Интегрирование иррациональных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточная государственная социально-гуманитарная академия»

Кафедра высшей математики и методики обучения математике

Курсовая работа

Интегрирование иррациональных функций

Выполнила: студентка 3 курса группы 1271

Абрывалина Т.С.

Биробиджан, 2009

Содержание

Введение

1. Вводные понятия и свойства

2. Интегрирование иррациональных функций

2.1 Интегрирование алгебраических иррациональностей

2.2 Интегрирование биномиальных дифференциалов

2.3 Интегрирование функций вида

2.4 Тригонометрические подстановки

Заключение

Приложение А.Тестовые задания

Приложение В. Задания для самостоятельной работы

Список используемой литературы

Введение

Существует множество различных функций. Линейные, квадратные, показательные, логарифмические, тригонометрические, иррациональные, гиперболические функции, но не все они являются простыми для изучения и исследования. Функции встречают нас везде, в математике, физике, химии, медицине, во всех видах производства и строительства. В связи с этим мы должны уметь работать с ними. В своей работе я покажу, как работать с иррациональными функциями, а именно, как найти интеграл от иррациональной функции.

Далеко не всякая функция способна быть производной (т.е. иметь первообразную).

Любая функция, непрерывная на промежутке, имеет на этом промежутке первообразную.

Эта теорема является одной из главных в интегральном исчислении. Существует еще один вопрос: если первообразная данной функции существует, то как ее найти. Доказательство этой теоремы не содержит указаний на то, как это сделать применительно к конкретной функции. А чаще всего сделать это бывает очень не просто.

Найти интеграл для функции, или выразить её первообразную через элементарные функции довольно сложно. Данная тема является очень сложной, именно по этому она не затрагивается в школьном курсе. [1]

Существует большое количество функций, для которых отыскание первообразных является затруднительным. Целью моей курсовой работы является показать, как интегрируются иррациональные функции.

В соответствии с целью исследования определены следующие задачи:

1) Выделить основные виды иррациональных функций;

2) Показать приемы интегрирования этих функций;

3) Подобрать и прорешать типовые задачи по теме исследования;

4) Составить тестовые задания по данной теме.

1. Водные понятия и свойства

Понятие первообразной функции.

Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная функция f(x).

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на (a;b) и F?(x) = f(x).

Пример:

1) - есть первообразная для функции на , т.к.

2) первообразная для функции на , т.к.

Теорема: Если функция F(x) - первообразная для f(x) на (a;b), то функция F(x)+C - также первообразная для f (x), где C - любое постоянное число.

Теорема: Если F1(x) и F2(x)- две первообразные для функции f(x) на (a;b),то F1(x)-F2(x)=C на (a;b), где C- некоторая постоянная.

Следствие: Если F(x) - первообразная для f(x) на (a;b), то любая другая первообразная Ф(x) для f(x) на (a;b) имеет вид

Ф(x) = F(x) + C

Множество всех первообразных для f(x) на (a;b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом



Знак ? - называется интегралом,

- подынтегральное выражение,

- подынтегральная функция.[7]

Если F(x) - одна из первообразных для f(x), то

Свойства определённого интеграла

1)

2)

3)

4)

5)

Примеры

1)

2)

3)

Простейшие приемы интегрирование

Одним из сильнейших приемов для интегрирования функций является метод замены переменной или подстановки.

Предположим, что в интервале [a,b]

Теорема 1. Пусть дана функция , где непрерывна вместе со своей первой производной в интервале [a,b], и пусть для всех точек x интервала [a,b]. Значит

Примеры

1)

2)

Теорема 2. Интегрирование по частям.

Допустим, что u, v - функции от переменной x,непрерывные и имеющие производные в интервале (a,b). Имеем тогда

Беря неопределённые интегралы от обеих частей, и учитывая, что

получим

Пример:

1)

[2,7]

Интегрирование рациональных дробей.

Неопределённый интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших.

Рациональной дробью называется выражение вида , где и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду

,

где - многочлен (целая часть при делении), а - правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому

Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие дроби.

Простейшими являются дроби следующих типов:

1.;

2. ;

3. ;

4.

При этом предполагается, что A, B, p, q - действительные числа, а квадратный трехчлен в дробях 3 и 4 типов не имеет действительных корней.

Теорема 3. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на неповторяющиеся линейные и квадратные множители

Можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где A₁,A₂,...,B₁,B₂,...,C₁,C₂,...,M₁,N₁,... -- некоторые действительные коэффициенты. Обычно неизвестные коэффициенты находятся с помощью метода неопределённых коэффициентов. [3]

Пример: Найти интеграл

Подынтегральное выражение имеет вид , разложим знаменатель дроби на множители и получим

Таким образом, . Значит

Тогда найдем исходный интеграл



первообразный функция иррациональный интегрирование

2. Интегрирование иррациональных функций

2.1 Интегрирование алгебраических иррациональностей

Основным приемом интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений является отыскание таких подстановок t=щ(x), которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в конечном виде в функции от t. Если при этом сама функция щ(x), которую надлежит подставить вместо t, выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от x.

Такой приём называется методом рационализации подынтегрального выражения. [4]

Интегрирование функций , где - рациональные числа.

Интеграл вида

(1)

сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены

,

где - общий знаменатель дробей .

Действительно, в этом случае

, ;

, , …, ,

где , , …, - целые

Тогда

.

[5]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл

Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и

Возвращаясь к переменной , окончательно получаем

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получаем

.

Частным случаем является функция вида , которую называют дробно-линейной иррациональностью, где a, b, c, d - постоянные числа, m - натуральное число, ad - bc ? 0.

Замена рационализирует интеграл. В самом деле, , откуда - рациональная функция от t.

Поэтому

= [6]

ПРИМЕР 3. Вычислить

Пологая , получим .

Таким образом =

2.2 Интегрирование биномиальных дифференциалов

Дифференциальным биномом называется выражение вида

,

где - рациональные числа, - действительные числа.

Как доказал П.Л. Чебышев, интеграл выражается через элементарные функции только в трех случаях:

1) - целое число. Тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены , где - общий знаменатель дробей и .

2) - целое число. В этом случае интеграл рационализируется с помощью замены , где - знаменатель дроби .

3) - целое число. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену , где - знаменатель дроби .

[5]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл .

Это интеграл от дифференциального бинома:

,

где , , . Так как число является целым, то интеграл выражается через элементарные функции. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену . Откуда находим,

и

.

Возвращаясь к старой переменной , окончательно получаем

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Это интеграл от дифференциального бинома:

,

где , , . Так как - целое число, то интеграл выражается через элементарные функции. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену . Откуда находим,

и

.

Из находим, что . Подставляя это выражение в результат интегрирования, окончательно получаем

.

ПРИМЕР 3. Найти интеграл

Это интеграл от дифференциального бинома

,

где , значит, используем подстановку , получаем, что

Возвращаясь к первоначальной подстановке, получаем

2.3 Интегрирование функций вида

Среди интегралов от иррациональных функций большое практическое применение имеют интегралы вида . Одним из приемов их решения является метод неопределенных коэффициентов.

Интегралы вида очень часто удается свести к вычислению интегралов следующих трех типов:

(I) , (II) ,

(III) ,

где - многочлен степени , - натуральное число.

Интегралы типа (II) и (III) в свою очередь сводятся к интегралу типа (I). Действительно, Для интеграла типа (II) имеем:

,

где - некоторый многочлен степени .

А для приведения интеграла типа (III) к интегралу типа (I) применяют так называемую «обратную подстановку» . Тогда

,

и

,

где - многочлен степени , ,, - некоторые числа.

Теперь рассмотрим интегралы типа (I). Можно доказать, что

, (2)

где - некоторый многочлен, степень которого ниже чем степень многочлена , - некоторое число. Это позволяет использовать при вычислении интегралов (I) следующий алгоритм (метод неопределенных коэффициентов):

1.Записываем для интеграла (I) формулу (2), в которой полагаем, - неопределенный коэффициент, а - многочлен степени с неопределенными коэффициентами.

2.Дифференцируем обе части записанного равенства и умножаем обе части получившегося выражения на .

3.Сравнивая коэффициенты, при одинаковых степенях многочленов слева и справа, находим коэффициенты многочлена и число .

Используя этот алгоритм, мы в итоге сведем интеграл к интегралу , который легко находится (выделяем полный квадрат под корнем и вносим соответствующее выражение под знак дифференциала). [4]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл .

Записываем для данного интеграла формулу (2):

.

Дифференцируем обе части равенства и получаем:

.

Умножаем обе части равенства на и находим:

,

,

Таким образом, получили

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Приведем интеграл к виду (I). Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегральной функции на :

.

Записываем для данного интеграла формулу (2):

.

Дифференцируем обе части равенства и получаем:

.

Умножаем обе части равенства на и находим:

,

,

Таким образом, получили:

.

2.4 Тригонометрические подстановки

Среди интегралов от иррациональных функций большое практическое применение имеют интегралы вида . Такие интегралы можно находить с помощью тригонометрических подстановок.

Выделим полный квадрат под знаком радикала:

,

а затем сделаем замену .

В результате получим один из следующих интегралов:

или или .

Эти интегралы в свою очередь сводятся к интегралу от функции вида . Делается это с помощью одной из трех подстановок, называемых тригонометрическими:

1) (или ) для ;

2) (или ) для ;

3) (или ) для .

После их применения под знаком корня оказывается квадрат некоторой тригонометрической функции, что и позволяет избавиться от иррациональности.[7]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл .

Полагаем . Тогда

и.

Следовательно,

.

Теперь из находим, что и, подставляя в результат интегрирования, окончательно получаем

.

Замечание. Так как

и ,

то окончательный ответ можно записать в виде

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Полагаем . Тогда

и.

Следовательно,

.

Чтобы найти получившийся интеграл, еще раз сделаем замену. Полагаем . Тогда , и



.

Так как , то получившийся ответ можно записать в виде

,

где . Теперь из находим, что и

.

Таким образом, окончательно получим

.

Замечание. Используя формулу , окончательный ответ можно записать в виде

.

ПРИМЕР 3. Найти интеграл .

Выделим полный квадрат в под знаком радикала:

и сделаем замену

, .

Тогда

.

Получившийся интеграл можно найти двумя способами: 1) это интеграл от дифференциального бинома, для которого число - целое; 2) к этому интегралу можно применить тригонометрическую подстановку . Воспользуемся вторым способом. Тогда

и .

Следовательно,

.

Из теперь находим

,

и, подставляя в результат интегрирования, окончательно получаем

Замечания. 1) Если использовать формулу , то окончательный ответ можно записать в виде

.

2) Интеграл , к которому нас привела первая замена, носит промежуточный характер. Решение было бы более коротким, если бы мы сразу перешли от исходного интеграла к интегралу . Этого можно добиться, если «объединить» замены, т.е. после выделения полного квадрата под знаком радикала сделать замену .

Эти интегралы можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых легко найти, внеся знаменатель под знак дифференциала, а другой - табличный. [3]

ПРИМЕР 4. Найти интеграл .

Выделим полный квадрат под знаком радикала:



и сделаем замену . Тогда , и

.

Чтобы найти получившийся интеграл, представим его в виде суммы:

.

Возвращаясь к старой переменной , окончательно получим

.

Заключение

В процессе обучения, рассмотрев тему «Производные», мы переходим к разделу «Интегралы». Данная тема является не только объёмной, но и достаточно сложной, особенно, достаточно сравнить процесс вычисления производных и процесс нахождения интегралов различных функций. Изучая эту тему, многие студенты сталкиваются с огромной проблемой. Это связано с тем, что существует большое количество функций, отыскать первообразную для которых не всегда легко, и ещё сложнее выразить эту первообразную через элементарные функции. Примером таких функций являются иррациональные функции.

В своей курсовой работе я показала, как необходимо действовать, если перед нами ставится задача найти интеграл от функции , которая является иррациональной. Основным методом является отыскание таких подстановок , которые позволяют привести подынтегральное выражение к рациональному виду, более удобному для интегрирования.

В ходе работы были выделены основные виды иррациональностей, а также определены подстановки, которые позволяют рационализировать те или иные функции.

Приложение А. Тестовые задания

1. Если функция F(x) дифференцируема на (a;b) и F?(x) = f(x),то F(x) является

1) первообразной;

2) дифференциалом;

3) производной.

2. Если F1(x) и F2(x)- две первообразные для функции f(x) на (a;b), а C- некоторая постоянная,

1) ;

2) F1(x)-F2(x)=C;

3) .

3. Интеграл вида

сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены

, где -

1) наибольшая из дробей ;

2) общий знаменатель дробей ;

3) наименьший знаменатель ;

4. Какую подстановку необходимо ввести, чтоб найти интеграл

1) ;

2) ;

3) .

5. Выражение вида , где - рациональные числа, - действительные числа, называется

1) дифференциальным биномом;

2) биномом Ньютона;

3) интегральным биномом.

6. Если - целое число. В этом случае интеграл рационализируется с помощью замены

1) , где - общий знаменатель дробей и ;

2) , где - знаменатель дроби ;

3) , где - знаменатель дроби .

7. Если при интегрировании выражения используется подстановка , значит

1) - целое число;

2) - целое число;

3) - целое число.

8. Если подынтегральная функция имеет вид , то для интегрирования используется тригонометрическая подстановка

1) ;

2) ;

3) .

Ключ к тестам

1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	2	3	1	2	3	1

Приложение В. Задания для самостоятельной работы.

Найти интегралы:

1)	11)	21)
2)	12)	22)
3)	13)	23)
4)	14)	24)
5)	15)	25)
6)	16)	26)
7)	17)	27)
8)	18)	28)
9)	19)	29)
10)	20)	30)

Список используемой литературы:

1) Хавин В.П. Основы математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной вещественной переменной. - Издательство «Лань», 1998.

2) Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Курс высшей математики и математического анализа. Т 1, 1999.

3) http://ru.wikipedia.org/wiki/

4) http://www.google.ru/search

5) Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трёх томах. Том II - СПб.: Издательство «Лань», 1997.

6) Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Ошибка! Ошибка связи. - издательство «Феникс» 1997.

7) Никольский С.М. Курс математического анализа: Учебник для вузов.- 6-ое изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

8) Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1курс/ Лунгу К.Н, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин.- 6-ое изд. - М.: Айрис-пресс, 2007.

Размещено на Allbest.ru