Высшая математика для менеджеров

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1) ^{i + j} M_{i j}.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_{i n} A_{i n} (i = )

или j- го столбца

d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_{n j} A_{n j} (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример 2.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 2.5. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a₁₂A₁₂ + a₂₂A₂₂+a₃₂A₃₂=

= .

Пример 2.6. Вычислить определитель

A = ,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны

нулю.

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

A = a₁₁ A₁₁ = .

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

A = .

И так далее. После n шагов придем к равенству A = а₁₁ а_22... a_nn.

Пример 2.7. Вычислить определитель .

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

4.3 Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

0 r(A) min (m, n).

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например, .

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2.8. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы .

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М₁ = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M₂ = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М₂. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример 2.9. Найти ранг матрицы А= и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки: .Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: ; из третьей строки вычтем первую; получим матрицу В = , которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу: .

4.4 Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

A = .

Обозначим =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А¹, так что В = А¹. Обратная матрица вычисляется по формуле

А¹ = 1/ , (4.5)

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 2.10. Для матрицы А = найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А = det А = = 27 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А¹ = 1/ , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы. Имеем:

откуда А¹ = .

Пример 2.11. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: . К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак, А¹ = .

5. Системы линейных уравнений

5.1 Критерий совместности

Система линейных уравнений имеет вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (5.1)

... ... ... ...

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = b_m.

Здесь а_{i j} и b_i (i = ; j = ) - заданные, а x_j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

AX = B, (5.2)

где A = (а_{i j}) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂,..., x_n)^T, B = (b₁, b₂,..., b_m)^T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂,..., c_n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂,..., x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂,..., c_n)^T такой, что AC B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

A = ,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (mn); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +... + a_nn x_n = b_n.

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.

Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = 7,

2x₁ + x₂ + 4x₃ - 2x₄ = 1,

x₁ - 3x₂ - 6x₃ + 5x₄ = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

A = .

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

M₃ = = 0, M₃ = = 0.

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы A рассмотрим окаймляющий минор

= = -35 0,

значит, ранг расширенной матрицы r(A) = 3. Поскольку r(A) r(A), то система несовместна.

5.2 Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

5.3 Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

= det (a_{i j})

и n вспомогательных определителей _i (i=), которые получаются из определителя заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

x _i = _i (i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x _i = _i / .

Если главный определитель системы и все вспомогательные определители _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 5,

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = -2,

2x₁ - 3x₂ - x₃ - 5x₄ = -2,

3x₁ + x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

= = -142 0,

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители _i (i=), получающиеся из определителя путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

₁ = = - 142, ₂ = = - 284,

₃ = = - 426, ₄ = = 142.

Отсюда x₁ = ₁/ = 1, x₂ = ₂/ = 2, x₃ = ₃/ = 3, x₄ = ₄/ = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)^T.

5.4 Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A¹B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A¹B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений

x₁ - x₂ + x₃ = 6,

2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

Решение. Обозначим

A = , X = (x₁, x₂, x₃)^T, B = (6, 3, 5) ^T.

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку = det =5 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

А¹ = 1/ .

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A¹B. В данном случае

A¹ =

и, следовательно,

= .

Выполняя действия над матрицами, получим:

x₁ = 1/5(16+33-25) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x₂ = 1/5 (-36 +13 - 15) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x₃ = 1/5 (16 - 23 + 35) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, С = (1, -2, 3)^T.

5.5 Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n; б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x _r+1, x _r+2,..., x_n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1r x_r = b₁ - a₁,_r+1 x_r+1 -... - a_1nx_n,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2r x_r = b₂ - a₂,_r+1 x_r+1 -... - a_2nx_n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a_r1 x₁ + a_r2 x₂ +... + a_rr x_r = b_r - a_r,_r+1 x_r+1 -... - a_rnx_n.

Ее можно решить относительно x₁, x₂,..., x_r, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x₁, x₂,..., x_r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все b_i = 0, т. е. она имеет вид:

a ₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = 0,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = 0, (5.5)

... ... ... ... ... ...

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x₁ = x₂ =... = x_n = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x₁, x₂,..., x_n)^T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число , что будет выполняться равенство

AX = X.

Число называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = X в виде (A - E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

(a₁₁ -)x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n =0,

a₂₁x₁ + (a₂₂ -)x₂ +... + a_2nx_n = 0,

... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)

a_n1x₁ + a_n2x₂ +... + (a_nn-)x_n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

= .

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной , которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения и решать обычным образом.

Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

x₁ + x₂ - 2x₃ - x₄ + x₅ =1,

3x₁ - x₂ + x₃ + 4x₄ + 3x₅ =4,

x₁ + 5x₂ - 9x₃ - 8x₄ + x₅ =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

.

Очевидно, что r(A) = r(A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

x₁ + x₂ - 2x₃ - x₄ + x₅ = 1,

- 4x₂ + 7x₃ + 7x₄ = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x₁ и x₂ отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

x₁ + x₂ = 2x₃ + x₄ - x₅ + 1,

- 4x₂ = - 7x₃ - 7x₄ + 1,

откуда x₂ = 7/4 x₃ + 7/4 x₄ -1/4, x₁ = 1/4 x₃ -3/4 x₄ - x₅ + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x₃, x₄, x₅ конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x₃ = x₄ = x₅ = 0 x₁= 5/4, x₂ = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

2x₁ - x₂ + x₃ + x₄ = 1,

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = 2,

x₁ + 7x₂ - 4x₃ + 11x₄ = a.

Решение.

Данной системе соответствует матрицаА=. Имеем А ~ ~ , следовательно, исходная система равносильна такой:

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = 2,

5x₂ - 3x₃ + 7x₄ = a-2,

0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x₂ = 3/5 + 3/5x₃ - 7/5x₄, x₁ = 4/5 - 1/5x₃ - 6/5x_4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

a₁ = (1, 1, 4, 2),

a₂ = (1, -1, -2, 4),

a₃ = (0, 2, 6, -2),

a₄ = (-3, -1, 3, 4),

a₅ = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, из которых хотя бы одно отлично от нуля (см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:

x₁ a₁ + x₂ a₂ + x₃ a₃ + x₄ a₄ + x₅ a₅ = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

x₁ + x₂ - 3x₄ - x₅ = 0,

x₁ - x₂ + 2x₃ - x₄ = 0,

4x₁ - 2x₂ + 6x₃ +3x₄ - 4x₅ = 0,

2x₁ + 4x₂ - 2x₃ + 4x₄ - 7x₅ = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

.

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x₁, x₂, x₄ отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

x₁ + x₂ - 3x₄ = x₅,

-2x₂ + 2x₄ = -2x₃ - x₅,

- 3x₄ = - x₅.

Имеем: x₄ = 1/3 x₅, x₂ = 5/6x₅+x₃, x₁ = 7/6 x₅ -x₃.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x₃ и x₅ не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x₁ a₁ + x₂ a₂ + x₃ a₃ + x₄ a₄ + x₅ a₅ = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x₅ = 6, x₃ = 1. Тогда x₄=2, x₂ = 6, x₁=6 и мы получим соотношение

6a₁ + 6a₂ + a₃ + 2a₄ + 6a₅ = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 2.19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

A = .

Решение. Вычислим определитель матрицы A - E:

= det= det

.

Итак, = ( - 2)² (+2)². Корни характеристического уравнения =0 - это числа ₁ = 2 и ₂ = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения в систему (5.6): при = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

x₁ - x₂ = 0, x₁ - x₂ = 0,

x₁ - x₂ = 0, 3x₂ -7x₃ - 3x₄ = 0,

3x₁ - 7x₃ - 3x₄ = 0, 5x₃ + x₄ = 0.

4x₁ - x₂ + 3x₃ - x₄ = 0,

Следовательно, собственному значению = 2 отвечают собственные векторы вида (8, 8, -3, 15), где - любое отличное от нуля действительное число. При = -2 имеем:

A - E = A +2E = ,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

x₁+3x₂ = 0,

x₂ = 0,

x₃+x₄= 0.

Поэтому собственному значению = -2 отвечают собственные векторы вида (0, 0,-1, 1), где - любое отличное от нуля действительное число.

5.6 Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач

Пример 2.20. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип	Способ раскроя
заготовки	1	2	3
А	3	2	1
Б	1	6	2
В	4	1	5

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.

Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +z должна равняться 360, т.е.

3x +2y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

x + 6y +2z = 300

4x + y + 5z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

.

Следовательно, исходная система равносильна следующей:

x + 6y +2z = 300,

2y +9z = 570,

-67z = - 4020.

Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Пример 2.21. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x _{i j} количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000, (5.7)

где x ₁₁, x ₁₂ - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

x_{2 1} + x₂₂ = 4000. (5.8)

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x ₃₁ = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид

x ₃₂ =3000. (5.9)

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

x ₁₁ + x ₂₁ = 8000. (5.10)

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:

4,3x ₁₁ + 7,8 x ₁₂ + 5,25 x ₂₁ + 6,4x ₂₂ + 3,25x ₃₂ = 58850. (5.11)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) - (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде:

4,3x ₁₁ + 7,8x ₁₂ +5,25x ₂₁ +6,4x ₂₂ = 49100,

и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x _11, x ₁₂, x ₂₁, x ₂₂, расширенная матрица которой имеет вид:

A = .

Преобразуем ее к треугольному виду:

A .

Наша система равносильна следующей:

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000,

- x ₁₂ + x ₂₁ = 2000,

x ₂₁ + x ₂₂ = 4000,

-2,35 x ₂₂ = - 4700,

откуда x ₂₂ = 2000, x ₂₁ = 2000, x ₁₂ = 0, x ₁₁ = 6000.

Пример 2.22.На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

Изделие	Выход из единицы сырья
	I	II	III	IV
А	2	1	7	4
Б	6	12	2	3

Решение. Обозначим через x₁, x₂, x₃, x₄ количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 94,

2x₁ + x₂ + 7x₃ + 4x₄ = 574,

6x₁ +12x₂ +2x₃ + 3x₄ = 328.

Решаем ее методом Гаусса:

.

Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x₄ - свободное. Исходная система равносильна следующей:

x₁ + x₂ + x₃ = 94 - x₄,

- x₂ + 5x₃ = 386 - 2x₄,

26x₃ = 2080- 9x₄.

Из последнего уравнения находим x₃ = 80 - 9/26 x₄, подставляя x₃ во второе уравнение, будем иметь: x₂ = 14 + 7/26x₄ и, наконец, из первого уравнения получим: x₁ = - 12/13 x₄. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x₁ и x₄ не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x₁ = - 12/13 x₄ получим: x₁ = x₄ = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.

Пример 2.23. Математическая модель межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:

, (5.12)

или, в матричной форме,

AX + Y = X, (5.13)

где А = (a _{i j}) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта.

Перепишем систему (5.13) в виде

(E - A) X = Y, (5.14)

где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

X = (E - A) ¹ Y. (5.15)

Здесь (E - A) ¹ - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b _{i j} матрицы (E - A) ¹ характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x _i в виде функций планируемых значений y _j конечных продуктов отраслей:

.

Пример 2.24. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где

A = ;

Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.

E - A = ,

значит,

Y= .

Пример 2.25. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где

A=.

Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или

(0,125 -)² - 0,140625 = 0 0,125 - = 0,375.

Следовательно, ₁ = 0,5; ₂ = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу X = (E - A) ¹ Y. Найдем обратную матрицу для матрицы

E - A=.

Обозначим B = E-A, тогда .

Следовательно,

X = .

III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

6. Предел функции

6.1 Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

x_n - a < . (6.1)

Записывают это следующим образом: или x_n a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- < x_n < a + , (6.2)

которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-, a+), т.е. попадают в какую угодно малую -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при xa, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при xa, если, задав произвольное как угодно малое положительное число , можно найти такое >0 (зависящее от ), что для всех x, лежащих в -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < x-a < , значения функции f(x) будут лежать в -окрестности числа А, т.е. f(x)-A < .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке - “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x a имеет предел, равный А, это записывается в виде

f(x) = A. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

f(x) = (f(x) = - ).

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы f(x)=A, g(x)=B, то

(f(x)+(g(x)) = A + B, (6.4)

f(x) g(x) = AB, (6.5)

f(x)/g(x) = A/B (B 0). (6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0, /, 0 , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

(f(x)) = ( f(x)) ^, где = const, (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

b^f(x) =b^A, где b = const, f(x)=A; (6.8)

log_c f(x) = log_c f(x), где c = const. (6.9)

Теорема 3. = 1, = 1, a = const, a >0,

= 1, (6.10)

(1 + )^1/ = e, (6.11)

где e 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

= log_c e, (6.12)

(a - 1)/ = ln a, (6.13)

((1 + ) - 1)/ = , (6.14)

в частности,

= 1.

Eсли x a и при этом x > a, то пишут x a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если xa и при этом x<a, то пишут xa-0. Числа и называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при xa необходимо и достаточно, чтобы =.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x_o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x_o)= f(0) не определено, поэтому в точке x_o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если

,

и непрерывной слева в точке x_o, если

.

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если существует и не равен f(x_o), то говорят, что функция f(x) в точке x_o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если равен или не существует, то говорят, что в точке x_o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x +0 имеет предел, равный +, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я.И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 (1 +1/3) 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 (1 +1/10)¹⁰ 259 (ден. ед.),

100 (1+1/100)¹⁰⁰ 270 (ден. ед.),

100 (1+1/1000)¹⁰⁰⁰ 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

= e.

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x_n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы >0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство x_n -1 <.

Возьмем любое >0. Так как x_n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<. Отсюда n>1/ и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/, N = E(1/). Мы тем самым доказали, что x_n = 1.

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом x_n = .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x_n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n², а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

x_n = .

Пример 3.3. x_n = . Найти x_n.

Решение. =.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4. Найти ().

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида - . Преобразуем формулу общего члена:

= .

Пример 3.5. Дана функция f(x)=2^1/x. Доказать, что не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x_n }, сходящуюся к 0, т.е. x_n =0. Покажем, что величина f(x_n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x_n = 1/n. Очевидно, что 1/n =0, тогда = 2ⁿ = +. Выберем теперь в качестве x_n последовательность с общим членом x_n = -1/n, также стремящуюся к нулю. = 2 ⁿ= 1/2ⁿ = 0. Поэтому 2 ^1/x не существует.

Пример 3.6. Доказать, что sin x не существует.

Решение. Пусть x₁, x₂,..., x_n,... - последовательность, для которой x_n = . Как ведет себя последовательность {f(x_n)} = {sin x_n } при различных x_n ?

Если x_n= n, то sin x_n= sin n = 0 при всех n и sin x_n =0. Если же x_n=2n+/2, то sin x_n= sin(2n+/2) = sin /2 = 1 для всех n и следовательно sin x_n =1. Таким образом, sin x не существует.

Пример 3.7. Найти .

Решение. Имеем: = 5. Обозначим t = 5x. При x0 имеем: t0. Применяя формулу (3.10), получим 5.

Пример 3.8. Вычислить .

Решение. Обозначим y=-x. Тогда при x, y0.Имеем:

sin 3x = sin 3(-y) = sin (3-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(-y) = sin (4-4y)= - sin 4y.

=- .

Пример 3.9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x0 t0. =.

Пример 3.10. Найти 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: =.