Методи дослідження мереж масового обслуговування

де введене позначення b=b₁. Диференціюючи F(s), одержуємо:



Використовуючи відоме співвідношення для визначення початкових моментів розподілу

Знаходимо

Підставляючи (5.1.1) у вираз для коефіцієнтів варіації

маємо:

З останнього рівняння знаходимо шукане значення імовірності:

Таким чином, при апроксимація функцій розподілу може здійснюватися узагальненим розподілом Ерланга з параметрами b і k, визначеними вище. Інтенсивність обслуговування на етапі r знаходиться з виразу для M[t]:

При апроксимацію зручно проводити за допомогою гіперекспоненціального розподілу. Розглянемо гіперекспоненціальний розподіл другого порядку з числом етапів k=2 і щільністю розподілу

Приймаючи і здійснюючи перетворення, аналогічні розглянутому вище випадку, одержуємо:

Звідси знаходимо:

Щоб виконувалася умова (5.1.2), покладемо

Підставляючи (5.1.3) -- (5.1.5) у вираз для коефіцієнта варіації (5.1.2) і розв'язуючи відповідне квадратне рівняння, одержуємо

Оскільки сума коренів b₁+b₂=1, то можна використовувати будь-який з них. Таким чином, узагальнені ерланговський і гіперекспоненціальний розподіли цілком визначаються першими двома моментами і перекривають весь діапазон значень коефіцієнтів варіації від 0 до 1 і від 1 до ?.

Розглянутий спосіб апроксимації функцій розподілу тривалості обслуговування в центрах мережі приводить до значного збільшення простору станів мережі МО і, отже, може бути використаний лише для мереж невеликої розмірності.

5.2 ТЕОРЕМА НОРТОНА ДЛЯ АНАЛІЗУ ЗАМКНЕНИХ І РОЗІМКНЕНИХ ЛОКАЛЬНО-ЗБАЛАНСОВАНИХ МЕРЕЖ МО

Розглянемо однорідну мережу МО з М центрами обслуговування, яка задовольняє умовам локального балансу і ймовірностями переходу, що задаються матрицею маршрутів

Нехай e_i -- відносна інтенсивність потоку повідомлень в i-му центрі, яка задовольняє векторне рівняння еР=е. У замкненій мережі розв'язок векторного рівняння єдиний з точністю до мультиплікативної константи.

Декомпозиція такої мережі на основі теореми Нортона дозволяє звести початкову мережу МО до еквівалентної з двома центрами обслуговування. При цьому перший центр двохвузлової мережі збігається з i-м центром початкової мережі , а другий (композиційний), є еквівалентом частини мережі, що залишилася, володіє експоненціально розподіленим часом обслуговування з параметром , який залежить від числа повідомлень в ньому.

Теорема. Граничний розподіл числа повідомлень в i-му центрі початкової мережі збігається з відповідним розподілом еквівалентної мережі, якщо параметр композиційного центру дорівнює інтенсивності надходження повідомлень в i-й центр початкової мережі, в якій .

Розглянемо детальніше застосування цієї теореми на прикладі замкненої мережі МО (рис. 5.1 ). Для обчислення статистичних характеристик i-го центру мережі на рис.5.1 підмережа В замінюється композиційним центром (рис. 5.2). Інтенсивність обслуговування повідомлень композиційним центром визначається підмережею В, яка співпадає з мережею на мал. 5.1 у всьому, за винятком того, що замість i-го центру вводиться пряме з'єднання - i-й центр замикається (рис.5.2). Інтенсивність встановлюється рівній продуктивності замкненої підмережі В. Таким чином, для повного визначення еквівалентної мережі необхідно обчислити (аналітично або за допомогою імітаційної моделі) або виміряти продуктивності підмережі В, в якій циркулює 1,2,…,N повідомлень.

Рисунок 5.1 Декомпозиція мережі МО

Рисунок 5.2 Мережа з композиційним центром

Для однорідної замкненої локально-збалансованої мережі МО з довільною структурою алгоритм обчислення інтенсивності включає наступні кроки.

Крок 1. Ініціалізація: де функція

а функція

Крок 2. Цикл по L=1,…,i-1,i+1,…,M та по для обчислення правого граничного стовпця нормалізуючої константи підмережі В з елементами g(n,m), , де

Крок 3. Обчислення інтенсивності обслуговування композиційного центру за формулою

Теорема Нортона залишається справедливою і для неоднорідних локально-збалансованих мереж МО. Для замкненої мережі МО з R класами повідомлень в цьому випадку з метою побудови еквівалентної мережі повинні бути обчислені для усіх продуктивності підмережі В. У розімкненій мережі всі центри, за винятком даного i-го центру, замінюються одним композиційним пуассонівським джерелом, яке генерує повідомлення всіх класів. Кожен клас генерується незалежно, і інтенсивність потоку r-го класу повідомлень, який надходить з композиційного джерела, встановлюється рівній продуктивності підмережі В.

5.3 НАБЛИЖЕНИЙ ДЕКОМПОЗИЦІЙНИЙ АЛГОРИТМ

Описаний вище декомпозиційний підхід є основою наближеного алгоритму розрахунку середніх характеристик замкнених мереж МО з довільною функцією розподілу тривалості обслуговування в центрах. Вказаний ітераційний алгоритм базується на теоремі Нортона і передбачає апроксимацію мережі з довільною функцією розподілу тривалості обслуговування в центрах еквівалентною експоненціальною мережею. Інтенсивності обслуговування в центрах еквівалентної мережі C₁, С₂ ,…,С_M вибираються так, щоб виконувалися наступні умови:

Перша умова відображає закон рівності нормалізованих пропускних спроможностей (пропускна здатність центру i пропорціональна відносній інтенсивності потоку e_i). Друга полягає у тому, що в замкненій мережі сума середніх значень довжин черг повинна дорівнювати N. Відмітимо, що обидві умови не залежать від виду функцій розподілу і дисциплін обслуговування в центрах мережі.

Формально вказані умови можна представити у вигляді системи М нелінійних рівнянь з М невідомими:

де і L_i(N)-- функції змінних C₁, С₂ ,…,С_M

Перейдемо від задачі розв'язання системи нелінійних рівнянь (5.3.7) до еквівалентної задачі мінімізації функції



Ввівши бар'єрну функцію задачу (5.3.8) можна замінити задачею безумовної мінімізації функції

де г -- ваговий коефіцієнт.

Алгоритм розв'язування початкової задачі розрахунку характеристик замкненої мережі з довільно розподіленою тривалістю обслуговування у вузлах може базуватися або на рішенні оптимізаційної задачі (5.3.9), або на безпосередній перевірці умов (5.3.6). Проте в обох випадках алгоритм реалізує ітеративну процедуру перетворення початкової мережі в мережу з двома центрами. Вказана мережа включає i-й центр початкової мережі з довільною функцією розподілу тривалості обслуговування і додатковий (композиційний) центр з експоненціальним розподілом тривалості обслуговування.

Один з найбільш ефективних наближених підходів дослідження характеристик таких двохвузлових мереж заснований на апроксимації довільної функції розподілу узагальненим розподілом Коксу. При цьому, залежно від значення коефіцієнта варіації w_i=1, w_i<1 або w_i>1 функція розподілу часу обслуговування в центрі апроксимується відповідно експоненціальним, узагальненим ерланговськім або гіперекспоненціальним розподілом.

Ітераційний обчислювальний алгоритм включає наступні основні кроки.

Крок 1. Ініціалізація: інтенсивності обслуговування C_i встановлюються рівними інтенсивностям µ_i, заданим для початкової мережі, тобто встановлюється в нуль лічильник числа ітерацій d.

Крок 2. Для кожного i-го центру визначаються параметри композиційного центру µ_B(n), В залежності від значення коефіцієнта варіації функція розподілу часу обслуговування в i-му центрі апроксимується відповідно експоненціальним, узагальненим ерланговоким або гіперекспоненціальним розподілом.

Крок 3. Розраховується замкнена мережа з двома центрами. Обчислюються продуктивність л_i(N) і середня довжина черги L_i(N).

Крок 4. Якщо , де -- задана точність розв'язку, то для тих i, для яких , встановлюється

(тут . Якщо таких центрів немає, то для усіх i встановлюється та здійснюється перехід до кроку 7.

Крок 5. Якщо , то для тих i, для яких

встановлюється . Якщо таких центрів немає, то для усіх і встановлюється і здійснюється перехід до кроку 7.

Крок 6. Якщо , то для всіх i встановимо

. Алгоритм завершує роботу, якщо виконуються всі нерівності

. Інакше здійснюється перехід до кроку 7.

Крок 7. Встановлюється і здійснюється перехід до кроку 2.

5.4 ДЕКОМПОЗИЦІЯ РОЗІМКНЕНИХ МЕРЕЖ МО НА РІВНІ ПЕРШИХ МОМЕНТІВ

В основі даного методу декомпозиції розімкнених однорідних мереж МО лежать наступні два припущення: потоки, що циркулюють в мережі, взаємно незалежні; функції розподілу інтервалів часу між послідовними надходженнями повідомлень в центри і часу обслуговування визначаються першими двома моментами. В рамках зроблених припущень формулюється і розв'язується основна задача декомпозиційної апроксимації -- складання і рішення систем рівнянь щодо перших двох моментів (математичного сподівання і дисперсії ) розподілу інтервалів часу між повідомленнями в потоках, що циркулюють по мережі.

Значення визначаються безпосередньо з рівнянь балансу потоків в центрах:

де -- інтенсивність потоку повідомлень в i-й центр з джерела; -- елементи матриці маршрутів.

Визначимо дисперсії інтервалів часу між повідомленнями у вихідних потоках. Для цього розглянемо два послідовні моменти та закінчення обслуговування повідомлень в і-му центрі. Величина істотно залежить від стану центру в моменти закінчення обслуговування. Якщо в момент в центрі є хоча б одне повідомлення, яке чекає обслуговування, то величина Д дорівнює часу обслуговування наступного повідомлення. Якщо в момент в центрі відсутні повідомлення, то Д складається з часу обслуговування і часу до надходження наступного повідомлення (залишкового часу) Позначимо:-- ймовірність того, що у момент закінчення обслуговування в i-му центрі відсутні повідомлення; і - середнє значення і дисперсія залишкового часу. Тоді для , одержимо:

де і -- відповідно середнє значення і дисперсія інтервалів часу між повідомленнями вхідного потоку i-го центру; і , -- середнє значення і дисперсія часу обслуговування повідомлень в центрі i. Відмітимо, що в стаціонарному режимі

де -- ймовірність відсутності повідомлень в i-му центрі. З урахуванням цих співвідношень з (5.4.12) витікає, що залежить від двох невідомих параметрів і або і .

Введемо в (5.4.12) рівняння перетворення дисперсії

для суми двох незалежних потоків та

для просіяного потоку (P -- ймовірність покидання повідомленням потоку).

Формули (5.4.12) i (5.4.13) дозволяють одержати систему рівнянь балансу дисперсій потоків, аналогічну рівнянням (5.4.10):



де -- дисперсія інтервалів часу між сусідніми повідомленнями потоку, що надходять в i-й центр.

РОЗДІЛ 6. МЕТОД ПОЛІНОМІАЛЬНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ

6.1 ОПИС МЕТОДУ

На стадії передпроектного обстеження значення початкових даних для проектування обчислювальних систем і мереж відомі лише приблизно. Тому витрати на підвищення точності результатів моделювання на цій стадії проектування виявляються невиправданими. В цьому випадку необхідно використовувати найпростіші методи аналізу. До числа таких методів відноситься метод поліноміальної апроксимації, який дозволяє здійснювати декомпозицію мережі МО на рівні першого моменту розподілу інтервалів часу між повідомленнями в потоках, що циркулюють по мережі.

Розглянемо замкнену однорідну мережу МО, яка складається з М центрів, в яких циркулюють N повідомлень відповідно до матриці маршрутів . Припускаться, що функція розподілу часу обслуговування в i-му центрі є довільною із заданими першими двома моментами

Нехай - інтенсивність потоку повідомлень через виділений центр (наприклад, перший). Тоді в стаціонарному режимі роботи мережі МО

де відносна інтенсивність потоку однозначно визначається із системи рівнянь:



Використовуючи формулу Літтла, загальну кількість повідомлень в мережі МО можна представити в наступному вигляді:

Тут -- час перебування повідомлення в i-му центрі.

Проведемо заміну змінної Тоді середній час циклу (час між надходженнями повідомлень у виділений центр)

Даний метод заснований на декомпозиції початкової мережі на окремі незалежні центри і використанні аналога формули Поллячека -- Хінчина для оцінки часу перетворення повідомлень в центрі:

Таким чином, задача наближеного аналізу замкненої мережі МО може бути сформульована як задача розв'язання рівняння

відносно змінної X₀(N), де поліном степеня M:

Розв'язок отриманого поліноміального рівняння при умові існує і єдиний. З вибраного виду полінома Р(Х) слідує, що при і розв'язок рівняння (6.1.1) асимптотично збігається з точним значенням.

6.2. ОЦІНКА ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ СКЛАДНОСТІ МЕТОДУ

Оцінку обчислювальної складності методу поліноміальної апроксимації проведемо для однорідних експоненціальних мереж. Для експоненціального розподілу тривалості обслуговування в центрах мережі рівняння (6.1.1) приймає вигляд:

де уведені позначення та

При розв'язанні рівняння (6.2.2) використовується обмеження та один з ітераційних методів, наприклад метод поділу навпіл, який дає оцінку зверху кількості арифметичних операцій

Нехай е -- необхідна точність розв'язку. Позначимо . Вважаючи без обмеження спільності , одержуємо кількість ітерацій, необхідних для відшукання розв'язку з точністю е: Помітимо, що

тобто, при великій кількості центрів число ітерацій

РОЗДІЛ 7. Приклад розрахунку мережі МО

Розглянемо модель замкненої ієрархічної мережі МО, схема якої зображена на рисунку 7.1. У цій мережі циркулює N=30 заявок, у відповідності з маршрутною матрицею. Заявка, яка виходить з головного центру 1 потрапляє у один з аналітичних центрів 2-11, у яких проходить первинну обробку, а потім у центрах

12-18 вторинну та сортировку щодо призначення їх у виконуючі системи 19-20. Після закінчення обслуговування у центрах19-20 виконана заявка потрапляє у головний центр 1, у якому вона замінюється новою, та надходить у центри 2-11.

Якщо у момент надходження повідомлення у один із центрів він зайнятий, то повідомлення займає місце у буфері, у якому очікує звільнення приладу (дисципліна обслуговування ПППО). Буфер з необмеженим числом місць дожидання.

Рисунок 7.1 Приклад мережі МО

Далі приведена маршрутна матриця (табл.7.1) та інтенсивності обслуговування у центрах (табл.7.2).

Таблиця 7.1 Маршрутна матриця

i j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	0	0,1	0,05	0,15	0,1	0,05	0,1	0,05	0,15	0,2	0,05	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,25	0,15	0,1	0,05	0,11	0,3	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,15	0,1	0,25	0,3	0,1	0,05	0	0
4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,05	0,1	0,25	0,1	0,15	0,3	0	0
5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,1	0,3	0,1	0,25	0,15	0,05	0	0
6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,3	0,25	0,05	0,1	0,15	0,1	0	0
7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,15	0,3	0,25	0,05	0,1	0,1	0	0
8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,1	0,25	0,3	0,15	0,1	0,05	0	0
9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,3	0,05	0,1	0,15	0,25	0,1	0	0
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,1	0,15	0,05	0,3	0,1	0,25	0	0
11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,05	0,05	0,1	0,1	0,25	0,3	0,15	0	0
12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5	0,5
13	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,67	0,33
14	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5	0,5
15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,75	0,25
16	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,25	0,75
17	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,83	0,17
18	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,25	0,75
19	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
20	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Таблиця 7.2 Інтенсивності обслуговування.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	1	0,12	0,125	0,5	0,21	0,56	0,25	0,65	0,27	0,27	0,15	0,21	0,19	0,15	0,12	0,17	0,25	0,3	0,54	0,63

Значення знаходимо з системи рівнянь:

Як зазначено у розділі 1, одно із значень може вибиратися довільно. Покладемо для зручності , де - інтенсивність обслуговування головного центру 1. Маємо такі значення коефіцієнтів передачі :

Відносні коефіцієнти використання і-го центру дорівнюють :

Таблиця 7.3 Відносні коефіцієнти використання і-го центру.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	1	0,83	0,4	0,3	0,476	0,089	0,4	0,769	0,55	0,74	0,33	0,23	0,8	1,08	1,18	1,01	0,59	0,575	0,963	0,761

За допомогою методу Бузена знаходимо значення . Заповнюємо таблицю, використовуючи формулу

У правому стовпці таблиці отримані значення нормалізуючої константи . Тепер знайдемо основні характеристики функціонування мережі.

За формулою (2.1.31)

визначимо середню довжину черги у і-му центрі.

Інтенсивність вихідного потоку повідомлень з і-го центру за означенням дорівнює середньому числу повідомлень, які були обслуговані у ньому за одиницю часу. Обчислимо інтенсивність у кожному центрі за формулою (2.1.26)

Середній час перебування повідомлення в і-му центрі обслуговування дорівнює відношенню середньої довжини черги до середньої інтенсивності вихідного потоку, тобто (2.1.32)

.

Обчислимо у кожному центрі:

Таблиця 7.3 Результати розрахунку показників функціонування мережі

№ центру i
1	1,0000	2,980328	2,980328
2	0,0999	17,09798	1,708593
3	0,0500	8,824672	0,440875
4	0,1499	1,990151	0,298257
5	0,0999	5,726601	0,572036
6	0,0499	1,472157	0,073526
7	0,0999	4,41441	0,440875
8	0,0499	1,255889	0,062713
9	0,1497	4,915428	0,736029
10	0,1992	6,459583	1,286915
11	0,0498	6,881465	0,342598
12	0,0498	4,483347	0,223145
13	0,1507	10,31031	1,553436
14	0,1458	28,09523	4,095602
15	0,1161	55,61827	6,455276
16	0,1377	22,84074	3,144646
17	0,1172	6,980735	0,818049
18	0,1364	5,728309	0,781422
19	0,4032	6,481892	2,613804
20	0,368404	3,72383	1,371875

ВИСНОВКИ

Важливим розділом теорії масового обслуговування є мережі масового обслуговування. За допомогою мереж СМО моделюють багато типів транспортних, технологічних та обчислювальних систем, процеси надання медичної допомоги, обслуговування пасажирів та ін. У роботі Ф.Мура було показано, що мережі МО є адекватними моделями функціонування обчислювальних систем. Подальший розвиток області застосування теорії мереж МО пов'язаний з удосконалюванням апаратного та програмного забезпечення обчислювальних систем.

Постановкою задачі дипломної роботи є дослідження математичних підходів та методів, які використовуються для аналізу і розрахунку показників функціонування мереж МО.

Мережа МО є сукупністю кінцевого числа обслуговуючих центрів, в якій циркулюють повідомлення, які переходять відповідно до маршрутної матриці з одного центру в іншій. Якщо у момент надходження повідомлення всі обслуговуючі прилади центру зайняті, то повідомлення займає чергу в буфері, у якому чекає початку обслуговування. У загальному випадку мережу МО можна зобразити у вигляді графа, вершинами якого є одноканальні або багатоканальні СМО. Розрізняють розімкнені та замкнені мережі. Для замкненої стохастичної мережі не існує зовнішніх джерел вимог, тобто в ній завжди знаходиться однакова кількість вимог. У розімкненій мережі існують джерела і стоки вимог. Розглянемо детальніше основні підходи до їх розрахунку.

Для найпростіших однорідних експоненціальних мереж стаціонарні ймовірності станів мережі мають мультиплікативну форму

Цей факт є основою для подальших аналітичних досліджень та розробки ефективних алгоритмів розрахунку більш загальних мереж. Нормалізуюча константа визначається з умов нормування

Для розімкнених мереж МО вона має відносно простий вигляд, а для замкнених є сумою добутків .

Прямий розрахунок нормалізуючої константи є досить трудомісткою процедурою. Основою багатьох алгоритмів розрахунку стаціонарних ймовірностей мережі є рекурентний метод Бузена. Відповідно до нього алгоритм розрахунку нормалізуючої константи зводиться до простої ітеративної процедури. При початкових умовах формула

дозволяє рекурентно обчислити . А інші характеристики мережі, такі як середня довжина черги у і-му центрі, середній час перебування повідомлення в і-му центрі та ін. є функціями від нормалізуючої константи.

При дослідженні мереж МО точними методами накладається обмеження, що час обслуговування у центрах мережі має експоненціальний розподіл. Причина використання наближених методів полягає в необхідності дослідження мереж МО з довільними функціями розподілу тривалості обслуговування в центрах мережі і рекурентним вхідним потоком.

Найбільш простим наближеним методом аналізу мереж МО є метод поліноміальної апроксимації. Для замкнутої однорідної мережі МО, яка складається з M центрів, та у якій циркулює N повідомлень відповідно до маршрутної матриці, функція розподілу часу обслуговування в і-му центрі є довільною з першими двома моментами:

Нехай - інтенсивність потоку повідомлень через виділений центр. Позначимо . Тоді задача наближеного аналізу замкненої мережі МО формулюється як задача розв'язання рівняння

відносно змінної X₀(N), де поліном степеня M:

де позначено

Відомим наближеним методом є метод декомпозиційної апроксимації. Мережа МО з довільними функціями розподілу часу обслуговування замінюється еквівалентною мережею з експоненціальними обслуговуючими центрами. Декомпозиція замкнутої мережі з М центрами обслуговування за теоремою Нортона зводиться до еквівалентної мережі з двома центрами. При цьому перший центр двохвузлової мережі співпадає з і-м центром початкової мережі, а 2-й (композиційний), який є еквівалентом іншої частини мережі, має експоненціальний час розподілу обслуговування з параметром , що залежить від числа повідомлень в ньому, і дорівнює інтенсивності надходження повідомлень в і-й центр початкової мережі.

Розглянемо модель замкненої ієрархічної мережі МО, схема якої зображена на рисунку 7.1. У цій мережі циркулює N=30 заявок, у відповідності з маршрутною матрицею. Якщо у момент надходження повідомлення у один із центрів він зайнятий, то повідомлення займає місце у буфері, у якому очікує звільнення приладу. Буфер з необмеженим числом місць дожидання. Обслуговуючі центри - з експоненцільно розподіленим часом обслуговування заявок. Середній час обслуговування у центрах заданий. Застосувавши розглянутий метод Бузена, знаходимо нормалізуючу константу, та обчислюємо такі показники функціонування мережі, як середня довжина черги у центрах, інтенсивність вихідного потоку та середній час перебування повідомлення у кожному центрі.

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Томашевський В.М. Моделювання систем. - К.: Видавнича група ВН, 2005. - 352 с.

2. Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1988. -192 с.

3. Кузин Л.Т. Основы кибернетики: В2-х тт. Т. 2. Основы кибернетических моделей. Учеб. Пособие для вузов. - М.: Энергия,1979. - 584 с.

4. Беляков В.Г., Митрофанов Ю.И. к исследованию замкнутых сетей массового обслуживания большой размерности//Автоматика и телемеханика. - 1981. - №7. - С.61-69.

5. Вишневский В.М., Герасимов А.И. Исследование потоков в замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания//Проблемы управления и теории информации. - 1983. Т. 12, №6.

6. Яшков С.Ф. Анализ очередей в ЭВМ. - М.:Радио и связь, 1989, 216с.

7. Шварц М. Сети ЭВМ. Анализ и проектирование. - М.: Радио и свіязь, 1981. - 336 с.

ДОДАТОК

Програма розрахунку показників функціонування мережі

#include<iostream.h>

#include<conio.h>

#include<iomanip.h>

#include<math.h>

#include<stdlib.h>

int main(){

int i,j,p;

double g[31][20],x[20],e[20],mu[20],L[20],lam[20],T[20];

e[0]=1;

e[1]=0.1;

e[2]=0.05;

e[3]=0.15;

e[4]=0.1;

e[5]=0.05;

e[6]=0.1;

e[7]=0.05;

e[8]=0.15;

e[9]=0.2;

e[10]=0.05;

e[11]=0.05;

e[12]=0.15;

e[13]=0.16;

e[14]=0.14;

e[15]=0.17;

e[16]=0.15;

e[17]=0.17;

e[18]=0.52;

e[19]=0.48;

mu[0]=1;

mu[1]=0.12;

mu[2]=0.125;

mu[3]=0.5;

mu[4]=0.21;

mu[5]=0.56;

mu[6]=0.25;

mu[7]=0.65;

mu[8]=0.27;

mu[9]=0.27;

mu[10]=0.15;

mu[11]=0.21;

mu[12]=0.19;

mu[13]=0.15;

mu[14]=0.12;

mu[15]=0.17;

mu[16]=0.25;

mu[17]=0.3;

mu[18]=0.54;

mu[19]=0.63;

for(i=0;i<20;i++) x[i]=e[i]/mu[i];

for(i=0;i<31;i++) g[i][0]=pow(x[0],i);

for(j=0;j<20;j++) g[0][j]=1;

for(j=1;j<20;j++){

for(i=1;i<31;i++) g[i][j]=x[j]*g[i-1][j]+g[i][j-1];}

cout<<"Normalizujucha constanta GM(N):"<<g[30][19]<<endl;

for(i=0;i<20;i++){

cout<<"x["<<i<<"]="<<x[i]<<" "<<endl;}

cout<<"serednja dovzhina chergi v i-mu centri"<<endl;

for(i=0;i<20;i++){

for(p=0;p<31;p++){L[i]+=pow(x[i],p)*g[30-p][19]/g[30][19];}}

for(i=0;i<20;i++) cout<<"L["<<i<<"]="<<L[i]<<" "<<endl;

cout<<"Serednja intensivnist vyhidnogo potoku povidomlen z i-go centru"<<endl;

for(i=0;i<20;i++){ lam[i]=e[i]*g[29][i]/g[30][i];}

for(i=0;i<20;i++){

cout<<"lam["<<i<<"]="<<lam[i]<<" "<<endl;}

cout<<"Serednij chas perebuvannja povidomlennjya v i-mu centri"<<endl;

for(i=0;i<20;i++){ T[i]=L[i]/lam[i];}

for(i=0;i<20;i++){

cout<<"T["<<i<<"]="<<T[i]<<" "<<endl;}

getch();

}