Среди многообразия методов оценки подготовки слушателей выделим:

1) написание реферата по заданной теме (индивидуально, в паре с другим слушателем или в составе группы, работающей по одному проекту);

2) референтную оценку работы другого слушателя, изучающего ту же тему;

3) личное интервью с преподавателем (в синхронном или асинхронном режиме);

4) оценку работы слушателя "равными по положению", т.е. другими слушателями, работающими в одной учебной группе;

5) самооценку работы слушателя.

Все перечисленные методы организации контроля учебной деятельности очень хорошо реализуются в условиях телекоммуникационной сети. Причем не только с помощью наиболее современных синхронных видеотелеконференций, проходящих в режиме реального времени и требующих немалых материальных затрат на свою организацию, но и с помощью ставших уже привычными всем электронной почты и системы асинхронных телеконференций.

Для проведения оперативного промежуточного контроля при дистанционном обучении также очень удобно использовать разнообразные анкеты, рассылаемые слушателям в определенные сроки по электронной почте.

Анкета, наряду с тестами, является одним из самых распространенных средств проведения тестирования учащихся. В широком смысле анкета - это ряд вопросов, на которые опрашиваемый должен дать ответы. Анкета является достаточно гибким инструментом, поскольку вопросы можно задавать множеством различных способов. Анкета требует тщательной разработки, апробирования и устранения ее недостатков до начала ее широкого использования. В ходе подготовки анкет отбирают вопросы, которые необходимо задать, выбирают формы этих вопросов, их формулировки и последовательность. Главное правило при этом: не задавать лишних вопросов, поскольку необходимо экономить время работы студента.

Форма вопроса может повлиять на ответ. Бывает два типа вопросов - закрытые и открытые. Закрытый вопрос включает в себя все возможные варианты ответов, и опрашиваемый просто выбирает один из них. Данные, полученные с помощью закрытых вопросов, гораздо легче подвергнуть систематизации, интерпретации и автоматически свести в таблицы, что очень существенно при организации массового дистанционного обучения.

Открытые вопросы дают опрашиваемым возможность отвечать своими словами. Их ставят в самых разных формах. Они дают более глубокое представление об успехах слушателей или о сути исследуемой проблемы, поскольку опрашиваемые ничем не связаны в своих ответах. Люди высказывают то, что думают, но эти ответы очень трудно систематизировать.

При формулировке вопросов следует использовать простые, недвусмыленные слова, которые не влияют на направленность ответов. Особого внимания требует и установление последовательности вопросов. Первый из них должен по возможности пробудить у опрашиваемых интерес. Трудные или личные вопросы необходимо задавать в конце интервью, пока опрашиваемые не успели замкнуться в себе. Вопросы должны следовать в логической последовательности. Вопросы, классифицирующие опрашиваемых на группы, задают в последнюю очередь, потому что они носят более личный характер и менее интересны для отвечающих.

Отметим, что уровень организации контроля учебной деятельности при дистанционном обучении зависит не столько от технической базы, сколько от правильно выбранной методики проведения контроля учащихся и грамотно сформулированных контрольных вопросов, включенных в тесты, зачеты и т.д.

§7 Дистанционный курс по «Сферической геометрии»

Разработанный мной дистанционный курс по «Сферической геометрии» базируется на модели «университетское обучение». Данный курс предназначен для студентов обучающихся заочно или дистанционно. К нему прилагается предисловие, в котором дано описание курса и подробной инструкции для пользователей.

Курс состоит из теоретической и практической частей. Раздел теории разбит на шесть лекций, в каждой из которых рассматриваются понятия и теоремы по определённой теме раздела сферической геометрии, снабжённые наглядными чертежами. К лекциям подобраны задачи на применение нового материала, которые составляют задачник-практикум. Он содержит упражнения различного уровня сложности; более лёгкие обозначены буквой А, более сложные - В. После каждой из лекций пользователь может сразу перейти к задачам по только что изученному материалу. Кроме того, они составлены таким образом, что при возникновении затруднений, обучающийся имеет возможность воспользоваться подсказкой, оформленной в виде ссылки.

Курс составлен так, что всегда можно вернуться к началу или к определённой лекции. В конце обучения пользователю предлагается пройти контрольный тест, по результатам которого можно сделать вывод об успешности изучения данного курса.

Приложение

Основные понятия сферической геометрии

1. Как найти угол между двумя большими окружностями?

2. Как определить перпендикулярность на сфере?

3. а) Пусть дуга АВ - отрезок на сфере, АС₁С₂…С_SВ - ломаная из сферических отрезков. Доказать, что длина отрезка АВ не превосходит длины ломаной.

б) Верно ли это утверждение, если вместо отрезка АВ взять произвольную дугу большой окружности.

Решение: а) Доказывается в точности так же, как теорема о том, что прямолинейный отрезок на плоскости короче всякой ломаной, соединяющей те же точки.

б) Неверно, дуга должна быть меньше полуокружности, так как доказательство утверждения а) основывается на рассмотрении цепочки сферических треугольников, а в любом сферическом треугольнике каждая сторона меньше полуокружности. Ясно, что дуга большой окружности, большая полуокружности, не является кратчайшей.

4. Верно ли, что сумма углов сферического треугольника всегда равна 180⁰?

Решение: Не верно, так как если рассмотреть две большие окружности и окружность перпендикулярную к ним обеим, то получим треугольник, у которого два угла прямые.

5. На сколько частей делят сферу:

· Две большие окружности;

· Две любые окружности;

· Три большие окружности;

· Десять больших окружностей, проходящих через диаметрально противоположные точки сферы?

Сферические треугольники.

А:

1. Какого вида треугольники могут быть на сфере?

2. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности. Доказать.

Решение: Рассмотрим трёхгранный угол. Известно, что в трёхгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью любого трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. Так как градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла, соотношение линейных углов в трёхгранном угле соответствует соотношению сторон в сферическом треугольнике, т.е. во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.

3. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике сумма двух углов без третьего меньше , а сумма трёх углов принадлежит интервалу (;3).

Решение: 1) Для ?А?В?С? - полярного данному ?АВС, имеем: а? + b? > с? (по предыдущей задаче). Переходя от полярного треугольника к данному, получим: ? - А + ? - В > ? - С, откуда имеем А +В -С < ?

2) Площадь сферического треугольника: S_?АВС=(А+В+С - ?)r², так как S_?АВС > 0, то А+В+С - ? > 0 и, следовательно, А+В+С > ?.

4. Если в сферическом треугольнике две стороны конгруэнтны, то конгруэнтны и углы, противолежащие им. Доказать.

5. В сферическом треугольнике против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны. Доказать.

6. Доказать, что в сферическом треугольнике против большего угла лежит и большая сторона.

Решение: Пусть в ?АВС, C>B, построим CD так, что АВС=BCD,

тогда ?BCD - равнобедренный и BD=CD, тогда верно неравенство:

AC<AD+DC=AD+DB=AB.(рис.1)

Рис.1

7. Доказать, что в сферическом треугольнике против большей стороны лежит и больший угол.

Решение: Пусть в ?АВС, АВ > АС. Предположим, что С=В, тогда АВ=АС или, что С < В, тогда АВ < АС (из предыдущей задачи). Получили противоречие, значит, единственный возможный вариант С>B.

8. Найти площадь сферического треугольника, углы которого равны 90⁰, 60⁰ и 45⁰, если этот треугольник лежит на шаре, радиус которого равен 10 м.

Решение: Площадь сферического треугольника:S_?АВС=(А+В+С - ?)r², тогда S_?АВС=(90⁰+ 60⁰ + 45⁰ - 180⁰)10²=1500м².

9. Доказать, что медианы сферического треугольника (т.е. меньшие дуги больших окружностей, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон) пересекаются в одной точке.

Решение: Пусть АВС - данный сферический треугольник; AD, BE и CF- его медианы (см. рис.2), S - центр сферы.

Рис.2

Так как прямая SD делит дугу ВС пополам, то она делит и хорду ВС в точке D₀ пополам, так что D₀B=D₀C. Точно также прямые SE и SF проходят через середины E₀ и F₀ хорд АС и АВ. Прямые AD₀, BE₀ и CF₀ проходят, как медианы прямолинейного треугольника АВС, через одну точку. Следовательно, плоскости ASD₀, BSE₀ и CSF₀ проходят через одну прямую , а лежащие в этих плоскостях дуги АD, ВЕ и СF - через одну точку G.

10. Доказать, что высоты сферического треугольника пересекаются в одной точке. Верно ли, что биссектрисы сферического треугольника пересекаются в одной точке?

11. Доказать, что гипотенуза прямоугольного сферического треугольника меньше квадранта, если оба катета одновременно меньше или оба больше квадранта, и больше квадранта, если один из катетов меньше, а другой больше квадранта.

Решение: Рассмотрим ?АВС, АСВ= и катеты АС<, BC< (рис.3)

Рис. 3

Отложим на большой окружности СВ в сторону точки В дугу СК, равную квадранту. Точка К будет одним из полюсов большой окружности АС, и потому дуга АК также будет равна квадранту.

При этом АС будет меньшей перпендикулярной дугой, опущенной из точки А на большую окружность СВ, и так как точка В лежит ближе к С, чем точка К, то АВ<АК. Таким образом, гипотенуза треугольника меньше квадранта.

Если бы катет АС был меньше квадранта, а катет ВС - больше квадранта, то при тех же условиях точка К лежала бы ближе к С, чем точка В, и мы имели бы АВ>АК. Таким образом, гипотенуза была бы больше квадранта.

Наконец, если оба катета АС и ВС больше квадранта, то мы продолжим дуги СА и СВ за точки А и В до их вторичного пересечения в точке С`, диаметрально противоположной точке С. Гипотенуза АВ треугольника АВС будет и гипотенузой треугольника АВС`, в котором в каждом из катетов меньше квадранта. Следовательно, в этом случае гипотенуза АВ меньше квадранта.

В:

1. Доказать, что два сферических треугольника равны по трём углам.

2. Дан треугольник АВС и полярный к нему А?В?С?. Доказать, что треугольник, полярный к треугольнику А?В?С?, совпадёт с треугольником АВС.

3. Найти максимум или минимум площади сферического треугольника, в котором известна сторона и угол и соответствующая высота.

4. Доказать, что:

1) если медиана сферического треугольника равна квадранту (четверть окружности), то она одновременно служит биссектрисой того угла, через вершину которого она проходит (не зависимо будет ли данный треугольник равнобедренным или нет), и равна полусумме сторон, прилежащих к этому углу.

2) Если медиана меньше квадранта, то она образует с большей из двух сторон АВ и АС, между которыми она проходит, угол меньший, чем с другой стороной; она больше (за исключением случая равнобедренного треугольника) биссектрисы угла ВАС, считаемой от вершины до противоположной стороны, и меньше полусуммы сторон АВ и АС, которая в свою очередь меньше квадранта; если медиана больше квадранта, то имеют место противоположные неравенства. (Вторая часть этого предложения сводится к первой путём замены вершины А, из которой выходит медиана, диаметрально противоположной точкой.

3) Рассмотреть обратные предложения. Одно из них гласит: если медиана сферического треугольника является одновременно биссектрисой угла, из вершины которого она выходит, то или она равна квадранту, или треугольник равнобедренный.

Решение:

1) Пусть медиана AD сферического треугольника АВС (рис.4) равна квадранту. Отложим на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную AD. Тогда ?ABD =?ECD, так как ADB=EDC; BD=CD и AD=ED.

Отсюда BAD=CED (1)

CE=AB (2)

Так как дуга ADE равна половине большой окружности, то точка Е диаметрально противоположна точке А и точки А, С и Е лежат на одной большой окружности, так что CED=CAD. Из сравнения этого равенства с равенством (1) вытекает, что BAD=CAD, так что AD есть биссектриса ВАС.

Далее, в силу (2), имеем

AB+AC=EC+AC=ACE=ADE=2AD.

Итак, если медиана сферического треугольника равна квадранту, то она одновременно служит биссектрисой того угла, через вершину которого она проходит, и равна полусумме сторон, прилежащих к этому углу.

Рис.4 Рис.5

2) Пусть далее медиана AD сферического треугольника ABC (рис.5) меньше квадранта. Отложим опять на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную AD. Тогда ?ABD = ?ECD будут равны (см. 1) ), и будут верны равенства (1) и (2). В этом случае дуга ADE=2AD будет меньше половины окружности большой окружности, и потому точка D будет лежать на стороне АЕ сферического ?АСЕ. Если в данном треугольнике АВ>АС, то в ?АСЕ будем иметь (в силу равенства ЕС=АВ) СЕ>АС. Отсюда следует, что CAD>CED (см. §2 зад. 7 части А), так что и силу равенства (1) CAD>BAD. Итак, если медиана треугольника меньше квадранта, то она образует с большей из двух сторон, между которыми она проходит, угол меньший, чем с другой стороной.

Далее в этом случае имеем ADE = 2AD<AC + CE= AB+АС, так что если медиана треугольника меньше квадранта, то она меньше полусуммы сторон, между которыми она проходит.

Пусть, как и выше, медиана АD сферического ? ABC (рис. 6) меньше квадранта и пусть для определенности сторона АВ > АС. В таком случае точка А отлична от полюсов большого круга ВС, и через неё проходит (теорема 4) единственная большая окружность IAH, перпендикулярная к ВС. Обозначим через I и H основания меньшей и большей перпендикулярных дуг AI и АН, опущенных из точки А на большую окружность ВС (теорема 5). Пусть далее К и L середины дуг, на которые точки I и H делят большую окружность ВС, так что каждая из дуг IK=КН = HL= LI равна квадранту. При этом точки К и L будут, очевидно, полюсами большой окружности IАН, и дуги AK = AL также будут равны квадранту.

Так как медиана АD по предположению меньше квадранта, то по теореме о сравнительной длине перпендикулярных и наклонных дуг (теорема 5) точка D лежит (рис. 6 и 7) между точкой I и одной из точек К и L, скажем К (точка D не может совпадать с I, так как в последнем случае треугольник ABC был бы равнобедренным). Далее, так как сторона ВС заведомо меньше половины большого круга, то дуга DB меньше квадранта. В то же время дуга DКН более квадранта, и потому точка Н не лежит на дуге ВС. Так как BAD < CAD, как было доказано выше, то биссектриса AM треугольника ABC проходит внутри DAC, и точки Н,В, D,М и С следуют на большой окружности ВС в перечисленном здесь порядке. При этом точка С может лежать между точками B и I, как на рисунках 6 и 7, или же точка I - между точками В и С, как на рисунке 8. В последнем случае, в силу АВ > АС, будем иметь и ВI>IС, откуда ВАI> САI, так что точка М лежит между В и I. Итак, в обоих случаях точки H,B,D,M и I следуют на большой

Рис.6 Рис.7

окружности ВС в том именно порядке, как они здесь перечислены. Следовательно, имеем (в силу теоремы о длине наклонных дуг, теорема 5) AD > AM. Итак, если медиана AD меньше квадранта, то она больше биссектрисы AM угла ВАС.

Пусть в том же предположении, что медиана AD меньше квадранта, В_о - точка, диаметрально противоположная точке В. Так как точка D лежит между I и К и дуга DB меньше квадранта, то точка В лежит на дуге IKH, а точка В_о - на дуге ILH.

Пусть точка I лежит между точками С и В_о (рис. 6 и 7). Так как точка D лежит между точками I и К и, кроме того, BD = DC, то дуга СI меньше дуги ВН и, значит, меньше дуги В_оI, равной ВН. Точки С и В_о могут лежать и по одну сторону от точки I. Так как дуга ВС меньше полуокружности, то при этом точка С будет лежать между I и В_о, и опять будем иметь СI< B_оI.

Так как СI < В_оI, то и АС < АВ_о, и потому АВ+АС < АВ + АВ_о. Так как сумма дуг АВ + АВ_о равна полуокружности большой окружности, то отсюда следует, что если медиана треугольника меньше квадранта, то полусумма сторон, между которыми она проходит, также меньше квадранта.

Рис. 8

Случай, когда медиана АD больше квадранта подробно изложен в дистанционном курсе «Сферическая геометрия».

3) Так как в каждом из трёх рассмотренных случаев мы имеем по одному условию - медиана соответственно а) равна квадранту, b) меньше квадранта и с) больше квадранта - и по нескольку заключений (первое заключение касается соотношения между медианой и биссектрисой, второе -- углов между медианой и прилежащими сторонами, третье -- соотношения между медианой и полусуммой сторон, наконец, четвёртое -- соотношения между полусуммой сторон и квадрантом), то мы будем иметь целый ряд обратных теорем в зависимости от того, какой из трех случаев а), b) или с) мы имеем в виду и какое из заключений прямой теоремы мы примем за условие обратной теоремы.

Переходя к формулировкам теорем, обратных доказанным выше, будем объединять вместе обратные теоремы, аналогичные по своему содержанию. Таким образом, получается следующий перечень обратных теорем:

1) Если биссектриса сферического треугольника равна квадранту, то она одновременно служит и медианой того же треугольники.

В самом деле, пусть биссектриса AD сферического треугольника ABC (см. рис. 1) равна квадранту. Отложим опять на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную АD. Так как дуга ADE равна полуокружности большого круга, то точки А, С и Е лежат на одном большой окружности, и потому CED = CAD= BAD. Сферические треугольники ABD и CED будут равны (по второму признаку равенства), так как AD = ED; ADB= EDC; BAD = CED. Отсюда BD=CD, т. e. AD - медиана ? ABC.

2) Если медиана сферического треугольника являетcя одновременно и биссектрисой того угла, из вершины которого она выходит, то или медиана равна квадранту, или треугольник равнобедренный.

3) Если медиана сферического треугольника образует с большей из двух сторон, между которыми она проходит, угол меньший (больший), чем с другой стороной, то медиана меньше (больше) квадранта.

4) Если медиана сферического треугольника больше (меньше) биссектрисы, выходящей с ней из одной вершины, то медиана меньше (больше) квадранта.

5) Если медиана сферического треугольника равна полусумме сторон (меньше, больше полусуммы сторон), между которыми она проходит, то медиана равна квадранту (меньше, больше квадранта).

6) Если полусумма двух сторон сферического треугольника равна квадранту (меньше, больше квадранта), то медиана, выходящая из общего конца, также равна квадранту (меньше, больше квадранта).

Так как в трёх прямых теоремах заключения охватывают все имеющиеся здесь возможности, то эти обратные теоремы 2) -- 6) легко доказываются от противного.

Приведём доказательство одной из теорем, приведённых под рубрикой 3). Пусть в некотором треугольнике медиана больше биссектрисы. Если бы медиана была равна квадранту или больше его, то на основании прямых теорем медиана была бы равна биссектрисе или меньше её, что противоречит условию. Следовательно, медиана меньше квадранта.

Аналогично доказываются остальные обратные теоремы.

Сферические многоугольники.

1. Доказать, что сумма углов выпуклого сферического n-угольника больше (2n-4)d, где d - прямой угол.

2. Доказать, что если в выпуклом сферическом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то диагонали делят друг друга на равные части. Точка их пересечения служит полюсом большой окружности, проходящей через точки пересечения противоположных сторон.

Решение: Пусть в выпуклом сферическом четырехугольнике AВCD (рис.9) противоположные стороны попарно равны: АВ = CD; ВС = AD.

Рис. 9

Имеем: ?ABC = ?CDA (по трём сторонам), и то же имеет место для треугольников ABD и CDB. Следовательно, противоположные углы данного четырехугольника попарно равны; кроме того, АСВ = CAD и CBD = ADB. Если О - точка пересечения диагоналей четырёхугольника, то ?ОВС = ?ODA (т.к. ВС = АD и CBD=ADB, BCA=CAD). Следовательно, ОВ=ОD и ОС=ОА, так что диагонали четырёхугольника делятся в точке пересечения пополам.

Пусть S - центр сферы, на которой лежит данный четырёхугольник, и через Р и Р' -- точки пересечения больших окружностей ВС и AD. При повороте сферы около прямой SО на 180° точка А совмещается с С, точка В - с D, точка С - с А и точка D - с В. Отсюда следует, что большая окружность ВС совмещается с большой окружностью AD, а большая окружность AD - с большой окружностью ВС, так что точка Р совмещается с Р', а точка Р' - с точкой P. Так как прямая РР? не изменяет своего положения в пространстве при повороте на 180⁰ около прямой SO, то она пересекает прямую SO под прямым углом, и каждая из дуг ОР и ОР' равна квадранту. Теми же свойствами будут обладать и точки пересечения Q и Q' больших окружностей АВ и СD. Следовательно, точка О является полюсом большой окружности PQP'Q', на которой лежат точки пересечения противоположных сторон.

Примечание. Тот же результат можно получить и не пользуясь понятием вращения, если применить результаты упражнения 4 части В, §2.

Сферические треугольники РАН и P'CD равны (так как они имеют пару равных сторон АВ и CD и соответственно равные углы, прилежащие к этим сторонам), откуда АР = СР'. Следовательно, АР + СР = СР? + СР= 180⁰. Медиана OP сферического треугольника РАС. в котором сумма двух сторон равна 180⁰, равняется квадранту на основании одной из обратных теорем, приведённых в решении упражнения 4 части В, §2.

3. Доказать, что если в четырёхугольнике (сферическом ромбе), все четыре стороны которого равны, диагонали, кроме того, взаимно перпендикулярны.

4. Доказать, что если при попарно равных противоположных сторонах диагонали также равны, то точка их пересечения и точки пересечения противоположных сторон являются вершинами треугольника с тремя прямыми углами; при этом все четыре угла четырёхугольника равны между собой.

5. Найти условия, при которых сферический четырёхугольник будет описанным около некоторой окружности.

Геометрические места точек

1. Даны три точки А, В и С, лежащие на одной сфере. Найти геометрическое место таких точек М, что сферические треугольники МАВ и МАС равновелики. Предполагается, что эти два треугольника имеют одинаковое расположение.

2. Найти внутри сферического треугольника такую точку, чтобы большие окружности, соединяющие её с вершинами треугольника, делили площадь треугольника на три части, две из которых были бы равновелики, а третья равнялась удвоенной площади каждой из двух первых.

Решение: Пусть внутри данного сферического треугольника АВС требуется найти точку М (см. рис.), для которой S_MBC=2S_MCA=2S_MAB.

При этом будем иметь:

S_MBC=S_ABC (1)

S_MCA=S_ABC (2)

В силу теоремы Лекселля, геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию (1) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая дуга малой окружности. Строим на стороне АВ треугольника АВС такую точку D, что дуга CD делит его на две равновеликие части, и проводим малую окружность через точку D и через точки, диаметрально противоположные точкам В и С.

Рис.10

Точно также геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию (2) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая дуга малой окружности. Аналогично на стороне АВ найдём такую точку Е, что

S_ACE=S_ABC,

и проведя малую окружность через точку Е и через точки диаметрально противоположные точкам С и А.

Искомая точка М есть точка пересечения обоих построенных геометрических мест.

3. Найти на данной окружности такую точку, чтобы дуги больших окружностей, соединяющих её с двумя данными точками той же окружности, образовали между собой данный угол.

Решение: Пусть С - данная окружность (рис. 11 и 12), О - её полюс, А и В - данные точки этой окружности и М -- искомая точка той же окружности.

Рис. 11 Рис. 12

Введём обозначения ОАВ= и АМВ=. Сумма углов сферического треугольника АМВ будет при этом равна 2+2, как это следует из равенства углов при основании в каждом из равнобедренных треугольников ОАВ, ОАМ и ОВМ. Это выражение для суммы углов будет справедливо как в том случае, когда точка О лежит внутри ?МАВ (рис. 11), так и в том случае, когда она лежит вне этого треугольника (рис. 12). Так как сумма углов ?АВМ должна иметь известную величину 2+2, то и его площадь должна иметь вполне определенную величину. Следовательно, точка М должна лежать (по теореме Лекселля) на одной из двух вполне определенных дуг, имеющих своими концами точки, диаметрально противоположные точкам А и В. Точки пересечения этих двух дуг с окружностью С и будут искомыми.

Чтобы построить теперь эти искомые точки, достаточно, в силу сказанного, решить следующую задачу:

Построить геометрическое место точек М, образующих с двумя данными точками А и В сферический треугольник МАВ, имеющий данную сумму углов (или, что сводится к тому же, данную площадь).

Как уже было отмечено, искомое геометрическое место точек М состоит из двух дуг малых кругов, имеющих своими общими концами точки А' и В', диаметрально противоположные точкам А и В. Если О - полюс одного из этих малых кругов (рис. 13), то будем иметь (теорема 8):

В'А'О = (В'А'М + MB'А' -- A'MB') = (2d -- ВАМ + 2d --MBA -- АМВ) = 2d -- (BAM + MBA + AMB).

Таким образом, известны равные между собой углы В'А'О и А'В'О, и точку О можно построить.

Рис. 13

Если угол В'А'О, определённый, как указано, окажется отрицательным, то это значит, что центр О каждой из дуг, входящих в состав искомого геометрического места, лежит с этой дугой по разные стороны от большого круга АВ.

4. Если большая окружность перемещается по сфере, оставаясь касательной к данной малой окружности С, то тот из полюсов этой большой окружности, который лежит в той же полусфере, что и окружность С, описывает малую окружность С?, которая называется полярной по отношению к С; зависимость между окружностями С и С? взаимная, т.е. окружность, полярная по отношению к С?, есть данная окружность С.

Решение: Пусть С -- данная малая окружность сферы (см. рис.14) и Р - тот из его полюсов, который лежит во внутренней области. Большая окружность сферы, касающаяся окружности С в некоторой точке М, перпендикулярна к сферическому радиусу РМ окружности С, проведенной в точку Р. Поэтому тот из полюсов М' большой окружности, касательной к данной в точке М, которая расположена в одной полусфере с окружностью С, лежит на большой окружности МР, по ту же сторону от точки М, что и точка Р, на расстоянии ММ', равном квадранту, от точки М. Иначе говоря, точки М и М? лежат на одной большой окружности с точкой Р, по разные стороны от Р и на расстоянии, равном квадранту, одна от другой.

Если точка М описывает данную окружность С, то точка М' также описывает малую окружность С', имеющую точку Р своим полюсом, так как дуга РМ' не изменяет при этом своей величины.

Рис.14

Окружность, полярная по отношению к С', будет совпадать с окружностью С, так как обе окружности имеют общий полюс Р, и радиус окружности, полярной по отношению к С?, совпадает с радиусом окружности С.

Тригонометрические соотношения в сферических треугольниках

1. Вычислить длину дуги параллели земного шара, соединяющей =42⁰15? и проходящей через точку с широтой =37⁰24?. Радиус земного шара R=6370 км.

2. Доказать «формулу пяти элементов»:

Решение:

3. Доказать, что:

4. Доказать вторую теорему косинусов:

5. Доказать «формулу четырёх элементов»:

6. Доказать «Сферическую теорему Пифагора»:

7. Доказать, что в сферическом треугольнике верно равенство:

8. Доказать, что для сферических треугольников, где , верно равенство:

9. Для прямоугольного сферического треугольника () вывести формулу:

10. Для прямоугольного сферического треугольника () вывести формулу:

11. Для прямоугольного сферического треугольника () вывести формулу:

12. Доказать, что если в прямоугольном сферическом треугольнике () имеют место соотношения: (либо ), то . Если же (либо), то .

13. Пусть дуга BD большой окружности перпендикулярна к стороне АС сферического треугольника АВС, причём длина этой дуги . Доказать справедливость равенств: .

14. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике справедливы равенства: .

15. Доказать, что углы всякого сферического треугольника можно вычислить по его сторонам, пользуясь формулами:

,

где - полупериметр сферического треугольника.

16. Вывести следующую формулу для вычисления избытка сферического треугольника:

, где С - наибольший из углов треугольника.

Заключение

В данной работе были проанализированы теоретические и практические аспекты сферической геометрии, а также рассмотрено понятие и модели дистанционного обучения. На основе изученного материала был создан дистанционный курс по сферической геометрии, описание которого дано в работе, а сам он является приложением в электронном виде.

Особые трудности возникли на этапах подбора задач и создания дистанционного курса. Последнее вызвало затруднения в силу того, что для разработки любых интерактивных программ достаточно высокого качества необходимы более глубокие знания и навыки, в частности языка HTML, VBScript и т.д. Тем не менее, созданный курс достаточно удобен для пользователя в силу обширной системы ссылок и подсказок, позволяющих легко перемещаться между разделами.

Таким образом была реализована идея применения информационных технологий на примере изучения темы «Сферическая геометрия». Данный курс может быть впоследствии доработан следующим образом: расширение тестового и задачного материала, дополнительное введение промежуточного контроля знаний при переходе от одной лекции к другой, усовершенствование пользовательского интерфейса. Данный курс может быть применён при заочном или дистанционном обучении.

В целом, использование информационных технологий и новых возможностей глобальной сети (например, видеоконференций) сделает практически возможными любые педагогические замыслы, осуществление не только локальных экспериментальных методов, концепций обучения под пристальным наблюдением экспертов, но и удаленных, охватывающих значительные территории разных стран.

Литература

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.2. М., Учпедгиз, 1958.

2. Андреев А.А. Введение в дистанционное обучение. - М., 1997.

3. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.2. - М.:Просвещение,1987. - 352с.

4. Базылев В.Т. Геометрия. М.:Просвещение,1975.

5. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии. М.:Просвещение,1980. -240с.

6. Десятов Д. К проблеме внедрения дистанционных форм обучения/ Д. Десятов, Б. Преображенский, Т. Толстых // Альма матер: Вестн. высш. шк.. - 2003. - № 4. - С. 13-16.

7. Егоров И.П. Геометрия. - М.:Просвещение,1979. - 256с.

8. Егоров И.П. Основания геометрии. - М.:Просвещение,1984. - 144с.

9. Егоршин А.П. Пути развития дистанционного высшего образования/ / А. П. Егоршин, В. А. Кручинин // Научные труды МИМ ЛИНК / Междунар. ин-т менеджмента ЛИНК. -2000. -Вып. 1. - С. 27-40.

10. Задачник «Кванта»: Математика. Часть 1. / Под ред. Н.Б. Васильева. М.:1997.

11. Кичев С.С. Особенности использования дистанционного обучения в российском вузе/ / С. С. Кичев // Проблемы региональной экономики. -1999. -№ 5/6/7. - С. 299-306.

12. Моисеев В.Б. Организация учебного процесса при использовании технологий дистанционного обучения // Информатика и образование. - 2002. - №12. - с.64-68.

13. Основные компоненты дистанционной образовательной технологии. Возможные модели дистанционного обучения//Дидактические технологии в высшей школе. - М., 2002.- 242-249 с.

14. Особенности дистанционного образования//ИНТЕРНЕТ-ТЕХНОЛОГИИ в Федеральной целевой программе 'Электронная Россия (2002-2010 годы)'. - М., 2003.- 167-170 с.

15. Перепёлкин Д. И. Курс элементарной геометрии. т.II. М.-Л., Гостехиздат, 1949.

16. Погорелов А.В. Геометрия. - М., Наука. 1984. - 288с.

17. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве. М.,Наука.,1976. - 408с.

18. Сергеева Т. «Новые информационные технологии и содержание обучения» // Информатика и образование. - 1991. - №1.

19. Хороших О.А. Опыт внедрения элементов дистанционного образования на практических занятиях по высшей математике/ / О. А. Хороших // Вестник Красноярского государственного технического университета. -1999. -(обл. 2000). - Вып. 16. - С. 142-144.

20. Энциклопедия элементарной математики. Кн.4 - Геометрия. М.,1963.