Остроградського увійшли в різні математичні курси. Добре відомі математикам усього світу метод інтегрування Остроградського, правила Остроградського, формула Остроградського і таке ін. На жаль, його ім'я не завжди згадується. Через непорозуміння досі говорять про теорему Ліувілля, метод Карно, принцип Рімана, хоч пріоритет у цих і багатьох інших питаннях належить саме М. Остроградському. Видатні заслуги М. В. Остроградського визнані усім науковим світом. Його обрали академіком Російської, Туринської, Римської, Американської академій, членом-кореспондентом Паризької академії наук та ін.

Вивчення розділу “Кратні інтеграли ” може завершитися зауваженням такого характеру. Поняття подвійного інтеграла встановив у 1769 році Л. Ейлер і на різних прикладах показав, як його обчислювати і застосовувати. Слідом за ним Ж. Лагранж прийшов до потрійних інтегралів (1773 р.) і розглянув для них питання про перетворення змінних. У 1836 році М.В. Остроградський у повідомленні Петербурзькій академії наук на тему “Про перетворення змінних у кратних інтегралах” встановив неправильність міркувань Ж. Лагранжа і дав оригінальне тлумачення цього питання.

Після доведення формули Остроградського (розділ “Поверхневі інтеграли”) варто зробити застереження: інколи формулу Остроградського пов'язують з іменем Гаусса. Насправді ж у Гаусса зустрічаються тільки окремі випадки цієї формули, причому кожен раз заново дається їх виведення. У загальній формі ця формула була вперше подана у 1828 році М. Остроградським, який застосував її до питання про поширення тепла у твердому тілі [11].

Після вивчення даного розділу варто запропонувати студентам самостійно ознайомитись із життєвим шляхом цих видатних науковців, підготувати про кожного з них короткі біографічні відомості.

В процесі вивчення розділу “Елементи функціонального аналізу” студенти ознайомлюються з теоремою Банаха та її застосуванням. Варто повідомити, що ця теорема була сформульована і доведена у 1922 році Стефаном Банахом. Вона є однією з найбільш класичних і фундаментальних теорем функціонального аналізу, а тому її результати використовуються при доведенні багатьох інших тверджень цієї дисципліни. Про творця даної теореми можна сказати так:

- Стефан Банах (30 березня 1892, Краків -- 31 серпня 1945, Львів) -- польський математик, професор Львівського університету та Львівської Політехніки (з 1924), декан фізико-математичного факультету Львівського університету (з 1939). Член Польської АН та член-кореспондент АН УРСР. Один з творців сучасного функціонального аналізу та львівської математичної школи.

Варто запропонувати студентам самостійно детальніше ознайомитися із біографією даного польського вченого, знайти цікаві історичні факти про його життя.

При вивченні розділу “Міра та інтеграл Лебега” студенти розглядають такі питання як міра Лебега, інтеграл Лебега та їх застосування. Студентам можна повідомити, що міра Лебега -- міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році. Варто показати портрет вченого і розповісти студентам короткі біографічні відомості про французького науковця. Можна згадати і про його досягнення в математиці, які лягли в основу створення даного розділу математичного аналізу. Перші дослідження Лебега стосувалися рядів Фур'є. Пізніше він зацікавився теорією інтегрування. Лебег вважається одним із засновників сучасної теорії функцій дійсної змінної. Створив теорію міри, упровадив поняття вимірної функції, ввів нове визначення інтеграла (інтеграл Лебега), завдяки чому стало можливим інтегрування надзвичайного широкого класу функцій. Досліджував можливість аналітичного зображення функцій. Написав роботи по теорії розмірності; довів існування функцій всіх класів класифікації Бера; отримав важливі результати геометричного і топологічного характеру; займався дослідженнями у питаннях теорії функцій, множин і теорії диференціювання. [13].

Додатково студенти можуть самостійно і більш детально ознайомитись із біографією цього видатного вченого.

Про основних творців математичного аналізу, таких як Готфрід Вільгельм Лейбніц та Ісаак Ньютон, студенти можуть підготувати реферати або інші наукові роботи.

Ознайомлення студентів з творцями математичного аналізу є важливим компонентом при вивченні даного навчального предмету, тому що це, в свою чергу, сприятиме більш ґрунтовному усвідомленню студентів у значущості вивчення даної математичної галузі.

2.2 Історичні задачі як засіб створення проблемних ситуацій на лекціях

Проблемна ситуація -- психологічний стан, що виникає в результаті мисленнєвої взаємодії суб'єкта (студента) з об'єктом (навчальним матеріалом), який викликає пізнавальну потребу розкрити суть процесу або явища, що вивчається.

Залежно від її складових, виділяють чотири компоненти проблемної ситуації: об'єкт (матеріал, що вивчається), суб'єкт (студент), мисленнєва взаємодія (процес мислення, спрямований на об'єкт) та особливості цієї взаємодії (зважаючи на виявлені суперечності), аналіз яких переростає в пізнавальну потребу студента розкрити суть об'єкта, що вивчається.

У навчальному процесі завжди є студент і матеріал, над яким потрібно думати. Матеріал сам по собі не викликає в суб'єкта пізнавальної потреби. Тому невід'ємною складовою проблемної ситуації є дія студента, його взаємодія з навчальним матеріалом, спрямована на засвоєння об'єкта пізнання.

Викладачеві необхідно так подати навчальний матеріал, щоб він сприяв появі особливого виду мисленнєвої взаємодії, залучив студента до проблемної ситуації та викликав у нього пізнавальну потребу. Одним із психологічних структурних елементів проблемної ситуації є інформаційно-пізнавальна суперечність, без якої проблемна ситуація неможлива [2].

За видом інформаційно-пізнавальної суперечності виділяють типи проблемних ситуацій:

-- усвідомлення студентами недостатності попередніх знань для пояснення нового факту;

-- зіткнення студентів з необхідністю використання раніше засвоєних знань у нових практичних умовах;

-- суперечність між теоретично-можливим шляхом вирішення завдання та практичною нездійсненністю обраного способу;

-- суперечність між практично досягнутим результатом виконання навчального завдання і відсутністю у студентів знань для його теоретичного обґрунтування.

Залежно від властивості невідомих, які потрібно розкрити в проблемній ситуації, вони бувають основними (невідоме є основним відношенням або закономірністю у темі, що вивчається) та допоміжними (невідоме є вужчим відношенням чи закономірністю). За способом подачі інформації проблемні ситуації бувають текстовими (виникають під час осмислення студентами інформації, що міститься у тексті або графічному матеріалі (у схемах, кресленнях) та безтекстовими (створюються усно, через матеріалізовану ситуацію -- демонстрацію за допомогою пристрою чи природного явища); за часом вирішення -- короткочасними (використовують для оперативної активізації діяльності студентів) та тривалими (розв'язується не на одному занятті, а через два-три).

Різноманітність типів проблемних ситуацій свідчить про важливість їх використання в навчальному процесі, зумовлює різні способи їх створення.

Створення проблемної ситуації -- найвідповідальніший етап у проблемно-розвиваючому навчанні.

Одним із ефективних засобів створення проблемної ситуації на лекціях з математичного аналізу є історична задача. Історичні задачі - це задачі, збережені історією, що передаються від покоління до покоління. Це задачі з давніх історичних пам'яток, створені відомими математиками або іншими історичними постатями, з давніх підручників і трактатів, журналів та інших друкованих джерел, а також задачі з математичних фольклорів різних народів. Багато задач, які дійшли до нас із сивої давнини, цікаві не стільки в математичному, скільки в історичному розумінні: вони дають можливість сучасникам оцінити рівень розвитку математики в різні часи. В математичному аналізі існує багато історичних задач, які можна задавати студентам в процесі вивчення певних тем та змістових модулів.

Так, наприклад в навчальному посібнику [1] подається цілий ряд історичних задач з математичного аналізу. Під час вивчення змістового модулю “Числова послідовність та її границя” студентам можна запропонувати таку історичну задачу:

Задача Х. Голбдбаха

Довести, що при і цілих і додатних сума всіх дробів виду має границею одиницю.

В к а з і в к а. Надавати і різних значень, починаючи з одиниці; таким чином, весь ряд буде складатися з нескінченної множини спадних геометричних прогресій.

Дана задача дасть змогу студентам більш змістовно усвідомити поняття числової послідовності, способи її задання, деякі види числових послідовностей, границю числової послідовності.

Під час вивчення змістового модулю “Вступ до аналізу” студентам можна запропонувати такі історичні задачі:

Задача А. Колмогорова

Яку додаткову умову необхідно накласти на значення у формулі , щоб отримати означення функції ?

В і д п о в і д ь.

Розв'язуючи дану задачу, студенти мають змогу закріпити свої знання з таких питань як поняття функції (поняття відповідності, взаємно однозначної відповідності, функціональної відповідності) та області її визначення.

Задача Й. Бернуллі

Довести, що .

Д о в е д е н н я. (сам Бернуллі замість писав ). Первісна лівої частини дорівнює , а правої - різниця логарифмів.

Дана задача дасть змогу студентам більш змістовно усвідомити поняття тригонометричних функцій, арифметичних дій над цими функціями.

В процесі вивчення змістового модулю “Інтегральне числення функцій однієї змінної” студентам можна запропонувати такі історичні задачі:

Задача Е. Торічеллі і Ж. Роберваля

Показати, що площа арки циклоїди дорівнює потроєній площі круга, що її утворює.

В к а з і в к а. Скористатися формулою і рівнянням циклоїди .

Задача Паскаля.

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням арки циклоїди навколо осі абсцис.

В к а з і в к а. Скористатися формулою .

Задача Е. Торрічеллі

Довести, що площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком показникової функції, пропорційна різниці значень цієї функції на кінцях відрізка.

Д о в е д е н н я. .

Задача У. Нейля.

Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи

В к а з і в к а. Скористатися формулою

Ці задачі дадуть змогу студентам більш ґрунтовно усвідомити поняття визначеного інтегралу та його застосування.

Під час вивчення змістового модулю “Числові ряди” можна розв'язати такі історичні задачі:

Задача Х. Гюйгенса

Знайти суму рядів .

В к а з і в к а. Скористатися тим, що означенням суми ряду.

Задача Я. Бернуллі

Довести, що .

Д о в е д е н н я. Оскільки , а ряд отримуємо із ряду , при .

Дані задачі дадуть змогу студентам більш змістовно усвідомити поняття числового ряду і його суми, деяких числових рядів, необхідної умови збіжності числового ряду, властивості збіжних числових рядів.

Всі ці історичні задачі були створені науковцями в різні історичні часи. На той час вони вважалися складними задачами, і невелика кількість людей, які мали певні теоретичні знання, могли їх розв'язати. На сьогоднішній день математичний аналіз дуже розвинувся і вже давно сформований як окремий навчальний предмет, тому теоретичних знань для розв'язання даних задач в повній мірі вистачає. Звичайно, в процесі вивчення навчального предмету ці задачі пропонуються для розв'язання як “задачі із зірочкою”, але кожен студент, в принципі, повинен вміти їх розв'язувати.

2.3 Види історичних екскурсів та їх місце на лекціях

Історичні екскурси, як одна із складових застосування історизмів, є невід'ємним компонентом в процесі вивчення математичного аналізу. Особливо це стосується лекційного матеріалу з даного навчального предмету, оскільки в процесі лекцій студенти постійно знайомляться з новими іменами творців даної математичної галузі, певними “іменними” теоремами, аксіомами, правилами, алгоритмами, поняттями і т.д.

У процесі вивчення математичного аналізу варто використовувати такі види історичних екскурсів:

· Історичні відступи на лекціях чи практичних заняттях;

· Повідомлення історичних відомостей, органічно пов'язаних з теорією і задачами;

· Реферати чи короткі доповіді студентів;

· Історичні повідомлення, що супроводжуються комп'ютерною презентацією, які включають такий матеріал, як біографії вчених та їх портрети, походження математичних термінів, легенди та ін.

Далі розглянемо, які із поданих видів варто використовувати на кожній із лекцій.

Вивчаючи розділ “Дійсні числа”, а саме - питання “Множина ірраціональних чисел”, доцільно зауважити, що вперше ірраціональні числа з'явилися ще в середні віки (у вигляді виразів, що містять радикали). У 18 ст. питання про ірраціональні числа розглядалися у зв'язку з вираженням геометричних величин. Критичний напрямок у математиці, який виник у кінці 18 ст. - на початку 19 ст., висунув вимогу точного означення основних понять аналізу і строгого доведення його основних положень [19]. Це, в свою чергу, зробило необхідним побудову логічно досконалої теорії ірраціональних, а потім і дійсних чисел на основі чисто арифметичного їх означення. У кінці 19 ст. було створено кілька таких теорій, різних за формою, але по суті рівносильних. Основні з них:

· Теорія Гільберта (аксіоматична теорія);

· Теорія Вейєрштрасса (ґрунтується на десятковому зображенні дійсного числа);

· Теорія Дедекінда (на основі перерізів);

· Теорія Кантора (за допомогою фундаментальних послідовностей).

Предметом математичного аналізу є функція. Тому після ознайомлення студентів з поняттям функції, з основними способами задання функції, варто коротко зупинитися на генезисі цього поняття.

Виникненню поняття функції передувало введення в математику змінної величини, яке зазвичай пов'язують з іменем французького математика Р. Декарта (1596-1650). Самий термін функція з'явився у роботі Г. Лейбніца у 1692 році і використовувався для характеристики різних відрізків, пов'язаних з точками деякої кривої. Перше означення функції, яке вже не було пов'язане з геометричними уявленнями, дав Й. Бернуллі у 1718 році. Л. Ейлер (1707-1783) у 1748 році дав означення функції, за яким вона ототожнювалася з тим аналітичним виразом, яким вона була задана. Він же ввів звичне для нас позначення . М. Лобачевський у 1834 році, а П. Діріхле у 1837 році, означаючи поняття функції, на перший план висувають ідею відповідності між елементами двох числових множин. В процесі лекції варто показати студентам портрети даних вчених і запропонувати їм підготувати короткі історичні доповіді про цих науковців, з яким вони можуть виступити на практичних заняттях [20].

Вивчаючи тему “Диференціал функції”, варто подати такі історичні відомості. В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. Архімед використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескіченно малими величинами можуть бути точні. Бхаскара II розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін. Шараф аль-Дін аль-Тусі використовувах їх для обчислення похідної кубічного рівняння. Ісаак Ньютон називав їх похідними. Проте Лейбніц був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер. В позначенні Лейбніца, якщо x - змінне число тоді dx позначає нескінченно малий приріст змінної x. Таким чином, якщо y функція від x, тоді похідна y по змінній x часто позначається , що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) чи . Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі [20]. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції y(x) дорівнює нахилу функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити границю відношення приросту y в залежності від приросту x, якщо приріст x прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад dx має таку саму розмірність як і змінна x. Диференціал використовують в позначенні інтеграла, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під графіком функції обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі , знак інтеграла (витягнуте s) означає нескінченну суму, f(x) позначає “висоту” тонкої стрічки, а диференціал dx позначає нескінченно тонку ширину.

Вивчаючи тему “Визначений інтеграл”, студенти розглядають такі поняття як: інтеграл Рімана, властивості визначеного інтегралу, головна теорема інтегрального числення, узагальнення визначеного інтеграла. Варто додати, що існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса, інтеграл Даніелла тощо. Також можна подати короткі історичні повідомлення про кожен із різновидів даних інтегралів. Наприклад:

- Інтеграл Лебега -- це узагальнення інтеграла Рімана на ширший клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також iнтегровні за Лебегом, причому в такому разі обидва інтеграли однакові. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах. Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на iнтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразiв цих інтервалів. Важливо зазначити, що побудова інтеграла Лебега спирається на теорію міри Лебега [14].

Про інтеграл Даніелла варто висвітлити такі історичні відомості. Одне з основних ускладнень у використанні традиційного інтеграла Лебега полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної теорії міри.

Існує інший підхід, викладений Даніеллем в 1918 році в його статті «Загальний вид інтеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), що не має цього недоліку і що має значні переваги при узагальненні на простори вищих розмірностей і подальших узагальненнях (наприклад, у формі інтеграла Стілтьєса).

Основна ідея полягає в аксіоматизуванні поняття інтеграла. Розглянемо сімейство H обмежених дійснозначних функцій (названих елементарними функціями), визначених на множині X, що задовольняє таким аксіомам:

1. H -- лінійний простір із звичайними операціями додавання і скалярного множення.

2.: якщо фукція належить H, то її модуль також належить H.

Крім того, на просторі елементарних функцій визначається додатньо визначений неперервний лінійний функціонал I, названий елементарний інтеграл.

1. Лінійність: якщо h і k обидва належать H, і б, в -- довіотні дійсні числа, тоді I(бh + вk) = бIh + вIk.

2. Невід'ємність: якщо , тоді .

3. Неперервність: якщо h_n(x) незростаюча послідовність (тобто) функцій з H, які збігаються до нуля для всіх x в X, тоді .

У цих термінах можна визначити множину міри нуль. Множина Z, що є підмножиною X, має міру нуль, якщо для будь-якого існує неспадна послідовність невід'ємних елементарних функцій така, що і на Z.

Якщо деяка умова виконується на X скрізь, окрім, можливо, підмножини міри нуль, то говорять, що вона виконується майже всюди.

Розглянемо множину L⁺, що складається зі всіх функцій, що є межею неспадних послідовностей {h_n} елементарних функцій майже всюди, причому множина інтегралів Ih_n обмежена. Інтеграл функції за визначенням дорівнює: .

Можна показати, що це визначення коректне, тобто воно не залежить від вибору послідовності {h_n}.

За допомогою цієї конструкції можуть бути доведені майже всі теореми теорії інтеграла Лебега, наприклад теорема Лебега про домінантну збіжність, теорема Тонеллі -- Фубіні, лема Фату і теорема Ріса-Фішера. Його властивості такі ж, як і у звичайного інтеграла Лебега [18].

Із-за природної відповідності між множинами і функціями, можливо побудувати теорію міри на основі інтеграла Деніелла. Якщо взяти характеристичну функцію ч(x) деякої множини, то її інтеграл може бути взятий за міру цієї множини. Можна показати, що це визначення еквівалентне класичному визначенню міри за Лебегом.

Така побудова узагальненого інтеграла має деякі переваги перед методом Лебега, особливо у функціональному аналізі. Конструкції Лебега і Деніелла еквівалентні, якщо розглядати як елементарні ступінчасті функції, проте при узагальненні поняття інтеграла на складніші об'єкти (наприклад, лінійні функціонали) виникають істотні труднощі в побудові інтеграла за Лебегом. За Деніеллем інтеграл будується простіше [22].

Про кожен із різновидів визначених інтегралів студентам варто запропонувати виконати більш змістовні наукові роботи, наприклад реферати, в яких студенти повинні висвітлити такі поняття, як визначення, властивості, міри, що вводяться на основі даного інтеграла, переваги перед класичними визначеннями.

В процесі вивчення теми “Теорема Банаха та її застосування”, студентам варто повідомити, що ця теорема була сформульована і доведена у 1922 році Стефаном Банахом. Вона є однією з найбільш класичних і фундаментальних теорем функціонального аналізу, а тому її результати використовуються при доведенні багатьох інших тверджень цієї дисципліни. Додатково студенти можуть підготувати цікаві історичні факти про створення цієї теореми, з якими вони можуть виступити на практичних заняттях з даної теми [15].

Як бачимо, кожен із видів історичних екскурсів має місце, де його можна застосувати на кожній конкретній лекції. Варто лише підібрати правильні методи і форми його застосування, що в свою чергу сприятиме підвищенню інтересу студентів до даного навчального предмету.

2.4 Експериментальна перевірка результатів дослідження

Для дослідно-експериментальної перевірки результативності запропонованих методичних розробок і вироблення методичних рекомендацій щодо їх застосування з метою підвищення рівня інтересу студентів у процесі вивчення математичного аналізу нами проводилися констатуючий, пошуковий і формуючий етапи експерименту.

У процесі констатуючого експерименту розв'язувалися такі завдання:

а) проаналізувати науково-методичну літературу з проблеми дослідження;

б) вивчити стан проблеми в університеті;

в) виявити характер і причини труднощів, які виникають у студентів під час вивчення математичного аналізу.

У ході констатуючого експерименту нами застосовувалися обсерваційні методи педагогічних досліджень (спостереження) та діагностичні методи (опитування студентів).

Констатуючий експеримент та спостереження показали:

а) студенти 1-го курсу мають переважно середній рівень інтересу до навчального предмету (особливо студенти напряму підготовки Фізика);

б) недостатню роботу викладачів з використання історизмів у процесі вивчення математичного аналізу.

На етапі пошукового експерименту уточнювалися методичні прийоми і форми впровадження історизмів в курс лекцій з математичного аналізу, проводився цілеспрямований пошук та добір історичних фактів, алгоритмів, задач, які стали основою для створення методичних розробок.

На перших двох етапах експерименту було виявлено середній рівень інтересу студентів в процесі вивчення математичного аналізу та підтверджені висновки про можливість використання історизмів в курсі лекцій з математичного аналізу. Крім того, середній рівень інтересу до навчального предмету показує необхідність і можливість введення історизмів в курс лекцій з математичного аналізу.

На пошуковому і констатуючому етапах експерименту були створені необхідні передумови для проведення формуючого етапу експерименту.

На формуючому етапі експерименту перевірялася ефективність впровадження історизмів в курс лекцій з математичного аналізу.

Експериментальною базою було обрано ГНПУ імені Олександра Довженка, а саме групи студентів 1-го курсу факультету природничої та фізико-математичної освіти (напрямів підготовки Фізика та Математика). Об'єм вибірки становив 38 студентів: з них 19 чоловік 13-М групи (напряму підготовки Математика) та 19 чоловік 14-Ф групи (напряму підготовки Фізика). Заняття в контрольних і експериментальних групах проводилися одним викладачем.

У контрольній групі вивчення математичного аналізу відбувалося за традиційною методикою. У експериментальній групі навчальний процес відбувався на основі елементів пропонованої методичної системи, тобто:

1. Під час вивчення теоретичного матеріалу кожного програмового розділу було виділено ті історичні положення, на основі яких були створені методичні розробки.

2. Історизми впроваджувалися практично на кожній лекції з математичного аналізу.

Інших відмінностей у процесі вивчення математичного аналізу в контрольній та експериментальній групі не було.

Для з'ясування впливу запропонованої методики на підвищення рівня інтересу студентів нами аналізувалися тематичні і модульні роботи, виконані студентами експериментальної та контрольної груп, та опитувальник, який складався з 15-и запитань. Метою даного опитування було виявлення рівня інтересу студентів до навчального предмету. До опитувальника були включені різнопланові запитання з метою виявлення певного рівня інтересу студентів в процесі вивчення математичного аналізу. Максимальна сума балів за опитування - 15 балів.

Аналіз результатів опитування проводився за такою схемою. Підраховувалися тільки відповіді “Так”. Кожна відповідь “Так” прирівнювалася до одного балу. 11 і більше набраних балів показують високий інтерес до предмету, від 6 до 10 балів - середній інтерес, від 0 до 5 балів - низький інтерес до навчального предмету

Статистична вірогідність впливу запропонованої методики обґрунтовувалася за допомогою медіанного критерію [5]. Медіана ряду розподілу результатів оцінювання опитувань студентів експериментальної та контрольної груп за сумою отриманих ними балів у нашому випадку дорівнює 8. Обчислення статистики Т-критерію виконували за формулою:

,

де N - загальна кількість студентів експериментальної та контрольної групи,

А і В - кількість студентів експериментальної і контрольної групи відповідно, які отримали не менше 8 балів,

С і D - кількість студентів експериментальної і контрольної групи відповідно, які отримали не більше 8 балів. Для 13-М групи (спеціальність математика): A=0, B=11, C=0, D=8. Для 14-Ф групи (спеціальність фізика): A=15, B=0, C=4, D=0. Тоді Т_сп ? 8,2 для контрольної групи і Т_сп ? 12,1 для експериментальної групи.

Порівнюючи отримані значення Т з відповідним наближеним значенням Т_кр ? 3,84, приходимо до висновку, що Т_сп > Т_кр. А це означає, що медіани розподілу студентів в експериментальній і контрольній групах відрізняються одна від одної зі збільшенням в сторону експериментальних.

Це дає підстави говорити про вищий інтерес студентів експериментальної групи до навчального предмету.

Для визначення ефективності запропонованої методики проводилися бесіди з викладачами, які брали участь у формуючому етапі експерименту. Викладачі позитивно оцінили запропоновану методику, відзначили підвищення рівня інтересу студентів, підвищення інтелектуального розвитку, покращення якості та успішності навчання.

Отже, педагогічний експеримент підтвердив гіпотезу нашого дослідження, оскільки його результати свідчать про підвищення інтересу студентів до вивчення математичного аналізу і, як наслідок, покращенню рівня знань і якості успішності.

У другому розділі, спираючись на теоретичні засади викладені в першому розділі, підібрано необхідний історичний матеріал для проведення запропонованої історичної методики. На основі проведеного дослідження можна сформулювати такі висновки:

1) Ознайомлення студентів з творцями математичного аналізу є невід'ємною складовою процесу вивчення лекційного курсу даного предмету, оскільки студенти постійно стикаються з “іменними” теоремами, аксіомами, означеннями, правилами, алгоритмами і т.д.

2) Історичні задачі є одним із ефективних засобів створення проблемної ситуації на лекціях з математичного аналізу, тому що в результаті мисленнєвої взаємодії студента з навчальним матеріалом, виникає пізнавальна потреба розкрити суть процесу або явища, що вивчається.

3) Історичні екскурси, як одна із складових застосування історизмів, є невід'ємним компонентом в процесі вивчення математичного аналізу. Викладачеві потрібно підібрати необхідний вид даного екскурсу, який доцільно використовувати на кожній лекції.

4) Експериментальне дослідження показало, що рівень інтересу студентів до вивчення математичного аналізу можна підвищити, якщо створити для цього сприятливі умови:

а) забезпечити мотиваційну і психологічну готовність студентів до використання історичного матеріалу шляхом його систематичного застосування на лекціях з математичного аналізу;

б) підбирати необхідний вид історичних екскурсів, який доцільно використовувати на кожній лекції з певної теми;

в) включати в лекційний курс математичного аналізу історичні задачі як засіб створення проблемних ситуацій на лекціях.

лекція математичний педагогічний історичний

Висновки

Розглянувши математичний аналіз як науку і навчальний предмет, проаналізувавши стан проблеми дослідження в університеті, підібравши необхідний історичний матеріал та провівши експериментальне дослідження, я можу зробити такі висновки:

1. Проблема застосування історичного матеріалу на лекціях з математичного аналізу є актуальною на сьогоднішній день, але більшість викладачів-математиків не звертають увагу на цей факт, а проводять заняття у типовій формі, не застосовуючи історичних задач або інших історичних повідомлень. Тоді як аналіз проявів інтересу студентів показав, що більшість із них мають невисокий рівень інтересу до даного навчального предмету, що в свою чергу впливає на їхній низький рівень знань.

2. У науковій літературі широко висвітлено різні види історичних екскурсів. Дослідження показало, що на лекціях з математичного аналізу варто використовувати такі види історичних екскурсів як історичні відступи, повідомлення історичних відомостей, органічно пов'язаних з теорією та задачами, реферати чи короткі відповіді студентів, історичні повідомлення, що супроводжуються комп'ютерною презентацією, які включають такий матеріал, як біографії вчених та їх портрети, походження математичних термінів, легенд та ін. Експериментальна перевірка показала, що саме ці види історичних екскурсів органічно вплітаються в лекційний курс навчального предмету і ефективно впливають на прояви інтересу студентів до нього.

3. Для забезпечення реалізації мети дипломної роботи до застосування історизмів на лекціях з математичного аналізу, необхідно проаналізувати і чітко виділити програмові вимоги до теоретичних знань та практичних умінь студентів по даному навчальному предмету.

Список використаних джерел

1. Бевз В.Г. Практикум з історії математики: / В.Г. Бевз //Навчальний посібник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних університетів. - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2004. - 312 с.

2. Бевз В.Г. Історія математики у фаховій підготовці майбутніх вчителів. / В.Г. Бевз - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2005. - 356 с.

3. Вивальнюк Л.М. Елементи історії математики: / Л.М. Вивальнюк, М.Я. Ігнатенко // Навч. посібник. - К.: ІЗМН, 1996. - 241 с.

4. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. / Г. Вилейтнер // - М.: Наука, 1966. - 508 с.

5. Грабарь М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: / М.И. Грабарь, К.А. Краснянская // Непараметрические методы. - М.: Просвещение, 1977. - 136 с.

6. Даан-Дальмедико А. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейфер - М.: Мир, 1986. - 287 с.

7. Дороговцев А.Я. Математический аналіз / А.Я. Дороговцев // Справочное пособие. - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985. - 528 с.

8. Конфорович А.Г. Визначні математичні задачі. / А.Г. Конфорович / - К.: Рад. школа, 1981. - 189 с.

9. Конфорович А.Г. Історія розвитку математики: / А.Г. Конфорович, А.М. Андрієвська // Альбом: Навчальний наочний посібник. - К.: Вища школа, 1987. - 263 с.

10. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX ст. Т.1.: / Ф. Клейн // Пер. с нем. - М.: Наука, 1989. - 273 с.

11. Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии / А.Н. Колмогоров // Под ред. В.А. Успенского. - М.: Наука, 1991. - 318 с.

12. Назаров В.Ю. Елементи історії математики: / В.Ю. Назаров // Навч. пос. для студентів ф.-м. факультетів. - Ніжин: НДПУ, 2002. - 238 с.

13. Рыбников К.А. История математики. / К.А. Рыбников - М., 1974. - 346с.

14. Стройк Д.Я. Краткий очерк по истории математики. / Д.Я. Стройк / - М., 1964. - 273 с.

15. Стройк Д.Я. Коротка історія математики / Д.Я. Стройк // Пер. з англ. і доповнення С.М. Кіро. - К.: Рад. школа, 1960. - 305 с.

16. Тихомиров В. Математика во второй половине XX века. / В. Тихомиров / Квант. - 1999. - №1. - 284 с.

17. Тихомиров В. Математика в первой половине XX века. / В. Тихомиров / Квант. - 2000. - № 1-2. - 337 с.

18. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. / Г.М. Фихтенгольц / Т. 1. - М., 1956. - 440 с.

19. Фрейман Л.С. Творцы высшей математики. / Л.С. Фрейман / - М.: Наука, 1968. - 289 с.

20. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. / Г.Г. Цейтен - М.: Л., 1948. - 337 с.

21. Цейтен Г.Г. История математики в XVI - XVII вв. / Г.Г. Цейтен / - М.: Л., 1933. - 359 с.

22. Чистяков В.Д. Старинные математические задачи. / В.Д. Чистяков / - Минск, 1966. - 248 с.

23. Шереметьевский А.П. История математики в средние века. / А.П. Шереметьевский / - М., 1961. - 372 с.

24. Юшкевич А. . История математики в Средние века. / А.П. Юшкевич / - М., 1961. - 351 с.

25. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. / А.П. Юшкевич / М., 1968. - 349 с.

Размещено на Allbest.ru