Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• 1. Операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами
• 2. Свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами
• 3 Виды функциональных уравнений
• 3.1 Функциональное уравнение Коши
• 3.1.1 Класс непрерывных функций
• 3.1.2 Класс монотонных функций
• 3.1.3 Класс ограниченных функций
• 3.1.4 Класс дифференцируемых функций
• 3.2 Функциональное уравнение показательной функции
• 3.3 Функциональное уравнение логарифмической функции
• 3.4 Функциональное уравнение степенной функции
• 3.5 Одно обобщение функционального уравнения Коши
• 4. Методы решения функциональных уравнений
• 4.1 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
• 4.2 Метод подстановок
• 4.3 Решение функциональных уравнений с применением теории групп
• 4.4 Применение теории матриц к решению функциональных уравнений
• 4.5 Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений
• 4.5.1 Предельный переход
• 4.6 Дифференцирование
• Заключение
• Список использованных источников

Введение

Подготовка школьного учителя математики безусловно предполагает, что он обретет навыки сознательного владения математическими понятиями, которые должен будет использовать по долгу службы. Однако не все так очевидно и категорично, ведь некоторые фундаментальные математические понятия (например, понятие действительного числа) слишком сложны. Что бы аккуратные их определения нашли себе место в школьном курсе математики. Тем не менее, положение в нем такого важного математического понятия, как функциональное уравнение, весьма уникально и даже парадоксально: использование функциональных уравнений в школьном курсе математики имеет место, а вот самого термина (имени) "Функциональное уравнение" - нет. Вот и получается, что безымянное понятие (некий математический аноним!) присутствует на страницах школьных учебников по алгебре и началу анализа, как какой-нибудь герой невидимка, законспирированный до такой степени, что даже сам как использования этого понятия, обычно ускользает от всевидящего учительского ока. Но думается, что подобная не наблюдательность это - вина не столько учителя, сколько результат некоторых пробелов в его подготовке. Исправлению сложившегося положения, безусловно, послужили бы чтения студентам-"математикам" специального курса по функциональным уравнениям и методам их решения, проведения соответствующих практикумов по решению математических задач и, наконец, организация занятий соответствующей математике на курсах повышения квалификации учителей.

Ещё: даже несколько фраз, посвященных функциональных уравнениям и сказанных на лекциях по методике преподавания математики, так же способствовали бы исправлению сложившейся ситуации. Тем более, что функциональные уравнения хороший материал для изучения и иллюстрации некоторых свойств основных операций над числовыми функциями. Но пока функциональные уравнения забыты, увы, до такой степени, что уже делаются попытки даже сам термин "функциональные уравнения" использовать в качестве имени для "обычного" уравнения вида

f(x)=ц(x),

где f(x) и ц(x)- обозначения для некоторых функций.

В первом разделе курсовой работы рассматриваются операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами.

Во втором разделе курсовой работы рассматриваются свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами

В третьем разделе курсовой работы рассматриваются виды функциональных уравнений, функциональное уравнение Коши, класс непрерывных функций, класс монотонных функций, класс ограниченных функций, класс дифференцируемых функций, функциональное уравнение показательной функции, функциональное уравнение логарифмической функции, функциональное уравнение степенной функции, одно обобщение уравнения Коши

В четвертом разделе курсовой работы рассматриваются методы решения функциональных уравнений, метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции, метод подстановок, решение функциональных уравнений с применением теории групп, применение теории матриц к решению функциональных уравнений, применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений, предельный переход, дифференцирование.

1. Операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами

Подготовка школьного учителя математики безусловно предполагает, что он обретет навыки сознательного владения математическими понятиями, которые должен будет использовать по долгу службы. Однако не все так очевидно и категорично, ведь некоторые фундаментальные математические понятия (например, понятие действительного числа) слишком сложны. Что бы аккуратные их определения нашли себе место в школьном курсе математики. Тем не менее, положение в нем такого важного математического понятия, как функциональное уравнение, весьма уникально и даже парадоксально: использование функциональных уравнений в школьном курсе математики имеет место, а вот самого термина (имени) "Функциональное уравнение" - нет. Вот и получается,

что безымянное понятие (некий математический аноним!) присутствует на страницах школьных учебников по алгебре и началу анализа, как какой-нибудь герой невидимка, законспирированный до такой степени, что даже сам как использования этого понятия, обычно ускользает от всевидящего учительского ока. Но думается, что подобная не наблюдательность это - вина не столько учителя, сколько результат некоторых пробелов в его подготовке. Исправлению сложившегося положения, безусловно, послужили бы чтения студентам-"математикам" специального курса по функциональным уравнениям и методам их решения, проведения соответствующих практикумов по решению математических задач и, наконец, организация занятий соответствующей математике на курсах повышения квалификации учителей.

Ещё: даже несколько фраз, посвященных функциональных уравнениям и сказанных на лекциях по методике преподавания математики, так же способствовали бы исправлению сложившейся ситуации. Тем более, что функциональные уравнения хороший материал для изучения и иллюстрации некоторых свойств основных операций над числовыми функциями. Но пока функциональные уравнения забыты, увы, до такой степени, что уже делаются попытки даже сам термин "функциональные уравнения" использовать в качестве имени для "обычного" уравнения вида

f(x)=ц(x),

где f(x) и ц(x)- обозначения для некоторых функций.

Что бы подтвердить сказанное, прежде всего, напомним, что в школьном курсе математики после рассмотрения понятий функции и определения равных функций начинают заниматься основными ("арифметическими") операциями над функциями, в частности изучают свойства этих операций.

Примечательно, что этот процесс изучения "оперативных" свойств функций в рамках школьного курса математики включает в себя две линии, две тенденции:

1) Главенствующую тенденции - рассмотрения и использование тех свойств основных операций над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям - "тезкам" над действительными числами;

2) Как бы второстепенную, теневую тенденцию - исследования тех свойств основных операций над функциями, которые существенно отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами.

Первая линия представлена в школьных учебниках по алгебре и началом анализа, разбором таких свойств, как ассоциативность и коммутативность сложения и умножения функций, дистрибутивность умножение относительно сложения, а так же ещё такими примечательными свойствами, как

+{(x;0)|}=f;

и

Эти последние три свойства показывают, что функции

+{(x;0)| и

очень похожи своими свойствами на действительные числа нуль и

единицу, правда, таких "нулей" и "единиц" столько же, сколько непустых подмножеств у множества действительных чисел R. И тем не менее, не мудрствуя лукаво, эти функции обозначили в элементарной математике соответственно символы 0 и 1, хотя точнее было бы обозначить и ведь их бесконечно много, причем каждая "обслуживает" "свой" набор функций с общей областью определения

D ?R.

Аналогичным образом поступили и с операциями сложения, умножения, вычитания и деления функции: для обозначения результатов их применения, т.е. частного функции, взяли "напрокат" знаки их арифметических тезок. То, что это чревато определенными неприятными последствиями, подтверждают определенные трудности, возникающие при попытке однозначно "расшифровать" такие записи, как 0+0=0, 1Ч0=0, 1Ч1=1.

Подобное неоднозначность в понимании смысла обозначения уже в полнее может подвигнуть к проявлению особой осторожности и большего внимания при решении задач на поиск функции с заданными свойствами. Такая бдительность вдвойне оправдана и наличием второй линии изучения "оперативных" свойств функции. Увы, но как раз изучение принципиальных различий в свойствах арифметических операций над действительными числами и одноименных операций над числовыми функция в школьном курсе математики уделяют ничтожно мало времени. И в этом случае могли бы помочь функциональные уравнения, пусть даже без упоминания самого этого термина. Что бы подтвердить это, приведем несколько простых задач, поиски решения которых, помогли бы и ученику и учителю более основательно изучить свойства операций над функциями, возможно даже сделать для себя маленькие, но полезные открытия.

Задача 1.1

Укажите все функции f(x) и D(x)=R и E(f)?R, удовлетворяющие

следующему условию:

а)=

б) =

в) =

г) = ;

д)

Задача 1.2

Укажите все функции f(x), удовлетворяющих следующему условию:

Где r - произвольное фиксированное положительное число, с и .

Естественно, что решение задач 1.1 и 1.2 можно искать среди функций обладающих некоторыми дополнительными свойствами (см. задачу 1.3)

Задача 1. 3

Укажите все функции-решения задачи 1.1, а затем задачи 1.2, обладающие следующими дополнительными свойствами:

а) непрерывностью в каждой точке своей области определения;

б) дифференцируемостью в каждой точке своей области определения;

в) четностью, или нечетностью, или периодичностью.

Первые же попытки решить задачи 1.1 (а) и 1.1 (б) помогают обнаружить существенное отличие свойств операции умножения функций от свойств соответствующего арифметического тезки.

Действительно, если из функционального равенства

немедленно следует, что (что аналогично выводу из арифметического равенства ), то сделать вывод из функционального неравенства вывод, аналогичный соответствующему "арифметическо -му" выводу (если для двух действительных чисел справедливо равенство , то , совершенно не правомочно. Без труда можно привести пример двух функций, не являющихся тождественными нулю, т.е. отличных от нуль-функции, чье произведение равно нуль- функции.

Например, таковыми являются функции

и

с областью определения R. Вот и получается, что решений у алгебраического уравнения ровно два: 0 и 1, а у задачи 1.1 (а)- бесконечно много. Приведем пример рассуждений, позволяющих описать все решения задач 1.1 и 1.2.

Решение задачи 1.1 (а).

Пусть - произвольное действительное число, тогда число - значение искомой функции в точке - должно в соответствии с условием задачи удовлетворять равенству:

или ,

а значит,

или ,

т.е. графику искомой функции (если таковая существует!) принадлежит точка , либо точка . Однако было бы грубой ошибкой вывести сюда, что при "конструировании" искомой функции надо назначить для всех значений аргумента одно и тоже значение функции - число нуль, или одно и тоже значение - единицу. Можно ведь и "чередовать" эти возможности при построении того или иного конкретного решения данной задачи. В частности, её условию удовлетворяет и знаменитая функция Дирихле

Очевидно также, что всякая функция с и , удовлетворяющая условию или для любого - это решение задачи пусть и "неконструктивно", но с достаточно удовлетворяющим ответом.

Ответ: условию задачи 1.1 (а) удовлетворяет всякая определённая на R функция, чей график принадлежит объединению двух прямых декартовой координатной плоскости с уравнениями и , и других решений нет.

Аналогично и для задачи 1.1 (б): все её решения - определенные на R функции, чьи графики лежат на "кресте", - принадлежат объединению двух прямых декартовой координатной плоскости, заданной уравнениями и .

Так же легко решить до конца задачу 1.1 и задачу 1.2. Но вот любопытно; и в студенческой, и в учительской аудитории бывает весьма не просто убедить слушателей, что у задачи 1.2 бесконечно много решений и наряду с такими решениями, как функции

и -, ,

будут, например, такие:

и

Обратимся теперь к задачам 1.3 (а) и 1.3 (б). Для их решения удобно использовать интуитивное представление о графике функции, заданной и непрерывной на некотором промежутке, как о некоторой "непрерывной" линии, которую можно вычертить, не отрывая карандаш от бумаги.

Покажем, как можно получить решение задачи 1.3 (а), когда дополнительные требования непрерывности накладываются на условие задачи 1.1 (б). Ради краткости примем для обозначения этой задачи символ 3 (а)1 (б).

Решение задачи 1.3 (а)1.1 (б). Прежде всего, любая, и в частности непрерывная, функция - решение этой задачи обязана в точке = -3 принимать значение - 3, или 3, так как других точке с абсциссой -3, кроме (-3;-3) и (-3;3), на объединении графиков функции и просто нет.

Рассмотрим первый случай, когда график искомой функции (если таковая существует!) проходит через точку (-3;3). Заставляя аргумент монотонно возрастать от -3 до , вначале доберемся до его нулевого значения - абсциссы общей точки (0;0) графиков функции и . При этом переменная точка , вычерчивая соответствующую часть (от точки (-3;3) до точки (0;0)) графика искомой непрерывной функции-решения, не сможет (именно потому, что нас интересует непрерывное решение) покинуть график функции и "перескочить" на график функции , т.е. эта переменная точка будет непрерывно скользить по прямой . Однако, добравшись до точки (0;0), мы окажемся как бы в роли витязя на перепутье: либо далее двинемся по той же линии - графику функции , что даст нам первое решение задачи - функцию (заметим, что для значений аргумента, меньших -3, подобных "развилок" нет!), либо повернем на линию , что даст нам ещё одно решение задачи:

=

Во втором случае, когда будем искать непрерывное решение, график которого проходит через точку (-3;3), аналогичный анализ дает ещё два непрерывных на R решения - функции и . И других решений указанного класса нет.

И наконец, о причинах выбора точки : конечно же, вместо нее можно было бы взять любое отрицательное число и даже любое ненулевое (лишь бы не нуль - абсциссу общей точки графиков функций ).

Ответ: условию задачи 1.3 (а)1.1 (б) удовлетворяют ровно четыре функции, это

Решение задачи 1.3 (б) 1.1 (б). Помня о соотношении между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке, мы должны будем осуществить выбор дифференцируемых на R функций из четырех решений задачи 1.3 (а) 1.1 (б). Таковыми окажутся

.

Ответ: искомые функции

.

Для задач 1.3 (а) 1.1 (а) и 1.3 (б) 1.1 (а) аналогичные рассуждения позволяют указать ровно два непрерывных и одновременно дифференцируемых решения - функции и , т.е. .

2. Свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами

Продемонстрировав некоторые возможности применения функциональных уравнений в элементарной математике, перейдем теперь к рассказу об их реальном, хотя и малозаметном присутствии (и уже не один десяток лет!) в школьном курсе математики. Но прежде чем как узнать разделы и понятия школьного курса, под сенью которых скрываются функциональные уравнения, напомним, как в математике определяют это понятие: функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестным является функция, связанная при помощи образования сложной функции с известными функциями.

А вот теперь, помня, что бесконечная числовая последовательность - это произвольная вещественнозначная функция с областью определения - множеством натуральных чисел, внимательно присмотримся к определениям бесконечной арифметической и бесконечной геометрической прогрессий.

Бесконечная арифметическая прогрессия определяется как последовательность , удовлетворяющая условию

,

где d - фиксированное действительное число, а n -любое натуральное.

Иначе говоря, бесконечная арифметическая прогрессия в школьном курсе математики определяется как решение следующего функционального уравнения:

. (2.1)

Аналогичная ситуация и с бесконечной геометрической прогрессией. Она определяется в школьном курсе математики как функциональное уравнение вида:

где q - произвольное фиксированное ненулевое действительное число.

Далее, чтобы найти в явном виде выражение для как аналитически заданную функцию от n, обычно решают эти функциональные уравнения по традиционной схеме, реализацию которой продемонстрируем на примере уравнения (1).

1. В начале производят накопление "экспериментальных" данных - находят выражение для f(1), f(2), f(3) и т.д.

2. Затем строят на основе этого "эксперимента" гипотезу, что

f(x)=

где = f(1) - произвольное, но фиксированное число. И, наконец, последний этап.

3. Проверяют справедливость того, что функция f(x) - удовлетворяет условию (1) при любом натуральном x.

И при этом ни слова о функциональных уравнениях!

Далее обычно следует поиск формулы для суммы первых n членов этих последовательностей S(n) (как говорят в математике "в конечном виде"). Для этого в школьных учебниках применяют специальные искусственные методы, а по сути, опять-таки осуществляют поиск решения функционального уравнения так называемого разностного типа

F(x+1) - F(x) = ц(x) (2.2)

где ц(x) - известная функция, D(ц) = N, которому очевидно удовлетворяет функция S(n), если ц(x)-(x+1) -й член суммируемой последовательности.

Стоит напомнить, что уже давно найдены приемы вычисления сумм вида

ц(1)+ц(2)+…+ц(n),

где ц(x) - известная функция, x, т.е. способы решения так называемой основной теории исчисления конечных разностей, в частности давно и без труда получена общая формула, аналогична формуле Ньютона - Лейбница:

ц(1)+ц(2)+…+ц(n)=

где символом - обозначено любое решение уравнения (2).

Действительно, если любое конкретное решение уравнения (2),

D(f) = N, то

ц(k) = (к+1)

а значит

ц(1)+ц(2)+…+ц(n)=

=

Например, так как

, то 1+2+3+…+n =

Вспомним теперь школьную задачу на исследование заданной функции на четность и нечетность. Легко обнаружить, что ее решение есть ни что иное, как проверка, является ли исследуемая функция решением функционального уравнения вида:

F(x)= F(-x) (уравнения четности)

и функционального уравнения вида:

F(x)= - F(-x) (уравнения нечетности),

причем исследуемая функция может удовлетворять обоим уравнениям одновременно. При этом очевидно, что любое решение системы

Есть нуль-функция , где D - произвольное непустое подмножество число вой оси , симметричное относительно точки 0.

С задачей на исследование заданной функции на периодичность ситуация несколько сложнее, ведь требуется выяснить, существует или нет функциональное уравнение в классе так называемых уравнений периодичности:

F(x+T) = f(x),

где Т - любая ненулевая константа, чьим решением является исследуемая функция. Эта задача, безусловно, сложнее двух предыдущих, ведь даже для наперед заданного числового множества M, придумать уравнение или неравенство (используя средства школьной математики), чьим множеством решений будет именно эта совокупность М, весьма не просто. Так, например, сообразишь далеко не в считанные мгновения, что для M=N искомым уравнением будет

или

Завершая рассказ о "невидимках" школьного курса математики по имени функциональные уравнения, хочется напомнить, что знаменитая последовательность Фибоначчи - это решение функционального уравнения вида:

;

что теорема о существовании и единственности представления всякой функции с симметричной относительно точки 0 областью определения в виде суммы некоторой четной и некоторой нечетной функций - это результат системы исследования двух функциональных уравнений относительно двух неизвестных функций; и наконец, что простейшие элементарные функции можно определить как решения специальных "характеристических" функциональных уравнений. Кроме того, функциональные уравнения и методы их решения (метод подстановки, метод Коши, метод "сведения на себя" и т.д.) - прекрасная тема для цикла занятий школьного математического кружка или факультатива, тем более что задачи на исследование функциональных уравнений - обычные гости математических олимпиад школьников, причем олимпиад самого высокого уровня.

3. Виды функциональных уравнений

3.1 Функциональное уравнение Коши

Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши

f(x+y) = f(x) +f(y), D (f) =R (3.1.1)

Теорема 3.1 Линейные однородные функции вида

f(x) = ax (a = const)

удовлетворяют этому уравнению и являются единственными.

Доказательство.

То, что данная функция удовлетворяет уравнению легко проверить:

f(x+y) = a(x+y) = ax + ay = f(x) + f(y)

Вопрос состоит в том, будут ли эти функции единственными.

Прежде всего, выведем несколько общих фактов, не накладывая никаких ограничений на функцию f (т. е. без всяких предположений о непрерывности, ограниченности и т. п.).

Положим в уравнении y = x, получим:

f(2x) = 2f(x).

Далее, последовательно полагая y = 2x, y = 3x, y = 4x и т. д., имеем:

f(3x) = f(x+2x) = f(x)+f(2x) = f(x)+2f(x) = 3f(x);

f(4x) = f(x)+f(3x) = 4f(x);

f(5x) = f(x)+f(4x) = 5f(x),

и вообще, для любого натурального n

f(nx) = n·f(x) (3.1.2)

(это легко проверяется по индукции). Заменив здесь x на , мы получим

,

а затем, если подставить mx (m - натуральное) вместо x и использовать предыдущее равенство, придём к соотношению

, (3.1.3)

Положим теперь в основном уравнении (3.1.1) x = y = 0; получим

f(0) = 2f(0), так что f(0) = 0. (3.1.4)

Если же взять y = -x, то:

0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)

f(-x) = -f(x),

так что функция f(x) является нечётной. А тогда из (3.1.1) легко вывести:

(3.1.5)

Полученные соотношения (3.1.3) - (3.1.5) могут быть объединены в равенстве

f(rx) = r·f(x),

справедливом для любого вещественного значения x, каково бы ни было рациональное число r.

Если взять здесь x = 1, то получим

f(r) = r·f(1) (3.1.6)

или, если обозначить f(1) через a,

f(r) = ar.

Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вид функции f, но пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет основному уравнению Коши (3.1.1). Далее в решении мы будем уже опираться на конкретный класс функций, в котором ищется решение. Рассмотрим некоторые наиболее общие классы функций, используемых при решении

3.1.1 Класс непрерывных функций

Для рациональных x мы установили, что f(x) = ax. Осталось показать, что это соотношение справедливо и для иррациональных x. Пусть x будет любое иррациональное число. Тогда существует последовательность рациональных чисел , сходящаяся к этому числу x (это известный факт; можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). По доказанному

f(r_n) = ar_n (n = 1,2,3, . . .).

Перейдём здесь к пределу при

Справа мы получим ax, слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции f, получится

так что, окончательно,

f(x) = ax.

Таким образом, действительно, все непрерывные аддитивные функции являются линейными однородными. Последняя формула даёт самое общее решение функционального уравнения (3.1.1).

3.1.2 Класс монотонных функций

Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x₁ < x₂.

Для рациональных x доказано f(x) = x·f(1). Возьмём произвольное иррациональное x. Известно, что любое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами, поэтому для любого натурально q существует целое p такое, что

(3.1.2.1)

и при достаточно больших q число x расположено между двумя очень близкими рациональными числами, разность между которыми равна . Используя монотонность функции f, находим

откуда (воспользовавшись соотношением для рациональных значений функции f)

, a = f(1). (3.1.2.2)

Так как из (3.1.1.4) f(0) = 0, то, ведь функция f не убывает, значит,

Если a = 0, то из неравенств имеем .

Если a = 0, то из (3.1.2.2)

. (3.1.2.3)

Сравнивая эти неравенства с (3.1.2.1), получим

Покажем это. Предположим, что это неверно, например,

для выбранного иррационального x. Подберём q настолько большим, чтобы дробь попала между и x

что противоречиво с (3.1.2.3). Полученное противоречие показывает, что

для любого заданного иррационального x, поэтому f(x) = ax для всех x.

3.1.3 Класс ограниченных функций

Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b). Нам нужно доказать, что линейными однородными функциями исчерпываются все решения (3.1.1) в данном классе. Мы исследуем решение уравнения (3.1.1), предполагая f ограниченной сверху (случай, когда f ограничена снизу, сводится к рассматриваемому случаю заменой f на -f).

Будем считать, что функция f ограничена сверху константой M, т. е. для всех . Рассмотрим вспомогательную функцию

g(x) = f(x) - x·f(1).

По доказанному выше g(x) = 0 при любом рациональном x. Кроме того, функция g(x) также является аддитивной. Действительно,

g(x + y) = f(x + y) - (x + y)·f(1) = f(x) + f(y) - xf(1) - yf(1) = g(x) + g(y).

Подставим y = r (r - рациональное) в равенство

g(x+y) = g(x)+g(y),

получим, учитывая g(r) = 0,

g(x+r) = g(x)+g(r) = g(x).

Значит, любое рациональное число r является периодом функции g(x).

Покажем теперь, что g(x) ограничена на интервале (a, b). Имеем

где ,

поскольку при .

Отсюда тогда следует, что g(x) ограничена сверху на всей вещественной оси. В самом деле, для любого действительного x существует рациональное число r такое, что r (a-x, b-x), т. е. a < x+r < b. Поэтому

g(x) = g(x+r) < M₁,

так как x + r (a, b), а на интервале (a, b) функция g ограничена числом M₁.

Сейчас уже можно утверждать, что g(x) = 0 для любого действительного x. Допустим это не так, т. е. для некоторого x₀

g(x₀) = A, A 0.

Поскольку для функции g(x), как для любой аддитивной функции, верно соотношение (4.1.2), то

g(nx₀) = ng(x₀) = nA

для любого целого n. Очевидно, что можно подобрать такое n (может быть, достаточно большое по абсолютной величине), что

nA > M₁, т.е. g(nx₀) > M₁.

Но функция g ограничена сверху константой M₁. Получаем противоречие. Значит, g(x) 0, откуда f(x) = x·f(1), что и требовалось.

3.1.4 Класс дифференцируемых функций

Известно, что если функция f (х) дифференцируема в точке х ₀, то она непрерывна в этой точке, Как показывает пример функции f(x)=|x|, обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Поэтому класс дифференцируемых функций уже класса непрерывных функций. Следовательно, решением уравнения Коши в классе дифференцируемых функций является линейная однородная функция. Тем не менее, метод решения уравнения Коши в предположении дифференцируемости f(x) представляет интерес ввиду его простоты. При фиксированном у R f (х + у) и f(х) + f (у) являются функциями переменной х R. Ввиду их равенства, равны и их производные (по переменной x!). Продифференцировав обе части равенства (3.1.1), получим

(3.1.4.1)

(, как производная постоянной). Равенство (3.1.4.1) выполняется для любых х R, у R, так как у можно было выбрать произвольно, Положив в(3.1.4.1) х = 0, придем к тождеству

для всех у R. Итак, - постоянная функция. Поэтому ее первообразная

f (х) = сх + b (3.1.4.2)

где b - некоторое действительное число. Проверка показывает, что (3.1.4.2) удовлетворяет (3.1.1) только при b = 0, с R.

Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной функции и в классе разрывных функций. Этот пример построил Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом (произвольно выбранном) интервале (a, b), пусть даже сколь угодно малом, функция f(x) не ограничена, т. е. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного положительного числа. Для построения такой функции Гамель ввёл множество G действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает свойством, что любое действительное число x представимо и при том единственным способом в виде

,

Произвольно задав значения f(x) в точках множества G, можно однозначно продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства

вытекающего из свойства аддитивной функции. Такими функциями исчерпываются все решения (3.1.1).

Приведем пример данной функции.

x = .

Покажем, что функция f(x) = удовлетворяет нашему уравнению.

f(x+y) = f(.+) = + = f(x) + f(y)

Очевидно, что она отлична от уже найденного нами решения. Предыдущее же решение единственное в классе непрерывных функций, следовательно, это решение является разрывным.

3.2 Функциональное уравнение показательной функции

Теорема 3.2.1 Все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению

f(x+y) = f(x) ·f(y), (3.2.1.1)

задаются формулой

f(x) = a^x (a>0, а ? 1)

(если не считать функции, тождественно равной 0).

Доказательство. Пусть f(x) - непрерывная и определённая при всех действительных x функция, удовлетворяющая (3.2.1.1). Исключим тривиальное решение f(x) 0. Тогда для некоторого значения x = x₀ эта функция отлична от нуля. Положим y = x₀ - x:

f(x) ·f(x₀-x) = f(x₀) 0;

отсюда ясно, что f(x) не равна нулю ни при каком x. Заменяя x и y в (3.2.1.1) на x/2, получим

так что f(x) строго больше 0 для всех x. Тогда равенство (3.1.2.1) можно прологарифмировать, например, по основанию e:

lnf(x+y) = lnf(x) + lnf(y).

Положив в этом соотношении ц(x = lnf(x)), придём к функциональному уравнению Коши (3.1.1):

ц(x+y) = ц(x) + ц(y).

Учитывая, что ц - непрерывная функция (как суперпозиция непрерывных функций), имеем по доказанному:

ц(x) = lnf(x) = cx (c = const),

откуда находим, что

f(x) = e^сx = a^x (если положить a = e^c).

Таким образом, единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей уравнению Коши (3.2.1.1), является показательная функция (или тождественно нулевая функция).

В качестве класса функций, в котором искалось решение, мы рассмотрели лишь класс непрерывных функций. Как и в предыдущем пункте, можно было бы разобрать решения для монотонных и ограниченных функций, но этого мы делать не будем, потому что (3.2.1.1), как было подмечено, сводится к (3.1.1), а для него всё ясно.

3.3 Функциональное уравнение логарифмической функции

Теорема 3.3.1 Все непрерывные решения функционального уравнения

f (xy) = f(x) + f(y), (3.3.1)

справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид

f(x) = log_a x (a > 0, a 1).

Доказательство. Для этого введём новую переменную о, изменяющуюся в промежутке (-; + ), и положим

x = eо (ведь x > 0), ц(о) = f(e^о),

откуда

о = lnx, f(x) = ц(lnx).

Тогда функция ц удовлетворяет функциональному уравнению (3.1.1):

а потому

и f(x) = clnx.

Если исключить случай c = 0 (тогда f(x) 0), то полученный результат может быть написан в виде

f(x) = log_a x, a = e^1/c.

3.4 Функциональное уравнение степенной функции

Теорема 3.4.1 Функциональному уравнению

f(xy) = f(x)·f(y) (x > 0, y > 0) (3.4.1.1)

удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида

f(x) = x^a.

Доказательство. Прибегая к той же подстановке, что и в п. 3.1.4.1, мы приведём уравнение (3.4.1.1) к уравнению (3.1.1):

,

откуда

ц(о) = c^о (c >0), и, значит, f(x) = c^lnx = x^a (a = lnc).

Метод последовательного анализа можно применить к решению других уравнений.

3.5 Одно обобщение функционального уравнения Коши

Теорема 3.5.1 Пусть n - фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение

(3.5.1)

где D (f) = R. Решение данного уравнения при n > 1 является непрерывной функцией.

Доказательство.

При n = 1 уравнение обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция. Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (3.5.1) при n > 1 является непрерывной функцией.

Полагая х = у = 0, получим f (0) = 0. Поэтому при х = 0 из (3.5.1) имеем f(уⁿ) = (f(y))ⁿ для всех у R. Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде z = уⁿ. Отсюда

В частности, при х = -z

т.е. f(-z) = - f (z), z R. Если , то

Отсюда следует что

f(х + w) = f(х) + f(w)

для всех х R, w R, т. е. f(х) - аддитивная функция. Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение f(tw) = tf (w). Легко видеть, что

(3.5.2)

Воспользовавшись формулой Ньютона

,

и аддитивностью f(x), преобразуем отдельно левую и правую части (3.5.2) при рациональных t:

;

Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

, .

В частности, для k = 2 имеем

. (3.5.3)

Если (f(1))^n-2 > 0, то f(x) - неубывающая функция. Действительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х ², поэтому из (3.5.1.3) имеем f(у) = f(x²) ? 0. При х₁ > x₂, х₁ - x₂> 0, f(x₁ - x₂) ? 0, или, в силу аддитивности f(х), f (x₁) - f (х ₂) ? 0. Если же (f(1))^{n -2} < 0, аналогично доказывается, что функция f(х) - невозрастающая.

Ранее было доказано, что если аддитивная функция монотонна, то она имеет вид f(х) = ах.

Полагая в (3.5.3) х = 1, получим, что f(1) равно 0 или 1 при четном n и f(1) равно 0, 1 или -1 при нечетном n > 1.

Итак, f (х) = х либо f(х) = 0 при четных n; f (x) = х, либо f (х) = -х, либо f(х) = 0 при нечетных n > 1.

Тем самым доказана не только непрерывность решения уравнения (3.5.1) при n > 1, но и получен его вид.

4. Методы решения функциональных уравнений

4.1 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции

Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (3.1.1) - (3.4.1). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.

Пример 4.1.1 Найти все непрерывные функции f (x), определенные на промежутке (0;?), для которых разность f (x₁y) - f(x₂y) при произвольных допустимых значениях х ₁ и х ₂ не зависит от у.

Решение. По условию, выражение f (ху) - f (у) (х_г = х, х₂ = 1) не зависит от у, Поэтому

f(xy) - f(y) = f(x) - f(1).

Положив

g (х) = f (x) - f (1),

получим функциональное уравнение Коши

g(xy) = g(x) + g(y).

Известно, что в классе непрерывных функций

g (x) = сlnх.

Отсюда

f (х) = cln x+b, где b = f(1).

Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют функции

f (х) = сln х + b

при произвольных b и с.

Рассмотрим пример, считая х ₁ и х ₂ различными фиксированными числами. Так как f (х₁y) - f (х₂у) не зависит от у, то

f (х₁y) - f (х₂у) = с.

Пусть

х₂у = х,

тогда

f(ах) = f (x)+c,

где, а > 0, с - постоянная. Заменив х на е^х, получим

Вычитая из обеих частей , получим

,

или g(x + lna) = g(x), (4.1.1)

где .

Уравнению (4.1.1) удовлетворяют периодические с периодом lnа функции. Отсюда

При проверке убеждаемся, что функции вида

f(х) = g(ln x) + бlnx,

где б - произвольная константа, а g(х) - непрерывная периодическая с периодом функция, обладают требуемым свойством.

Пример 4.1.2 Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством:

(х + у) + z = х + (у + z)

для любых х, y, z R. Требуется найти все непрерывные функции f(х), "сохраняющие" сочетательность, т. е.

f(х + у) + f(z) = f(х) + f(у + z) (4.1.2.1)

Решение. Перепишем (4.1.2.1) в виде

f(х + у) - f(x) = f(у + z) - f(z)

Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т.е.

f(х + у) - f(x) = g(y)

При х = 0 имеем

f(у) = g (у) + а, а = f(0).

Пришли к функциональному уравнению Коши

.

Его непрерывным решением являются функции g(х) = сх. Таким образом,

f (х) = сх + а,

где а и с - произвольные константы.

4.2 Метод подстановок

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.

Пример 4.2.1. Найти все функции f(x), заданные на промежутке

,

для которых выполнено равенство

Решение. Выполнив последовательно две замены ; приходим к системе функциональных уравнений:

Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим

Мы можем определить f(x) произвольным образом на одном из интервалов и эти формулы дадут нам расширение f(x) на всё множество I.

Пример 4.2.2 Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):

Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.

При этом

и первое уравнение принимает вид:

или

В результате получаем систему уравнений:

решение которой

g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

Пример 4.2.3 Найти все решения функционального уравнения

f(xy) = y^k f(x), k N.

Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = y^k f(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0.

Пусть теперь x ? 0. Подставим в уравнение

,

получим:

или (a=f(1))

Функция f(x) = ax^k является решением исходного уравнения.

Пример 4.2.4 Пусть - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ? 1 и удовлетворяющую уравнению

,

где g - заданная функция, определённая при x ? 1.

Решение. При замене получаем систему

.

решением которой при a² ? 1 является функция

4.3 Решение функциональных уравнений с применением теории групп

В уравнении

под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции

g₁ = х и g₂ = а - х.

В результате замены х на а - х получено еще одно уравнение, содержащее те же функции f (х) и f (а - х). Функции g₁ и g₂ образуют группу относительно композиции функций. Понятие группы позволяет в ряде случаев выбрать целесообразные подстановки для решения функциональных уравнений.

Пусть в функциональном уравнении

(4.3.1)

выражения f₀(x) = x, f₁(x), …, f_n-1(x), стоящие под знаком неизвестной функции g (x), являются элементами конечной группы порядка n относительно композиции функций. Коэффицненты уравнения (4.3.1) а₀, а₁ ..., а_n-1, b в общем случае зависят от x. Некоторые из них могут равняться 0. Предположим, что уравнение (4.3.1) имеет решение. Заменим х на f₁(x). Эта замена равносильна умножению справа всех элементов группы f₁. В результате последовательность функций f₀, f₁, …, f_n-1 перейдет в последовательность , состоящую из всех элементов группы.

Произведенная замена перевела уравнение (4.3.1) --линейное относительно неизвестных g(f₀), g(f₁), …,g(f_n-1) - в новое линейное уравнение относительно тех же неизвестных. Заменяя далее x > f₂(x), x > f₃(x),…, x > f_n(x) получим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Решая эту систему, находим неизвестную функцию g(f₀) = g(x), если, конечно, система имеет решение. Непосредственной проверкой следует убедиться, что полученная функция удовлетворяет исходному уравнению. Рассмотренный метод ограничивает область определения функции, так как приходится отбрасывать те значения аргумента, при которых элементы группы не имеют смысла.

Пример 4.3.1 Найти функцию f (х), определенную на множестве действительных чисел, отличных от 0, 1, -1, и удовлетворяющую уравнению

(4.3.2)

Решение. Выражения , стоящие под знаком неизвестной функции f, являются элементами группы, заданной таблицей:

Заменяя последовательно х на ,, , получим систему

Последовательно исключая неизвестные ,, , имеем

Рассуждения вытекали из предположения, что решение уравнения (4.3.2) существует. Подставляя в (4.3.2) полученную функцию, убедимся, что она удовлетворяет уравнению.

Пример 4.3.2 Найти функцию f(x), х ? 0, х ? а, удовлетворяющую уравнению