Канонический вид произвольных линейных преобразований

15

ЗАПАДНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. УТЕМИСОВА

Кафедра математики

КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(курсовая работа)

Содержание

Введение

1. Нормальная форма линейного преобразования

2. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

2.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования

2.2 Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение

2.3 Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением

3. Инвариантные множители

Заключение

Литература

Введение

«Человек утверждается на земле, постигая тайны явлений природы или делая определенные умозаключения».

Абай, слова назидания, Слово 7.Перевод С. Санбаева.

Мною была выбрана тема для курсовой работы «Канонический вид произвольных линейных преобразований», так как курс линейной алгебры читается на механико-математическом факультете университетов, что непосредственно связано не только с моей специальностью магистранта, но также и с моей работой преподавателем математики в педагогическом институте. И поэтому для меня эта тема является очень важной и актуальной.

Обычно мы изучаем различные классы линейных преобразований n - мерного пространства, имеющих n линейно независимых собственных векторов. Матрица базиса, состоящего из собственных векторов линейного преобразования, имеет особенно простой вид (диагональную форму).

Но число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем n. А такое преобразование не может быть приведено к диагональной форме. Моя же работа дает ответ на возникший вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования? Курсовая работа подробно описывает канонический вид произвольных линейных преобразований, а именно:

1) нормальную форму линейного преобразования;

2) применение произвольного преобразования к нормальной форме:

а) собственные и присоединенные векторы линейного преобразования;

b) выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение;

с) приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением;

3) инвариантные множители.

Каждый раздел содержит определения, примеры, упражнения

1. Нормальная форма линейного преобразования

Мы знаем, что в базисе, состоящем из собственных векторов линейного преобразования n-мерного пространства, его матрица имеет особенно простой вид, так называемую диагональную форму.

Однако число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем n. Такое преобразование заведомо не может быть приведено к диагональной форме, так как базис, в котором матрица преобразования диагональна, состоит из собственных векторов. Возникает вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования?

В этой работе для произвольного преобразования указан базис, в котором его матрица имеет сравнительно простой вид (так называемая жорданова нормальная форма). В случае, когда число линейно независимых собственных векторов преобразования равно размерности пространства, эта нормальная форма совпадает с диагональной. Сформулируем окончательный результат.

Пусть задано произвольное линейное преобразование А в комплексном пространстве n измерений. Предположим, что у А имеется k (k n) линейно независимых собственных векторов

e₁, f₁, … , h₁,

соответствующих собственным значениям ₁, ₂, … , _k. Тогда существует базис, состоящий из k групп векторов:

e₁, … , e_p; f₁, … , f_q; … ; h₁, … , h_s, (1)

в котором преобразование А имеет следующий вид:

Ae₁ = ₁e₁, Ae₂ = e₁ + ₁e₂, … , Ae_p = e_p-1 + ₁e_p;

Af₁ = ₂e₁, Af₂ = f₁ + ₁f₂, … , Af_q = f_q-1 + ₂f_q; (2)

Ah₁ = _kh₁, Ah₂ = h₁ + _kh₂, … , Ah_s = h_s-1 + _kh_s.

Мы видим, что базисные векторы каждой группы переходят при нашем преобразовании в линейную комбинацию векторов той же группы. Отсюда следует, что каждая группа базисных векторов порождает подпространство, инвариантное относительно преобразования А. Рассмотрим несколько подробнее преобразование, задаваемое формулами (2).

В подпространстве, порожденном каждой группой, есть собственный вектор; например, в подпространстве, порожденном векторами е₁, е₂, … , е_р, таким собственным вектором является е₁.

Вектор е₂ называют присоединенным собственным вектором первого порядка. Это значит, что Ае₂ пропорционально е₂ с точностью до собственного вектора, как это видно из равенства

Ae₂ = ₁e₂ + e₁.

Аналогично е₃, е₄, … называют присоединенными векторами второго, третьего и т. д. порядков.

Каждый из них является «как бы собственным», т. е. собственным с точностью до присоединенного вектора низшего порядка

Ae_k = ₁e_k + e_k-1.

Таким образом, базис каждого инвариантного подпространства состоит из одного собственного вектора и такого количества присоединенных, которое нужно добавить, чтобы получить базис данного подпространства.

В каждом из этих подпространств имеется , с точностью до множителя, лишь один собственный вектор.

Теорема. Пусть в комплексном n - мерном пространстве задано линейное преобразование А. Тогда можно найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет нормальную форму. Другими словами, можно найти базис, в котором линейное преобразование имеет вид (2).

2. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

Уже упоминалось в п. 1, что в случае, когда у преобразования А не хватает линейно независимых собственных векторов (т. е. когда их число меньше размерности пространства), базис приходится дополнять за счет так называемых присоединенных векторов (их точное определение будет дано чуть позже). В этом разделе дается способ построения базиса, в котором матрица преобразования А имеет жорданову нормальную форму. Этот базис мы непосредственно наберем из собственных и присоединенных векторов, и такой способ выбора является , в некотором смысле. Наиболее естественным.

2.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования

Пусть ₀ - некоторое собственное значение преобразования А.

Определение 1. Вектор х 0 называется собственным вектором преобразования А, отвечающим собственному значению ₀, если

Ах = ₀х, т. е. (А - ₀Е)х = 0. (1)

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном ₀. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства R

Обозначим его . Легко видеть, что инвариантно относительно преобразования А.

Заметим, что подпространство состоит из всех собственных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению ₀, к которым добавлен еще нулевой вектор.

Определение 2. Вектор х называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования А, отвечающим собственному значению ₀, если вектор

у = (А - ₀Е)х

является собственным вектором преобразования А.

Пусть ₀ - собственное значение преобразования А.

Подпространство, состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие

(А - ₀Е)²х = 0, (2)

т. е. ядро преобразования (А - ₀Е)² , обозначим . является инвариантным подпространством пространства R. А получается это подпространство, если к подпространству добавить присоединенные векторы 1-го порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов х, для которых

(А - ₀Е)^kх = 0. (3)

Это подпространство инвариантно относительно преобразования А. Ясно, что подпространство содержит предыдущее подпространство .Определение 3. Вектор х называется присоединенным вектором k-го порядка, если вектор

у = (А - ₀Е)х

есть присоединенный вектор порядка k-1.

Пример. Пусть R - пространство многочленов степени n-1 и преобразование А - дифференцирование:

АР(t) = P(t).

Легко видеть, что = 0 есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор P(t) = const. Найдем для этого преобразования подпространства . По определению состоит из всех многочленов P(t), для которых А^kР(t) = 0, т. е.

Это будут все многочлены, степень которых не превышает k-1. Присоединенными векторами k-го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна k-1.

2.2 Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение

Пусть ₁ - некоторое собственное значение преобразования А. Пространство R можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование А имеет лишь одно собственное значение ₁, а во втором у преобразования А уже нет собственного значения ₁.

Не ограничивая общности, можно считать, что ₁ = 0.

Действительно, пусть ₁ 0. Рассмотрим преобразование В = А - ₁Е; оно уже имеет собственное значение, равное нулю. Очевидно также, что инвариантные подпространства преобразований А и В совпадают.

Итак, будем считать, что преобразование А имеет собственное значение = 0. Докажем это утверждение сначала для частного случая, когда в пространстве нет присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению, а есть только собственные векторы.

Нам нужно построить два инвариантных подпространства, прямая сумма которых равна R. В качестве первого из них, в котором = 0 есть единственное собственное значение, можно взять совокупность N₀ всех собственных векторов, отвечающих собственному значению = 0 или, другими словами, ядро преобразования А.

В качестве второго подпространства возьмем образ М пространства R при преобразовании А, т. е. совокупность векторов у = Ах, где х пробегает все пространство R. Легко видеть, что каждое из этих подпространств инвариантно.

Они дают разложение пространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра и образа для любого преобразования А равна n, то достаточно доказать, что пересечение этих подпространств равно нулю.

Предположим, что это не так, т. е. пусть существует вектор у 0 такой, что уМ и уN₀. Так как уМ, то он имеет вид

у = Ах, (4)

где х - некоторый вектор из R. Так как уN₀, то

Ау = 0, где у 0. (5)

Равенство (5) означает, что у есть собственный вектор преобразования А, отвечающий собственному значению = 0, а равенство (4) при этом означает, что х есть присоединенный вектор первого порядка, отвечающий тому же собственному значению. Мы же предположили, что у преобразования А нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значению = 0.

Таким образом доказано, что подпространства М и N₀ не имеют общих векторов кроме нулевого.

Вспоминая, что сумма размерностей образа и ядра равна n, мы получаем отсюда, что пространство R разложимо в прямую сумму инвариантных подпространств М и N₀:

R = M + N₀.

Замечание. Из приведенного выше доказательства видно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от нуля в том и только случае, когда преобразование А имеет присоединенные векторы, отвечающие собственному значению = 0.

Разобранный частный случай дает нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда А имеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению = 0. Подпространство N₀ при этом оказывается слишком узким, и его естественно расширить за счет добавления всех присоединенных векторов, отвечающие собственному значению = 0. Второе же подпространство М оказывается при этом слишком большим.

Теорема. Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств и . При этом подпространство состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению = 0, а в подпространстве преобразование А обратимо ( т. е. = 0 не является собственным значением преобразования А в подпространстве ).

Если ₁ - некоторое собственное значение преобразования А, то пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств R₁ и , в первом из которых преобразование А имеет только собственное значение ₁, а во втором все собственные значения А отличны от ₁.

Применяя полученный результат к преобразованию А в пространстве и к некоторому собственному значению ₂ этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению ₂. Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования А, мы получим доказательство следующей теоремы:

Теорема. Пусть преобразование А пространства R имеет k различных собственных значений ₁, … , _k .. Тогда R можно разложить в прямую сумму k инвариантных подпространств , …, :

R = + … + . (6)

Каждое из подпространств состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению _i .

Осталось еще только одна не менее важная задача - выбрать в каждом из этих подпространств базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму.

2.3 Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением

В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.

В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.

Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А.

Определение. Векторы из пространства R называются относительно линейно независимыми над подпространством R₁, если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит R₁.

Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из R относительно линейно зависимы над любым пространством.

Определение. Базисом пространства R относительно подпространства R₁ называется такая система е₁, … , е_k линейно независимых векторов из R, которая после пополнения каким-нибудь базисом из R₁ образует базис во всем пространстве.

Такой базис легко построить. Для этого достаточно будет выбрать какой-нибудь базис в R₁, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить вектор исходного базиса из R₁. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.

Всякую систему относительно линейно независимых векторов над R₁ можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства R₁. Получится некоторая система векторов из R, которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве R, а затем отбросить базис подпространства.

Итак, пусть преобразование А в пространстве R имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности можно, предположить, что оно равно нулю.

3. Инвариантные множители

Определение. Матрицы А и А₁ = С^-1АС, где С - произвольная невырожденная матрица, называются подобными.

Если А₁ подобна матрице А₂, то и обратно, А₂ подобна А₁. Если две матрицы А₁ и А₂ подобны одной и той же матрице А, то они подобны между собой.

Пусть А - матрица преобразования А в некотором базисе. При переходе к другому базису матрица А заменяется подобной ей матрицей С^-1АС, где С - матрица перехода от первого базиса ко второму. Таким образом, подобные матрицы - это матрицы одного и того же линейного преобразования в различных базисах.

Лемма. Если С - произвольная невырожденная матрица, то общие наибольшие делители миноров k-го порядка матриц А - Е и С(А - Е) совпадают. Аналогичное утверждение имеет место и для (А - Е)С.

Лемма. У подобных матриц многочлены D_k() совпадают.

Так как при переходе от одного базиса к другому матрица линейного преобразования заменяется подобной, то из последней леммы вытекает следующая

Теорема. Пусть А - линейное преобразование. Тогда наибольший общий делитель D_k() миноров k-го порядка матрицы А - Е, где А - матрица преобразования А в некотором базисе, не зависит от выбора базиса.

Для того чтобы существовал базис, в котором матрица преобразования диагональна, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители этой матрицы имели лишь простые корни.

Теорема. Для того чтобы две матрицы были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их инвариантные множители совпадали.

Теорема. Нормальная форма линейного преобразования однозначно определяется самим линейным преобразованием.

Заключение

«Образность того или иного явления или предмета, прочность закрепления его в памяти находится в прямой зависимости от силы впечатления произведенного этим предметом или явлением.»

Абай, Слова назидания, Слово 43.

А., 1982. Перевод С.Санбаева.

Курсовая работа, описывающая канонический вид произвольных линейных преобразований, включает в себя 3 небольших раздела. Каждый раздел содержит необходимые определения, подробно разобранные примеры, упражнения с подробно разобранными решениями..

В основном курсовая работа написана по Гельфанду И.М. «Лекции по линейной алгебре». Также помогали в написании этой работы Гельфанду И.М. и самостоятельно занимались этим разделом алгебры (и не только): Граев М.И., Пономарев В, Шапиро З.Я., Курош А.Г., Фомин С.В., Цетлин М.Л., Турецкий А.Е. и Райков Д.А.

Эту курсовую работу можно использовать для чтения лекций по линейной алгебре, а именно раздела курса: линейные преобразования. Конечно же, при чтении лекции полностью на эту работу опираться нельзя, так как она не охватывает все виды линейного преобразования и требует определенного дополнения.

Литература

1. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., 1971.

2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1971.

3. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М., 1956.

4. Шимов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. М.-Л., 1952.