где а - постоянная, отличная от 0.

Решение. Нетрудно проверить, что выражения х, , вместе с составляют группу с таблицей:

Здесь xR\{0, а}.

Рассуждая аналогично решению примера 4.3.1, получим систему

из нее находим

.

Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет уравнению.

Иногда в функциональном уравнении выражения, стоящие под знаком неизвестной функции, являются значениями элементов некоторой группы от одной и той же функции g. После замены g(x) на x получаем уравнение, которое решается изложенным выше методом.

Рассмотрим функциональные уравнения, в которых под знаков неизвестной функции стоят, кроме выражений, зависящих от х, и константы.

4.4 Применение теории матриц к решению функциональных уравнений

Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида . Такие дроби полностью определяются заданием матрицы , составленной из коэффициентов a, b, c, d.

Пример 4.4.1 Найти функцию f, определенную при и удовлетворяющую уравнению

(4.4.1)

Решение. Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (4.4.1), друг в друга.

Для этого положим

.

Отсюда

.

Кроме того,

.

Следовательно, подстановка - искомая. Уравнение (4.4.1) примет вид

. (4.4.2)

В уравнении (4.4.1) Подстановка переводит точки соответственно в точки . Кроме того, из характера подстановки вытекает . Поэтому в уравнении (4.4.2) . Область допустимых значений х в системе, составленной из уравнений (4.4.1) и (4.4.2), является пересечением соответствующих областей каждого из уравнений (4.4.1) и (4.4.2), т.е. . Исключая из этой системы , получим

Обозначив

,

получим

.

Из условия получаем , а также , что определяется видом подстановки.

Подстановка дает

.

Итак, функция

с областью определения является решением примера 4.4.1, что и подтверждается проверкой. Сужение области определения искомой функции удалением точек вызвано методом решения уравнения. Несложные вычисления показывают, что функция

, ,

удовлетворяет исходному уравнению.

В самом деле, полагая в (4.4.1) , получим .

Значения функции

, ,

в точках и 1 соответственно равны и удовлетворяют приведенному соотношению.

Более того, решение уравнения (4.4.1) в классе функций таких, что имеет вид

Уравнение (4.4.1) решено, так как найдена подстановка переводящая дробно-линейные функции и , получим друг в друга. На языке матриц это означает, что найдена матрица такая, что

АХ = kB; BX =lA,

где .

Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям

АХ = kВ, (4.4.3)

ВХ = lА (4.4.4)

при некоторых k, l, отличных от нуля.

Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (4.4.3) и (4.4.24) получим:

(lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В,

BX² = (lk)B (4.4.5)

Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (4.4.5) слева на В^-1. Получим

B^-1BX²= B^-1lkB; EX² = (lk)E; X² = mE, где m=lk

Найдем общий вид матрицы

такой, что , т.е.

,

при некотором m ? 0. Заметим, что х₁x₄ - х₂х₃ ? 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем:

Вычитая из первого уравнения четвертое, получим т. е. , либо .

Если , то = 0 и = 0, что приводит к матрицам вида

или .

Если же то придем к матрице

Проверкой убеждаемся, что матрицы Х₂ и Х₃ удовлетворяют уравнению X²=mЕ при некотором m. Матрица Х₃ при х₁ = 0 дает X₁.

Итак, матрицы вида

и

и только они удовлетворяют уравнению

X² = mE, m ? 0.

Из (4.4.4) имеем

X = lВ^-1А.

Поэтому, если матрица В^-1А имеет вид Х₂ или Х₃, то она удовлетворяет каждому из уравнений (4.4.3), (4.4.4).

Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида

(4.4.6)

где s(x), t(x), р (х) - некоторые данные функции,

Решая матричное уравнение вида

А = ВХ,

где , ,

получим

X = В^-1А,

Если матрица X имеет вид , то подстановка в (4.4.6) даст второе уравнение относительно неизвестных

,

Если полученная система имеет решение, то из нее найдем выражение для . Последнее дает возможность найти f(x). Как обычно, обязательной частью решения является проверка. Случай

тривиален,

А = х₁В,

т.е. выражения, стоящие в (4.4.6) под знаком f, совпадают.

Пример 4.4.3 Найти функцию f, определенную при , удовлетворяющую уравнению

(4.4.7)

Решение. Решаем матричное уравнение

AХ = В,

где ; .

Для матрицы A обратной является матрица .

Тогда .

Матрица X имеет вид , поэтому применим к уравнению (4.4.7) подстановку . Последнюю удобно выполнять с помощью матриц. Правой части уравнения (4.4.7) соответствует матрица . Применение к ней подстановки равносильно умножению справа на . В результате получим . Таким образом, из уравнения (4.4.7) находим

(4.4.8)

Исключив из системы, составленной из уравнений (4.4.7) и (4.4.8) имеем

(4.4.9)

Из (4.4.7) видим, что . Подстановка сохранила эти ограничения. Кроме того, .

Положим

.

Так как , то . Отсюда

.

Заменяя , из (4.4.9) получим

.

Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет условию задачи:

4.5 Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений

4.5.1 Предельный переход

Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.

Пример 4.5.1.1 Решить в классе непрерывных функций уравнение

(4.5.1.1)

где х R.

Решение. Заменив х на , получим

(4.5.1.2)

Используя ту же замену, из уравнения (4.5.1.2) последовательно получим

,

Методом математической индукции можно доказать, что

(4.5.1.3)

Сложив все уравнения, начиная с (4.5.1.2), получим

(4.5.1.4)

Так как функция f(х) непрерывна, то при любом фиксированном х

Здесь .

Из (4.5.1.1) . Тогда

Левая часть равенства (4.5.1.4) не зависит от n, поэтому существует ее предел при n > ?. Переходя к пределу в равенстве (4.5.1.4), при n > ? имеем

(4.5.1.5)

Правая часть (4.5.1.5) является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий

Итак,

,

что и подтверждается проверкой.

Пример 4.5.1.2 Функция f: R>R непрерывна в точке 0 и для любого x R выполнено равенство

2f(2x) = f(x)+x.

Найти все такие f.

Решение. Пусть функция f удовлетворяет условию. Тогда

Выполняя подстановку

Тривиальная проверка показывает, что функция x/3 действительно является искомой.

Пример 4.5.1.3 Решить функциональное уравнение

(4.5.1.6)

в классе непрерывных функций.

Решение. Выполнив замену , получим

(4.5.1.7)

Складывая (4.5.1.6) с уравнением (4.5.1.7), умноженным на , получим

Это уравнение решается аналогично уравнению (4.5.1.1). Найдем подстановку, переводящую в . Для этого положим

.

Отсюда

.

Выполнив n раз подстановку , получим систему уравнений, из которой находим

Отсюда при n > ?

, или ,

что и подтверждается проверкой.

4.6 Дифференцирование

В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции. Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.

Пример 4.6.1 Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения

f(3x+2) = 3f(x), x R. (4.6.1)

Решение. Попытки решить уравнение методом предельного перехода не приводят к желаемому результату. Левая и правая части (4.6.2.1) являются функциями от х. Они равны, следовательно, равны их производные по х. Продифференцируем (4.6.1) и после сокращения получим

f?(3x+2) = 3f?(x)

Это уравнение уже можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку , получим цепочку равенств

Ввиду непрерывности , при n > ?, имеем

Итак, = k, где k= . Первообразная функция

f(х) = kx + b.

Подставив в (4.6.1) х = -1, получим f(--1) = 0. Кроме того,

f(-1) = - k + b, т.е. k = b.

Легко проверить, что

f (х) = k (х + 1)

удовлетворяет условию при произвольном k.

Пример 4.6.2 Найти все действительные дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению

(4.6.2)

Решение. Пусть f удовлетворяет данному уравнению. Тогда

т.е. f(0)[1+f ²(x)] = 0,

и, следовательно, f(0) = 0.

После преобразований имеем

, (4.6.3)

откуда, с учётом следует, что

f(x) = C (1+f ²(x)), (4.6.4)

где C = f?(0). Значит,

,

Условие f(0) = 0 означает, что C₁ = 0, т.е.

f(x) = tg Cx.

Очевидно, все функции вида tg Cx подходят под условие задачи.

Заключение

функция уравнение матрица переменная

В работе рассмотрены методы решения функциональных уравнений при изучении школьного курса математики. В работе рассмотрены свойства операций над функциями, виды функциональных уравнений,, классы функций, где ищется решение функционального уравнения, методы решения функциональных уравнений; приведены примеры решения различных функциональных уравнений.

Список использованных источников

1. Гомонов, С.А. Математика в школе. [Текст]:[Функциональные уравнения в школьном курсе математики]/ С.А. Гомонов.-// Издательство "Школа- Пресс" - 2010.-№10- С. 58-63

2. Лихтарников, Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.[Текст]/ Л.М. Лихтарников.- Спб. Лань,1997.-160с.

3. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей. [Текст]/А.О. Гельфонд. - М. : Наука,1967г.-376с.

4. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. - Самара: В мире науки, 2009

5. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Функциональные уравнения. - К.: Вища школа. Головное издательство, 2011. - 96 с

6. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2009, № 2, с. 116 - 120

Размещено на Allbest.ru