Приведення поверхонь іншого порядку до канонічного вигляду

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

ЛІНІЙНИЙ ОПЕРАТОР, ВЛАСНЕ ЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ, ВЛАСНИЙ ВЕКТОР, ХАРАКТЕРИСТИЧНЕ РІВНЯННЯ, КАНОНІЧНИЙ ВИД, КВАДРАТИЧНА ФОРМА, КРИВІ ТА ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ.

Ціль роботи: навчитися на практиці використовувати отримані знання за курсом «Алгебра й геометрія» для рішення задачі приведення до канонічного виду загальних рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Результат роботи: закріплення й узагальнення знань по таких розділах курсу, як «Лінійне перетворення» й «Квадратичні форми», отриманим під час вивчення курсу «Алгебра й геометрія».

крива поверхня графік вектор

Зміст

Вступ

1. Теоретична частина

1.1 Основні поняття та теореми

1.2 Основні методи розв'язання

1.3 Відповіді на теоретичні запитання

2. Практична частина

2.1 Постановка та розв'язання задачі 1 практичного завдання

2.2 Постановка та розв'язання задачі 2 практичного завдання

Висновок

Список використаних джерел

Вступ

Курс «Алгебра та геометрія» займає особливе місце в системі математичних дисциплін, які вивчаються студентами спеціальностей ПМ, САУ й ІНФ, як базовий курс. Вивчення курсу необхідно для освоєння основних понять і методів аналітичної геометрії й лінійної алгебри для рішення конкретних задач, а також забезпечення інших математичних дисциплін.

Метою курсової роботи є поглиблення теоретичних знань за курсом «Алгебра та геометрія», розвиток навичок самостійної роботи, практичне застосування алгебри й геометрії при рішенні прикладних задач.

Дана робота містить рішення задачі приведення до канонічного виду загальних рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Робота складається із двох частин - теоретичної й практичної. У теоретичній частині наведені визначення таких понять, як лінійний оператор, власний вектор і власне значення матриці, характеристичне рівняння, квадратична форма. Викладено теорію приведення загального рішення кривих і поверхонь другого порядку до канонічного виду. Наведено відповіді на теоретичні питання.

У практичній частині побудований графік кривої L в R² у канонічному виді й графік поверхні P в R³ у канонічному виді.

1. Теоретична частина

1.1 Основні поняття й теореми

1.1.1 Лінійні оператори

У векторному просторі заданий оператор, або перетворення, А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність певний вектор або, .

Оператор (перетворення) називається лінійним, якщо для будь-яких двох векторів х та у з та довільного числа виконується:

1) ;

2) .

Вектор називається образом вектора , а вектор х - прообразом вектора при перетворенні .

Виберемо в просторі базис . Тоді якщо

,

то в силу лінійності оператора маємо

, .

Але тому що (де ) - це теж вектора з , те можна розкласти по базисі .

Нехай

,

Тоді

Якщо координати вектора в тім же базисі е_х, е₂,..., е_п, тобто якщо

,

те, через одиничність розкладання вектора по базисі, маємо

,

(1.1)

Кожному лінійному операторові в даному базисі відповідає матриця

, (1.2)

-й стовпець якої утворений коефіцієнтами розкладання вектора по базисі ; при цьому коефіцієнти розкладань (1.1) координат вектора по координатах вектора утворюють рядки матриці А.

Якщо у векторному просторі заданий базис, то кожному лінійному операторові відповідає певна квадратна матриця порядку та, обернено, кожній такій матриці відповідає певний такий оператор. Тому лінійний оператор і відповідну йому (у даному базисі) матрицю ми будемо позначати однієї й тією же буквою: , , _ лінійні оператори. А, В, З - відповідні їм матриці. Матриця А називається матрицею лінійного оператора .

Легко бачити, що для всякого лінійного оператора

.

При цьому, якщо тільки при х = 0, то оператор називається не виродженим; якщо ж найдеться такий вектор , що , то оператор - вироджений. Отже, для того, щоб оператор був не виродженим, необхідно й досить, щоб визначник матриці А цього оператора (у будь-якому базисі) був відмінний від нуля. Матриця, визначник якої відмінний від нуля, називається не виродженою матрицею.

1.1.2 Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Вектор називається власним вектором лінійного оператора , якщо найдеться таке число , що ; це називається відповідним вектору х власним значенням оператора (матриці А).

1.1.3 Знаходження власного значення й власного вектора лінійного оператора

Припустимо, що х - власний вектор, а відповідне йому власне значення лінійного оператора . Тоді . Виберемо в просторі який-небудь базис , і нехай , а матриця оператора А в цьому базисі А=[ ]. Тоді

.

звідки, через одиничність розкладання вектора по базисі

(1.3)

Для існування ненульового рішення цієї (однорідної) системи необхідно й досить, щоб її визначник був дорівнює нулю:

. (1.4)

Або, більш коротко,

. (1.5)

Рівняння (1.4) називається характеристичним рівнянням матриці А; воно служить для знаходження власних значень, які називаються також характеристичними коріннями матриці А (або власними значеннями матриці А). Знайшовши з (1.4) яке-небудь власне значення , ми можемо знайти відповідний власний вектор із системи рівнянь (1.3). Числовий вектор, що виходить

,

задовольняючий рівнянню , називається також власним вектором матриці А.

1.1.4 Квадратичні форми

Квадратичною формою від декількох змінних називається однорідний багаточлен другого ступеня від цих змінних.

Наприклад, квадратична форма від змінних у загальному випадку має вигляд

, (1.6)

де - деякі числові коефіцієнти (а двійки поставлені для спрощення формул, що виходять).

Матрицею такої форми називається симетрична матриця.

.

Будемо розглядати як декартові координати в деякому базисі . Якщо перейти до нового декартового базису , то й у формі (1.6) треба зробити заміну змінних, при чому матриця Т переходу буде ортогональною. У результаті форма буде виражена через нові координати , можна довести, що при цьому нова матриця виражається через стару по формулі

A = T^-1 AT (1.7)

Відомо, що базис можна вибрати так (взявши як ці вектори власні вектори оператора, що відповідає матриці А, тобто власні вектори матриці), що матриця А' вийде діагональної

.

Але тоді квадратична форма в нових змінних здобуває вид:

(1.8)

де - характеристичних корінь матриці А.

Можна сказати, що квадратичну форму (1.6) можна за допомогою ортогонального перетворення привести до діагонального виду (1.8).

1.2 Основні методи рішення

1.2.1 Спрощення рівнянь другого порядку на площині

Перетворення квадратичної форми застосовується, зокрема, до спрощення рівнянь ліній і поверхонь другого порядку. Розглянемо рівняння поверхонь.

Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат . Якщо х і у - координати довільної крапки на площині в даній системі координат, то, як відомо,

(I) рівняння визначає еліпс;

(II) рівняння - крапку;

(III) рівняння - порожня множина крапок (мнімий еліпс);

(IV) рівняння - гіперболу;

(V) рівняння _ пари пересічних прямих;

(VI) рівняння (), - параболу;

(VII) рівняння () - пари паралельних прямих;

(VIII) рівняння ( ) - пари прямих, що злилися;

(IX) рівняння (), - порожня множина крапок.

Рівняння (Г) - (IX) називаються канонічними рівняннями фігур другого порядку на площині.

Рівняння (I) - (III) визначають фігуру еліптичного типу, рівняння (IV), (V) - гіперболічного типу, рівняння (VI) - (IX) - параболічного типу.

Розглянемо рівняння другого порядку

, (1.9)

де . Множина крапок площини, координати яких задовольняють рівнянню (1.9), утворить деяку фігуру. Покажемо, що це рівняння визначає одну з фігур (I) - (IX). Для цього знайдемо рівняння фігури (1.9) у системі координат(), де вектори й отримані з векторів й ортогональним перетворенням з матрицею переходу Т

тобто

.

При цьому формули перетворення координат крапок будуть мати вигляд

.

Підставивши ці значення х і у в рівняння (1.9), одержимо рівняння даної фігури в системі координат ().

Сума перших трьох членів

(1.10)

є квадратичною формою двох змінних , котру ми будемо називати квадратичною формою, що відповідає рівнянню (1.9).

Матриця цієї форми має вигляд

.

Нехай обране перетворення приводить квадратичну форму (1.10) до канонічного виду (як відомо, таке перетворення завжди існує)

,

де - корінь характеристичного рівняння матриці А. Тоді рівняння (11) прикмет вид

(1.11)

де , .

Можливі наступні випадки:

1) . Тому що визначник матриці квадратичної форми не міняється при ортогональному перетворенні, то , тобто й мають однакові знаки.

У рівнянні (1.11) доповнюємо до повного квадрата члени, що містять й , а також члени, що містять й . Після цього рівняння можна записати так:

. (1.12)

Здійснимо паралельний перенос системи координат ( ) на вектор , координатами якого в системі координат () є й . Тоді рівняння (1.12) у системі координат () прийме вид

(1.13)

Якщо , то рівняння (1.13) приводиться до виду (I) або (III). Якщо - до виду (II).

2) , отже, і , тобто й - різних знаків.

Як й у першому випадку, рівняння (1.11) можна привести до виду (1.13). У цьому випадку, якщо , рівняння (1.13) приводиться до виду (IV), якщо - до виду (V).

3) , отже, і , тобто й дорівнює нулю.

Будемо вважати, що , . Доповнюючи в рівнянні (1.11) члени, що містять й , до повного квадрата, одержимо

. (1.14)

Якщо , то рівняння (1.14) можна записати у вигляді

. (1.15)

Здійснимо паралельний перенос системи координат () на вектор . Рівняння (1.15) у системі () прийме вид:

.

Це рівняння зводиться до виду (VI).

Якщо , то рівняння (115) має вигляд:

.

Здійснивши паралельний перенос системи координат () на вектор , одержимо в системі координат () рівняння

.

Це рівняння при приводиться до виду (VII) або (IX), при _ до виду (VIII).

Отже, якщо ,те рівняння (1.9) визначає фігуру еліптичного типу; якщо - гіперболічного; якщо - параболічного типу.

Можна сказати, що існує декартова прямокутна система координат, у якій рівняння (1.9) приймає канонічний вид. Щоб знайти цю систему координат, поступаємо наступним чином:

1) знаходимо ортогональне перетворення, що приводить квадратичну форму, що відповідає даному рівнянню, до канонічного виду;

2) по цьому перетворенню знаходимо головні напрямки фігури, тобто вектори _ ортонормовані власні вектори матриці квадратичної форми, що відповідає даному рівнянню;

3) знаходимо рівняння даної фігури в системі координат ();

4) в отриманому рівнянні робимо доповнення до повних квадратів так, як це було зазначено вище. Знаходимо координати крапки , що є початком шуканої системи координат.

У знайденій системі координат () рівняння даної фігури має канонічний вигляд.

1.2.2 Спрощення рівнянь фігур другого порядку в просторі

Нехай поверхня другого порядку задана у звичайному для аналітичної геометрії виді. Перехід до нового декартовой системі з тим же початком зводиться до заміни змінних

(1.16)

с ортогональною матрицею переходу Т. При підстановці цих виражень у рівняння поверхні в загальному виді

.

група членів другого ступеня й група членів першого ступеня перетворяться незалежно друг від друга. Якщо стежити спочатку тільки за групою членів другого ступеня (квадратичною формою), то (на підставі п. Квадратичні форми) одержуємо, що завжди можна вибрати систему координат так, що ця група членів придбає «діагональний вид» і тому все рівняння після перетворення буде мати вигляд

(1.17)

де - корні рівняння.

.

а - деякі нові коефіцієнти при членах першого ступеня, які самі виходять після підстановки (1.16).

Подальше дослідження йде по-різному, залежно від знаків характеристичних корінь. Нехай, наприклад, усі мають однаковий знак: тоді можна вважати, що вони позитивні, тому що в противному випадку можна у всього рівняння (1.17) перемінити знак. За допомогою доповнення до повного квадрата й наступного паралельного переносу, можна від (1.17) перейти до рівняння

,

тобто

.

Залежно від того, чи буде , або , вийде еліпсоїд, мнимий еліпсоїд або крапка.

Аналогічно виходить, що якщо із чисел два мають однаковий знак, а третє - протилежний, то рівняння (1.17) представляє гіперболоїд (однопорожнинний або двопорожнинний) або конус. Якщо із чисел рівно одне дорівнює нулю, наприклад, , а відмінно від нуля, то виходить еліптичний або гіперболічний параболоїд. Можна перевірити, що у всіх інших випадках виходять циліндри або особливі випадки (мнима поверхня, виродження в пряму лінію, розпадання на парі площин).

Аналізуючи вище сказане, можемо зробити висновок, що при можливі наступні випадки:

1) - еліпсоїд;

2) - однопорожнинний гіперболоїд;

3) - двупорожнинний гіперболоїд;

4) - «порожня множина» крапок (мнимий еліпсоїд).

Якщо с = 0 й одного знака, виходить крапка («мнимий конус»); при с = 0 і різних знаків - конус.

Якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, нехай, наприклад, . Тоді маємо два випадки:

- еліптичний параболоїд;

- гіперболічний параболоїд.

1.3 Відповіді на теоретичні питання

№ 6.35. Записати загальне рівняння фігури другого порядку на площині.

.

№ 6.36. Записати загальне рівняння в матричному виді.

 .

№ 6.37. Що називається квадратичною формою, що відповідає рівнянню ? Записати матрицю А цієї квадратичної форми.

Сума перших трьох членів

є квадратичною формою двох змінних . Матриця цієї форми має вигляд

№ 6.38. Нехай у системі координат () фігура задана рівнянням або

+ + = 0.

1) Як знайти такий ортонормований базис , щоб квадратична форма, що відповідає рівнянню даної фігури в системі координат () мала канонічний вигляд?

Знаходимо ортогональне перетворення, що приводить квадратичну форму, що відповідає даному рівнянню, до канонічного виду.

По цьому перетворенню знаходимо головні напрямки фігури, тобто вектори - ортонормовані власні вектори матриці квадратичної форми, що відповідає даному рівнянню. Ортонормований базис ми знаходимо за допомогою формул:

,

де - власні вектори, - їхньої довжини.

2) Записати відповідний канонічний вид квадратичної форми.

.

3) Записати рівняння даної фігури в системі координат ()

.

№ 6.39. При якій умові рівняння визначає фігуру:

а) еліптичного типу;

б) гіперболічного типу;

в) параболічного типу?

Якщо , то рівняння визначає фігуру еліптичного типу;

якщо її - гіперболічного;

якщо - параболічного типу, де А - матриця квадратичної форми.

№ 6.45. Записати загальне рівняння фігури другого порядку в просторі.

.

№ 6.46. Записати загальне рівняння в матричному виді.

.

+ + = 0.

№ 6.47. Що називається квадратичною формою, що відповідає рівнянню:

.

Записати матрицю А цієї квадратичної форми.

Сума перших шести членів цього рівняння

є квадратичною формою трьох змінних . Матриця цієї форми має вигляд

.

№ 6.48. Нехай у системі координат () фігура задана рівнянням

або

+ + = 0.

1) Як знайти такий ортонормований базис , щоб квадратична форма, що відповідає рівнянню даної фігури в системі координат (), мала канонічний вигляд?

Знаходимо ортогональне перетворення, що приводить квадратичну форму, що відповідає даному рівнянню, до канонічного виду.

По цьому перетворенню знаходимо головні напрямки фігури, тобто вектори _ ортонормовані власні вектори матриці квадратичної форми, що відповідає даному рівнянню. Ортонормований базис ми знаходимо за допомогою формул:

,

,

,

де _ власні вектори, _ їхньої довжини.

2) Записати відповідний вид квадратичної форми.

.

3) Записати рівняння даної фігури в системі координат ()

.

2. Практична частина

2.1 Постановка та розв'язання задачі 1 практичного завдання

Звести до канонічного вигляду задане рівняння кривої другого порядку та побудувати її.

5x²+6xy+5y²-16x-16y-16=0 (2.1)

Рівняння кривої (2.1) задане в системі координат (О; , ).

Матриця квадратичної форми, що присутня в (2.1)

A= .

Знаходимо ? = 16 > 0. Маємо криву еліптичного типу.

Виконуємо зведення рівняння до каноничного вигляду таким чином.

2.1.1 Складаємо характеристичне рівняння і знаходимо його корені ₁ = 8, ₂ = 2. Це власні значення матриці А.

2.1.2 Знаходимо власні вектори.

Використовуємо систему:

У цій системі послідовно покладемо ₁ = 8, ₂ = 2.

а) ₁ = 8, {-x₁+x₂;

= (1, 1) - власний вектор; - нормований власний вектор.

б) ₁ =2,

= (-1,1) - власний вектор;

- нормований власний вектор.

Маємо нову систему координат (О; , ), яка отримується з попередньої поворотом на відповідний кут.

2.1.3 Записуємо матрицю переходу від базису , . до базису , .

Т = = .

det Т = = + = 1.

Матриця Т ортогональна.

Перевіряємо: det Т = 1, значить збережена взаємна орієнтація осей при повороті системи координат.

2.1.4 Виконуємо лінійне перетворення:

Х = Т Х,

Х = ,

тобто

(2.2)

Підставимо формули перетворення (2.2) в рівняння кривої (2.1). Тоді матриця A квадратичної форми прийме діагональний вигляд A > D = diag (₁, ₂) і група старших членів представиться так:

5x² + 6xy+5y² = | Х = Т Х | = ₁x₁²+₂y₁²=8x₁²+2y₁²;

Група лінійних членів:

-16x - 16y = | Х = Т Х | = -16 -16=-16+16-16-16.

2.1.5 Виділяємо повні квадрати відносно змінних х₁ та у₁ у (2.3).

8(x₁ -)² +2y₁²= 16,

.

Покладемо

(2.4)

Це відповідає паралельному переносу початку координат у точку О₁(-6,3). Отримаємо рівняння

(2.5)

Це канонічне рівняння гіперболи. Воно записано в системі координат (О₁; , ).

2.1.6 Побудуємо еліпс, заданий рівнянням (2.5)

Послідовно внесемо три системи координат (О; , ), (О; , ), (О₁; , ) і в останній канонічній системі координат представимо еліпс, заданий цим рівнянням.

2.2 Постановка та розв'язання задачі 2 практичного завдання

Звести до канонічного вигляду задане рівняння поверхні другого порядку та побудувати її.

x₁² + 5y²+ z² + 2xy + 6xz +2yz-6 = 0 (2.6)

Рівняння кривої (2.6) задане в системі координат (О; , , ).

Матриця квадратичної форми, що присутня в (2.6)

A = .

Виконуємо зведення рівняння до каноничного вигляду таким чином:

2.2.1 Складаємо характеристичне рівняння

= 0.

Звідки отримуємо:

-³+7²-36=0

₁=3;

Перетворимо вираз, відокремлюючи множник:

-³+3²+4²-12+12-36=0

-²(-3)+4(-3)+12(-3)=0

Звідки:

(-3)( ²-4-12)=0

Отримуємо власні значення

₁ = 3, ₂ = 6, ₃ = -2.

2.2.2 Знаходимо власні вектори, використовуючи систему:

У цій системі послідовно покладемо ₁ = 3, ₂ = 6, ₃ = -2.

а) ₁ = 3;

Отримуємо рішення:

X=

б) ₂ = 6;

Отримуємо рішення:

X=

в) ₃ = -2;

Отримуємо рішення:

X=

Маємо нову систему координат (О; , , ), яку отримують з попередньої поворотом на відповідний кут.

2.2.3 Записуємо матрицю переходу від базису , , до базису , , .

Т = .

2.2.4 Після лінійного перетворення отримаємо систему:

Х = Т Х,

Х = ,

тобто

(2.7)

Підставивши формули перетворення (2.7) в задане рівняння поверхні (2.7), після перетворень отримаємо, що матриця A квадратичної форми прийме діагональний вигляд A > D = diag (₁, ₂, ₃) і група старших членів представиться так:

Коефіцієнтами при квадратах будуть:

x₁² + 5y₁² + 5z₁² +2xy+6xz+2yz= | Х = Т Х | = 3x₁² + 6y₁² - 2z₁².

Вільний член не змінюється.

2.2.5 Виділяємо повні квадрати відносно змінних х₁₁, х₂₁ та х₃₁.

3x₁² + 6y₁² - 2z₁²- 6 = 0,

Рівняння прийме вигляд:

3x₁² + 6y₁² - 2z₁²= 6

(2.8)

Це канонічне рівняння гіперболоїда. Воно записано в системі координат (О; , , ).

2.2.6 Побудуємо гіперболоїд, заданий рівнянням (2.8) .

Побудований гіперболоїд показаний на рисунках 2.2 та 2.3

Рис 2.2



Рис 2.3

Висновки

У курсовій роботі була розглянута теорія приведення загального рішення кривих і поверхонь другого порядку до канонічного виду. Наведено відповіді на теоретичні питання. Побудовано графік кривої L в R² у канонічному виді й графік поверхні P в R³ у канонічному виді.

Показано, що приведення кривих і поверхонь до канонічного виду значно спрощує побудову графіків.

Отримані результати можуть бути застосовані для конкретних задач побудови подібних кривих і поверхонь.

Перелік використанних джерел

1. Методичні вказівки до курсової роботи з курсу «Алгебра та геометрія» для студентів денної форми навчання з напрямку «Прикладна математика» / Упоряд.: А.Д. Тевяшев, О.Г. Литвин. - Харків: ХНУРЕ, 2006. -32 с.

2. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Алгебра та геометрія: Лінійна алгебра. Аналітична геометрія. - Харків: ХТУРЕ, 2000. - 388 с.

3. Апатенок Р.Ф. и др. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. - Минск: Вышейш. шк., 1990. - 286 с.

4. Апатенок Р.Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Вышейш. шк., 1986. - 272 с.

5. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. - М.: Высш. Шк., 1986. - 304 с.

6. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - М.: - Наука, 1967.-638с.

Размещено на Allbest.ru