Теория и методика обучения математике

Множество Х есть собственное подмножество множества У.

Все отношения и операции для элементов множества Х определены и в множестве У, при этом их смысл совпадает с тем, который они имели в Х до расширения.

В множестве У выполнена операция, которая в Х была не выполнима, или не всегда выполнима.

Расширение У является минимальным из всех возможных удовлетворяющим первым трем требованиям.

Первое расширение понятия числа происходит в 5-6 классах, к концу 6-го класса формулируется понятие рационального числа, дальнейшее расширение в 7-9 и далее в 10-11 классах, причем основные положения и представление о числе у учащихся сложились в 5-6 классах.

С точки зрения чистой алгебры естественный ряд обобщений идет по пути:

(1)(2) (3) (4) и на алгебраических числах заканчивается.

В школе рассмотрение понятия числа идет по пути (1)(5) (3) (7)(8)

При разработке программы для школы были предложения идти по пути (1)(2) (3), после того как ученики изучили целые числа должны перейти к понятию неотрицательного числа.

В начале 5-го класса ученики еще не готовы к введению понятия отрицательного числа, они не поймут почему из меньшего числа вычесть больше, а понятие дроби более естественно, оно связано с повседневной жизнью, поэтому выбором путь рассмотрения числа (1)(5) (3) (7)(8) от (7)(8) оставили на факультативные занятия.

А.А. Столяр предлагает показать учащимся, что расширение понятия числа происходит из потребности практики и в связи с этим предлагает следующую схему:

Введение дробных чисел возможно начиная с обыкновенных и десятичных дробей, необходимо исходит из начального освоения. Для первоначального усвоения обыкновенной дроби легче исходя из возраста их жизни, а затем десятичные.

Введение нового числа обычно опирается на жизненный опыт учащихся, необходима мотивировка, так введение дробных чисел связывает с измерением, делением на части, мотивировка может быть алгебраической, практической (вводятся индуктивным методом).

Методика введения новых чисел в школе.

Какие дроби изучали раньше обыкновенные или десятичные?

В большинстве случаев в школе принято изучать обыкновенные дроби, однако есть случаи когда первыми изучают десятичные дроби:

1) десятичные дроби имеют большую практическую ценность.

2) производить действия над десятичными дробями легче

3) теорию о десятичных дробях можно построить, используя понятие обыкновенной дроби, расширяя десятичную нумерацию меньшую единицы.

Доводы против-й стороны:

не следует отступать от исторического развития числа.

Не следует нарушать логику, обыкновенная дробь родовое понятие, а десятичная дробь- видовое, трудно обосновать действия над десятичными дробями без обыкновенной дроби.

Учащиеся не оценят легкость действий над десятичными дробями не познавая трудности при действии над обыкновенными.

Теоретическое значение обыкновенных дробей, выше вся алгебра построена на обыкновенных дробях.

Нумерация дробных чисел.

В нумерации натуральных и дробных чисел есть различия:

1. Натуральное число имеет единственное название и единственное обозначение.

Дробное число имеет бесконечное множество названий и обозначений.

Обыкновенные дроби в отличии от десятичных читается неоднозначно.

При первоначальном введении новых понятий, надо начинать с небольшого 2-3х минутного исторического экскурса.

Источники получения дробных чисел.

1. Дробные числа появляются как результат измерения величин.

2. Разделение предметов на доли.

Дробные числа появляются в результате деления одного числа на другое.

Первоначальное ознакомление учащихся с дробью начинается в начальных классах, в 3 классе они знакомятся с долями, методикой ознакомления с простейшими дробями опора на конкретные образы долей величины, на практическое получение той или иной доли, а затем и дроби путем деления предметов, геометрических фигур на нужное число равных частей.

Нельзя допускать формального введения этих понятий.

В начальных классах для введения дроби учащиеся должны:

1) уметь называть и показывать доли со знаменателями не превышающие числа 10. Знать обиходное название этих дробей (половина, три, четверть).

2) уметь читать и записывать обыкновенные дроби со знаменателями не превышающие числа 10, показывать соответствующую дроби отрезка.

3) уметь сравнивать с опорой на рисунке указанные выше дроби, без опоры на рисунок уметь сравнивать дроби у которых числитель дроби =1.

4) уметь решать задачи на нахождение доли числа и числа по его долям, а также на нахождение дроби числа.

Каждый раз при решении таких задач используются рисунки, схемы, простые чертежи.

Изучение обыкновенных дробей начинается в 5 классе. В первом издании учебника математики 5- го класса уделялось мало времени на повторение материала 4- го класса.

Во втором издании этого учебника время на повторение увеличено, более обосновано излагается введение дробного числа.

Понятие дроби вводится в объеме достаточным для введения десятичных дробей. Здесь изучаются сведения о дробных числах, необходимых для систематического изучения дробей. Основное внимание уделяется сравнению дробей с одинаковыми знаменателями, а затем к выделению целой части числа. Необходимо чтоб учащиеся поняли, что дроби разные записи равных дробных чисел.

Желательно широко использовать различного рода наглядные пособия (бумажные ленты, метод демонстраций, линейки и др.), а также варьировать условие задачи.

Н-р: 1) как записать в виде дроби 3:4=3/4

2) на сколько нужно разделить 3, чтобы получить дробь ? (на 4).

При изучении дробных чисел учащиеся должны понять общий вид дробных чисел. Особое место занимает так называемое смешанные числа. Учащиеся должны понимать, что 2+=2

Смешанное число термин школьный А.А. Колмогоров считает его неудачным и предлагает заменять термином смешанная дробь.

Рассмотрения действия над дробями при малейшем затруднении учащихся необходимо использовать наглядность. Это изображение дроби как части отрезка, прямоугольника, круга. Практика опытных учителей показывает, что следует четче различать отдельные случаи сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Изучение этого материала лучше проходить в такой последовательности:

1) Сложение дробей , если знаменатель одной из дробей равен остальным.

2) Сложение дробей, если знаменатель одной прост, взаимно простые числа.

3) Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю и сложение дробей

4) Примечание законов арифметических действий сложению дробей, содержащих целые и дробные части.

5) Вычитание положительных дробей.

6) Замена единицы дробью при вычитании.

7) Вычитание чисел содержащих целую и дробную часть.

8) Сложение и вычитание рациональных чисел.

Лекция 6. Методика введения понятия отрицательного числа

1. Вопросы, связанные с отрицательными числами являются одним из трудных вопросов для освоения учащимися.

История развития математики показывает, что отрицательные числа значительно труднее дались человеку, это связано с тем, отрицательные числа менее связаны с практической жизнью.

Отрицательные числа возникли в связи с необходимостью выполнения с известными числами. Математики древней Греции не признали отрицательных чисел, они не могли дать им конкретного толкования. Лишь работу Диофанта (3 в. н.э) встречаются преобразования, которые приводят к необходимости выполнения операций над отрицательными числами.

Отрицательные числа появляются лишь в зачаточной форме. Довольно широкое распределение они получили в работах индийских ученых. Положительные числа они называли настоящими, а отрицательные- не настоящими- ложными. Отрицательные числа рассматривали, как долг, а положительные числа как наличные деньги.

Первые правила сложения и вычитания принадлежат индийским ученым. И связаны с трактовкой этих чисел как имущество и долг.

Ученые долго не могли объяснить, дать трактовку произведения двух отрицательных чисел. Почему произведение 2-х долгов есть имущество. Такие ученые как Эйлер, Коми давали свое объяснение правилу произведения чисел, но они приводили к ошибочным результатам.

Немецкий ученый М. Штифель впервые в 1544 г. дал определение отрицательных чисел, как чисел меньших нуля.

Впервые математическую интерпретацию дал Рене Декарт в 1737 г. в книги «Аналитическая геометрия». Отрицательные числа он рассматривал как самостоятельное, расположенное на оси ОХ влево от начало координат. Однако он эти числа назвал ложными. Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине 21 века, так отрицательные числа вошли в историю математики.

2. Различные приемы введения отрицательных чисел. В учебной литературе можно отметить 3 способа введения отрицательных чисел.

1) Рассматриваются случаи, когда вычисление на множестве положительных чисел ложно.

2) Рассматривают векторы расположенные на одной прямой, необходимость охарактеризовать не только их длину, но и направление приводит к понятию положительных и отрицательных чисел.

3) Введение отрицательных чисел посредством расположения изменяющихся величин в противоположных направлениях.

Методика введения отрицательного числа.

Прежде чем дать понятие об отрицательном числе необходимо показать на конкретных примерах, что известно уч-ся чисел недостаточно для характеристики положения точки на прямой к началу отсчета.

На достаточном количестве примеров надо показать неудобства понятия типа вправо или влево, вверх или вниз начертить числовую ось. Необходимо отложить начало отсчета и чтоб для определенности таких шкал, которые находятся вправо со знаком плюс, влево с противоположным знаком- минус.

В учебнике рассматривается достаточное число примеров, показывающих о целесообразности использования определенных знаков для обозначения направления противоположности движения. Для понятия введения отрицательного числа необходимо пользоваться демонстративным термометром и другими пособиями.

Знакомству с противоположными числами способствует изучение центра симметрии.

Понятие о противоположных числах связывается симметричными точками. В тоже время введение этого понятия основывается с геометрическим истолкованием положительных и отрицательных чисел.

В пункте противоположных чисел вводится определение целых чисел. Натуральные числа, противоположные числа, нуль- называют целыми числами. Модуль числа- понятие модуль числа дает от начала отсчета до точки соответствующему числу. Следует обратить внимание учащихся как мотивировать определение модуля числа.

В учебниках понятие модуля числа вводится путем рассмотрения примеров, поясняют как находить модуль числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным ибо модуль числа это расстояние- обращается внимание, что для положительного числа модуль равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Сравнение чисел.

Соотношения равенства и неравенства между положительными и отрицательными числами вводится по определению, они не могут быть получены путем доказательства, причем очень важно показать учащимся целесообразность определения на конкретных примерах и геометрических образах.

Учащиеся должны на столько прочно усвоить расположение чисел на числовой прямой, чтобы это могло служить основным средством сравнения чисел. Иногда возникают трудности в сравнении отрицательных чисел, чтобы преодолеть их, необходимо рассмотреть их на числовой прямой.

Действия над отрицательными и положительными числами.

Основное, что надо учитывать учителю при рассмотрении этого материала - это действия сложения и вычитания над положительными и отрицательными числами вводится по определению, причем формулировки этих определений должны включать в себя ранее известные учащимся понятия об этих действиях. Вычитание и деление определяются как обратные сложению и умножению.

В учебнике отдельно дается определение действия сложения чисел с разными знаками, формулировки этих правил содержат указание на следующие действия. В учебнике большое время уделяется к тому как подойти к действию сложению. Основное внимание уделяется к рассмотрению конкретных задач, обращаясь при этом к координатной прямой.

Каким бы путем не вводилось правило сложение учащимся должно быть ясно, что ничто не доказывается при рассмотрении следующих примеров.

Примеры признаны лишь иллюстрировать целесообразность правил. Учащиеся должны овладеть навыками выполнения сложения 2-х отрицательных чисел с разными знаками, противоположных чисел, нуля с положительными и отрицательными числами.

Рассматривая свойства действий важно показать учащимся, что при установленных определениях действий сложения и вычитания чисел сохраняется все те законы которые имели место для положительных чисел.

Учащимся дается формулировка переместительного и сочетательного законов запись каждого из них с помощью букв.

Вычитание отрицательных чисел определяются как действие обратное сложению. Вычитание сводится к прибавлению противоположного числа.

Умножение положительных и отрицательных чисел представляет наибольшую трудность, трудность заключается в том, что учащейся испытывают потребность в доказательстве правил знаков при умножение, а учитель должен убедить учащихся, что такого доказательства нельзя искать или требовать, таким образом действие умножения вводится по определению, которое можно ввести по разному и по разному истолковать правило знаков. Сложения и умножения имеют много общего, однако трактовка правил умножения вызывает больше трудности.

Рассмотрим объяснения правил умножения является рассмотрение конкретных задач, решение которых требует вычисление по формуле а в, при различных а и в. недостатком этого метода является, то что они доказывают правило умножения.

Многие авторы придерживаются пути, когда в начале дается формулировка правил умножения, затем оно поясняется на примерах, задачах. Учащийся убеждаются на конкретном математическом в практичной целесообразности введенного определения. обычно в учебниках формулировки правил умножения чисел с разными знаками и правил умножения натуральных чисел представляет расписания рядов примеров.

При этом используется положение о том, что если изменить знак одного из множителей, то изменится знак произведения.

Правило формулируется удобным для использования вида. Необходимо обратить внимание учащихся на условия равенство произведения нулю.

Деление положительных, отрицательных чисел рассматривается как действие обратное умножению. Учащемуся сообщается, что деление положительных и отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. Важно обратить внимание на законы вычисления и умножения выражений.

Так же как и в случая сложения, правило сложения и умножения натуральных чисел может быть выведены из умножения чисел. Считая, что правило знаков для суммы известно.

В 6 классе в теме рациональные числа вводятся памяти отрицательные числа, которое может быть записано в виде дроби. Расписывается множество рациональных чисел можно сбить внимание, что когда выполнимо :, +, *, - на число не равное нулю.

При вычитании или выполни действий учащийся получают числа того же множества и это множество обладает свойством замкнутости по отношению к действиям первой и второй степени. Для сложения справедливы переместительный и сочетательный законы имеется нейтральный элемент, имеется противоположный элемент.

Для умножения справедливы первый распределительный и сочетательный закон, имеется нейтральный элемент 1, противоположный элемент ().

Лекция 7. Методика введения действительных чисел

Изложение вопроса о действительных числах начинается обычно с задачи об извлечении корня.

Однако опрос об извлечении корня не является главным.

В процессе введения понятия действительного числа, главной задачей является дополнение рационального числа до непрерывности.

При этом решается задача об извлечение корня из положительного числа.

При введении понятия действительного числа в связи с его введением возрастает много важных методических вопросов, которые в различных пособиях решаются по разному.

1.Каким должно быть понятие действительного числа сложенного у учащихся в результате изучения темы.

2.Нужно ли определение, если нужно, каким должно быть определение действительного числа.

3. из каких конкретных задач должен возникать вопрос о введении действительного числа и др.

В зависимости от того как будут решены эти вопросы попутно будут решатся и другие достаточно важные

Например: ввести ли вначале понятие действительного числа, а затем выделить как частный случай иррациональное число или в начале ввести понятие иррационального числа, а затем совместимость рациональных и иррациональных чисел назовем как систему ДЧ.

При выборе метода введения следует учесть научность, доступность учащимися и усваимость данного понятия.

Как известно из курса анализа существует ряд ДЧ Дедекинда, Кантора , и др. будут верными если придерживаться данной теории.

Чтобы ответить на эти вопросы, надо обратить внимание на происхождение понятия ДЧ.

Сущность понятия ДЧ заключается в том, что система ДЧ, есть такая числовая система, которая способна выразить непрерывные изменения величин.

Наиболее простым примером непрерывности процесса является движение точки по прямой и в частности изменения расстояния движущийся точки от некоторой к начальной.

Поэтому естественно понятие о ДЧ рассматривают как понятие о такой системе чисел, которая по своей структуре такова же как совокупность точки прямой.

Из сказанного следует, что выр-на у учащихся понятие ДЧ и понятие непрерывной величины - это 2 стороны одного процесса.

Мы будем рассматривать понятие ДЧ из задачи измерения отрезка.

Понятие ДЧ вводится в 8 классе в теме корня. В начале проводится повторения о рациональных числах - это понятие приводится в систему.

В формировании понятия ДЧ главным является понятие бесконечной десятичной дроби, которую впервые вводится в 8 классе.

До введения понятия ДЧ иррационального числа необходимо добиться у учащихся следующих положений: 1.каждое дробное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

2,0 2,5(0)

таким образом, каждое иррациональное может быть представлено в виде бесконечной дроби и наоборот каждое бесконечное периодическое десятичная дробь представление некоторое иррациональное число.

2.вводится понятие арифметического квадратного корня

Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число квадрат которого равен а.

Это определение конъюнктивной структуры, объект подходит под понятие лишь при условии наличии обоих требовании и не подходит во всех остальных случаях.

Путем рас-я достаточного количества рас-я примеров необходимо подготовить учащихся к выводу, что выражение не имеет смысла при отрицательных значениях а.

Возникает вопрос- определено ли выражение для всех неотрицательных знаменателей а.

Ответ на этот вопрос дается путем решения квадратного уравнения.

Внимание учащихся обращается на тот факт, что рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует. На данной ступени обучения считается возможным лишь обнаружение индуктивное этого факта.

Чаще всего при введении иррационального числа в школе исходят из следующих сообщений: возникает вопрос, каждой ли точки прямой соответствует единственное рациональное число, ответ оказывается отрицанием, регистрируется следующим примером.

Как определить его значение. Доказательством что точка М никакому рациональному числу. Предположим обратное, что

2- четное, значит - четное

()2= 2

2= 2=» n - число четное. Наше предположение, что дробь n/m несократимая, неверно, значит - не является рациональным числом, и его стали называть иррациональным числом.

То получили, что это число нельзя представить в виде отношений целое / к натуральному.

Определение: число которое нельзя представить в виде дроби , где называют иррациональным числом.

Выше было выявлено, что всякое рациональное число может быть представлено в виде периодичной действительной.

Учащимся сообщается, что кроме существует множество иррациональных чисел, которые представляются в виде не периодичной дроби и дается определение.

Определение: совокупность иррациональных и рациональных чисел дает множество ДЧ.

Лекция 8. Алгебраические выражения

1. Определение: совокупность чисел и букв соединенных между собой по средствам знаком, которые указывают какие действия или в каком порядке надо произвести над данными числами и значениями букв называются английскими выражением.

Здесь к знакам отнесены (в 9 - летней школе) в основном изучается преобразование рациональных выражений, тождественных преобразований одночленов и многочленов, разложение на множители, преобразование алгебраических дробей.

В погрому старших классов входит тождественное преобразование в тригонометрических и алгебраических выражений потенцированных (9 кл.)

Таким образом, тождественные преобразования, как и другие основные вопросы школьного курса, не входят в одну какую нибудь тему, и рассматриваются во всем курсе алгебры.

2. Определение: Два алгебраических выражения называются тождественными, если они принимают равные численные значения при соответственно равных числовых значениях букв и С общей области допустимых значений.

Тождеством называется равенство двух тождественных выражений.

Для алгебраических дробей тождественность расширяется.

П. С. Александров, Калмагоров дают следующие определения. - Равенство между двумя рациональными выражениями будем называть тождественным, если оно справедливо при всех значениях входящих в него букв, кроме тех исключительных случаев, когда одна из сторон равенства (или он сразу) становятся бессмысленными.

Таким образом, в тождественных преобладаниях эта замена одного выражения другим тождественно равных. Смысл его сохраняется и для нового. Тождественные преобразования состоят в применение к данному выражению основных свойств к действию, необходимо обратить внимание на правильное оформление упражнений, на доказательство тождеств, запись может быть двоякой.

Если следует доказать, , то

1)

2)

т.е. преобразовываем одну часть пока не получим другую или преобразовываем обе части пока не получим одно и тоже выражение в обеих частях.

Основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнение преобразований несет курс алгебры.

На начальном этапе используется не расчлененная система преобразований.

П-р: Решить уравнение

а) 7х-5х=2

б) 7х=2+5х

в) 6+ (2-4у) +5у=3(1-3у)

при а) упрощение при помощи применения тождества ( распределительным законом) т.е. (7-5)х=2

б) сводится к пункту а) по сред-вам равносильных преобразований путем переноса.

в) используется преобразование в первых двух случаев.

Принципиальное значение темы тождественное преобразование состоит в следующем:

Данное алгебраическое выражение преобразуется в более простое тождественное выражение.

Выполняя тождество ученики должны осознать, что эти преобразования не являются самоцелью, а служат для нахождения числовых значений выражений для решения уравнения, для изучения функции.

В начальном или 5 классе вводится понятие буквенного выражения. Выражения содержащие буквы называют буквенным выражением.

Для упрощения выражений используется распределительный закон умножения.

Тождественные выражения и их преобразования основываются на законах арифметических действий.

Н-р: 7*а*с*6=42ас

В 7 классе рассматриваются понятия одночлена, его стандартного вида, коэффициента одночлена, умножение одночленов, а также многочлен и его стандартный вид, сложения и вычитание многочленов, умножение многочлена на одночлен и приведение подобных членов.

При изучении этих тем особое внимание следует уделять оформлению записи в тетрадях.

Учащихся надо приучать записывать в порядке алфавита, это позволяет избежать ошибок, при приведении подобных слагаемых.

Н-р: Записи видо12у2х+3х2у+6ух2-3ху2=9ху2+9х2у=9(ху2+х2у)

При умножении многочлена на многочлен надо приучать учащихся строго соблюдать порядок умножения их членов. Н-р: каждый член первого многочлена последовательно умножать на каждый член другого многочлена, это на позволит пропустить некоторые члены многочлена или не повторить их дважды.

Тождества изучаемые в школе можно разделить на 2 класса; первый состоит из тождества сокращенного умножения, а второй обеими тождествами связывающие арифметические операции и основные элементарные функции.

Формулы сокращенного умножения рассматриваются в 7 классе, как частный случай умножения многочленов.

Рассматриваются формулы разность квадратов, квадрат суммы, квадрат разности, сумму и разность кубов.

Формулы куба разности и куба суммы двух выражений даются для учащихся в упражнениях.

К выводу формул умножения нужно привлекать самих учащихся.

Усвоению формул помогают такие предлагаемые упражнения, прочитать следующие выражения: а+с, а-с, (а+с)2, (а-с)2, ас, 2ас, и т.д.

Еще в процессе изучения темы умножения многочленов можно вывести формулу сокращенного умножения.

Так выполняя многократно умножения двух одинаковых многочленов, учащиеся замечают, какие члены получаются при умножении.

Постепенно можно отвлечься от подробной записи и сразу записать результат умножения, так можно поступать и с другими формулами.

Не следует торопить учащегося запоминать формулы, пусть они ещё раз умножат многочлены, при получении навыков тождественных преобразований учащийся можно выделить три основных этапа:

запоминание алгоритма и его применение.

Применение нового алгоритма к совокупности с ранее известными алгоритмами.

Решение широкого круга задач с использованием нового алгоритма.

Н-р: при изучении формулы разности квадратов рекомендуется выделять следующие этапы:

Применять его к упрощению выражение (с-3)(с+3), (5х+1)(5х-1) и т.д. Чтобы учащиеся поняли, что результат не зависит от порядка множителей и от порядка слагаемых в сумме.

Умение применять формулу (а-с)(а+с) в сочетании с другими тождественными преобразованиями, применением с использованием свойств степени с натуральными показателями.

П-р: (12с2-7а3)(7а3+12с2); (-11р4+9)(9+11р4)

Умение применять форму при решении уравнений, неравенств, и их систем при исследовании функции, задача на делимость и другие.

В этих этапах самым важным является первый этап, где учащимся раскрывается сущность нового алгоритма, создаются основы для его усвоения и правильного применения. Излишне поспешное беглое прохождение первого этапа является основной причиной грубых ошибок в преобразованиях допускаемые учащимися. К ним относятся, например, ошибки вида: 25*73=148

(а+2)2=а2+4

(х+1)2=х2+1

с целью предупреждения подобных ошибок необходимо время от времени предлагать учащимся называть определения свойств, на которые основано выполнение преобразования.

Н-р: если ученик записал (а4)2=а16, то надо не только вспомнить определение, но и сделать подробную запись.

(а4)2=а4а4=(а*а*а*а)(а*а*а*а)=а8

Иногда, чтобы убедить учащихся в ошибочной записи, необходимо использовать числовые подстановки.