Лінії другого порядку, задані рівнянням у полярній системі координат

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Вінницький державний педагогічний університет

ім. М. Коцюбинського

Індивідуальна домашня робота №1 з аналітичної геометрії

«Лінії другого порядку, задані рівнянням у полярній системі координат»

Виконала:

Студентка І курсу

ІМФТО

Вінниця - 2012 рік

Мета:

1)навчальна: навчити будувати криві 2-го порядку в звичайній та узагальненій полярній системі координат; навчити використовувати IKT під час побудови графіків в узагальненій полярній системі координат;

2)розвивальна: розвиток комп'ютерної грамотності, логічного та дослідницького мислення;

3)виховна: виховання пізнавального інтересу до дисципліни шляхом введення новітніх технологій навчання; виховання самостійності під час розв'язування навчальних задач.

Після виконання індивідуальної роботи студент повинен знати основні типи кривих 2-го порядку та їх використання в науці та техніці; вміти будувати криві 2-го порядку, задані полярним рівнянням.

Теоретична підготовка

Опрацюйте літературу та дайте відповіді на запитання.

1.Яка система координат називається полярною? Що називається полюсом, полярною віссю?

2.Як задаються координати точки в полярній системі координат? Наведіть приклади.

3.Які координати точки називаються узагальненими полярними координатами? Наведіть приклади.

4.Запишіть формули переходу від декартової до полярної системи координат, якщо напрям полярної осі співпадає з додатним напрямом осі абсцис, а полюс із початком координат прямокутної декартової системи координат.

5.Запишіть рівняння заданої кривої в декартовій системі координат, використавши формули переходу від декартової до полярної системи координат.

полярна декртова координата точка

1.Полярна система координат -- двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами -- кутом та відстанню. Полярна система координат задається променем, який називають нульовим або полярною віссю. Точка, з якої виходить цей промінь називається початком координат або полюсом. Визначена таким чином радіальна координата може приймати значення від нуля до нескінченості, а кутова координата змінюється в межах від 0° до 360°. Однак, для зручності область значень полярної координати можна розширити за межі повного кута, а також дозволити їй приймати від'ємні значення, що відповідатиме повороту полярної осі за годинниковою стрілкою.

2. Точка на площині визначається двома полярними координатами: радіальною та кутовою. Радіальна координата (зазвичай позначається r) відповідає відстані від точки до початку координат. Кутова координата, що також зветься полярним кутом або азимутом і позначається ц, дорівнює куту, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки полярну вісь для того, щоб потрапити в цю точку. Кожна точка в полярній системі координат може бути визначена двома полярними координатами, що зазвичай мають назву r (радіальна координата) та ц (кутова координата, полярний кут, азимут, інколи пишуть и або t). Координата r відповідає відстані до полюса, а координата ц дорівнює куту в проти годинниковому напрямі від променя через 0° (інколи називається полярною віссю).

Однією з важливих особливостей полярної системи координат є те, що одна й та сама точка може бути представлена нескінченною кількістю способів. Це відбувається тому, що для визначення азимута точки потрібно повернути полярну вісь таким чином, щоб він вказував на точку. Але напрям на точку не зміниться, якщо здійснити довільне число додаткових повних обертів. В загальному випадку точка (r, ц) може бути представлена у вигляді (r, ц ± n?360°) або (?r, ц ± (2n + 1)180°), де n -- довільне ціле число.

Для позначення полюсу використовують координати (0, ц). Незалежно від координати ц точка з нульовою відстанню від полюса завжди знаходитиметься на ньому. Для отримання однозначних координат точки, зазвичай слід обмежити значення відстані до невід'ємених значень r ? 0 а кут ц до інтервалу [0, 360°) або (?180°, 180°] (в радіанах [0, 2р) або (?р, р]).^[12]

Кути в полярних координатах задаються або в градусах, або в радіанах, при цьому 2р rad = 360°. На рисунку у полярній системі координат зображені точки

, , ,.

3. Узагальнені полярні координати, коли на полярний радіус обмежень не накладають і припускають, що . При цьому при вони співпадають із полярними координатами, а при вважають, що точка співпадає з точкою . При фіксованому полярному куті та зміні полярного радіуса від до точка пробігає всю пряму, яка проходить через полюс та утворює кут з полярною віссю.

4. Пару полярних координат r та можна перевести в Декартові координати x та y шляхом застосування тригонометричних фукнцій синуса та косинуса:

5. Шляхом застосування тригонометричних фукнцій синуса та косинуса отримаєм:

Завдання 1:

13. З листопада 1957 року відбувся запуск «Супутника-2», який доправив до космосу першу живу істоту земного походження -- собаку на прізвисько Лайка. Орбіту штучного супутника можна задати полярним рівнянням

.

Побудуйте задану криву в узагальненій полярній системі

координат () на міліметровому папері. За крок візьміть .

Розв`язання:

Крива в полярній системі координат задана рівнянням .

Побудуємо задану криву в полярній системі координат, взявши за крок.

Завдання 2:

n- пелюсткова троянда в звичайній полярній системі координат задається одним із рівнянь:

2.1 Визначте точки кривої, які мають найбільший полярний радіус

. Позначте в полярній системі знайдені точки.

2.2 Визначте в якій частині площини розташована задана крива, тобто при яких значеннях () виконується нерівність r > 0. В полярній системі координат заштрихуйте знайдену область.

2.3. Схематично побудуйте задану криву в полярній системі координат, врахувавши умову r > 0.

Розв'язання:

2-пелюсткова троянда в полярній системі координат задана рівнянням

2.1 Визначимо точку кривої, яка має найбільший полярний радіус

. Для цього знайдемо найбільше значення полярного радіусана пів інтервалi .

Функція набуває найбільшого значення, коли, тобто при Врахувавши умову задачі , знаходимо:

Отже, r_{найбільше} = r(о)=r()=2. В полярній системі координат позначимо точки М,(2;0), М₂(2;).

2.2 Визначимо в якій частині площини розташована задана крива. Для цього визначимо при яких значеннях() виконується нерівність r 0;

=>.

Звідси знаходимо, що . Отже, .Врахувавши умову задачі

отримаємо розв'язок:

Отже, крива в полярній системі координат буде розташована між прямими:

.

2.3. Схематично побудуємо задану криву в полярній системі координат у заштрихованій області, врахувавши, що точки M₁ та M₂ мають найбільший полярний радіус.

Завдання 3:

3.1 Знайдіть точки перетину кривих: r₁=4 і r₂

3.2 Побудуйте задані криві в одній системі координат використовуючи програму Advanced Grapher. Користуючись графіком, перевірте чи правильно знайдені точки перетину кривих. Графіки роздрукуйте.

Розв'язання:

Знайдемо точки перетину кривих r₁=4 і r₂ . Для цього розв'яжемо рівняння г, =г₂:

4

Звідси

Тому r₁(= r₂(; r₁ ()= r₂ ()=; r₁ ()= r₂ ()=; r₁ ()= r₂ ()=; r₁ () = r₂ ()=; r₁() =r₂()=

Завдання 4.

Створіть власний альбом ліній 2-го порядку, рівняння яких задані в полярній системі координат.

Використовуючи програму Advanced Grapher, побудуйте криві задані в таблиці. Параметри побудови: а = 8; n=5; b =6; р =10;-довільне, N=13 - порядковий номер студента. Заповніть другий стовпець таблиці.

Переглянувши відеофільм «Чудові криві в нашому житті», розміщений на сайті кафедри, заповніть четвертий стовпчик таблиці.

Ознайомтеся з властивостями деяких чудових кривих 2-го порядку, переглянувши мініатюри «Котенок на лестнице», «Астроида», «Сплав бревен», «Гипоциклоида» та етюди «циклоида», «Параболическая антенна».

Размещено на Allbest.ru