В настоящее время понятия арксинуса, арккосинуса числа и т.д. вводятся без обращения к функции, которая является обратной по отношению соответственно к функциям синус, косинус и т.д. В качестве основы введения указанных понятий используется так называемая теорема о корне. Указанная теорема применяется и для введения способа решения простейших тригонометрических уравнений. Это требует выделять в процессе получения формул, задающих множества их решений, несколько пунктов: 1) рассматривается промежуток, длина которого равна наименьшему положительному периоду функции, представленной в левой части уравнения и на котором определено понятие арксинуса, арккосинуса или арктангенса числа (в зависимости от предложенного уравнения); если эта функция - синус или косинус, то промежуток разбивается на два); 2) данное уравнение решается на каждом промежутке; основой решения служит теорема о корне, которая конкретизируется для соответствующей тригонометрической функции; 3) на основе свойства периодичности рассматриваемой тригонометрической функции делается вывод о том, что числа или (здесь - решение уравнения, принадлежащее выделенным промежуткам) являются решениями данного уравнения; этот вывод используется для получения формулы решений.

Рекомендуем предложить учащимся и другой способ получения формулы решений простейшего тригонометрического уравнения. Раскроем его суть, обратившись к решению уравнения ( и ).

Так как , то данное уравнение обязательно имеет решения, одно из которых принадлежит промежутку . Обозначим его . Тогда . С учетом принятых обозначений данное уравнение приводим к виду: . Преобразуем левую часть уравнения в произведение: ; это дает возможность заменить данное уравнение равносильной совокупностью простейших тригонометрических уравнений или . Используя свойство функций синус и косинус (множество корней), получаем: или . Теперь осталось выразить через (или ) и записать общую формулу для нахождения решений уравнения.

Предложим рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся на втором этапе обучения решению тригонометрических уравнений. При этом будем ориентироваться на использование второго способа получения общей формулы решений простейшего тригонометрического уравнения.

Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических уравнений можно, обратившись, например, к уравнениям , . Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенные уравнения к виду ; , но могут затрудниться в нахождении множества решений каждого из полученных уравнений. Указанных затруднений можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга), но и в этом случае остается открытым вопрос: нельзя ли получить общие формулы для записи множеств решений тригонометрических уравнений вида , ( и ), (), которые дадут возможность сразу фиксировать искомые множества.

Во-вторых, следует обратить внимание учащихся, что получение общих формул для записи множеств решений уравнений указанного вида предполагает введение понятий арксинуса, их арккосинуса числа и т.д. Ввести эти понятия должен учитель, демонстрируя школьникам применение теоремы о корне к каждой из тригонометрических функций на определенном множестве. При этом целесообразно обратиться к графическому способу решения задачи о нахождении множества решений уравнения вида , , на промежутках , и соответственно (решить такую задачу учащиеся могут самостоятельно).

В-третьих, следует провести работу по формированию у учащихся умений находить значения выражений вида , , при данных значениях . С этой целью полезно предложить учащимся задания типа

1) Вычислить: ;

2) Найти значение выражения: и т.п.

Учитель должен обратить внимание учащихся на способ выполнения каждого из заданий, дать соответствующий образец. В первом случае способ задается следующим предписанием: нужно найти такое действительное число , которое удовлетворяет двум условиям (укажем эти условия, имея в виду пример : это число принадлежит промежутку ; синус искомого числа равен , то есть и . Способ выполнения второго задания основан на применении понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т.д. и, возможно, тригонометрических тождеств. Особое внимание следует обратить на выполнение последнего примера этого задания.

В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических уравнений. Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:

1)Разложить на множители: .

2)Решить уравнение: . Выполнение учащимися приведенных заданий следует заключить выводом о том приеме, который лежит в основе решения данных уравнений: привести уравнение к виду , разложить левую часть на множители, воспользоваться условием равенства нулю произведения и заменить уравнение равносильной совокупностью уравнений, каждое из уравнений совокупности решить, используя факт о множестве корней соответствующей тригонометрической функции.

В-пятых, начать работу по введению способа решения простейших тригонометрических уравнений следует с постановки вопроса: при каких значениях параметра уравнение вида (,,) имеет (не имеет) действительного решения и почему. Выделение множества решений параметра, при которых указанное уравнение разрешимо в , дает основание для поиска способа его решения. Заметим, что в практике обучения школьникам достаточно разъяснить суть такого способа для одного из уравнений, например, , . При этом нужно лишь обратить внимание учащихся на то, что если мы заменим число значением функции синус некоторого аргумента, то данное уравнение сводится к уравнению, способ решения которого уже известен. Поэтому, по сути, большая часть работы, связанной с получением формулы решений рассматриваемого уравнения, может быть выполнена учащимися самостоятельно. Учитель выступает в роли консультанта и помогает школьникам сделать обобщения. Получение формул, задающих множества решений уравнений , целесообразно представить учащимся для самостоятельной работы.

В-шестых, от учащихся не рекомендуется требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического уравнения с помощью графика или тригонометрического круга. Но обратить внимание на ее целесообразность следует (в особенности на применение круга), так как в последующем при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства.

Последующее формирование у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения осуществляется в основном в процессе самостоятельного решения школьниками уравнений, среди которых - уравнения, приводящиеся к простейшим или их совокупностям после выполнения преобразований тригонометрических выражений. В список предлагаемых учащимся уравнений рекомендуем включить такие, которые сводятся к виду

и т.п.

Аналогичные задания могут служить средством контроля за сформированностью у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения.

В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения сделаем лишь два замечания.

Во-первых, знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических уравнений, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому уравнению = типичному представителю определенного вида совместный поиск (учитель - учащиеся) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие уравнения этого же вида обобщение-вывод о характеристиках уравнений рассматриваемого вида и общем приеме решения этих уравнений.

Во-вторых, чтобы, с одной стороны, систематизировать знания учащихся о приемах решения тригонометрических уравнений, а с другой, продемонстрировать достаточную «условность» отнесения ряда уравнений к определенному виду, рекомендуем специально показать школьникам возможность применения различных приемов решения к одному и тому же уравнению. Для этого целесообразно обратиться к «хорошему уравнению, установить все те приемы, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях, выделить прием, который в рассматриваемой ситуации оказывается наиболее рациональным.

В качестве такого «хорошего» уравнения можно предложить, например, следующее .

Это уравнение может быть приведено

1) к виду однородного относительно и

2) к квадратному относительно с помощью универсальной подстановки

;

3) к простейшему тригонометрическому вида

после применения приема введения вспомогательной переменной.

Сравнение приемов решения уравнения в каждом из указанных случаев свидетельствует, что наиболее рациональным является приведение данного уравнения к простейшему тригонометрическому, так как процесс решения состоит из наименьшего числа операций, выполнение каждой из этих операций не может нарушить равносильность исходного и полученного уравнений, запись ответа более компактна.

В заключение приведем примеры тригонометрических уравнений, которые рекомендуем предложить учащимся для самостоятельного решения:

1 группу составляют тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на определениях и некоторых свойствах тригонометрических функций.

а) ; б) ; в) ; г)

2 группу составляют простейшие тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на определениях тригонометрических функций и понятиях арксинуса, арккосинуса и арктангенса числа.

а) ; б) ; в) ;

г) ;

3 группа задач объединяет тригонометрические уравнения, решение которых потребует выполнения тождественных преобразований тригонометрических и алгебраических выражений для приведения данного уравнения к одному из известных видов.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

2.3 Методика формирования умений решать тригонометрические неравенства

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, также можно выделить 3 этапа.

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;

3. введение тригонометрических неравенств других видов.

Цель подготовительного этапа состоит в том, что необходимо сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг или график для решения неравенств, а именно:

- умения решать простейшие неравенства вида sinx > 1, sinx <-1 , cos x > 1, cosx < -1 с помощью свойств функций синус и косинус;

- умения составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;

- умения выполнять различные преобразования тригонометрических выражений.

Реализовать этот этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо под руководством учителя, либо самостоятельно, а так же навыки наработанные при решении тригонометрических уравнений.

Приведем примеры таких заданий:

1. Отметьте на единичной окружности точку , если

.

2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка, если

равно:

3. Отметьте на тригонометрической окружности точки , если:

4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.

а) б) в)

5. Дана дуга МР. М - середина I - ой четверти, Р - середина II-ой четверти.

Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство)

а) дуги МР;

б) дуги РМ.

6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

7. Решите неравенства sinx > 1, sinx <-1 , cos x > 1, cosx <-1

8. Преобразовать выражение sin5xcos4x-cos5xsin4x

Обратим внимание на задания 5 и 6. Естественно, именно оно лежит в основе решения простейшего тригонометрического неравенства.

Неравенства, характеризующие дугу, мы предлагаем составлять в 2 шага. На первом шаге составляем «ядро» записи неравенства (это, собственно говоря, главное к чему следует научить школьников); для заданной дуги МР получим . На втором шаге составляем общую запись:

, .

Если же речь идёт о дуге РМ, то при записи «ядра» нужно учесть, что точка А(0) лежит внутри дуги, а потому к началу дуги нам приходиться двигаться по первой отрицательной окружности. Значит, ядро аналитической записи дуги РМ имеет вид , а общая запись имеет вид. ,

При решении задания 7, следует особо обратить внимание на значимость свойств тригонометрических функций.

На втором этапе обучения решению тригонометрических неравенств можно предложить следующие рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся. При этом будем ориентироваться на уже имеющиеся у учащихся умения работать с тригонометрической окружностью или графиком, сформированные во время решения простейших тригонометрических уравнений.

Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических неравенств можно, обратившись, например, к неравенству вида . Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенное неравенство к виду; , но могут затрудниться в нахождении множества решений полученного неравенства, т.к. только лишь используя свойства функции синус решить его невозможно. Этого затруднения можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга).

Во-вторых, учитель должен обратить внимание учащихся на различные способы выполнения задания, дать соответствующий образец решения неравенства и графическим способом и с помощью тригонометрического круга.

Предлагаем такие варианты решения неравенства

1. Решение неравенства с помощью круга.

Решим тригонометрическое неравенство .

На первом занятии по решению тригонометрических неравенств предложим учащимся подробный алгоритм решения, который в пошаговом представлении отражает все основные умения, необходимые для решения неравенства.

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен .

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем . Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, "пройдем" по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги .

Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде

Внимательно рассмотрите рисунок и разберитесь, почему все решения неравенства могут быть записаны в виде

Обратить внимание учащихся на то, что при решении неравенств для функции косинус, прямую проводим параллельно оси ординат.

1. Графический способ решения неравенства.

Строим графики и , учитывая, что

Затем записываем уравнение и его решение , найденное с помощью формул .

(Придавая n значения 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения). Значения являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . Очевидно, что всегда на интервале () выполняется неравенство , а на интервале () - неравенство . Нас интересует первый случай, и тогда добавив к концам этого промежутка число, кратное периоду синуса, получим решение неравенства в виде: ;

Подведём итог. Чтобы решить неравенство , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: .

В-третьих, факт о множестве корней соответствующего тригонометрического неравенства очень наглядно подтверждается при решении его графическим способом.

Необходимо продемонстрировать учащимся, что виток, который является решением неравенства, повторяется через один и тот же промежуток, равный периоду тригонометрической функции. Так же можно рассмотреть аналогичную иллюстрацию для графика функции синус.

В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических неравенств.

Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:

В-пятых, от учащихся необходимо требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического неравенства с помощью графика или тригонометрического круга. Обязательно следует обратить внимание на ее целесообразность, в особенности на применение круга, так как при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства

В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства сделаем лишь два замечания.

Во-первых, знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических неравенств, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому неравенству обращение к соответствующему тригонометрическому уравнению совместный поиск (учитель - учащиеся) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие неравенства этого же вида.

Во-вторых, чтобы систематизировать знания учащихся о тригонометрии, рекомендуем специально подобрать такие неравенства решение которых требует различных преобразований, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях.

В качестве таких продуктивных неравенств можно предложить, например, следующие

В заключение приведем примеры тригонометрических неравенств, которые рекомендуем предложить учащимся для самостоятельного решения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

Итак, в теме «Тригонометрические неравенства» мы предлагаем изучать только то, что даст возможность школьникам почувствовать именно специфику тригонометрических неравенств.

Педагогический эксперимент

Предметом исследования является система тригонометрических уравнений и неравенств, направленная на развитие умений решать тригонометрические уравнения и неравенства

Объект исследования - процесс обучения математике.

Гипотеза эксперимента: если в процессе изучения тригонометрического материала использовать разработанную методику, то это будет способствовать осознанному и качественному формированию умений решать тригонометрические неравенства.

Цель: заключается в выявлении и обосновании возможности использования данной методики для формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств при обучении математике;

2. Разработать методику формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений;

3. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

- анализ психолого-педагогической и методической литературы;

- теоретический метод;

- практический метод.

Ход эксперимента можно разбить на три этапа:

Ш Диагностирующий;

Ш Обучающий;

Ш Диагностирующий

База исследования: Средняя общеобразовательная школа №2 г. Каргополя.

Диагностирующий этап эксперимента

В качестве испытуемых 19 учеников 10 «Г» класса средней школы №2 г. Каргополя. Среди учеников были хорошо успевающие, но преимущественно отстающие ученики.

Целью этапа является выявление уровня сформированности основных умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Для реализации цели, поставленной на данном этапе, были сформулированы следующие задачи:

1. Выявить умение учащихся определять положение точки на единичной окружности, соответствующей данному углу;

2. Установить умение учащихся отмечать угол соответствующий конкретному значению конкретной тригонометрической функции;

3. Проверить умения определять принадлежность угла соответствующей четверти и оперировать с формулами приведения;

4. Вычислять значения тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций некоторых углов (как положительных, так и отрицательных);

Для реализации данных задач были использованы методы:

- контрольная работа;

- наблюдение.

Учащимся была предложена контрольная работа, состоящая из 7 заданий. Задания контрольной работы были выбраны в соответствии с умениями, необходимыми для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Текст самостоятельной работы

1. Отметьте на единичной окружности точку , если

.

2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка, если

равно:

4. Отметьте на тригонометрической окружности точки , если:



4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.

а) б) в) г) д)

5. Дана дуга МР. М - середина I - ой четверти, Р - середина II-ой четверти.

Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство)

а) дуги МР;

б) дуги РМ.

6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

7. Решите неравенства sinx > 1, sinx <-1 , cos x > 1, cosx <-1

8. Преобразовать выражение cos5xcos4x-sin5xsin4x

Результаты диагностирующего эксперимента.

Результаты контрольной работы отражены в таблице в количественном и процентном отношении.

Решили здание на обозначение точки на окружности	73,6%
Решили задания на принадлежность угла соответствующей четверти	42,1%
Отметили угол по значению функции	42,1%
Преобразование функции к углу I четверти	26,3%
Составили двойные неравенства для дуг окружности	42,1%
Составили тригонометрические неравенства для дуг графика функции	68,4%
Решили неравенства с помощью свойств функции	36,8%
Преобразовали выражение	73,62%

1 задание: (задание на обозначение точки).

Справилось 14 человек.

Ошибки: Неверное деление на доли тригонометрической окружности. Неверное определение четверти.

2 задание: (задание на принадлежность угла к координатной четверти).

Справилось 8 человек.

Ошибки: Неумение определять положение отрицательного угла. Неверное представление десятичной дроби к виду обыкновенной.

3 задание: (определение угла по значению конкретной функции). Справилось 8 человек.

Ошибки: Определение не пар точек у функций синус и косинус, а только одной. Для функции y = tgx учащиеся отмечают точку не на окружности, а на прямой, изображающей линию тангенса

4 задание: (задание на преобразование угла к острому).

Справилось 5 человек.

Ни один из учеников не ответил правильно на все формулы. Вероятно, что у учеников нет чёткого понимания принадлежности угла к интервалу

5 задание: (составление двойных неравенств для дуг тригонометрической окружности)

Справилось 8 человек.

Ошибки: сложность вызывает определение дуги, расположенной ниже мнимой прямой МР, а именно обозначение той точки дуги, которая обозначается отрицательным значение .

6 задание: (составление двойных неравенств для дуг графика тригонометрической функции).

Справилось 13 человек.

Ошибки: Учащиеся затрудняются в определении направления той дуги, которая расположена в левой части графика, т.е. граничные значения которых имеют отрицательное значение. «Они ведут по дуге от центра»

7 задание: (решение тригонометрических неравенств с помощью свойств тригонометрических функций).

Справилось 7 человек.

Ошибки: Сложно выделить трудности, т.к. учащиеся, не справившиеся с заданием, не приступали к его выполнению.

8 задание: (преобразование выражения)

Справилось 14 человек.

Ошибки: Используется аналогия с формулой синуса разности.

В результате наблюдения работы учащихся у доски, а так же в ходе устной работы было замечено, что учащиеся более верно выполняют задания под руководством учителя.

Таким образом, анализ результатов самостоятельной работы и наблюдений показал что:

1. Учащиеся не уделяют должного внимания определению области применимости некоторых формул и правил;

2. Определяют точку на единичной окружности -73,6% учащихся;

Определяют принадлежность угла соответствующей четверти - 42,1% учащихся;

Отмечают угол по значению функции - 42,1 % учащихся;

Выполняют задание на преобразование угла к острому - 26,3% учащихся;

Составили двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности- 42,1% учащихся;

Составили двойные неравенства для дуг графика тригонометрической функции- 68,4% учащихся;

Решили тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций-36,8% учащихся;

Упрощают выражение - 73,6 % учащихся.

Это говорит о том, что при обучении учащихся решать тригонометрические уравнения и неравенства необходимо акцентировать внимание учащихся на работу с тригонометрической окружностью.

Обучающий эксперимент

Целью данного этапа является формирование у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Для реализации поставленной цели сформулированы следующие задачи:

1. В соответствии с результатами предыдущего этапа внести коррективы в разработанную методику формирования у учащихся решать тригонометрические неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений;

2. Применять данную систему задания на уроках и дополнительных занятиях со слабыми учащимися.

3. Организовать деятельность учащихся на занятиях, направленную на формирование умений решать тригонометрические неравенства.

Для реализации данных задач были проведены уроки и дополнительные занятия. Содержание этих занятий включало в себя теоретическую и практическую часть.

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства

Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси абсцисс точку . Проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, косинус которых равен

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие косинус больший, чем . Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги .

Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции косинус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде .

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства

Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную полуокружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.

Шаг 2. Выделим дугу, для точек которой тангенс больше или равен -1. Один из концов этой дуги уже обозначен числом .

Шаг 3. Второй конец дуги в случае решения неравенств с тангенсом всегда можно обозначить как арктангенс соответствующего числа. В данном случае это арктангенс -1, то есть . Теперь, учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом , получаем решения неравенства:



Внимательно рассмотрите рисунок и разберитесь, почему все решения неравенства могут быть записаны в виде

Решим тригонометрическое неравенство

Неравенства такого вида , в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, , а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство , решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства

Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен .

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем . Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги, например, справа. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

Шаг4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому против часовой стрелки, учитывая, что числа, которые мы будем проходить, увеличиваются. Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги .

Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство .

Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде .

Фрагмент урока направленный на развитие умения решать тригонометрические уравнения

Решим тригонометрическое уравнение tg x = -1

Шаг 1. Начертим единичную окружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.

Шаг 2. Точки пересечения проведенной прямой с окружностью это и есть решения данного уравнения, в данном случае это арктангенс -1, то есть и .

Шаг 3. Учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом ?, получаем решения уравнения

Диагностирующий эксперимент

Целью данного этапа является определение эффективности разработанной методики.

Для реализации данной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Провести контролирующую самостоятельную работу, позволяющую определить уровень сформированности у учащихся умений решать тригонометрические неравенства.

2. Сделать соответствующие выводы об использовании данной методики, её корректировке или полном изменении.

Для решения данных задач была проведена контрольная работа, аналогичная работе, предложенной на подготовительном этапе.

Текст контрольной работы.

1. Отметить на единичной окружности точки P_t, для которых соответствующие значения t удовлетворяют равенству

Справилось -15 человек (78,9 %);.

2. Определить принадлежность угла соответствующей четверти, если б равно .

Справилось - 10 человек (52,6%);

3. Отметить угол б по значению функции

Справилось - 10 человек (52,6%);

4. Выполнить задание на преобразование угла к острому

а) б)

Справилось - 5 человек (26,3%);

5. Составить двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности.

R - середина III четверти, К - середина IV четверти. Составить двойное неравенство для дуг КR и RК.

Справилось - 12 человек (63,2%);

6. Составить двойные неравенства для дуг графика тригонометрической функции

Справилось - 13 человек (68,4%);

7. Решить тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций cosx<1, sinx>0

Справилось - 10 человек (52,6%);

8. Упростить выражение cos5xcos4x+sin5xsin4x

Справилось - 15 человек (78,9%);

9. Решить неравенство

Справилось - 12 человек (63,2 %).

1. Ученики более внимательно работают с тригонометрической окружностью, более точно обозначают точки на окружности, определяют направление нужной дуги и приступают к решению неравенств после рассмотрения условий применимости свойств функции, необходимых для решения.

2. Сравнение результатов тестирования до и после эксперимента позволяет представить их в графической форме.

Работа с учащимися по формированию осознанного и качественного научения решать тригонометрические неравенства прошла успешно. Об этом свидетельствуют:

· Улучшение результатов проверочных работ

· Отношение самих учащихся к проведённым занятиям.

Школьники с интересом принимали участие в процессе обучения.

Таким образом, цель эксперимента достигнута. Его результаты удовлетворительны. Данная методика имеет возможность применения на занятиях по алгебре и началам анализа в общеобразовательной школе.

Заключение

Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрических уравнения и неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.

Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учётом того, что тригонометрические уравнения и неравенства разделяются на несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.

Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на разных уровнях.

С решением уравнений, в которых переменная входит под знак одной или нескольких тригонометрических функций, так или иначе связаны многие задачи тригонометрии, стереометрии, физики и др. Процесс решения таких задач как бы синтезирует в себе практически все знания и умения, которые учащиеся приобретают при изучении элементов тригонометрии. Поэтому учитель сталкивается с довольно сложной проблемой выделения тех идей изучаемого материала, которые лежат в основе способов решения рассматриваемых задач, с целью их последующего обобщения и систематизации. Это важно и для осознанного усвоения учащимися теории, и для овладения некоторыми достаточно общими способами решения математических задач. Следует также заметить, что решение тригонометрических уравнений не только создает предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных с материалом тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приемы преобразования тригонометрических выражений и т.д.), но и дает возможность установить действенные связи с изученным алгебраическим материалом (уравнение, равносильность уравнений, виды алгебраических уравнений, способы их решения, приемы преобразования алгебраических выражений и т.п.). В этом состоит одна из особенностей материала, связанная с изучением тригонометрических уравнений.

Другая особенность - в исключительном разнообразии таких уравнений. Именно это разнообразие влечет определенные трудности в их классификации; его следствием могут быть и затруднения в решении тригонометрических уравнений, в частности, - в выборе того приема, который целесообразно применить для получения искомого множества значений переменной.

Указанные особенности должны быть учтены учителем при разработке методики обучения школьников решению тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.

Литература

1. Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г.

2. Адрова И.А., Ромашко И.В. Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравнений» //Математика в школе. 2001. №4. С. 28-32.

3. БашмаковМ.И. Алгебра и начала анализа. 10-11. Учебное пособие для 10 - 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. - 335 с.: ил.

4. Водинчар М.И. и др. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств //Математика в школе. 1999. № 4. С. 73-77.

5. Гилемханов Р.Г. Освободимся от лишней работы (при решении однородных триг.уравнений) //Математика в школе. 2000. № 10. С.9

6. Зайкин М.И. Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении (сборник научных и методических работ, предоставленных на региональную научно-практичечскую конференцию).М.: Арзамас, 2002. - 334с.

7. Зандер В.К. О блочном изучении математики / на примере изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» //Математика в школе.1991. № 4, С.38-42.

8. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения //Математика в школе. 1995. № 2. С.23-33

9. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ) //Математика в школе. № 3, С.18-27.

10. Золотухин Е.П. Замечания о решении уравнений вида asinx+bcosx=c //Математика в школе. 1991. № 3. С.84.

11. Калинин А.К. О решении тригонометрических неравенств. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 6, 1991г.

12. Кириченко Т.Ф. и др. Методические рекомендации для студентов-заочников по решению математических задач. Ленинград, 1987 - 53 с.

13. Клещев В.А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности //Математика в школе. 1992. № 6. С. 17-18.

14. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 - 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. - 335 с.: ил.

15. Кордемский Б.А. Как увлечь математикой. М.:Просвещение, 1981. -112с.ил.

16. Е.И. Лященко и др. Методические рекомендации по формированию ведущих понятий курса математики. Ленинград, 1988. - 72 с.

17. Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2006г.

18. Мордкович А.Г. Беседы с учителем. М.: ООО “Издательский дом “ОНИКС 21 век”:ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005”

19. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2000. - 336с.:ил.

20. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.

21. Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн-4-е изд. М.: Гумакнит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.1:Общие основы психологии.-688с.

22. Немов Р.С. Психология: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: В 3 кн. - 4е изд. М.:Гумакнит.изд.центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.2: Общие основы психологии.-608с.

23. Орлова Т. Решение однородных тригонометрических уравнений: Конкурс “Я иду на урок” //Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 48, 1999г.

24. Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: М. Просвещение, 1985г.

25. Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.

26. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений //Математика в школе. 2004. № 1. С. 24-26.

27. Суворова М.В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики (на примере изучения темы «Тригонометрические уравнения» //Математика в школе. 1995. № 4. С.12-13

28. Токарева А. Тригонометрические неравенства. // Математика. // Приложение к газете «Первое сентября» № 44, 2002 г.

29. Шабунин М. Тригонометрические уравнения. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 12,13, 1995г.

30. Филатов В.Г. О потере корней при решении тригонометрических уравнений //Математика в школе. 1991. №2. С.57-59.

31. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях //Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.

32. Якимовская И.С. Знания и мышление школьников. М.: Просвещение, 1976.