• Введение 3
• Глава 1. Сферическая геометрия 4
• §1 Происхождение сферической геометрии 4
• §2 Основные понятия сферической геометрии. 8
• 2.1. Сфера, большая и малая окружности. 8
• 2.2. Расстояние между точками. 11
• 2.3. Полюс и поляра. 12
• 2.4. Угол на сфере. 12
• 2.5. Понятие движение 16
• 2.6. Предмет сферической геометрии. 17
• 2.7. Принцип двойственности. 18
• §3 Сферические треугольники 20
• 3.1. Треугольники и двуугольники на сфере. 20
• 3.2. Полярные треугольники. 21
• 3.3. Равенство сферических треугольников. 24
• 3.4. Равнобедренные сферические треугольники. 25
• 3.5. Большая окружность как кратчайшая 26
• 3.6. Площадь сферического треугольника. 31
• §4 Сферические многоугольники 34
• 4.1. Понятие сферического многоугольника и его свойства. 34
• 4.2. Площадь сферического многоугольника. 37
• §5 Малые окружности 37
• §6 Геометрические места точек на сфере 40
• §7 Тригонометрия 43
• 7.1. Сферическая теорема косинусов 43
• 7.2. Сферическая теорема синусов 46
• 7.3. Формулы пяти элементов 48
• 7.4. Двойственная теорема косинусов. 49
• 7.5. Формулы котангенсов. 51
• 7.6. Случай прямоугольного сферического треугольника. 52
• 7.7. Решение сферических треугольников. 54
• Глава 2. Дистанционное обучение 58
• §1 Понятие и определение дистанционного обучения 58
• §2 Принципы и особенности дистанционного обучения 60
• §3 Процесс дистанционного обучения 64
• §4 Основные модели дистанционного обучения. 65
• §5 Роль преподавателя 67
• §6 Контроль 69
• §7 Дистанционный курс по «Сферической геометрии» 74
• Приложение 75
• Заключение 95
• Литература 96

Определение 1 Феодосия: «Сфера есть телесная фигура, содержащая внутри одной поверхности, такая, что все прямые, падающие на неё из одной точки внутри фигуры, равны между собой».

Большинство предложений «Сферики» Феодосия - стереометрические теоремы и задачи на построение. Когда Феодосий говорит о пересечении кругов на сфере под некоторым углом или о параллельности этих кругов, он имеет в виду пересечение под данным углом или параллельность их плоскостей; когда он говорит о рассечении кругами на сфере друг друга пополам, он имеет в виду рассечение пополам плоских фигур.

Наряду со стереометрическими предложениями, сформулированные в терминах геометрии на поверхности сферы. Например, предложения 20-21 из I книги - задача о построении большого круга на сфере, проходящего через две точки ее поверхности, и задача о построении полюса данного круга на сфере.

Сферика Менелая. Значительно более развитую сферическую геометрию можно найти в трактате «О сфере» Менелая, жившего в конце I в. н. э. Сочинение Менелая сохранилось только в арабском переводе в нескольких обработках, лучшими из которых являются обработки Абу Насра ибн Ирака и Насир ад-Дина ат-Туси. «Сферика Менелая состоит из трёх книг, содержащих соответственно 39, 21 и 25 предложений. Во введении к книге I Менелай даёт определение сферического треугольника («трёхсторонней фигуры»), т.е. части поверхности, ограниченной тремя дугами больших кругов, меньшими полукругами, и углов сферического треугольника. Если большинство предложений «Сферики» Феодосия были стереометрическими, сочинение Менелая посвящено геометрии на поверхности сферы, трактуемой по аналогии с планиметрией Евклида. Например, предложение 1 книги I - задача о проведении дуги большого круга под данным углом к данной дуге большого круга; предложения 2 и 3 книги I - теорема о равенстве углов при основании равнобедренного сферического треугольника и обратная ей. Из предложений не совпадающих с предложениями планиметрии, отметим предложения 10 и 11, из которых вытекает, что сумма углов сферического треугольника больше двух прямых углов.

«Предложение десятое. Если две стороны трёхсторонней фигуры вместе меньше полукруга, то внешний угол, примыкающий к одной из этих сторон, больше того противолежащего ему внутреннего угла, который является одним из двух углов, прилежащих к оставшейся стороне; если две стороны вместе больше полукруга, то внешний угол меньше противолежащего ему внутреннего угла; а если две стороны вместе равны полукругу, то внешний угол равен противоположному ему внутреннему».

«Предложение одиннадцатое. Внешний угол всякой трёхсторонней фигуры меньше обоих противолежащих ему внутренних углов.

Теоремы Менелая: Особую роль в истории сферической геометрии и тригонометрии сыграло предложение 1 книги III сочинения Менелая, в которой доказывается как плоский, так и сферический случай теоремы, называемой в настоящее время «теоремой Менелая» или «теоремой о полном четырёхстороннике». Полным четырёхсторонником называется плоский или сферический четырёхугольник, пары противоположных сторон которого продолжены до пересечения.

Сферическая теорема Менелая изложена у Птолемея следующим образом: «Опишем на поверхности сферы дуги больших кругов так, чтобы проведённые к двум начерченным дугам АВ и АС две другие дуги ВЕ и СD пересекались в точке G; пусть каждая из этих дуг меньше полуокружности; то же будем предполагать и для всех таких построений. Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой СЕ к прямой под удвоенной ЕА составлено из отношения прямой под удвоенной CG к прямой под удвоенной GD и отношения прямой под удвоенной DB к прямой под удвоенной ВА.»

Площадь сферического треугольника и многоугольника у Жирара. Выражение площади сферического треугольника и многоугольника через их угловые избытки впервые появилось в печати в статье «О мере поверхности сферических треугольников и многоугольников, открытой вновь», опубликованной в виде приложения к «Новому открытию в алгебре» фламандского математика Альбера Жирара.(1595-1632).

Основные теоремы сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоре-мой косинусов, были установлены сирийским математиком и астрономом IX века ал-Баттани, выходцем из семьи звездопоклонников - сабиев, у которых в течение многих веков сохранялись вавилонские астрономические традиции. Сферическая теорема сину-сов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математи-ками и астрономами X века Ибн Ираком из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. Соотношения, выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью полярного треугольника) в XIII веке работавшим в Азербайджане Насир-ад-дином ат - Туси, давшим первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

§2 Основные понятия сферической геометрии.

2.1. Сфера, большая и малая окружности.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо его точкой, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий де точки сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью.

Пусть S-некоторая сфера с центром O радиуса R. Возьмём плоскость , удалённую от точки O на расстояние, меньшее R. Тогда пересечения плоскости и сферы S есть окружность. Радиус r этой окружности является катетом прямоугольного треугольника (рис.1), гипотенуза которого - радиус R, а второй катет - перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на плоскость. Поэтому в силу теоремы Пифагора r =

Рис 1

Эта формула показывает, что величина r принимает максимальное значение r=R при h=0, то есть является диаметральной плоскостью. В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости. При h>0 мы имеем r<R, окружность на сфере называется в этом случае малой окружностью.

Так как через всякие три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными проходит единственная диаметральная плоскость. Поэтому через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность (рис.2). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.3). Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь мы наблюдаем отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Рис 2 Рис 3

Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность делит сферу на две области (рис.2); эти области называются полусферами, а сама окружность - краем этих полусфер. Далее, так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.4). Наконец, так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (на рис.5 изображены восемь областей ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, на которые делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A,B,C диаметрально противоположны точкам A,B,C и, следовательно, области ABC и ABC, ABC и ABC, ABC и ABC, ABC и ABC попарно диаметрально противоположны).

Рис 4 Рис5

Если первые два из этих свойств аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая делится на две области прямой и на четыре области двумя пересекающимися прямыми, то третье из указанных свойств не вполне аналогично соответствующему свойству прямых на плоскости, так как три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку, делят плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.6).

Рис 6

2.2. Расстояние между точками.

Возьмём две точки A,BS и рассмотрим большую окружность Q, проходящую через эти точки (рис.7). Окружность Q является объединением двух своих дуг AMB и ANB с концами в точках A и B. Длина той из двух дуг, которая не больше полуокружности, называется сферическим расстоянием между точкам A и B и обозначается через d(A,B). Следовательно, для любых дух точек сферы S имеем d(A,B)?r.

Рис. 7

Пусть AMBQ меньше полуокружности, и, значит, d(A,B) - длина этой дуги. Обозначим через величину центрального угла AOB, опирающегося на дугу AMB, и через (A,B) длину отрезка AB. Как известно,

d(A,B)=r. (1)

Из треугольника AOB (рис.7) находим:

(A,B)=2r sin() (2)

Из формул (1),(2) следует:

(A,B)=2r sin (). (3)

2.3. Полюс и поляра.

Всякой большой окружности соответствует две диаметрально противоположные точки сферы, высекаемые из неё диаметром, перпендикулярным к плоскости большой окружности (рис.8). Эти две точки называются полюсами большой окружности; в частности, полюсами экватора Земли являются её географические полюсы - Северный и Южный. Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точкам А и В на сфере соответствует единственная большая окружность, для которой точки А и В являются полюсами; эта большая окружность называется полярой пары диаметрально противоположных точек А и В. Каждая точка поляры называется полярно сопряжённой с каждым из её полюсов; иначе говоря, точки P,Q сферы являются попарно сопряжёнными, если радиусы OP и ОQ перпендикулярны (О - центр сферы). Понятно, что все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное (или квадранту).

Рис 8

2.4. Угол на сфере.

Углом между двумя пересекающимися линиями в пространстве называется угол между касательными к этим линиям в точке их пересечения. Частным случаем общего понятия угла между двумя линиями является угол между двумя большими окружностями на сфере. На рис. 9 изображён угол BAC между большими окружностями АВ и АС на сфере и измеряющий этот угол XAY между касательными AX и AY к этим большим окружностям.

Рис 9

Если мы проведём большую окружность, являющуюся полярой вершины А угла на сфере и пересекающую стороны этого угла в точках В и С, то лучи ОВ и ОС соответственно параллельны лучам AX и AY, касательным к сторонам угла (рис. 9). Поэтому длина угла большой окружности ВС равна произведению ВАС на радиус сферы, т.е. угол на сфере равен длине дуги большой окружности между точками сторон угла, полярно сопряжёнными с вершиной угла, делённой на радиус сферы.

Так как оба угла ВАС и ВА'С, образованные двумя полуокружностями при их различных концах, равны одному и тому же углу ВОС, то эти углы равны между собой и величина каждого из них называется углом между двумя большими полуокружностями. Две большие окружности определяют четыре угла между двумя полуокружностями, попарно равные друг другу. Те из этих углов, обе стороны которых являются продолжениями сторон другого угла, равны и называются вертикальными углами (рис.10, а); те из этих углов, которые имеют одну общую сторону, составляют в сумме развёрнутый угол и называются смежными углами (рис. 10, б).

а) б)

Рис 10

Так как полюсы D и E больших окружностей AB и AC представляют собой точки большой окружности ВС, полученные из точек В и С поворотом вокруг прямой АА' на прямой угол, то дуга ВС равна дуге DE и угол ВАС равен длине дуги DE, делённой на радиус сферы. Заменяя одну из точек D или Е её диаметрально противоположной точкой D' или E' (рис.11), мы получим угол, смежный с углом ВАС. Таким образом, угол между двумя большими окружностями равен длине дуги, соединяющей их полюсы, делённой на радиус сферы.

Рис 11

Так как при отражении от диаметральной плоскости полюсы большой окружности, высекаемой из сферы этой плоскостью, переходят друг в друга, то большие окружности, проходящие через эти полюсы, при указанном отражении переходят в себя (рис.12). Поэтому углы, составляемые этими большими окружностями с большой окружностью, высекаемой плоскостью, равны углам, смежным с ними и, следовательно, являются прямыми углами. Таким образом, большие окружности, одна из которых проходит через полюс другой, пересекаются под прямым углом. Будем называть такие большие окружности перпендикулярными.

Рис 12

Обратно, отметив на одной из двух перпендикулярных больших окружностей точку, полярно сопряжённую точке пересечения, мы получим такую точку, что проведённый в нее радиус сферы перпендикулярен диаметральной плоскости, высекающей из сферы вторую большую окружность (рис.13), т.е. точку, являющуюся полюсом этой окружности. Поэтому каждая из двух перпендикулярных больших окружностей проходит через полюс другой большой окружности.

Рис 13 Рис 14

Отсюда следует, что большая окружность, являющаяся полярой точки пересечения двух больших окружностей, перпендикулярна обеим большим окружностям, т.е. две большие окружности всегда обладают единственной большой окружностью, перпендикулярной к ним обеим (рис.14). Для сравнения заметим, что на плоскости общими перпендикулярами обладают только параллельные прямые, причём две параллельные прямые обладают не одним, а бесконечным множеством общих перпендикуляров.

2.5. Понятие движение

Движением сферы называется такое преобразование сферы, при котором сохраняется расстояния между точками. Иными словами, преобразование сферы является движением, если для любых точек А,В сферы расстояние между точками (А) и (В) равно расстоянию между точками А и В. Так как две точки А и В в том и только том случае являются диаметрально противоположными, если расстояние между ними имеет наибольшее возможное значение, равное 2R (где R - радиус сферы), то из определения движения непосредственно следует, что при любом движении сферы диаметрально противоположные точки сферы переходят в диаметрально противоположные точки. Это свойство также не имеет аналога в плоской геометрии, так как на плоскости нет таких пар точек, что движение одной из этих точек вполне определяет движение второй. Поэтому, если движение плоскости является преобразованием множества точек этой плоскости, то движение сферы по существу является преобразованием множества пар диаметрально противоположных точек сферы.

Рис 15 Рис 16

В качестве примера движения сферы укажем поворот сферы вокруг некоторого ее диаметра СС' на угол , при котором каждая окружность сферы, имеющая линию СС' своей осью, поворачивается по себе на угол (рис.15). Другим примером движения сферы является симметрия сферы относительно некоторой ее диаметральной плоскости , при которой каждая точка А переходит в такую точку А', что плоскость перпендикулярна отрезку АА' и проходит через его середину (рис.16). Поворот и симметрия являются в некотором смысле основными движениями сферы; именно можно доказать, что всякое (нетождественное) движение сферы либо является поворотом, либо является симметрией, либо представляет собой произведение поворота и симметрии.

2.6. Предмет сферической геометрии.

Сферическая геометрия изучает те свойства фигур на сфере, которые сохраняются при любых движениях сферы. Фигуры на сфере, которые могут быть переведены одна в другую некоторым движением сферы, называются равными фигурами, геометрические свойства равных фигур одинаковы.

а) б)

Рис 17

Иногда предмет сферической геометрии определяется иначе. Именно вместо движений, определённых выше рассматриваются только повороты сферы и изучаются те свойства фигур, которые сохраняются при поворотах. Фигуры, переходящие друг в друга при некотором повороте, называют в этом случае равными. Фигуры же, которые переходят друг в друга при движении, но не могут быть совмещены поворотом, равными не считают; такие фигуры называют симметричными. Так, на рис. 17,а изображены равные фигуры, а на рис.17,.б - симметричные фигуры.

2.7. Принцип двойственности.

Мы видели, что любое движение сферы переводит пару диаметрально противоположных точек снова в пару диаметрально противоположных точек. Таким образом, пара диаметрально противоположных точек является в сферической геометрии самостоятельным геометрическим объектом. Отметим одно замечательное свойство этих пар точек: всякой теореме сферической геометрии соответствует другая теорема этой геометрии, получающаяся из первой взаимной заменой слов: «пара диаметрально противоположных точек» и «большая окружность», «лежит на» и «проходит через», «соединяются» и «пересекаются на» и т.д. Например:

Всякие две большие окружности на сфере пересекаются в одной

паре диаметрально противопо-ложных точек.

Всякие две пары диаметрально противоположных точек сферы соединяются одной большой окружностью

Это свойство теорем сферической геометрии является следствием того, что всякой большой окружности на сфере взаимно однозначно соответствует пара её полюсов, а всякой паре диаметрально противоположных точек сферы взаимно однозначно соответствует их поляра, причём если большая окружность проходит через пару диаметрально противоположных точек, то полюсы этой окружности лежат на поляре этой пары точек (рис.18). Это свойство называется принципом двойственности, а теоремы, получающиеся друг из друга указанной заменой, называются двойственными друг другу теоремами. Если одна из двух двойственных теорем доказана, то доказательство второй теоремы может быть получено из доказательства первой теоремы переходом от каждой большой окружности к ее полюсам, а от каждой пары диаметрально противоположных точек - к ее поляре.

Рис 18

§3 Сферические треугольники

3.1. Треугольники и двуугольники на сфере.

Возьмём на сфере три точки А, В, С, не лежащие в одной плоскости с центром О данной сферы. Совокупность этих точек и дуг АВ, ВС, и АС больших окружностей (меньшие полуокружности) называется сферическим треугольником АВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги АВ, ВС и АС - его сторонами. Углы, образуемые сторонами сферического треугольника в его вершинах, называются углами сферического треугольника. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечении сферы с гранями данного трёхгранного угла мы получим сферический треугольник.

В отличии от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с числом сторон меньше трёх - двуугольники. Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя половинами больших окружностей с общими концами; эти общие концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально противоположными точками сферы.

Биссектрисой сферического треугольника называется большая окружность, делящая пополам один из его углов, а также дуга этой большой окружности, имеющая своими концами вершину треугольника и точку пересечения большой окружности с противолежащей стороной. Медианой сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и через середину противолежащей стороны. Высотой сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и перпендикулярная к противолежащей стороне, а также одна из двух дуг этой большой окружности, имеющих своими концами данную вершину треугольника и точки пересечения с противолежащей стороной. Если углы сферического треугольника при двух других его вершинах оба острые или оба тупые, то за высоту естественно принять дугу, лежащую внутри треугольника. Если же из двух углов при двух других вершинах один острый, другой тупой, то обе дуги, о которых идёт речь, проходят вне сферического треугольника; в этом случае за высоту естественно принять дугу, меньшую квадранта. Наконец, понятие высоты сферического треугольника, выходящей из данной вершины, теряет смысл, если углы при двух других вершинах оба прямые: в этом случае всякая большая окружность, проходящая через данную вершину, перпендикулярна противолежащей стороне.

3.2. Полярные треугольники.

Всякому сферическому треугольнику АВС можно поставить в соответствие другой сферический треугольник А'В'С', вершины которого являются полюсами сторон ВС, СА, АВ сферического треугольника АВС, лежащими от этих сторон по ту же сторону, что и соответственно вершины А, В, С (рис. 19). Будем называть сферический треугольник А'В'С' полярным по отношению к сферическому треугольнику АВС.

Рис 19

Если сферический треугольник А'В'С' является полярным по отношению к сферическому треугольнику АВС, то и сферический треугольник АВС полярен по отношению к сферическому треугольнику А'В'С'. В самом деле, так как точка В' является полюсом стороны АС, то точка В' полярно сопряжена с точками А и С (рис. 19). Так как точка С' является полюсом стороны АВ, то точка С' полярно сопряжена с точками А и В. Но так как точка А полярно сопряжена с точками В' и С' стороны В'С', то она является полюсом стороны В'С'. При этом, так как точки А и А' лежат по одну сторону от стороны ВС, то они лежат и по одну сторону и от стороны В'С'. Также доказывается, что точки В и С тоже являются полюсами сторон С'А' и А'В' и лежат по ту же сторону от этих сторон, что и точки В'С', т.е. сферический треугольник АВС полярен по отношению к сферическому треугольнику А'В'С'.

Обозначим точки пересечения больших окружностей АВ и АС со стороной В'С' через L и М, точки пересечения больших окружностей ВС и ВА со стороной А'С' через N и Р и точки пересечения больших окружностей СА и СВ со стороной А'В' через Q и R (рис. 19). Тогда если величины углов САВ, АВС и ВСА обозначить через А, В и С, а радиус сферы - через r, то дуги больших окружностей LM, NP и QR соответственно равны Аr, Br, Cr. Далее, так как дуги В'М, LC', C'P, NA', A'R, QB' соединяют полярно сопряжённые точки, то они равны . Поэтому, если все три угла А, В, С , то дуги B'L и MC', C'N и PA', A'Q и RB', дополняющие дуги Аr, Br, Cr до , соответственно равны , , . Таким образом, стороны В'С', С'А' и А'В' полярного треугольника в этом случае равны ,,. Тот же результат совершенно аналогично доказывается и для случаев, когда углы А, В или С больше . Поэтому стороны треугольника, полярного по отношению к сферическому треугольнику АВС, соответственно равны ,,. Отсюда, если мы обозначим эти стороны через а', b', с', мы получим, что т.е. углы треугольника, полярного по отношению к сферическому треугольнику со сторонами а', b', с', соответственно равны .

Переход от данного сферического треугольника к треугольнику полярному относительно данного позволяет, зная свойства сторон первого треугольника, выводить из них свойства углов второго. Таким путём получается следующая теорема:

Теорема 1. Во всяком сферическом треугольнике:

1) каждый угол, увеличенный на два прямых, больше суммы двух других углов;

2) сумма трёх углов больше двух прямых и меньше шести прямых.

Сферический треугольник, совпадающий со своим полярным треугольником, называется автополярным треугольником. Так как все вершины автополярного треугольника полярно сопряжены, все стороны этого сферического треугольника равны четверти большой окружности, откуда вытекает, что все три угла этого сферического треугольника прямые. На рис. 20 изображён автополярный треугольник АВС.

Рис 20

3.3. Равенство сферических треугольников.

Два сферических треугольника называются равными, если их можно совместить друг с другом движением сферы. Очевидно, что между вершинами двух равных сферических треугольников можно установить такое соответствие, при котором и соответственные стороны, и соответственные углы этих сферических треугольников равны: для этого надо поставить в соответствие каждой вершине первого сферического треугольника ту вершину второго сферического треугольника, в которую он переходит при совмещении этих сферических треугольников.

Равенство сферических треугольников, так же как равенство плоских треугольников, определяется равенством трёх элементов этих треугольников.

Первый признак равенства треугольников.

Два сферических треугольника равны, если две стороны одного сферического треугольника равны двум соответственным сторонам другого сферического треугольника и равны углы между этими сторонами.

Второй признак равенства.

Два сферических треугольника равны, если два угла одного сферического треугольника равны двум соответственным углам другого сферического треугольника и равны стороны между этими углами.

Третий признак равенства.

Два сферических треугольника равны, если все три стороны одного сферического треугольника равны соответственным сторонам другого сферического треугольника.

Четвёртый признак равенства.

Два сферических треугольника равны, если две стороны одного сферического треугольника равны двум соответственным сторонам другого сферического треугольника, углы, лежащие против двух равных сторон, равны, а углы, лежащие против двух других равных сторон, одновременно острые или тупые.

Пятый признак равенства.

Два сферических треугольника равны, если два угла одного сферического треугольника равны двум соответственным углам другого сферического треугольника, стороны, лежащие против двух равных углов, равны, а стороны, лежащие против двух других равных углов, одновременно меньше или больше .

Шестой признак равенства.

Два сферических треугольника равны, если все три угла одного сферического треугольника равны соответственным углам другого сферического треугольника.

Сравнивая первый признак равенства со вторым, третий с шестым, а четвёртый с пятым, можно заметить, что если для двух сферических треугольников выполнен признак каждой пары, для полярных по отношению к ним треугольников выполнен второй признак той же пары. Поэтому, так как из равенства двух сферических треугольников, очевидно, вытекает равенство полярных по отношению к ним треугольников, то из справедливости одного из признаков каждой пары вытекает справедливость второго из признаков той же пары.

3.4. Равнобедренные сферические треугольники.

Сферический треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Всякий сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему симметричный, - равнобедренный.

Действительно, мы знаем, что в силу того, что оба треугольника имеют противоположное расположение, невозможно наложить один треугольник на другой так, чтобы совпадали соответственные вершины, т.е. вершины, находящиеся первоначально на концах одного диаметра; если бы среди сторон треугольника не было равных между собой, то такое наложение было бы невозможно и ни каким другим образом.

Обратно, всякий равнобедренный сферический треугольник наложим на треугольник, ему симметричный.

Если треугольник А'В'С' симметричен треугольнику АВС и если АВ равно АС, то два треугольника АВС и А'С'В', имеющие (при выбранном порядке вершин каждого из них) одно и тоже расположение, равны по второму признаку равенства.

Теорема 2. В равнобедренном сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.

Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником А'С'В' угол, совпадающий с углом В', есть угол С'; таким образом, оба эти угла равны, и тоже самое имеет место и для углов С и В'.

Обратно, всякий сферический треугольник, два угла которого равны, равнобедренный.

Действительно, если АВС сферический треугольник, в котором В=С и треугольник А'В'С' - треугольник, ему симметричный, то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.

3.5. Большая окружность как кратчайшая

Теорема 3. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

В самом деле, пусть АВС - произвольный сферический треугольник. Допустим, что из двух сторон АВ, АС сторона АС большая. Отложим на стороне АС дугу АВ', равную дуге АВ (рис.21). Проведем какую-нибудь плоскость, проходящую через точки В. В' и пересекающую лучи ОА и ОС (а не их продолжение) в точках А₁ и С₁. Треугольники ОА₁В и ОА₁В' равны_, (так как они имеют общую сторону ОА₁. равные стороны ОВ и ОВ' и равные углы при вершине О). Следовательно. А₁В=А₁В'. Так как точки А₁. В' и С₁ лежат на одной прямой, (являющейся пинией пересечения плоскостей ОАС и А₁ВС₁ ). Причем точка В' лежит между А₁ и С₁, то

В'С₁ = А₁С₁ - А₁В'=А₁С₁ - А₁В ВС₁.

Рассмотрим теперь треугольники ОВС₁ и ОВ'С₁. В этих треугольниках ОС₁ - общая сторона и ОВ=ОВ', а третьи стороны связаны неравенством В'С₁ВС_1. Следовательно, углы, лежащие в этих треугольниках против неравных сторон, связаны неравенством В'ОС₁ ВОС₁. Поэтому дуга В'С, стягиваемая углом В'ОС, также меньше дуги ВС₁, стягиваемой углом ВОС₁. Иначе говоря,

АС - АВ = АС - АВ' = В'С ВС,

т.е. каждая сторона сферического треугольника больше разности двух других его сторон. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что

АС АВ + ВС,

т.е. каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Следствие 1. Во всяком сферическом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство: Пусть в сферическом треугольнике АВС имеет место неравенство С=B, тогда через вершину проходит внутри треугольника такая дуга CD, что АВС=ВСD. Треугольник ВСD - равнобедренный и BD=CD, тогда верно неравенство

AC<AD+DC=AD+DB=AB

И обратно, пусть теперь AB>AC, тогда предположим, что С=В. Отсюда следует, что АВ=АС или С<В, но тогда АВ<АС. Получили противоречие с условием.

Следствие 2. Дуга большой окружности, меньшая полуокружности, короче всякой линии, состоящей из дуг нескольких больших окружностей, соединяющей те же точки сферы.

Рис. 21

В отличие от плоскости, где невозможны треугольники с двумя прямыми углами, на сфере возможны такие треугольники: это треугольники, у которых одна из вершин является полюсом противоположной стороны; стороны этих треугольников, лежащие против прямых углов, равны . Имеются на сфере и треугольники с тремя прямыми углами - это автополярные треугольники, у них все три стороны равны . В том случае, когда сферический треугольник обладает только одним прямым углом, сторона, лежащая против этого угла, также как в случае плоских прямоугольных треугольников, называется гипотенузой, а остальные две стороны - катетами.

Теорема 4. Для того чтобы большая окружность пересекалась с какой-либо окружностью на сфере под прямым углом, необходимо и достаточно, чтобы первая из этих окружностей проходила через полюсы второй.

Доказательство: Пусть I - общая точка двух окружностей, прямые IT и It -- касательные к большой и малой окружностям в этой точке, Р и Р'-- полюсы малой окружности, О - центр шара (рис. 22).

Рис. 22

Условие, указанное и теореме, достаточно. Действительно, если большая окружность проходит через точки Р и P', то её плоскость содержит две прямые, не параллельные между собой и перпендикулярные к прямой It, а именно диаметр РР' и радиус ОI. Следовательно, эта плоскость, а значит, и касательная IT перпендикулярны к It.

То же условие и необходимо. Действительно, если две окружности пересекаются под прямым углом, то плоскость большой окружности содержит прямые IT и OI, перпендикулярные к It. Следовательно, она перпендикулярна к этой прямой, а потому и к плоскости малой окружности, и содержит в силу этого диаметр РР', перпендикулярный к этой последней плоскости и проходящий через точку О.

Следствие. Через точку, лежащую на шаре, можно провести большую окружность, перпендикулярную к данной окружности этой сферы; эта большая окружность будет единственной, если данная точка не является полюсом данной окружности.

Большая окружность, отвечающая поставленному условию, определяется данной точкой А и полюсами Р и Р' данной окружности.

Заметим, что существуют две дуги большой окружности, выходящие из точки А и перпендикулярные к данной окружности; а именно те дуги, которые имеют своими концами точки пересечения I и I? данной окружности с большой окружностью, существование которой только что было доказано.

Примечание. Здесь рассматриваются исключительно дуги, выходящие из точки А и имеющие своими концами первые точки пересечения этих дуг с данной окружностью. Если не ввести этого ограничения, то число перпендикулярных дуг было бы более двух: например, поставленному условию отвечала бы дуга АР?I? (рис. 22).

Теорема 5. Если через какую-либо точку сферы провести две дуги большой окружности, перпендикулярные к данной окружности, и различные дуги больших окружностей, наклонные к той же окружности, то одна из перпендикулярных дуг короче, а другая длиннее, чем все наклонные дуги. Наклонная дуга будет тем длиннее, чем далее отстоит её конец от конца меньшей перпендикулярной дуги.

Доказательство: Пусть А - данная точка; Р--тот из полюсов данной окружности, который расположен по ту же сторону от этой окружности, как и точка А; АI и АI? - обе перпендикулярные дуги большой окружности, причём АI? - та из этих дуг, на которой лежит точка Р; АК, АК', АК"- различные наклонные дуги (рис. 23).

Рис. 23.

1^о. Дуга АК больше дуги AI, но меньше АI?. Действительно, если провести дугу РК большой окружности, то из сферического треугольника АРК имеем:

АК >РК -- РА, АК < РК + РА,

в то время как

РК--РА = PI -- PA = АI,

РК+ РА = PI? + РА = АI?.

2°. Предположим, что точки К и К' данной большой окружности таковы, что дуги IК и IК' равны. При этом хорды, стягивающие эти дуги, также равны, и точка I одинаково удалена от двух точек К и К'. Так как точка Р обладает тем же свойством, то геометрическое место точек сферы, одинаково удалённых от точек К и К', есть большая окружность РI. Последняя проходит через точку А, а потому хорды АК и АК' равны, и, следовательно, равны соответствующие им дуги больших окружностей.

3^о. Пусть теперь какая-либо точка К?? на данной окружности обладает тем свойством, что IK?? > IК. Можно предположить, основываясь на (2^о), что обе точки К и К?? лежат по одну сторону от точки I. Проводим дуги больших окружностей РК и РК??. Так как точка К лежит внутри угла К??РI, то KPI<К??РI. Треугольники АРК и АРК?? имеют, таким образом, по неравному углу (при вершине А), заключенному между соответственно

равными сторонами, откуда следует, что АК < АК??. Теорема доказана.

3.6. Площадь сферического треугольника.

1) площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности),

2) площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности),

3) если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности),

4) площадь всей сферы радиуса R равна 4R² (свойство нормировки).

Прежде всего найдём площадь двуугольника. Из свойства аддитивности, инвариантности и нормировки следует, что если разделить сферу на n равных двуугольников (рис. 24), то площадь каждого из них (т.е. площадь двуугольника с углом ) равна . Поэтому площадь двуугольника с углом , составленного из m рассмотренных двуугольников, равна , а если угол некоторого двуугольника больше и меньше , то площадь этого двуугольника заключена между и (это вытекает из первого и третьего свойств площади). Неограниченно увеличивая число n, мы можем с помощью предельного перехода найти площадь любого двуугольника: площадь двуугольника, углы при вершинах которого равны , равна

,

т.е.

. (1)

Рис. 24 Рис. 25

Если нам дан сферический треугольник АВС, то пара больших окружностей, проходящих через две его стороны, определяет два двуугольника, углы которых равны углу сферического треугольника между этими сторонами (рис. 25). Всего таким образом получается шесть двуугольников, два с углом А, два - с углом В и два - с углом С. Треугольник АВС и диаметрально противоположный ему треугольник А'В'С' (равный треугольнику АВС), входят в три двуугольника, остальные точки сферы (не лежащие на сторонах двуугольников) входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна сумме площади S всей сферы и учетверённой площади S() треугольника АВС, т.е.

2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S().

Так как

S(A)=2r²A, S(B)=2r²B, S(C)=2r²C,

То мы получаем

4r²(A+B+C)=4r²+4S(),

т.е.

S()=r²(A+B+C-). (2)

Так как величины S() и r² положительны, то величина А+В+С- также положительна, откуда следует, что

А+В+С,

т.е. сумма углов сферического треугольника больше развёрнутого угла. Величина А+В+С- называется угловым избытком сферического треугольника.

Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы.

Заменяя в последнем неравенстве углы А, В и С равными им выражениями где, а', b', с' - стороны полярного треугольника, мы получим неравенство

а'+ b'+ с' 2r,

показывающее, что сумма сторон сферического треугольника меньше длины большой окружности.

4.1. Понятие сферического многоугольника и его свойства.

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.

В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу на две полусферы, из которых одна содержит весь многоугольник; общая область R всех таких полусфер, содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника.

Меньшая дуга большого круга, которая соединяет точки M и N, лежащие внутри многоугольника или на его периметре, целиком лежит в области R, т.е. внутри многоугольника. Сферические многоугольники классифицируются, как и плоские многоугольники, по числу их сторон; наиболее простым из них является сферический треугольник. Сферический двуугольник не является многоугольником, так как каждая его сторона равна полуокружности, а не меньше её.

Связь между сферическими многоугольниками и многогранными углами. Каждому сферическому многоугольнику соответствует многогранный угол, вершиной которого служит центр сферы, а рёбрами - прямые, соединяющие центр с вершинами многоугольника.

Линейные углы двугранных углов многогранного угла равны, углам многоугольника. Обратно, всякий многогранный угол, вершиной которого служит центр сферы, пересекает последнюю по сферическому многоугольнику.

Отсюда следует, что из каждого свойства, касающегося плоских углов и двугранных углов многогранного угла, можно вывести некоторое свойство, касающееся сторон и углов соответствующего сферического многоугольника.

Теорема 6. Если некоторый выпуклый сферический многоугольник расположен внутри какого-либо сферического многоугольника (причём оба многоугольника могут иметь одну или несколько общих вершин или сторон), то периметр объемлемого многоугольника меньше периметра объемлющего многоугольника.

Доказательство: Пусть ACDB - выпуклый многоугольник и AC?D?EFB - объемлющий его многоугольник (рис.26) Продолжим стороны АС и СD в одном и том же направлении АСDB, т.е. сторону АС за точку С, а сторону CD - за точку D. Эти продолжения пересекут стороны объемлющего многоугольника соответственно в точках G и H. Путь ACDB короче пути ACHB, т.е. они имеют общую часть ACD, а остающаяся часть DB первого короче остающейся части DHB второго. В свою очередь, путь ACHB меньше чем ABD?EFB, так как, отбрасывая общие части АС, НВ, получим отрезок СН, который короче CGD?EFH. Наконец, точно также AGD?EFH, меньше AC?D?EFB, так как AG меньше AC?G. Таким образом, имеем:

ACDB<ACHB<AGD?EFB<AC?D?EFB

Рис. 26

Доказательство сохраняет силу и в том случае, если объемлющий многоугольник заменить совокупностью двух больших полуокружностей.

Теорема 7. Периметр выпуклого сферического многоугольника меньше большой окружности.

Доказательство: Пусть дан сферический треугольник АВС, а точка А? - точка диаметрально противоположная точке А. Тогда ВС<ВА?+А?С или ВС<4d-AB-AC. Откуда и следует, что ВС+АВ+АС<4d, где d - прямой угол.

Случай многоугольника, имеющего любое число сторон, постепенно сводится к случаю треугольника; с этой целью продолжают две стороны многоугольника, смежные с одной и той же его стороной, так что число сторон уменьшается на единицу. Этот путь доказательства вполне соответствует цепи тех построений на сфере, которые изображены на рис.27.