Дослідження систематичного використання історизмів в курсі лекцій з математичного аналізу

Діяльнісний підхід до організації навчального процесу в педагогічному університеті. Змістове наповнення та методика використання історичного матеріалу на лекціях з математичного аналізу. Історичні задачі як засіб створення проблемних ситуацій на лекціях.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык украинский
Дата добавления 21.04.2015
Размер файла 195,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ 1. Теоретичні аспекти проблеми дослідження

1.1 Математичний аналіз як наука

1.2 Математичний аналіз як навчальний предмет

1.3 Діяльнісний підхід до організації навчально-виховного процесу в педагогічному університеті

Розділ 2. Змістове наповнення та методика використання історичного матеріалу на лекціях з математичного аналізу

2.1 Ознайомлення студентів з творцями математичного аналізу

2.2 Історичні задачі як засіб створення проблемних ситуацій на лекціях

2.3 Види історичних екскурсів та їх місце на лекціях

2.4 Експериментальна перевірка результатів дослідження

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

Зміст освіти сьогодні - це не тільки знання, навички і уміння в певній освітній галузі, а й загальнолюдська культура, яка знаходить вираження в цій галузі. Сучасні тенденції оновлення змісту освіти передбачають, крім усього іншого, його культуровідповідність, гуманізацію, гуманітаризацію, інтеграцію й особистісну орієнтацію. Тому ефективним засобом оновлення змісту математичної освіти у вказаних напрямках має стати історія математики. А забезпечити культурологічний характер сучасної математичної освіти покликана історико-методологічна підготовка вчителя математики.

Історія науки вводить нас у творчу лабораторію вчених, учить бачити в математиці не суму незмінних правил і догм, а результат довгих і наполегливих пошуків багатьох поколінь, показує, що за кожним математичним фактом, за кожною науковою теорією приховані зусилля конкретних дослідників. Математичні поняття, відношення та теорії завдяки історичній динамічності стають ближчими і зрозумілішими. Історія математики репрезентує багатий матеріал про діяльність учених як яскраве свідчення величі їх праці і наочне підтвердження великої цінності наукового знання. Таке реальне життя науки, включене до змісту навчальної дисципліни, створює суттєвий вплив спеціальних математичних знань на психологічну структуру особистості, а загалом - на формування математичної культури майбутнього вчителя математики.

У процесі вивчення математичного аналізу, як окремої галузі математики, дуже часто доводиться спиратися на історико-математичні знання та поняття, які були відкриті або встановлені багатьма видатними дослідниками. Повідомлення та зауваження історико-математичного характеру у вивченні різних тем математичного аналізу не мають на меті підмінити історію математичного аналізу. Вони покликані торкнутися генезису основних понять, створити у студента загальну орієнтацію в хронології найважливіших подій з історії аналізу, гуманізувати зміст курсу, ознайомлюючи слухачів з творцями цієї математичної галузі.

Слід відмітити, що історичні зауваження органічно вплітаються у лекційний курс математичного аналізу, оскільки більшість теорем цього курсу - “іменні” теореми.

Отже, приводом до написання роботи стала необхідність дослідження систематичного використання історизмів в курсі лекцій з математичного аналізу.

Об'єктом дослідження є математичний аналіз.

Предметом дослідження є лекційний курс математичного аналізу.

Гіпотеза дослідження. Систематичне використання історизмів в курсі лекцій математичного аналізу підвищує інтерес студентів до цього предмету.

Мета дослідження. З'ясувати, який історичний матеріал і на якому етапі лекцій з математичного аналізу доцільно використовувати.

Задачі дослідження:

1. Розглянути математичний аналіз як науку і навчальний предмет.

2. З'ясувати функції історизмів у процесі навчання математичного аналізу.

3. Проаналізувати діяльнісний підхід до організації навчально-виховного процесу в педагогічному університеті.

4. Ознайомити студентів з творцями математичного аналізу.

5. Підібрати історичні задачі як засіб створення проблемних ситуацій на лекціях.

6. Експериментально перевірити результати дослідження.

Для досягнення мети і розв'язання поставлених завдань були використані такі методи дослідження:

теоретичні - аналіз теоретичного матеріалу курсу лекцій математичного аналізу; аналіз навчальних програм, Галузевих стандартів та підручників курсу математичного аналізу;

емпіричні - спостереження, бесіди зі студентами та викладачами вищих навчальних закладів, аналіз лекційного матеріалу, підбір історичних задач як засобу створення проблемних ситуацій на лекціях, анкетування для виявлення рівня зацікавленості студентів; узагальнення передового педагогічного досвіду; організація і проведення констатуючого, пошукового та формуючого етапів експерименту для перевірки ефективності розробленої методичної системи.

Розділ 1. Теоретичні аспекти проблеми дослідження

1.1 Математичний аналіз як наука

Математичний аналіз, як самостійна галузь науки, почав формуватися із зародження інтегрального та диференціального числення.

Формування інтегрального та диференціального числення відбулося на основі операцій з нескінченно малими величинами в процесі розвитку інтегральних та диференціальних методів і встановлення тісних зв'язків між ними. Розглянемо джерела виникнення і засоби творення цих методів, які виникли незалежно один від одного на різних етапах розвитку математики і довгий час застосовувалися для розв'язування двох різних груп задач.

Перша група задач зводиться до знаходження сум нескінченно великого числа нескінченно малих доданків. Це - задачі про визначення площ, об'ємів, роботи, центрів тяжіння тощо.

Щоб уникнути нескінченності в обчисленні мір давньогрецький вчений Евдокс запропонував метод вичерпування. Цей метод плідно розвивали і застосовували Евклід, Архімед та інші математики.

Для знаходження площ і об'ємів геометричних фігур Архімед використовував методи, які схожі до обчислень геометричних сум. Наприклад, щоб знайти об'єм тіла обертання, зокрема сфероїда, Архімед розбивав його на n шарів рівної товщини. Далі розглядав суми об'ємів циліндрів, описаних навколо кожного із цих шарів і вписаних в них, показував, що різниця цих сум при збільшенні n стає як завгодно малою. Нарешті, знаходив об'єм розглядуваного тіла як спільну границю цих сум. У такий спосіб Архімед розв'язав багато задач, які тепер розв'язуються за допомогою інтегралів [2].

Таким чином, уже антична математика містила елементи визначеного інтегрування, зокрема, побудову верхніх і нижніх інтегральних сум, аналогічних певною мірою сумам Дарбу. Метод інтегральних сум давніх греків спирався на інтуїтивне, строго не визначене поняття площі та нескінченної суми, а тому застосовувався індивідуально для кожної конкретної задачі без виділення теоретичних основ.

Метод Архімеда для обчислення площ і об'ємів дещо спростив і узагальнив італійський математик Л. Валеріо. Йому вдалось уникнути прикінцевого доведення методом від супротивного за рахунок використання на інтуїтивному рівні граничного переходу. Він сформулював загальну теорему і посилався на неї, щоб не проводити щоразу детальні доведення. Але робота Валеріо “Три книги про центр тяжіння тіл” (1604) не отримала такої популярності, як роботи Й. Кеплера і Б. Кавальєрі.

Німецький астроном і математик Й. Кеплер, використовуючи ідеї Архімеда, ще більше звертався до інтуїтивних прийомів і зовсім не обґрунтовував їх. Щоб обчислити площу якоїсь фігури, він розбивав її на нескінченну множину нескінченно малих елементів однієї з нею розмірності. З цих елементів утворював нову фігуру, площу якої вже вмів обчислювати. Цей метод Й. Кеплер застосовував і до обчислення об'ємів тіл. Зокрема, вважаючи, що кожне тіло обертання складається з безлічі “найтонших кружечків”, він визначив об'єми 92 таких тіл.

Ще далі пішов італійський математик Б. Кавальєрі. Уявляючи кожну фігуру як таку, що складена з “неподільних” - плоска фігура з відрізків, а тіло з плоских фігур - він сформулював свої принципи: плоскі фігури і тіла співвідносяться між собою так, як всі їх неподільні разом взяті; якщо неподільні перебувають в одному і тому ж відношенні між собою, то відношення площ відповідних фігур чи об'ємів тіл дорівнює цьому відношенню. Метод неподільних Ю. Кавальєрі мав істотні недоліки, але сам Кавальєрі вважав ці твердження очевидними і приймав їх без доведення, як принципи [3].

У першій половині 17 ст. математики встановили, що велика кількість різнорідних задач з геометрії та механіки мають спільні шляхи розв'язання і зводяться до квадратур чи кубатур. Ідеї, що містили елементи визначеного інтегрування, швидко поширювалися серед математиків Західної Європи. Їх використовували і розвивали Е. Торічеллі, Н. Меркатор, Б. Паскаль, П. Ферма, Р. Декарт, Х. Гюйгенс, Д. Валліс, І. Барроу. Але на той час можливості цих методів були обмеженими, бо в кожному конкретному випадку підраховувалися границі нових інтегральних сум.

До другої групи задач можна віднести задачі про рухи та інші процеси. Для визначення напрямку руху тіла в деякій точці його траєкторії потрібне було поняття дотичної. Дослідження кривих ставили задачі на максимум і мінімум. Вивчення руху взагалі вимагало поняття миттєвої швидкості. Ці задачі ставилися з давніх часів, але розв'язувалися тоді геометричними і механічними способами, не пов'язаними спільною ідеєю. Так Архімед досліджував як побудувати дотичну до спіралі.

Тільки в 17 ст. виявили, що всі ці задачі можна розв'язувати єдиним методом, використовуючи нескінченно малі величини. Цей метод отримав розвиток у роботах Р. Декарта, П. Ферма, Д. Грегорі, Д. Валліса, І. Барроу та інших. Розвиток цього методу привів до створення диференціального числення.

Найкращі результати на цей час отримали П. Ферма та І. Барроу. П. Ферма по суті вмів знаходити похідну довільного многочлена від однієї змінної. Користуючись цим, він показав, як розв'язувати екстремальні задачі, в тому числі - про вписування в дану кулю конуса найбільшого об'єму, циліндра найбільшої площі поверхні тощо. Але саме поняття похідної він не виокремив. Прийоми, розроблені П. Ферма, стали безпосередніми посередниками диференціального числення. Це відмічали Ж. Д'Аламбер, Ж. Лагранж і П. Лаплас.

Останнє відкриття, яке передувало створенню математичного аналізу, зробив І. Барроу. В роботі “Оптичні і геометричні лекції” (1669-1670) він встановив зв'язок між двома важливими задачами: обчислення площі і проведення дотичної. Застосовуючи сучасні позначення, доведене ним твердження можна записати у такому вигляді: .

Як бачимо, цим самим встановлено взаємну оберненість операцій диференціювання та інтегрування. До доведення цієї залежності І. Барроу підійшов двома шляхами: кінематично і геометрично. Це доведення мало загальний характер: він встановлює і доводить свої твердження відразу для всіх функцій. Твердження І. Барроу дає можливість за результатами якого-небудь диференціювання чи інтегрування віднайти результат застосованої до нього оберненої операції. Використовуючи цей результат він розв'язав багато обернених задач на дотичні. З його творами ознайомилось багато вчених, але вони не зрозуміли загальності і важливості цієї залежності через громіздке геометричне формулювання й уникання аналітичних методів. На сьогоднішній день залежність, встановлена І. Барроу, є змістом основної теореми математичного аналізу. Саме вона дає змогу обчислювати інтеграли за допомогою знаходження первісної, тобто використовуючи операцію обернену до диференціювання [2].

Основні ідеї математичного аналізу, щоправда в механічній та геометричній формах, повністю визріли на кінець 17-го століття. Для остаточного створення інтегрального і диференціального числення стало необхідним об'єднати існуючі загальні прийоми, які застосовувалися для розв'язування різних задач, в єдиний метод на базі поняття нескінченно малої величини і виробити алгоритм для обчислення похідних та інтегралів. Це стало під силу двом геніальним вченим - І. Ньютону і Г. Лейбніцу. Їх обох вважають основоположниками диференціального числення.

До основних понять і до алгоритму числення нескінченно малих І. Ньютон прийшов у середині 60-х років 17-го століття. Перший виклад свого нового аналітичного методу Ньютон записав восени 1666 року у чорновому нарисі, який мав назву “Наступні пропозиції достатні для розв'язання задач за допомогою рухів”. Численню нескінченно малих Ньютон присвятив ще кілька робіт: “Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченною кількістю членів”, “Метод флюксій і нескінченних рядів”. Вони були надруковані тільки на початку 18 ст., а до публікації мали обмежене поширення.

Погляди І. Ньютона на числення нескінченно малих кілька разів змінювалися. Спочатку, під впливом Барроу і Валліса, Ньютон оперував з нескінченно малими величинами, називаючи їх моментами. Він використовував моменти площ і побудував на їх основі свій метод квадратури.

1669 року Ньютон встановив чіткий зв'язок між квадратурами і похідними. Слід відмітити, що на той час у явному вигляді ще не існувало означення похідної, інтеграла і нескінченно малих приростів [5].

У 1671 р. І. Ньютон відмовився від нескінченно малих величин і у праці “Метод флюксій і нескінченні ряди” увів свій найбільш відомий метод. Він розглядає математичні величини як “породжувані внаслідок неперервного зростання, подібно до шляху, який описує тіло або будь-яка річ, що рухається”, і вводить поняття “швидкості породжуючи їх рухів”. Ці швидкості були названі ним “флюксіями”.

У теорії флюксій І. Ньютон розв'язував дві основні задачі:

1. Визначення швидкості руху в даний момент часу за заданим шляхом.

2. За заданою швидкістю руху визначити пройдений за даний час шлях.

Перша задача - диференціювання функції декількох змінних, які залежать від часу. Розв'язання цієї проблеми привело Ньютона до обчислення флексії (похідної) від даної елюенти (функції) і до своєрідного обґрунтування розвинутого ним диференціального числення. Для розв'язання цієї задачі Ньютон увів спеціальне правило - алгоритм диференціювання функцій.

Друга задача - інтегрування диференціального рівняння першого порядку. До неї, зокрема, належать задачі визначення функції F (вона називається первісною), знаючи її похідну. Саме ця задача приводить до поняття невизначеного інтеграла.

Використання теореми про взаємну оберненість операцій диференціювання та інтегрування, знання похідних багатьох функцій дало Ньютону можливість отримувати флюєнти. Якщо інтеграли безпосередньо не обчислювались, Ньютон розкладав підінтегральну функцію в степеневий ряд і інтегрував його почленно. Введення такого прийому - заслуга Ньютона [2].

Більшість результатів теорії флексій Ньютон отримав у 60-70 роках 17 ст., але з публікаціями не поспішав. Однією з причин цього стала недостатня логічна обґрунтованість теорії флексій. Ньютон шукав методи її обґрунтування і на цьому шляху створив метод перших і останніх відношень - початкову форму теорії границь. Цей метод він виклав у творі “Математичні основи натуральної філософії”. Сучасною термінологією твердження І. Ньютона розкриваються у таких положеннях.

Границя відношення довжини дуги до довжини хорди є одиниця. Одиниця служить границею відношення довжини дуги до відрізка дотичної від точки дотику до точки перетину з ординатою другого кінця.

І все ж методи, розроблені Ньютоном, залишалися недостатніми для обґрунтування диференціального числення. Це був той етап розвитку аналізу нескінченно малих, коли теорія існує і розвивається, але не роз'яснюється.

Іншими шляхами прийшов до створення числення нескінченно малих Г. Лейбніц. В 1672 р. у Парижі він познайомився з Х. Гюйгенсом, який звернув увагу молодого вченого на математику і, зокрема, на задачу про визначення суми чисел, обернених трикутним. Так Г. Лейбніц почав займатися підсумовуванням рядів, яке згодом розглядав як підготовку до створення диференціального числення. Зустрічі та бесіди з Х. Гюйгенсом показали Г. Лейбніцу власну необізнаність у новій математиці, і він почав завзято вивчати твори Б. Кавальєрі, Ж. Роберваля, Б. Паскаля, Р. Декарта, Д. Грегорі і самого Х. Гюйгенса. Одержимий отриманими знаннями Г. Лейбніц зрозумів, що в галузі нового аналізу накопичилась значна кількість розв'язань частинних задач і для відкриття загального методу не вистачає зручної символіки. З 1673 р. думки з цього приводу не покидали Лейбніца [6].

Зазвичай Лейбніц позначав датою свої чорнові записи, а тому в загальних рисах можна встановити послідовність і часові межі створення ним нового числення.

1. Знаходження сум рядів і застосування для цього скінченних різниць (з 1673).

2. Розв'язування задач на дотичні, узагальнення характеристичного трикутника Паскаля, поступовий перенос співвідношень між скінченними елементами на нескінченно малі.

3. Обернені задачі на дотичні, знаходження сум нескінченно малих різниць, відкриття взаємнооберненості диференціальних та інтегральних задач (1676).

В процесі відшукання загального розв'язку задачі про дотичні Г. Лейбніц називає приріст абсциси і ординати “нескінченно малими різницями”, а в 1675 р. вже з'являється знак (d) нескінченно малого приросту величини, перед якою його поставлено - dx, dy. Лейбніц розглядав геометричний зміст похідної: знаходив кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції. Він користувався не похідною, а диференціалом і відношенням диференціалів. Тут d - перша буква латинського слова differentia - різниця, бо ж приріст аргументу і приріст функції - різниця їх значень. Звідси і пішла назва “диференціальне числення”. Поняття диференціала і символи широко використовуються в сучасній математиці.

В цей же час Лейбніц вводить знак ? із зауваженням “ ? означає суму, а d - різницю”. Називаючи інтеграл просто сумою, Лейбніц розглядав суму нескінченної кількості нескінченно малих різниць, і це зразу визначало зв'язок між операціями диференціювання та інтегрування.

Першу друковану роботу, в якій викладались основні поняття і методи диференціального числення, Лейбніц опублікував у травні 1684 року. Це - мемуар “Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перепоною дробові та ірраціональні кількості і особливий для цього рід числення”, що з'явився у заснованому ним у 1682 році математичному журналі “Acta Eruditorum”.

За короткими теоретичними відомостями наводились конкретні приклади застосування викладеного методу: диференціювання досить складної неявної функції, дослідження шляху, яким промінь світла за найменший час пройде через два різних середовища; розв'язування диференціального рівняння [7].

Через два роки, в 1686-му р., вийшов у світ мемуари Лейбніца “Про приховану геометрію і аналіз неподільних і нескінченних величин”, присвячений інтегральному численню. В цьому творі подавалися прийоми і правила інтегрування багатьох елементарних функцій. Інтеграл він визначав як суму диференціалів, підкреслюючи взаємну оберненість операцій інтегрування та диференціювання. Звідси випливали властивості інтегралів і способи їх обчислення.

В наступних статтях Лейбніц розвив новий аналіз. Він довів, що будь-яка інтегровна функція є обмеженою, а також розробив правило обчислення деяких типів інтегралів, зокрема спосіб інтегрування раціональних функцій.

Основне значення розробленого Лейбніцом апарата полягало в тому, що завдяки чіткості формулювання і зручності символіки він став основою нового числення, за допомогою якого виникла можливість виконувати різноманітні інфінітезимальні дослідження таким самим способом, як дослідження аналізу скінченних величин за допомогою буквеного числення [2].

У 90-ті роки до розробки математичного аналізу приєдналися два видатні швейцарські математики - брати Яков Бернуллі і Йоганн Бернуллі. Ознайомившись зі статтею Лейбніца, вони не відразу змогли осягнути її смисл і написали її автору листа з проханням дати деякі пояснення. Але Лейбніц у цей час подорожував, а тому відповів на листа лише у 1690 р. На цей час брати не лише розібралися в статті, але й одержали нові вагомі результати. І. Лейбніц писав братам, що він вважає їх авторами диференціального числення не менше, ніж самого себе.

У 1696 році з'явився перший підручник з аналізу. Його написав маркіз Г. Лопіталь під назвою “Аналіз нескінченно малих для позначення кривих ліній”. Книжка складається з передмови та 10 глав. У передмові подавався короткий історичний огляд розвитку нового числення.

В 10 главах книги викладаються означення сталих і змінних величин та диференціала, виводяться правила диференціювання алгебраїчних виразів, демонструється застосування диференціального числення для знаходження дотичних до кривих, для знаходження максимумів і мінімумів, точок перетину тощо.

Книга Лопіталя добре написана і містила багато прикладів. Саме з появою цього підручника розпочалося широке знайомство з аналізом нескінченно малих і поступове проникнення його в математичну практику.

В основу своєї книги Лопіталь поклав лекції Й. Бернуллі і те, що він здобув із праць та листів Й. Бернуллі і Г. Лейбніца. Самостійним у книзі є лише окремі приклади і деяка частина книги, що стосується дослідження особливих точок кривих. Але з точки зору впорядкування і розміщення матеріалу, доступності та систематичності викладення, книга Г. Лопіталя досить оригінальна і цінувалася вище, ніж курс Й. Бернуллі [11].

На кінець 17 ст. аналіз нескінченно малих вийшов із стадії формування і постав перед математиками в образі нової математичної науки. Числення нескінченно малих розширювалося за рахунок застосувань, однак основні його поняття все ще не були визначені.

Математики 18 ст. розширили методи математичного аналізу і застосували їх до все складніших функцій. В цей час аналіз розвивався переважно у трьох напрямах: диференціальне числення, інтегральне числення та диференціальні рівняння.

Диференціальне числення 18 ст. розвивалося на основі розкладу функцій у степеневі ряди. Методи розроблені попередниками в 1712 - 1715 рр. поповнилися теоремою Тейлора про розклад функції у степеневий ряд. Після цього систематичне застосування рядів Тейлора і Маклорена стало характерною особливістю диференціального числення. Але майже відразу виникла проблема збіжності рядів, яка супроводжувала розвиток диференціального числення протягом усього століття. Основні досягнення у подоланні цієї проблеми стосувалися виведення і дослідження різних форм залишкового члена ряду, перетворення рядів для отримання завідома збіжних, оперування з розбіжними рядами [2].

Інтегральне числення 18 ст. розвивалося як метод знаходження співвідношень між функціями за заданими співвідношеннями між їх диференціалами. Ідея невизначеного інтегрування на цей час набула домінуючого значення. Основною метою числення стало формування методів знаходження первісних для функцій якомога ширшого класу. Інтегральне числення швидко розросталося і згодом, окрім інтегрування функцій, включало розв'язування диференціальних рівнянь, варіаційне числення, теорію спеціальних функцій тощо. Ці галузі математичного аналізу поступово відокремлювалися від нього протягом 18 ст.

Найбільший внесок у розвиток і популяризацію диференціального й інтегрального числення у 18 ст. зробив Леонард Ейлер. Він написав повний курс математичного аналізу. У І. Ньютона, Г. Лейбніца і у Й. Бернуллі диференціальне числення не виступало у самостійній формі. У першого воно тісно пов'язане з часом, а через нього - з механікою, у другого - з геометрією. Ейлер був першим, хто виклав диференціальне числення у чистому вигляді, як універсальний, ні до чого спеціально не прив'язаний і ні до чого спеціально не пристосований алгоритм.

Інша велика і багата за змістом Л. Ейлера - “Диференціальне числення”, яка, крім усього іншого, містила також і теорію диференціальних рівнянь, теорему Тейлора з багатьма застосуваннями, формулу знаходження сум Ейлера, ейлерові інтеграли. Головну увагу в “Диференціальному численні” Ейлер приділяє поняттю похідної, з якої надалі виходили О. Коші та інші математики першої половини 19 ст. Стверджуючи, що нескінченно мала величина є нулем, Ейлер будував своєрідне “числення нулів”. Він вважав, що різниця двох нескінченно малих завжди дорівнює нулю, а відношення може приймати будь-які значення, одне з яких при наближенні до нуля приводить до похідної. Як бачимо, ейлерове вчення про нескінченно малі в розумінні логістичної бездоганності не пішло далеко від вчення Лейбніца. Але в книжках Ейлера спостерігається строга система викладення, виведення нових формул, прикладів і багато конкретного матеріалу.

Більша частина тому “Диференціальне числення” присвячена теорії рядів і диференціальним рівнянням. Й цій праці він увів позначення, які і досі застосовуються (, та ін.). Для того щоб відрізняти частинні похідні від звичайних, Ейлер заключав звичайні символи в дужки: і . Позначення увів Г. Якобі (1841) [2].

Книга “Інтегральне числення” Ейлера представляє собою інтегральне числення як його розуміють тепер, і зведення знань з інтегрування диференціальних рівнянь. Вона містить, крім різних методів обчислення інтегралів функцій, вчення про інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

На відміну від Г. Лейбніца у Л. Ейлера, як і у І. Ньютона, вихідним було поняття первісної, тобто невизначеного інтегралу. Визначений інтеграл був для Л. Ейлера частинним випадком невизначеного, однією з первісних.

Видатних результатів у галузі математичного аналізу досяг так видатний математики 18 ст. - Ж. Лагранж. Важливим внеском в загальну теорію стало його узагальнення на функції багатьох змінних ряду Тейлора, яке було подано в роботі “Про новий ряд числення” (1772 р.).

Класичною стала праця Лагранжа “Аналітична механіка” (1788), побудована методами математичного аналізу і викладена як дедуктивна наука. В цій книзі Лагранж робить великий крок вперед, застосувавши аналіз до теорії ймовірностей.

В “Теорії аналітичних функцій” (1797) він вивів відповідну формулу Тейлора із залишковим членом. Саме Лагранжем було введено поняття похідної (1798), до цього користувалися рівносильним йому поняттям диференціального коефіцієнта . Також йому належить формула кінцевих приростів, теорія умовних екстремумів. Базуючись на результатах, отриманих Ейлером, він вперше системно виклав основні поняття варіаційного числення, яке завдяки йому стало самостійною гілкою математичного аналізу.

У працях “Теорія аналітичних функцій” і “Лекції про числення функцій” (1801) Лагранж зробив спробу суто алгебраїчно обґрунтувати диференціальне числення на основі поняття функції і ряду, звільнивши його від туманних на той час понять нескінченно малої і границі. Ж. Лагранжу зробити це не вдалося, його нове числення виявилося складнішим звичайного диференціального числення. Але він зробив надзвичайну і для свого часу задовільну спробу. Важливість цих праць була в тому, що вони дали поштовх О. Коші та іншим вченим для пошуку строгої побудови аналізу [13].

Таким чином, у 18 ст. розширення предмету досліджень математичного аналізу та його застосувань відбувалося успішно і досить швидкими темпами. Інакше розвивалися події стосовно обґрунтування нового числення. Понятійний апарат не мав строгих означень і тлумачень, строгості доведень не приділялась потрібна увага, легко здійснювався перехід від скінченного до нескінченного, з нескінченостями оперували як з числами без необхідних на те підстав. Основне поняття, на якому ґрунтувався весь математичний аналіз, - поняття нескінченно малої величини - стало його найуразливішим місцем. Але робота з обґрунтування диференціального та інтегрального числення проведена Л. Ейлером, Ж. Д'Аламбером, Ж. Лагранжем, Л. Карно та іншими не дала потрібних результатів.

На початку 19 ст. значна кількість математиків дотримувалась думки, що основою математичного аналізу і його докорінної перебудови може стати теорія границь. Походження цього поняття пов'язане з використанням площ криволінійних фігур і об'ємів тіл, що обмежені кривими поверхнями. Перше теоретичне узагальнення і обґрунтування методів обчислення площ і об'ємів, в яких неявно використовувалися граничеі переходи було дано видатним грецьким математиком 4 ст. до н. е. Евдоксом Кнідським. Методо Евдокса було названо в 17 ст. методом вичерпування. В довгій еволюції поняття границі (протягом майже 2500 років) метод вичерпування є першим етапом. Подальший розвиток методу границь відбувався одночасно з розвитком методу неподільних. Його використовували в своїх дослідженнях і вдосконалювали Б. Кавальєрі, А. Такке, Д. Валліс, І. Ньютон, Л. Ейлер та інші математики.

Найбільші результати у перебудові математичного аналізу на основі теорії границь першим отримав О. Коші. Він виступав як новатор в аналізі і, переглянувши основи диференціального і інтегрального числення, побудував свій курс аналізу на більш строгих логічних засадах. Роботи О. Коші з математичного аналізу ґрунтуються на систематичному використання поняття границі, похідної неперервної функції та їх основних властивостей. У своїх лекціях з математичного аналізу, що були прочитані в Політехнічній школі Парижу, а потім викладені у книгах “Курс аналізу” (1821), “Резюме лекцій із числення нескінченно малих” (1823), “Лекції із застосувань аналізу до геометрії” (1826-1828), О. Коші побудував увесь математичний аналіз на основі поняття границі.

В роботі “Курс аналізу” розглядаються елементарні функції дійсної і комплексної змінної, вчення про нескінченні ряди, операції диференціювання та інтегрування, поняття границі та неперервності тощо.

Робота “Резюме лекцій із числення нескінченно малих” присвячена диференціальному та інтегральному численню функцій дійсної змінної. В ній Коші відмовляється від розкладання функцій у нескінченні ряди в усіх випадках, коли тримані ряди не збігаються. Він наголошує, що використання нескінченно малих кількостей спрощує диференціальне числення і допомагає викласти його принципи і найважливіші застосування без допомоги рядів [13].

Інтегральне числення Коші суттєво відрізнялося від курсу Ейлера та інших попередників. В його основу покладено поняття визначеного інтегралу, як границі інтегральної суми. Визначений інтеграл О. Коші розглядав як одне з найважливіших понять аналізу і позначав його символом , що був запропонований Фур'є. Саме завдяки О. Коші цей символ увійшов у всезагальне використання і зберігся досі. Автор не просто вводив і використовував це поняття, а й на самому початку лекцій подавав аналітичне доведення існування визначеного інтеграла від неперервної функції.

Теоретичне обґрунтування математичного аналізу О. Коші отримало схвалення науковців і зберігало своє значення до кінця 19 ст. Але і воно ще не було повністю позбавлене недоліків. Багато означень у О. Коші носили описовий характер.

Сучасне означення границі, звільнене від математично незрозумілих термінів, сформував К. Вейєрштрасс. Він повністю арифметизував означення границі і неперервності. Міра близькості аргументів і значень функції у нього виражалася нерівностями, що містили спеціальну символіку . Означеннями К. Вейєрштрасса, сформульованими на мові , ми користуємося і зараз. Побудована ним теорія дійсних чисел, у якій дійсні числа розглядаються як нескінченні десяткові дроби, стала основою системи логічного обґрунтування математичного аналізу.

У галузі математичного аналізу слід відзначити ще й такі результати вченого: систематичне використання верхньої та нижньої меж числових множин, вчення про граничні точки; строге обґрунтування властивостей неперервних функцій; побудова прикладу неперервної функції, яка ніде не має похідної; доведення теореми про можливість розкладання будь-якої неперервної на відрізку функції у рівномірно збіжний ряд многочленів тощо.

Деякі важливі результати в галузі обґрунтування аналізу ще до О. Коші і К. Вейєрштрасса одержав професор філософії релігії Празького університету Б. Больцано. Його математичні досягнення довгий час не були відомі широкому загалу. Це сталося через те, що виступаючи за звільнення своєї Батьківщини (Чехії) від австрійської монархії, Больцано потрапив під таємний нагляд поліції. Його позбавили права публічно виступати і друкуватися, а згодом звільнили з університету. Лише п'ять робіт з математики побачили світ за його життя, а решта публікувалися через 100 років. Зараз історична справедливість відновлена і деякі теореми математичного аналізу носять подвійне ім'я: теорема Больцано-Коші і теорема Больцано-Вейєрштрасса [2].

Побудова математичного аналізу на основі арифметики вимагала строгої теорії дійсного числа, що і було зроблено майже одночасно Р. Дедекіндом, К. Вейєрштрассом і Г. Кантором.

Великий внесок у розвиток математичного аналізу 19 ст. М.В. Остроградський. Йому належать найважливіші результати в галузі інтегрального числення функції багатьох змінних: формула, що зводить обчислення потрійного ( і взагалі -кратного) інтегралу до обчислення подвійного (-кратного) інтегралу, загальний прийом інтегрування раціональних функцій, формула перетворення змінних в багатомірних інтегралах і т.ін.

Кінець 19-го початок 20-го століття знаменує завершення формування класичного математичного аналізу і виникнення на його основі різних математичних галузей:

1) Теорія міри та інтеграла.

2) Диференціальні рівняння.

3) Інтегральні рівняння.

4) Комплексний аналіз (теорія функції комплексної змінної).

5) Теорія функції дійсної змінної.

Як бачимо, математичний аналіз пройшов довгий шлях свого формування і на сьогоднішній день є однією з основних галузей математичних наук.

1.2 Математичний аналіз як навчальний предмет

Математичний аналіз -- сукупність розділів математики, що спираються на поняття функції і на ідеї числення нескінченно малих. Важко логічно провести межу між математичним аналізом та іншими розділами математики: за історичною традицією під назвою «математичний аналіз» об'єднуються диференціальне та інтегральне числення, основи теорії функцій і диференціальних рівнянь і ряд інших розділів математики, що виникли в систематичній формі в результаті праць математиків 17--18 століття. Природнім продовженням класичного математичного аналіза є функціональний аналіз, в який входять як спеціальні розділи варіаційне числення і теорія інтегральних рівнянь, що виникли раніше загального функціонального аналізу. Як розділ математики, математичний аналіз оформився наприкінці 17 століття, але його апарат постійно вдосконалюється і розвивається.

До кінця XVII ст. склалася ситуація, коли в математиці було накопичено знання про розв'язки деяких важливих класів задач (наприклад, задачі про обчислення площ і об'ємів нестандартних фігур, задача проведення дотичних до кривих), а також з'явилися методи розв'язання різних часткових випадків. Виявилося, що ці задачі тісно пов'язані з задачами опису деякого (не обов'язково рівномірного) механічного руху, й зокрема обчислення його миттєвих характеристик (швидкості, прискорення в будь-який момент часу), а також знаходження пройденого шляху при русі, що відбувається з заданою змінною швидкістю. Розв'язок цих проблем був необхідним для подальшого розвитку фізики, астрономії, техніки. До середини XVII ст. в працях Р. Декарта і П. Ферма було закладено основи аналітичного методу координат (так званої аналітичної геометрії), які дозволили сформулювати різноманітні за своїм походженням геометричні і фізичні задачі загальною мовою чисел і числових залежностей (числових функцій) [9].

Всі ці обставини призвели до того, що наприкінці XVII ст. двом ученим І. Ньютону і Г. Лейбніцу - незалежно один від одного вдалося створити математичний апарат для розв'язку вказаних задач. В своїх працях ці вчені зібрали й узагальнили окремі результати попередників починаючи від Архімеда і закінчуючи своїми сучасниками, такими як: Б. Кавальєрі, Б. Паскаль, Д. Грегорі, І. Барроу. Цей апарат і склав основу математичного аналізу - нового розділу математики, який вивчає різні динамічні процеси, тобто взаємозв'язки змінних величин, які математики називають функціональними залежностями чи функціями.

Математичний аналіз виконує важливі функції у підготовці майбутніх спеціалістів-математиків, а тому на основі математичного аналізу як науки будується навчальний предмет - математичний аналіз. Математичний аналіз як науку потрібно відрізняти від курсу математичного аналізу, що є навчальним предметом. Для навчального предмету потрібно з великого обсягу історичних відомостей, накопичених і систематизованих наукою, вибрати основні, які можуть сприяти формуванню математичної культури та фахової компетентності спеціаліста, а також допоможуть йому в подальшій професійній діяльності [8].

Метою вивчення навчального предмету є:

- формування в майбутнього вчителя математики теоретичної основи і достатніх практичних вмінь і навичок для викладання математики в загальноосвітній школі;

- засвоєння математичних образів та алгоритмів з метою формування відповідальної особистості, здатної до строгого логічного та аналітичного мислення;

- розвинення інтелекту студентів і формування вмінь аналітичного мислення.

Завдання курсу: розкрити значення математичного аналізу в загальній і професійній освіті; забезпечити ґрунтовне вивчення студентами основ математичного аналізу, розуміння основних ідей; виховувати творчий підхід до розв'язання проблем; сформувати вміння і навички самостійного аналізу процесу навчання; виробити у студентів основні практичні вміння (обчислення границь, похідних, інтегралів; дослідження рядів на збіжність; застосування диференціального і інтегрального числення до розв'язання задач практичного змісту); виробити навички математичного дослідження, дати необхідну математичну підготовку та знання для вивчення інших дисциплін математичного циклу.

Курс математичного аналізу відноситься до нормативних дисциплін з циклу професійної та практичної підготовки та викладається, орієнтуючись на знання, отримані у процесі вивчення шкільного курсу математики.

Математичний аналіз є теоретичною основою для вивчення курсів «Диференціальні рівняння», «Теорія ймовірності», «Методика навчання математики», «Теоретична фізика», «Теоретична механіка», «Інформатика» тощо.

Під час вивчення математичного аналізу варто зауважити, що сучасний порядок викладання тем математичного аналізу пов'язаний з вимогами до математичної строгості і відрізняється від того шляху, яким математичний аналіз розвивався історично. Перші теми курсу присвячені дійсним числам, пізніші - теорії границь, і лише потім починається систематичний виклад диференціального та інтегрального числення. Історичний же порядок був якраз оберненим: диференціальне та інтегральне числення зародилося у 18 ст.; теорія границь стала фундаментом для математичного аналізу на початку 19 ст., і тільки у другій половині 19 ст. була створена чітка концепція дійсного числа, яка обґрунтовувала найбільш тонкі положення самої теорії границь.

Знання цього факту допоможе також майбутньому вчителю зрозуміти, чому тема “Границі” є набагато складнішою, ніж тема “Похідна”, а тому вимагає використання всього арсеналу педагогічного інструментарію для її викладання в школі.

На сучасному етапі зміст математичного аналізу як навчального предмету регламентується Галузевим стандартом вищої школи.

Галузевий стандарт вищої освіти, прийнятий у 2002 році, передбачає на вивчення математичного аналізу 702 години. У 2009 році прийнято оновлений у частині розподілу загального навчального часу за циклами підготовки, переліку та обсягу нормативних дисциплін Галузевий стандарт, в якому на вивчення математичного аналізу відведено 648 годин без змін у переліку основних змістових модулів.

Порівнюючи навчальні програми з математичного аналізу різних вузів України (МАУП, ГНПУ ім. Олександра Довженка, СумДУ, КНЕУ) бачимо, що всі вони складені відповідно до Галузевого стандарту вищої школи і, як правило, містять такі змістові модулі:

· Вступ до аналізу

· Числова послідовність та її границя

· Границя і неперервність

· Диференціальне числення функції однієї змінної

· Невизначений інтеграл

· Визначений інтеграл

· Числові ряди

· Функціональні ряди

· Диференціальне числення функції багатьох змінних

· Кратні інтеграли

· Криволінійні та поверхневі інтеграли

· Елементи функціонального аналізу

· Міра та інтеграл Лебега

Математичний аналіз як навчальний предмет викладається не тільки для студентів, які навчаються за напрямом підготовки Математика, а і для студентів інших напрямів підготовки. Звичайно, кількість годин, відведена на вивчення цього курсу для даних напрямів, помітно менша, ніж для математиків (Галузевий стандарт вищої освіти, прийнятий у 2002 році, передбачає на вивчення математичного аналізу 432 години для студентів напряму підготовки Фізика). Також зменшена кількість основних змістових модулів. Загалом, навчальні програми для нематематичних напрямів підготовки включають такі основні змістові модулі:

· Вступ до аналізу

· Числова послідовність

· Границя і неперервність функції

· Диференціальне числення функції однієї змінної

· Інтегральне числення функцій однієї змінної

· Числові ряди

· Функціональні ряди

· Диференціальне числення функцій багатьох змінних

· Інтегральне числення функцій багатьох змінних

· Комплексний аналіз

Зменшення кількості аудиторних годин на вивчення навчального предмету передбачає збільшення самостійної та індивідуальної роботи студентів.

Самостійна робота студентів, підходи до якої потребують докорінних змін, на сучасному етапі повинна стати основою вищої освіти, важливою частиною процесу підготовки фахівців.

Як складне педагогічне явище - це особлива форма навчальної діяльності, спрямована на формування самостійності студентів і засвоєння ними сукупності знань, вмінь, навиків, що здійснюється за умови запровадження відповідної системи організації всіх видів навчальних занять. Мета самостійної роботи студентів двоєдина: формування самостійності як риси особистості і засвоєння знань, умінь, навиків.

Основними функціями самостійної роботи студентів є: пізнавальна, самостійна, прогностична, коригуючи та виховна.

Пізнавальна функція визначається засвоєнням студентом систематизованих знань з дисциплін. Самостійна функція - це формування вмінь і навиків, самостійного їх оновлення і творчого застосування. Прогностична функція є вмінням студента вчасно передбачати й оцінювати як можливий результат, так і саме виконання завдання. Коригуюча функція визначається вмінням вчасно коригувати свою діяльність. Виховна функція - це формування самостійності як риси характеру.

Існують такі види самостійної роботи студентів за цільовим призначенням:

1. Вивчення нового матеріалу: читання та конспектування літературних джерел інформації; перегляд відеозаписів; прослуховування лекцій магнітних записів; інші види занять.

2. Поглиблене вивчення матеріалу: підготовка до контрольних, практичних, лабораторних робіт, колоквіумів, семінарів; виконання типових задач; інші види занять.

3. Вивчення матеріалу з використанням елементів творчості: проведення лабораторних робіт з елементами творчості; розв'язання нестандартних задач; виконання розрахунково-графічних робіт і курсових проектів; участь у ділових іграх і в розборі проблемних ситуацій; складання рефератів, доповідей, інформацій з заданої теми; інші види занять [1].

4. Вдосконалення теоретичних знань і практичних навичок в умовах виробництва: навчальні практикуми, робота на філіях кафедр; усі види практик; дипломне проектування; інші види занять.

Самостійна робота студентів з кожної дисципліни навчального плану повинна забезпечити:

1. Системність знань та засобів навчання.

2. Володіння розумовими процесами.

3. Мобільність і критичність мислення.

4. Володіння засобами обробки інформації.

5. Здібність до творчої праці.

Одним із головних аспектів організації самостійної роботи є розробка форм і методів організації контролю за самостійною роботою студентів.

Навчальний матеріал дисципліни, передбачений робочим навчальним планом для засвоєння студентом в процесі самостійної роботи, виноситься на підсумковий контроль поряд з навчальним матеріалом, який опрацьовувався при проведенні аудиторних навчальних занять. Контроль самостійної роботи студентів включає:

1. Відповідь на контрольні або тестові питання.

2. Перевірку конспекту.

3. Перевірку рефератів.

4. Перевірку розв'язаних задач.

5. Перевірку розрахунків.

6. Перевірку виконаних графічних вправ і завдань.

7. Перевірку виконаних індивідуальних завдань.

В цілому математичний аналіз як навчальний предмет треба відрізняти від науки, яка називається математичним аналізом. Математичний аналіз як навчальний предмет має чітко сформований науковий апарат, мету, завдання курсу. Математичний аналіз як наука - це весь історичний шлях розвитку даної галузі математики, яка включає в себе всі теоретичні та практичні положення, сформовані науковцями в різні історичні часи. Всі ці відкриття і лягли в основу створення математичного аналізу як окремого навчального предмету.

1.3 Діяльнісний підхід до організації навчально-виховного процесу в педагогічному університеті

Головна теза діяльнісного підходу в розвитку особистості полягає в тому, що людина виявляє властивості та зв'язки елементів реального світу лише в процесі й на основі різних видів діяльності (предметної, розумової, індивідуальної, колективної та ін.). У навчальній діяльності, як і в будь-якій іншій, розрізняють три компоненти:

1) мотиви і навчальні задачі;

2) навчальні дії;

3) дії контролю та оцінювання знань студентів.

Навчальну діяльність не можна звести до жодного з цих компонентів. Повноцінна навчальна діяльність завжди є єдністю і взаємопроникненням всіх цих трьох компонентів. У студентів потрібно виховувати певне ставлення до знань, навчальні мотиви. Завдяки цьому знання й уміння набудуть для них особистісного смислу, стануть їхнім внутрішнім надбанням.

Студент добре усвідомлює лише те, що виступає як прямий предмет і мета його діяльності. Тому свідомість учіння передбачає, з одного боку, виконання відповідних дій з навчальним матеріалом, а з другого - перетворення матеріалу, що засвоюється, на пряму мету цих дій, тобто на розв'язування навчальних задач. Знання і уміння, зокрема з математики, свідомо засвоюються лише тоді, коли студент з виконаної діяльності та її результатів здобуває інформацію про істотні властивості реального світу, наприклад про його кількісні і просторові форми [1].

Активне формування навчальної діяльності веде до істотних змін в особистості студента, в його свідомості, інтелектуальному і моральному розвиткові, тобто сприяє становленню студента як суб'єкта діяльності, як індивідуальності.

Інтелектуальний розвиток відбувається у процесі засвоєння знань, способів та орієнтирів діяльності.

Відповідно до теорії поетапного формування розумових дій розрізняють три основні типи орієнтування в завданні.

Перший тип: студентам надають зразок дії та називають її результат, але не вказують, як виконувати цю дію. Викладач, який працює за цим типом, сам, по суті, програмує значну кількість помилок студентів у виконуваних діях. Тому йому доводиться займатися переучуванням і заучуванням, а не правильним навчанням.

Другий тип: студенту дають всі вказівки, як правильно виконувати дії або завдання, тобто готовий алгоритм дій. За умови дотримання вказівок алгоритму навчання відбувається без великої кількості помилок і швидше, ніж за першого типу орієнтування.

Третій тип: передбачає навчання не стільки способу дії у конкретній ситуації, скільки аналізу ситуації. Викладач спеціально організовує зі студентами поглиблений аналіз розв'язування задачі: вони самостійно складають узагальнену схему або алгоритм розв'язування. Викладач обирає типову опорну задачу або дві задачі з деякого класу задач, які потрібно навчити розв'язувати студентів, і залучає їх до розв'язування. Після цього аналізується процес розв'язування, виокремлюється істотне і неістотне в умові задачі та її розв'язуванні, складається алгоритм або правило-орієнтир. Це дає змогу студенту усвідомити особливості певного класу задач і принцип варіації неістотного, що дає можливість перенести спосіб розв'язування в нові умови.

У процесі вивчення математики, зокрема математичного аналізу, студентів ознайомлюють з методом математичної індукції під час доведення тверджень, які стосуються натуральних чисел, і розв'язування задач на доведення на прикладі розв'язування однієї-двох задач. Під керівництвом викладача студенти колективно виокремлюють істотні спільні етапи доведення, формулюють правило-орієнтир методу.

Відповідно до діяльнісного підходу етапи засвоєння знань розглядаються водночас з етапами засвоєння діяльності. Знання із самого початку включаються в структуру дій. Якість знань у цьому разі визначається їхньою адекватністю діяльності, що використовується для їх засвоєння.

Розумові дії класифікують за різними ознаками. Якщо розглядати дії за ступенем використання їх в різних галузях людської діяльності, то можна виокремити загальні дії, що використовуються в усіх галузях знань, і специфічні дії, які характерні для тієї чи іншої галузі знань [2].

Одним із шляхів підвищення ефективності навчання і розвитку учнів є ретельний аналіз різних видів навчальної діяльності з метою виокремлення розумових і практичних дій, які входять до їхнього складу, та попереднє навчання студентів кожній із цих дій. Практика навчання свідчить, що особливістю пізнавальної діяльності студентів, які мають слабку підготовку з математики, є несформованість загальних і специфічних розумових дій та прийомів розумової діяльності. Саме вони становлять механізм мислення, і цим механізмом студенти мають оволодівати в процесі навчальної діяльності.

Діяльнісний підхід до організації навчання математики, зокрема математичного аналізу, потребує, щоб студент під час опрацювання навчального матеріалу здійснив повний цикл пізнавальних дій: сприйняв навчальний матеріал, усвідомив його, запам'ятав, потренувався в застосування знань на практиці, отже, здійснив таку діяльність - повторення, поглиблення і міцне засвоєння цього матеріалу. Тому, розробляючи методику вивчення кожної теми програми, слід передбачити максимально сприятливі умови для організації пізнавальних дій, які всі загалом і забезпечують оволодіння студентами програмним матеріалом.

Діяльнісний підхід у навчанні широко застосовують у педагогіці та методиках навчання різних предметних галузей, зокрема математики, оскільки він дає можливість ефективно розв'язувати багато завдань навчання, розвитку і виховання. Діяльнісна теорія учіння по праву домінує в сучасній дидактиці й методиках навчання.

Розглянувши математичний аналіз як науку і навчальний предмет та проаналізувавши стан проблеми дослідження в університеті, можна сформулювати такі висновки:

1) Проблема застосування історичного матеріалу на лекціях з математичного аналізу є актуальною на сьогоднішній день, але більшість викладачів-математиків не звертають увагу на цей факт, а проводять заняття у типовій формі, не застосовуючи історичних задач або інших історичних повідомлень.

2) Математичний аналіз як науку потрібно відрізняти від математичного аналізу, що є навчальним предметом.


Подобные документы

  • Деякі відомості математичного аналізу. Виховне значення самостійної навчальної роботи. Короткий огляд та аналіз сучасних систем комп'ютерної математики. Відомості про систему Wolfram Mathematica. Обчислення границь функції, похідних та інтегралів.

    курсовая работа [1,0 M], добавлен 10.05.2011

  • Застосування методів математичного аналізу для знаходження центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь з використанням інтегральних числень функцій однієї та кількох змінних. Поняття визначеного, подвійного, криволінійного та поверхневого інтегралів.

    курсовая работа [515,3 K], добавлен 29.06.2011

  • Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.

    контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012

  • Основні принципи і елементи комбінаторики. Теорія ймовірностей: закономірності масових випадкових подій, дослідження і узагальнення статистичних даних, здійснення математичного і статистичного аналізу. Постановка і вирішення задач економічного характеру.

    курс лекций [5,5 M], добавлен 21.11.2010

  • Аналіз математичних моделей технологічних параметрів та методів математичного моделювання. Задачі технологічної підготовки виробництва, що розв’язуються за допомогою математичного моделювання. Суть нечіткого методу групового врахування аргументів.

    курсовая работа [638,9 K], добавлен 18.07.2010

  • Означення та властивості перетворення Лапласа, приклади розв'язання базових задач. Встановлення відповідності між двома точками за допомогою оператора. Застосування операційного методу математичного аналізу, проведення дій над логарифмами та числами.

    реферат [217,2 K], добавлен 20.12.2010

  • Мережа Петрі як графічний і математичний засіб моделювання систем і процесів. Основні елементи мережі Петрі, правила спрацьовування переходу. Розмітка мережі Петрі із кратними дугами. Методика аналізу характеристик обслуговування запитів на послуги IМ.

    контрольная работа [499,2 K], добавлен 06.03.2011

  • Перетворення Фур'є як самостійна операція математичного аналізу. Амплітудний і фазовий спектри розкладу інтегралу Фур'є для заданої неперіодичної функції. Комплексна форма інтеграла Фур'є. Спектральна характеристика (щільність) неперіодичної функції.

    курсовая работа [235,5 K], добавлен 18.07.2010

  • Дослідження предмету і сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач цієї науки. Загальна задача лінійного програмування, деякі з методи її розв’язування. Економічна інтерпретація двоїстої задачі лінійного програмування.

    курс лекций [59,9 K], добавлен 06.05.2010

  • Етапи розвитку теорії ймовірностей як науки. Ігри казино як предмет математичного аналізу. Біологічна мінливість і імовірність. Застосування розподілів ймовірностей як спосіб опису біологічної мінливості. Помилкова точність та правила округлення чисел.

    реферат [26,4 K], добавлен 27.02.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.