Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку
Аналіз рівняння еліпсоїда, властивостей кривих і поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей. Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 27.12.2010 |
| Размер файла | 137,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Курсова робота
Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку
Зміст
ВВЕДЕННЯ
ДОСЛІДЖЕННЯ КРИВОЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Теоретична частина
Практична частина
ВИСНОВОК
ДОСЛІДЖЕННЯ ФОРМИ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Теоретична частина
Практична частина
ВИСНОВОК
СПИСОК ВИКОРИСТОВУВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Введення
Ціль
1. Метою даної курсової роботи є дослідження кривої й форми поверхні другого порядку. Закріплення отриманих теоретичних знань і практичних навичок по вивченню й аналізу властивостей кривих і поверхонь другого порядку.
2. Ознайомлення з пакетами програм Microsoft® Word і Microsoft® Excel.
Постановка задачі
I. Для даного рівняння кривої другого порядку:
1. Визначити тип даної кривої за допомогою інваріантів.
2. Привести рівняння кривої до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного переносу й повороту координатних осей.
3. Знайти фокуси, директриси й асимптоти даній кривій (якщо вони є).
4. Побудувати канонічну систему координат і дану криву в загальній системі координат.
II. Для даного канонічного рівняння поверхні другого порядку:
1. Досліджувати форму поверхні методом перетинів площинами, побудувати лінії, отримані в перетинах;
2. Побудувати поверхня в канонічній системі координат.
Дослідження кривої другого порядку
Теоретична частина
Нехай крива Г задана в декартової прямокутній системі координат xOy рівнянням:
. (1.1)
Якщо хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, то криву Г називають кривій другого порядку.
Теорема 1. Для довільної кривої другого порядку Г існує така декартова прямокутна система координат XOY, що в цій системі крива Г має рівняння одного з наступних канонічних видів:
1) , а b > 0 -- еліпс,
2) -- мнимий еліпс,
3) -- дві мнимі пересічні прямі (крапка),
4) -- гіпербола,
5) -- дві пересічні прямі,
6) -- парабола,
7) -- дві паралельні прямі,
8) -- дві мнимі паралельні прямі,
9) -- дві співпадаючі прямі.
У цих рівняннях a, b, p -- позитивні параметри.
Систему координат XO (Y назвемо канонічною системою координат, а систему координат xOy - загальною системою координат.
Класифікація кривих другого порядку
Залежно від значення інваріанта прийнята наступна класифікація кривих другого порядку:
· якщо крива другого порядку Г називається кривій еліптичного типу.
· якщо крива другого порядку Г називається кривій параболічного типу.
· якщо крива другого порядку Г називається кривій гіперболічного типу.
Крива другого порядку Г називається центральної, якщо . Криві еліптичного й гіперболічного типу є центральними кривими.
Центром кривої другого порядку Г називається така крапка площини, стосовно якої крапки цієї кривої розташовані симетрично парами. Крапка є центром кривої другого порядку, обумовленої рівнянням (1.1), у тім і тільки в тому випадку, коли її координати задовольняють рівнянням:
(2.1)
(2.1)
Визначник цієї системи дорівнює . Якщо , то система має єдине рішення. У цьому випадку координати центра можуть бути визначені по формулах:
, . (2.2)
З теорем 1 і 2 виходить наступна класифікація кривих другого порядку за допомогою інваріантів:
1) еліпс
2) мнимий еліпс
3) дві мнимі пересічні прямі (крапка)
4) гіпербола
5) дві пересічні прямі (2.3)
6) парабола
7) дві паралельні прямі
8) дві мнимі паралельні прямі
9) дві співпадаючі прямі
Практична частина
Дано
Визначити тип кривої за допомогою інваріантів залежно від ?:
Обчислимо інваріанти:
1. Якщо , то маємо лінії еліптичного типу
Цих ? буде еліпс
При
При
2. Якщо то пишемо лінії параболічного типу, при цьому, щоб була парабола
3. Якщо , то одержуємо лінії гіперболічного типу
При гіпербола
При корінь ні, тобто таких двох пересічних прямих, не існує.
|
Значення |
||||||
|
Тип кривої |
Мнима крапка |
Крапка |
Еліпс |
Парабола |
Гіпербола |
Досліджуємо криву при ?=0 , тоді одержимо:
Спершу повернемо на кут ?:
Знайдемо кут ?,такий щоб коефіцієнт при був дорівнює 0:
Нехай
Згрупуємо члени рівняння й доповнимо до повного квадрата:
Зробимо перенос системи координат
координати нового центра O системи координат
Таким чином ми правильно визначили канонічне рівняння
Визначимо фокус еліпс.
Відстань між знайдемо по:
У системі координат
Ексцентричний еліпс
Директриси
Висновок
Дослідивши загальне рівняння кривої другого порядку й привівши його до канонічного виду, ми встановили, що дана крива -- еліпс. Ми одержали канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей.
Дослідження форми поверхні другого порядку
Теоретична частина
Поверхнею другого порядку S називається геометричне місце крапок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівнянню виду:
де принаймні один з коефіцієнтів відмінний від нуля.
Рівняння (3.1) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку S, а систему координат Oxyz називають загальною системою координат.
Теорема: Для довільної поверхні S, заданої загальним рівнянням існує така декартова прямокутна система координат що в цій системі поверхня S має рівняння одного з наступних сімнадцяти канонічних видів.
1) -- еліпсоїд,
2) -- мнимий еліпсоїд,
3) -- гіперболоїд,
4) -- гіперболоїд,
5) -- конус,
6) -- мнимий конус (крапка),
7) -- еліптичний параболоїд,
8) -- гіперболічний параболоїд,
9) -- еліптичний циліндр,
10) -- мнимий еліптичний циліндр,
11) -- дві мнимі пересічні площини (вісь O'),
12) -- гіперболічний циліндр,
13) -- дві пересічні площини,
14) -- параболічний циліндр,
15) -- дві паралельні площини,
16) -- дві мнимі паралельні площини,
17) -- дві співпадаючі площини (площина XOZ).
У вище перерахованих рівняннях a, b, c, p -- позитивні параметри. Систему координат називають канонічною.
Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами
Якщо дано канонічне рівняння поверхні S, то подання про поверхню можна одержати за формою ліній перетинання її площинами:
Z = h -- паралельними координатної площини XO',
X = h -- паралельними координатної площини YO',
Y = h -- паралельними координатної площини XO'.
Практична частина
Дано
Це еліпсоїд у прямокутної декартової системі координат Oxyz, де осі OX, OY, OZ - осі симетрії.
1. Розглянемо лінії площинами =h (h=const):
(1)
Площина Z=h паралельна площини Oxy.
Рівняння проекцій на Oxy мають вигляд:
Якщо , те, і тоді поділимо обидві частини рівняння на , одержимо:
Це рівняння еліпсів з півосями
,
зі зменшенням , центр еліпса (0;0;h)
При різних h маємо:
Якщо , тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню(1) немає.
2. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами X=h:
(2)
Рівняння проекцій на YOZ.
Це рівняння еліпсів з півосями
,
Якщо , то a=3, b=2, і
Якщо , тоді ми одержуємо сімейство еліпсів:
, ;
, ;
Якщо , тоді -- це рівняння крапки з координатами (h;0;0).
Якщо , тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню (2) немає.
3. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами Y=h:
(3)
Рівняння еліпсів, проекцій на YOZ і мають центри (0;h;0).
Півосі ,
Якщо , тоді , рівняння крапок з координатами (0;h;0).
Якщо , тоді ми одержуємо сімейство еліпсів
, ;
, ;
Якщо , тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню (3) немає.
Побудуємо гіперболоїд
у канонічній системі координат проаналізувавши рівняння поверхні й результати дослідження методом перетину її площинами.
Висновок
Проаналізувавши рівняння еліпсоїда
одержали деякі подання про форму еліпсоїда.
З рівняння треба, що осі OX, OY, OZ - осі симетрії, площини XOY, YOZ, XOZ - площини симетрії.
Розсікаючи поверхню площинами y=h, z=h, x=h, у перетинах маємо еліпси, найбільші з яких виходять у площинах x=0, y=0, z=0, півосі їх зменшуються зі збільшенням , вершини еліпсів мають координати
по осі X; по осі Y; по осі Z
Список літератури
1. Копилова Т. В. Конспект лекцій по лінійній алгебрі. - К., 2005
2. Копилова Т. В. Лінійна алгебра. - К., 1996
3. Єфімова Л. В., Демидович Б. П. Лінійна алгебра й основи математичного аналізу. - К., 1993.
Подобные документы
Аксіоматика і основні метричні формули псевдоевклідової площини. Канонічні рівняння кривих другого порядку (параболи, еліпса, гіперболи). Елементи загальної теорії кривих другого порядку псевдоевклідової площини. Перетворення координат рівняння.
презентация [787,6 K], добавлен 17.01.2015Зведення до канонічного вигляду кривих і поверхонь другого порядку методом ортогональних перетворень, побудова їх за заданими канонічними рівняннями. Визначення лінійних операторів та квадратичних форм. Власні вектори та значення лінійного оператора.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 13.11.2012Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші.
лекция [202,1 K], добавлен 30.04.2014Теорія приведення загального рішення кривих і поверхонь другого порядку до канонічного виду в системі побудови графіків. Основні поняття (лінійний оператор, власний вектор і власне значення матриці, характеристичне рівняння, квадратична форма) і теореми.
курсовая работа [328,3 K], добавлен 13.11.2012Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору. Опис прямої лінії у просторі. Взаємне розташування прямої та площини. Поверхні другого порядку. Параметричні рівняння ліній. Приклади їх побудови в полярних координатах.
лекция [252,5 K], добавлен 30.04.2014Поняття приватного інтеграла. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із приватним інтегралом у вигляді параболи, окружності або гіперболи. Умови існування в системи двох часток інтегралів. Якісне дослідження побудованих класів систем.
дипломная работа [290,0 K], добавлен 14.01.2011Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.
лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Поняття полярної системи координат, особливості завдання координат точки у ній. Формули переходу від декартової до полярної системи координат. Запис рівняння заданої кривої в декартовій системі координат з використанням вказаної формули переходу.
контрольная работа [2,4 M], добавлен 01.04.2012Дослідження диференціального рівняння непарного порядку і деяких систем з непарною кількістю рівнянь на нескінченному проміжку. Побудова диференціальної моделі, що описується диференціальним рівнянням, та дослідження її на скінченому проміжку часу.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 24.12.2013
