Функциональные уравнения на оси

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Функциональные уравнения на оси»

РЕФЕРАТ

Курсовая работа содержит 27 страниц, 8 источников.

Ключевые слова: функциональные уравнения, уравнения Коши, непрерывные функции, разрывные функции, группы функций.

Объект исследования: функциональные уравнения

Предмет исследования: решения уравнений типа Коши

Методы исследования: методы математического анализа

Цель исследования: изучить основные методы решения функциональных уравнений, рассмотреть решения уравнений типа Коши

Задачи:

-ввести определение ключевых понятий

-привести примеры функциональных уравнений

-ознакомиться с основными методами решения функциональных уравнений, доказать некоторые теоремы

-ввести понятие группы функций, применение его при решении функциональных уравнений

-рассмотреть решения уравнений типа Коши.

Выводы: Все элементарные функции составляются из независимой переменной в результате повторного применения конечного числа арифметических действий и тех операций, которые, будучи обозначены символом f, являются решениями четырех основных функциональных уравнений Коши.

Введение

Настоящая курсовая работа посвящена изучению функциональных уравнений, весьма общему классу уравнений, в которых искомой является некоторая функция.

К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях; следует, однако, отметить, что название функциональные уравнения обычно не относят к уравнениям этих типов. Под функциональными уравнениями в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональные уравнения можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

В первой главе настоящей работы вводятся основные понятия, определения, свойства, приводятся примеры функциональных уравнений. Глава содержит 3 страницы.

Во второй главе рассматриваются функциональные уравнения с одной переменной, описываются некоторые методы их решения, в частности, метод решения некоторых функциональных уравнений с помощью групп функций, приводятся примеры. В главе 5 страниц.

В третьей главе рассматриваются уравнения с несколькими переменными, доказываются некоторые теоремы, решаются уравнения вида

f(x+у) = f (x) + f (y),

f (x + у) = f (x) f (y), (1)

f (xy) = f (x) + (y),

f (xy) = f (x) f (y)

f(y+x)+f(y-x)=2f(x)•f(y)

также рассматриваются их важные свойства. Глава состоит из 13 страниц.

В четвертой главе рассматриваются уравнения типа Коши, делается обобщение для случая многих переменных, открывается связь «естественной цепи арифметических операций» с классом функциональных уравнений типа Коши. В главе 2 страницы.

В заключении делаются выводы о том, что функциональные уравнения могут служить для определения показательной, логарифмической и степенной функций, применяться для введения новых классов функций.

Глава 1. Определение и примеры функциональных уравнений

Функциональные уравнения - весьма общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям, по существу, относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Следует, однако, отметить, что название «функциональные уравнения» обычно не относят к уравнениям этих типов. Под функциональными уравнениями в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональные уравнения можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Например, функциональное уравнение f (x) = f (-x) характеризует класс чётных функций, функциональное уравнение f(-x) = -f(x) - класс нечетных; функциональное уравнение f (x + 1) = f (x) -- класс функций, имеющих период 1, и т.д.

Одним из простейших функциональных уравнений является уравнение

f (x + у) = f (x) + f (y).

Непрерывные решения этого функционального уравнения имеют вид:

f (x) = Cx.

Однако в классе разрывных функций это функциональное уравнение имеет и иные решения. С рассмотренным функциональным уравнением связаны

f (x + у) = f (x) f (y),

f (xy) = f (x) + f (y),

f (xy) = f (x) f (y),

непрерывные решения которых имеют соответственно вид e^Cx, C•lnx, x^a (x > 0).

Т.о., эти функциональные уравнения могут служить для определения показательной, логарифмической и степенной функций. В теории аналитических функций функциональные уравнения часто применяются для введения новых классов функций.

Например, двоякопериодические функции характеризуются функциональными уравнениями:

f (z + а) = f (z) и f (z + b) = f (z),

автоморфные функции -- функциональными уравнениями:

f (s_az) = f (z),

где {s_a} -- некоторая группа дробно-линейных преобразований.

Если функция известна в некоторой области, то знание для неё функционального уравнения позволяет расширить область определения этой функции. Например, функциональное уравнение f (x + 1) = f (x) для периодических функций позволяет определить их значение в любой точке по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто пользуются для аналитического продолжения функций комплексного переменного. Например, пользуясь функциональным уравнением Г (z + 1) = z•Г (z) и зная значения гамма-функции Г(z) в полосе 0 < Re z < 1, можно продолжить её на всю плоскость z.

Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются функциональные уравнения, которым должно удовлетворять решение данной задачи. Значение соответствующих функциональных уравнений во многих случаях облегчает нахождение решений.

Решения функциональных уравнений могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций.

Для некоторых функциональных уравнений общее решение может быть найдено, если известны одно или несколько его частных решений. Например, общее решение функционального уравнения

f (x) = f (ax)

имеет вид

j(w(x)),

где j(x) -- произвольная функция, а w(x) -- частное решение этого функционального уравнения

Для решения функциональных уравнений их во многих случаях сводят к дифференциальным уравнениям. Этот метод даёт лишь решения, принадлежащие классу дифференцируемых функций.

Другим методом решения функциональных уравнений является метод итераций. Этот метод даёт, например, решение уравнения Абеля:

f [a(x)] = f (x) + 1,

где a(x) -- заданная функция и связанного с ним уравнения Шрёдера:

f [a(x)] = c f (x).

А.Н. Коркин доказал, что если a(х) -- аналитическая функция, то уравнение Абеля имеет аналитическое решение. Эти результаты, нашедшие применение в теории групп Ли, привели в дальнейшем к созданию теории итераций аналитических функций. В некоторых случаях уравнение Абеля решается в конечном виде.

функциональное уравнение коши

Глава 2. Методы решениЯ Функциональных уравнений

Методы решения - методы нахождения точных или приближенных решений функциональных конкретных или абстрактных уравнений, т.е. уравнения вида

P(x)=y, (2.1)

Где P(x) - некоторый, вообще говоря нелинейный оператор, переводящий элементы пространства X типа В (или другого типа) в элементы пространства Y того же типа. Точные решения в виде аналитических выражений получаются лишь для немногих типов функциональных уравнений, поэтому особое значение имеют приближенные методы решения.

Для нахождения решений общих функциональных уравнений развит ряд методов, например, метод бесконечных степенных рядов, метод последовательных приближений, метод Галеркина (метод моментов), метод касательных гипербол, метод Чебышева (касательных парабол), метод Ньютона-Канторовича и его модификации, метод наискорейшего спуска и др., а также методы вариации параметра (прямые, итерационные и комбинированные) определенных типов и их различные модификации, в том числе и с последовательной аппроксимацией обратного оператора. Общие методы применяются к решению различных конкретных функциональных уравнений математического анализа. Кроме того, существуют специальные методы решения конкретных функциональных уравнений, в том числе и численные методы, например, метод сеток и др. Метод вариации параметра, метод Ньютона-Канторовича и некоторые другие из указанных методов имеют также и теоретическое значение, так как с их помощью можно делать заключение о существовании, единственности и области расположения решения функционального уравнения, не находя самого решения, что подчас не менее важно, чем фактическое значение решения. Ниже рассмотрим несколько методов решения.

1) Метод подстановок:

Пусть, например, имеется функциональное уравнение:

f (x + y) + f (x - y)=2•f (x)•cos y (2.2)

Применяя последовательно подстановки

x=0, y=t; x= +t, y=; x=, y=+t,

из (2.2) получают соответственно уравнения

f(t) + f(-t) = 2a cos t, f(р + t) + f(t )= 0

и

f(р + t) + f(-t)= 2b cos( + t) = -2b sin t,

где обозначено f(0) = a, f() = b. Отсюда путем вычитания из суммы первых двух уравнений третьего, получают 2 f(t)=2a cos t + 2b sin t. Общим решением исходного функционального уравнения (2.2) является функция f(x)=a cos x + и sin x. Этот метод применим также и к другим уравнениям типа

H [ f(x + y), f(x - y), f(x), x, y ] = 0

при некоторых предположениях относительно функции Н. К уравнениям других типов применяются различные другие подстановки.

Метод подстановок применяется и для сведения одних функциональных уравнений к другим уравнениям того же типа, в частности к функциональным уравнениям с известными решениями. Например, функциональное уравнение

f((x + y)/2) = f(x)/2 + f(y)/2 (2.3)

может быть приведено к функциональному уравнению Коши

f (x + y) = f(x) + f(y) (2.4)

с непрерывным решением f(x)=Cx. С этой целью в (2.3) подставляют x+y вместо х и 0 вместо у:

f((x + y)/2) = f(x +у)/2 + а/2, где a=f(0)

Сравнивая это с исходным функциональным уравнением (2.3) получают функциональное уравнение вида f (x + y) = f(x) + f(y) - а, откуда ц(x+y)= ц(x)+ ц(y), ц(x)=f(x)-a и ц(x) = Сх. Решением является функция f(x) = Cx+a.

Для сведения к другим функциональным уравнениям того же типа применяют также логарифмирование и другие приемы. Например, решение функционального уравнения

f (x + y) = f (x) • f (y) (2.5)

путем логарифмирования можно свести к решению уравнения (2.4).

2) Метод замены переменной:

Для того чтобы проиллюстрировать этот метод рассмотрим уравнение:

(2.6)

Предположим, что существует функция f(x), удовлетворяющая данному уравнению. Заменив x на 1-x, получим

Из (2.6) находим . Подставляя значение во второе уравнение, получим:

откуда

В рассмотренном уравнении под знаком уравнении под знаком неизвестной функции стоят функции f₁=x и f₂=1-x. Замена x на 1-x переводит функции f₁ и f₂ друг в друга. В результате замены переменной получено еще одно уравнение, содержащие f(x) и f(1-x). Решение функционального уравнения сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим еще одно уравнение:

(2.7)

Выполним замену х>, получаем

 (2.8)

появилось новое «неизвестное» выражение . Применим еще одну подстановку: , имеем

(2.9)

Кроме , в уравнении появилось «нежелательное» выражение, выполним в (2.7) подстановку . И получаем уравнение

(2.10)

построена система линейных уравнений (2.7)-(2.10) с четырьмя неизвестными . Последовательно исключая переменные, получим .

3) Метод решения функциональных уравнений с помощью понятия группы

Пусть в функциональном уравнении

a₁f(g₁)+a₂f(g₂)+…+a_nf(g_n)=b (2.11)

выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f(x) являются элементами группы G, состоящей из n функций: g₁(x)=x, g₂(x),…g_n(x), причем коэффициенты уравнения (2.11) a₁, a₂, …a_n, b - некоторые функции от x. Предположим, что уравнение (2.11) имеет решение. Заменим x>g₂(x). В результате последовательность функций g₁(x), g₂(x),…g_n(x), перейдет в последовательность g₁? g₂, g₂? g₂,…g_n? g₂, состоящую из всех элементов группы.

Поэтому «неизвестные» f(g₁), f(g₂),… f(g_n), переставятся и мы получим новое линейное уравнение того же вида, что и (2.11), далее заменим x>g₃(x),… x>g_n(x), после чего получим систему из n линейных уравнений, которую следует решить. Если решения есть, то проверкой нужно убедиться в том, что они удовлетворяют уравнению.

Группой называется множество G функций, обладающее следующими свойствами:

1. Для любых двух функций и их композиция также принадлежит G.

2. Функция e(x)=x принадлежит G.

3. Для всякой функции существует обратная функция f^-1, которая также принадлежит G.

Из важных методов решения функциональных и функционально-дифференциальных уравнений следует отметить также метод дифференцирования, метод приведения к билинейному функциональному уравнению, метод «исключения» аргумента.

Глава 3.Функциональные уравнения с несколькими переменными. Уравнения Коши

1 Вводные замечания и некоторые теоремы

В нижеследующей главе будут рассмотрены функциональные уравнения

f (x + у) = f (x) + f (y), (I)

f (x + у) = f (x) f (y), (II)

f (xy) = f (x) + f (y), (III)

f (xy) = f (x) f (y), (IV)

f(y+x)+f(y-x)=2f(x)•f(y), (V)

которые могут служить для определения функции f(x)=Cx, а также показательной, логарифмической, степенной функций и функции cos x, соответственно при дополнительном требовании непрерывности.

Впервые эти уравнения были рассмотрены Огюстеном Луи Коши, который и дал их решения в непрерывных функциях.

Оказываются справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех значений t (-- ?; + ?). удовлетворяет уравнению (I) тождественно относительно х и у, то она имеет вид f(t) = Ct. где C -- постоянное число.

Теорема 2. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех значений t (-- ?; + ?). удовлетворяет уравнению (II) тождественно относительно х и у, то она имеет вид f(t) = а^t, где а -- неотрицательная постоянная.

Теорема 3. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех положительных значений t, притом не сводящаяся к нулю, удовлетворяет уравнению (III) тождественно относительно всех положительных значений х и у. то она имеет вид f(t)=log_at, где а -- положительная постоянная.

Теорема 4. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех положительных значений t, притом не сводящаяся к нулю, удовлетворяет уравнению (IV) тождественно относительно всех положительных значений х и у, то она имеет вид f(t)=t^м, где м -- постоянное число.

Решить уравнения (I)-(IV) значит доказать теоремы (1-4).

Если вместо непрерывности наложить на функции требование дифференцируемости, то тем более заключения теорем (1-4) остаются в силе, более того, доказательства теорем значительно упрощаются.

С помощью функциональных уравнений можно определить также тригонометрические и гиперболические функции и функции обратные к ним. Для косинуса имеет место формула (V), выражение для синуса оказывается гораздо сложнее:

В теории функций комплексного переменного устанавливается, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются с привлечением мнимой единицы через показательные, например

, ,

а обратные тригонометрические - через логарифмы и радикалы:

.

Таким образом, при перечислении основных операций, служащих для получения элементарных функций, к четырём арифметическим действиям (сложение, вычитание, умножение, деление) достаточно прибавить всего лишь потенцирование, логарифмирование и возведение в произвольную степень (впрочем, возведение в произвольную степень конструируется из логарифмирования, умножения на число и потенцирования).

Принимая это во внимание, мы приходим к мысли о справедливости следующего утверждения:

Все элементарные функции составляются из независимой переменной в результате повторного применения конечного числа арифметических действий и тех операций, которые, будучи обозначены символом f, являются решениями функциональных уравнений (I--IV).

Отсюда выясняется то значение (конечно, теоретическое), которое имеют уравнения (I--IV) для элементарной математики.

Из теорем I--4 предыдущее утверждение, строго говоря, не вытекает по той причине, что при составлении тригонометрических функций из показательной согласно формулам приходится прибегать к операции f(x)=it, тогда как в решении f(x) = Сx уравнения (I) постоянная С предполагается действительной. Чтобы обосновать наше утверждение, надо перенести теоремы 1 - 4 в комплексную область. Естественно, что при таком перенесении требование непрерывности заменится требованием регулярности искомой функции f(x). Так, формулируя теорему 1*, аналогичную теореме 1, нужно предполагать функцию f регулярной во всей плоскости и допускать, что соотношение (I) выполняется при всех комплексных значениях х и у. Постоянная С могла бы оказаться произвольной комплексной.

2 Решение уравнений вида f(x+y)=f(x)+f(y)

Найти все непрерывные в промежутке (-?, +?) функции f(x), удовлетворяющие условию:

f(x+y)=f(x)+f(y), (3.1)

каковы бы ни были значения х и у.

Уравнение (3.1) является примером функциональных уравнений, формулирующих некое свойство искомой функции, по которому она должна быть найдена.

Легко видеть, что линейные однородные функции вида

f(x)=c•x (c=const) (3.2)

удовлетворяют этому уравнению:

с(x+y)=cx+cy,

Для того чтобы установить, что это единственные непрерывные функции, удовлетворяющие (3.1), предположим, что некоторая непрерывная функция f(x) удовлетворяет (3.1), покажем, что она непременно имеет вид (3.2).

Прежде всего, с помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (3.1) на случай любого числа (=n) слагаемых:

(3.3)

Действительно, если допустить его верность для какого-либо числа (n ? 2) слагаемых, то оно окажется верным и для n + 1 слагаемых:

Полагая в (3.3) x=y=…=z, найдем:

f(nx)=n•f(x) (3.4)

Заменив здесь n на , получим

(3.5)

а затем, если подставить mx (m-натуральное) вместо х и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению

(3.6)

Положим теперь в основном уравнении (3.1) x=y=0; получим

f(0)=2f(0), так что f(0)=0. (3.7)

Если же взять y=-x, то, с учетом (3.7), найдем:

f(-x) = - f(x)

так что функция f(x) меняет знак при изменении знака x. А тогда из (3.4)и (3.6) легко вывести:

f(-nx)=-f(nx)= -n•f(x) (3.8)

и, аналогично, вообще

(3.9)

Полученные соотношения (3.4) - (3.9) могут быть объединены в равенстве f(rx)=r•f(x)

справедливом для любого вещественного значения x, каково бы ни было рациональное число r

Если здесь взять х=1, и обозначить f(1)=c, то получим f(r)=cr.

Таким образом, мы установили вид функции f, принадлежащей классу разрывных функций (). При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет условию (3.1), и не оприрались на ее непрерывность.

Пусть теперь s будет любое иррациональное значение аргумента. Легко построить стремящуюся к нему последовательность рациональных чисел.

r₁, r₂, …, r_n, …

(можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). Мы только что показали, что f(r)=cr_n (n=1,2,3…)

Перейдем к пределу при n>+?; справа получим cs, слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции f, получится lim f(r_n)=f(s),так что окончательно, f(s)=cs.

Таким образом, действительно, наша функция при всех вещественных значениях аргумента выражается формулой (3.2). Эта формула дает решение уравнения (3.1) в классе непрерывных функций.

3. Решение уравнений вида f(x+y)=f(x) •f(y)

Найти все непрерывные в промежутке (-?, +?) функции f(x), удовлетворяющие условию:

f(x+y)=f(x)•f(y), (3.10)

каковы бы ни были значения х и у.

Уравнение (3.10) выражает общеизвестное правило умножения степеней:

Оказывается, что функциональным свойством (3.10), вместе со свойством непрерывности, вполне определяется показательная функция

f(x)=а ^x (a > 0) (3.11)

Точнее говоря, единственной функцией, определенной и непрерывной во всем промежутке (-?, +?) и удовлетворяющей в нем условию (3.10), является показательная функция (если не считать функции тождественно равной 0).

Иными словами, формула (3.11) - за указанным исключением - дает самое общее решение функционального уравнения (3.10) в непрерывных функциях.

Для доказательства этого рассмотрим произвольную функцию f(x), Определенную и непрерывную при всех х, удовлетворяющих условию (3.10). Исключается тривиальный случай, когда f(x)?0.

Итак, при некотором значении x=x₀ эта функция отлична от 0. Полагая в (3.10) y=x₀-x, получим

f(x)•f(x₀-x) = f(x₀) ? 0;

отсюда ясно, что f(x) отлично от нуля при всяком x. Более того, заменяя в (3.10) x и y через , найдем:

,

так что f(x) всегда строго положительна.

Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (3.10), например, по натуральному основанию е:

ln f(x+y) = ln f(x)+ln f(y).

Если положить

ц(x) = ln f(x),

то ц(x) есть непрерывная функция (как результат суперпозиции непрерывных) и удовлетворяющая условию:

ц (x+y) = ц (x)+ ц (y),

аналогичному (3.1). В таком случае, как мы установили, необходимо

ц(x) = ln f(x) = cx (c=const)

откуда, наконец,

f(x)=e^cx=a^x

(если положить a=e^c), что и требовалось доказать.

4. Решение уравнений вида f(x•y)=f(x)+f(y)

Если f(x) = log_ax (a>0, a?1) (3.12)

то при любых положительных значениях x и y будет

f(xy) = f(x)+f(y). (3.13)

Это есть запись логарифмирования произведения:

И здесь это равенство, совместно с непрерывностью, вполне характеризует именно логарифмическую функцию:

Единственной функцией, определенной и непрерывной в промежутке (0, +?) и удовлетворяющей условию (3.13), является логарифмическая функция(за тем же исключением), так что формула (3.12) дает самое общее решение функционального уравнения (3.13), в непрерывных функциях.

Для доказательства возьмем произвольную функцию f(x), непрерывную для x>0 и удовлетворяющую этому уравнению. Введем новую переменную о, изменяющуюся в промежутке (-?; +?), и положим

,

откуда



Непрерывная (как суперпозиция непрерывных) функция ц(о) удовлетворяет условию

типа (3.1), значит,

и

если исключить случай с=0 (тогда f(x)?0), то полученный результат может быть написан в виде

где . Этим все доказано.

5. Решение уравнений вида f(x•y)=f(x) • f(y)

Наконец, обратимся к функции

, (3.14)

которая, очевидно, удовлетворяет функциональному уравнению

f(x•y) = f(x) • f(y). (3.15)

(при любых положительных x и y), ибо

,

Уравнение это, в соединении с непрерывностью, в данном случае также характеризует степенную функцию в том смысле, что, единственной функцией, определенной и непрерывной в промежутке (0,+ ?) и удовлетворяющей в нем условию (3.15), является степенная функция (за обычным исключением).

В самом деле, если дана непрерывная для х>0 функция f(x), удовлетворяющая условию (3.15), то прибегнув к той же подстановке, что и в пункте 3).

,

получим:

ц(о) удовлетворяет уравнению (3.10), тогда (если исключить тривиальный случай)

, (a>0)

Отсюда

(если положить м=ln a), что и требовалось доказать.

6. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов

Если

f(x) = cos ax или ch ax (a ? 0) (3.16)

то, при любых вещественных значениях x и y, удовлетворяется соотношение

f(y+x)+f(y-x)=2f(x)•f(y) (3.17)

Это с легкостью вытекает из теоремы сложения для обоих косинусов:

(3.18)

Функциональное уравнение (3.17) вместе с требованием непрерывности функции, и на этот раз полностью характеризует оба косинуса:

Единственными функциями, определенными и непрерывными в промежутке (-?, +?) и удовлетворяющими в нем уравнению (3.17), являются тригонометрический и гиперболический косинусы (3.16) (если, как и выше, не считать функции, тождественно равной нулю).

Итак, пусть f(x) будет непрерывная для всех x функция, удовлетворяющая условию (3.17). Полагая x=0 и принимая за у какое либо из значений, для которого f(y)?0, заключаем, что

f(0)=1. (3.19)

При y=0 в таком случае получается

f(-x)=f(x) (3.20)

так что функция f(x) оказывается четной.

Поскольку непрерывная функция f(x) при x=0 будет положительна, то найдется такое, скажем, положительное число с, что f(x) будет положительна на всем промежутке [0, c]. В дальнейшем исследование пойдет по разным путям, в зависимости от того, будет ли а) f(c) ? 1 или б) f(c) > 1. Займемся случаем а).

Так как 0 < f(c) ? 1, то найдется такое и , что

f(c) = cos и. (3.21)

Приведя затем основное соотношение (3.17) к виду:

f(y +x) = 2 f(x)•f(y) - f(y - x),

станем в нем последовательно полагать

и т.д. Мы получим (с учетом (3.19) и (3.21))

и т.д. Пользуясь методом математической индукции, легко докажем для любого натурального m формулу

f(mc)=cos mи (3.22)

если же в (3.17) положить , то получим (снова с учетом (3.19) и (3.21)):

так как f(x) остается положительной между 0 и с, а функция cos x - между 0 и и, то, извлекая положительные корни в обеих частях, придем к равенству:

совершенно также, полагая в (3.17) x=y=, найдем, что

и т.д. Так, последовательно (математическая индукция!), получим иобщее соотношение

(n=1, 2,3,…) (3.23)

Наконец, повторяя тот процесс, с помощью которого мы, отправляясь от (3.21) к (3.22), мы из (3.23) придем к равенству:

Итак, для положительных значений x вида имеем:

f(cx) =cos иx (3.24)

Но так как любое положительное число x можно представить как предел значений этого вида, то, с помощью предельного перехода (и опираясь на непрерывность функций f(x) и cos(x)), установим справедливость формулы (3.24) для всех x>0. Для x<0 она будет верна в силу (3.20), а для x=0 - в силу (3.19).

Если заменить в (3.24) x на и положить, то и получим окончательно:

f(x)=cos ax.

В случае б) имеем: f(c)>1; тогда найдется такое и, что

f(c) = ch и.

Повторяя дословно все проведенные только что рассуждения и опираясь на соотношения для гиперболического косинуса, совпадающие по форме с соответствующими соотношениями для тригонометрического косинуса, мы для рассматриваемого случая найдем, что

f(x)=ch ax. (a>0)

При a=0, по обеим формулам получили бы: f(x)?1.

Глава 4. Класс уравнений типа Коши

Сделаем далее еще одно интересное обобщение.

Классические функциональные уравнения Коши:

f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x)•f(y), f(x•y)=f(x)+f(y), f(x•y)=f(x)•f(y),

имеющие непрерывные решения соответственно с•x, , с•lnx, x^с, связывают основные смежные (в смысле распределительного закона) арифметические операции сложения + и умножения •.

Введем примыкающие к ним: «снизу» - операция xy = ln(e^x+e^y), «сверху» - операция xy=e^(lnx•lny). Все эти операции являются звеньями «естественной цепи арифметических операций» , в которой +=₀, • = ₊₁, так что ₊₁= ₊₂ (и вообще ). Их связывает класс функциональных уравнений типа Коши (название указывает на связь различных арифметических операций)

где m,n - целые числа. Решения некоторых уравнений (с малыми индексами) таковы:

m	n	Решение	m	n	Решение
-1	-2		+1	-2
-1	-1		+1	-1
-1	0		+1	0
-1	+1		+1	+1
-1	+2		+1	+2
0	-2		+2	-2
0	-1		+2	-1
0	0		+2	0
0	+1		+2	+1
0	+2		+2	+2

Наблюдающиеся здесь закономерности справедливы в общем случае.

Заключение

В данной курсовой работе, посвященной решению некоторых функциональных уравнений на оси, был рассмотрен важнейший класс уравнений - класс уравнений Коши.

Были приведены некоторые методы решения функциональных уравнений, с помощью которых впоследствии были решены важнейшие функциональные уравнения элементарной математики, утверждения были сформулированы и в виде теорем. Было приведено также важное обобщение свойств уравнений типа Коши и сделан вывод:

Все элементарные функции составляются из независимой переменной в результате повторного применения конечного числа арифметических действий и тех операций, которые, будучи обозначены символом f, являются решениями функциональных уравнений (I--IV).

Результат может быть также обобщен и для функций комплексной области.

Список использованных источников

1. Carroll M. The Natural Chain of Binary Arithmetic Operations and Generalized Derivatives [arXiv.org/math.HO/0112050]

2. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. - М.: ГУПИ, 1938. - 480 с.

3. Нечепуренко М.И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 1997.- 228 c.

4. Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005. - 545 с.

5. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: Наука, 1970, 616с.

6. Функциональные уравнения. Квант, 1985, № 7.

7. Энциклопедия элементарной математики. Т.3. Под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича, А.Я. Хинчина. Государственное издательство технико-теоретической литературы. М.: 1952, 560с.

8. Блюмин С.Л. Класс уравнений типа Коши / Научный журнал "Фундаментальные исследования"// Российская Академия Естествознания [Электронный ресурс]. - Электрон. журн. - 2008. - №2 - Режим доступа: http://www.rae.ru

Размещено на Allbest.ru