2

Содержание

• Введение 3
• Основные понятия и определения 4
• Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах 7
• §1. Свойства НОД и НОК 7
• § 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп 11
• Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15
• Библиографический список 19

 Введение

В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.

Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел - это интересное легко интерпретируемое подмножество R.

Как известно, различные подалгебры множества R⁺ (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.

Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп SR⁺, обладающих одним из введенных специфических свойств:

(*) (a<b);

(**) (0<a<b).

Основные понятия и определения

Определение 1. Пусть Х - множество произвольной природы и - семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:

1) пересечение конечного числа множеств из принадлежит ,

2) объединение любого множества множеств из принадлежит ,

3) и .

Тогда называется топологическим пространством, - топологией на Х.

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.

Определение 3. Пусть - топологическое пространство и . Введем на множестве Х₁ топологию ₁. Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U - произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология ₁ - топологией, индуцированной топологией на множество Х₁.

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии , если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R⁺ эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например,  R⁺ (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х₁ называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х₁.

Очевидно, Х₁ плотно в Х, если каждая точка подпространства Х₁ является предельной точкой множества Х.

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и .

Определение 8. Множество Х₁ в топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х.

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.

Определение 9. Топологическое пространство называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, - нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения называется мультипликативной полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. .

Определение 11. Элемент bS называется делителем элемента аS, если для некоторого . При этом говорят, что делится на , или делит (|).

Определение 12. Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД.

Определение 13. Элемент S называется кратным элементу S, если a делится на b.

Определение 14. Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК.

Определение 15. Полугруппа S называется НОД-полугруппой (НОК-полугруппой), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16. Элемент из S называется неприводимым, если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .

Определение 17. Элемент из S называется простым, если . Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18. Полугруппа S называется топологической полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.

1) S, - полугруппа;

2) S - топологическое пространство;

3) полугрупповая операция непрерывна в S:

.

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах

(1) ;

(2) - рефлексивность;

(3) - антисимметричность;

(4) - транзитивность;

(5) ;

(6) ;

(7) Любой простой элемент неприводим;

(8) р неприводим ;

Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.

Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух элементов а и b из S. Пусть (a,b) и (a,b). Тогда из определения НОД следует и . По свойству антисимметричности имеем .

Свойство 2. .

Доказательство. Импликации и очевидны. Пусть , т.е. для некоторого . Очевидно, b - общий делитель а и b. Возьмем произвольный общий делитель с элементов а и b. Для него существуют такой элемент , что и . Таким образом, с делит b. Это и означает, что . Аналогично доказывается .

Следствие 1. .

Следствие 2. и .

Свойство 3. и .

Доказательство следует из коммутативности операции умножения и свойств делимости.

Свойство 4. .

Доказательство. Обозначим d₁=НОД(НОД(a,b),c). Так как d₁ является общим делителем НОД(a,b) и c, то d₁ - общий делитель и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов является общим делителем для НОД(a,b) и c. Аналогичным свойством обладает и элемент d₂=НОД(a, (НОД(b,c)). Тогда элементы d₁ и d₂ делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d₁=d₂.

Свойство 5. .

Доказательство. Обозначим k₁=НОК(НОК(a,b),c). Так как k₁ является общим кратным элементов НОК(a,b) и c, то k₁ - общее кратное и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любое общее кратное этих трех элементов является общим кратным для НОК(a,b) и c. Аналогичным свойством обладает и элемент k₂=НОК(НОК(a,b),c). Тогда элементы k₁ и k₂ делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем k₁=k₂.

Свойство 6. Если элементы а и b не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1.

Доказательство. По условию НОД(a,b)=d1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b.

Свойство 7. =.

Доказательство. Обозначим d=НОД(a,b). По свойству (6) делимости элемент сd делит любой общий делитель элементов ас и bс, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 8. Если , то .

Доказательство. Из условия следует, что d делит любой общий делитель элементов а и b и . Тогда по свойству (6) делимости элемент делит любой общий делитель элементов , следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 9. Если и , то .

Доказательство. Пусть НОД и НОД(а,b) = 1, тогда среди делителей элементов b и с нет делителей элемента а. Следовательно, и среди делителей элемента bc нет делителей элемента а, что и означает, что .

Свойство 10. Если , то для любых N.

Доказательство. Докажем, что методом математической индукции. Пусть m = 1, тогда по условию, т.е. база индукции верна. Предположим, что для всех k < m. Покажем, что при k = m. по свойству (10) для с = b. Отсюда, для всех N. по свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем для любого N. Следовательно, .

Свойство 11. Если , то для любого .

Доказательство. Пусть , тогда а = sd и c = td для некоторых s,tS таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку , то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1. Следовательно, . Свойство доказано.

Свойство 12. Существование НОК(a,b) влечет существование НОД(a,b) и равенство НОД(a,b) НОК(a,b) = ab.

Доказательство. Если хотя бы одно из чисел или равно 0, то и равенство справедливо. Пусть элементы и ненулевые и . Поскольку - общее кратное чисел и , то для некоторого . Так как и , то - общий делитель и . Докажем, что делится на любой общий делитель элементов и . Пусть - произвольный общий делитель чисел и , т.е. и для некоторых . Поскольку - общее кратное элементов и , то . Так как , то для некоторого . Отсюда . Следовательно, , и, значит, НОД().

Предложение 1. Полугруппа является НОК-полугруппой тогда и только тогда, когда есть НОД-полугруппа.

Доказательство. По свойству 12 достаточно доказать, что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть есть НОД-полугруппа. Возьмем произвольные . Если хотя бы одно из чисел равно 0, то . Рассмотрим случай и . Обозначим . Тогда и для некоторых . Поскольку по свойству 7, то . Положим . Число является общим кратным элементов и . Осталось показать, что на делится любое общее кратное и . Возьмем произвольное общее кратное элементов и , т. е. для некоторых . Тогда , т.е. (поскольку ). По свойству 11 имеем , значит, для некоторого . Поэтому , т.е. .

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп

Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acⁿ > 1 для некоторого nN. Тогда 1 / acⁿ S в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acⁿ) cⁿ S.

Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (*) относится к одному из следующих классов:

1. S = [0,1].

2. S = R⁺.

3. S = {rⁿ | n = 0,1,2,…}, где 0 < .

4. S = {rⁿ | nZ}, где 0 < .

5. S - нульмерное плотное подпространство в [0,1].

6. S - нульмерное плотное подпространство в R⁺.

7. S = {0,1}.

Доказательство. Если связно, S= или S=R⁺ по лемме 1.

Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}[1,+) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R⁺). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1 изолирована в S. Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (е_n), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c < d, что (c,d) =  по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (e_n,d) элементов из S сходится к числу d. Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим . Тогда . Возьмем произвольный ненулевой элемент из . Для него при некотором N. По свойству (*) получаем и . Поскольку , то . Тогда в случае S имеем 0,1,2,…, а в противном случае Z по лемме 9.

Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0а_nS, сходящаяся к некоторому аS. Пусть b_n = a_n / a_n+1, если (a_n) возрастает, и b_n = a_n+1 / a_n, если она убывает. Тогда b_nS (N) и b_n1 при . Возьмем произвольное число с(0,1). Для каждого N найдется такое k(n)N, что . Тогда имеем и .

Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S, то получаем случай 5. Если же S, то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано.

Предложение 5. Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из следующих классов:

1. S = R⁺.

2. S = {rⁿ | nN}, где .

3. S = {rⁿ | nZ}, где .

4. S\{0} - нульмерное плотное подпространство в [1,).

5. S - нульмерное плотное подпространство в R⁺.

6. S = {0,1}.

7. [1,+).

Доказательство. Пусть связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S=R⁺.

Очевидно, является полугруппой со свойством (**).

Пусть далее несвязно и . Тогда нульмерно по предложению 2.

Пусть замкнуто и . Если в нет элемента, большего 1, то . Пусть (1,+). Докажем, что точка 1 изолирована в . Допустим, что это не так. Тогда в существует строго убывающая последовательность, сходящаяся к 1. Так как замкнуто и несвязно, то в [1,+) есть такие элементы , что . В то же время строго убывающая последовательность элементов из сходится к числу , следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал . Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в . Обозначим . Тогда и поскольку замкнуто, то . Возьмем произвольный элемент из . Для него при некотором N. По свойству (**) получаем и . Поскольку , то . В этом случае N.

Пусть замкнуто и . Как и выше, доказывается, что 1 - изолированная точка. Обозначим и . Тогда , . Так как замкнуто, то . Из свойства (**) следует, что . Из неравенства по доказанному выше получаем: для некоторого натурального N. Поскольку , то . В этом случае Z.

Пусть не замкнуто и . Тогда существует монотонная последовательность чисел , сходящаяся к некоторому . Пусть , если последовательность элементов убывает, и , если она возрастает. Тогда для всех N и при . Возьмем произвольное число . Для каждого N найдется такое N, что . Тогда имеем и .

Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [1,+ ) (случай 4).

Если не замкнуто и , то аналогичные рассуждения показывают, что S - плотное подпространство в R⁺.

Следствие 1. Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*) и (**) относится к одному из следующих классов:

1. S = R⁺.

2. S - нульмерное плотное подпространство в R⁺.

3. S = {0,1}.

 Библиографический список

1. Варанкина, В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С  493-510.

2. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. - М.: Наука, 1973.