Уравнения смешанного типа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Нелокальная граничная задача Й рода

2. Нелокальная граничная задача II рода

Литература

уравнение спектральный нелокальный дифференциальный



Введение

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа стали изучаться систематически с конца 40-х годов, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения в околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже И.Н. Векуа были найдены приложения этих уравнений и в других разделах физики и механики, в частности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Также повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Проттера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты, полученные ими и их последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [4], Л. Берса [2], К.Г. Гудейлея [6], Т.Д. Джураева [7], М.М. Смирнова [14], Е.И. Моисеева [9], К.Б. Сабитова [12], М.С. Салахитдинова [13].

Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [15], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, В.И. Жегалова [8], А.И. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькиной [10], О.А. Репина [11], А.Л. Скубачевского, А.П. Солдатова и других.

Особо выделим работу А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.

Первые фундаментальные исследования вырождающихся гиперболических уравнений были выполнены Ф. Трикоми в начале прошлого столетия. Для уравнения

(0.1)

он поставил следующую задачу: пусть область, ограниченная при гладкой кривой с концами в точках и оси а при характеристиками уравнения (0.1). Требуется найти функцию (отрезок оси ), удовлетворяющую уравнению (0.1) в и принимающую заданные значения на Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при определённых дополнительных требованиях относительно поведения в гладкости граничных данных и характера дуги . Эта краевая задача и уравнение (0.1) называются сейчас задачей и уравнением Трикоми.

М.А. Лаврентьев с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа предложил новое модельное уравнение

(0.2)

Подробное исследование задачи Трикоми и её различных обобщений для уравнения (0.2) провёл А.В. Бицадзе. Уравнение (0.2) называют сейчас уравнением Лаврентьева-Бицадзе.

Нахушев А.М. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области .

В работах Сабитова К.Б. исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа

в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.

Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применён при обосновании корректности постановки нелокальных начально-граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.

Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения следующих задач:

Рассмотрим вырождающееся уравнение

(0.3)

где в прямоугольной области заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.

Задача 1. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:

; (0.4)

; (0.5)

(0.6)

(0.7)



где и заданные достаточно гладкие функции, причём

Для того же уравнения исследована и следующая задача:

Задача 2. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:

(0.8)

; (0.9)

(0.10)

(0.11)

где и - заданные достаточно гладкие функции, причём

, ,

Для указанных задач установлены критерии их однозначной разрешимости. Решения получены явно в виде соответствующих рядов.



1. Нелокальная граничная задача Й рода

Рассмотрим вырождающееся уравнение смешанного типа

(1)

где в прямоугольной области заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.

Задача 1. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:

; (2)

; (3)

(4)

(5)

где и заданные достаточно гладкие функции, причём

Пусть решение задачи (2) Рассмотрим функции

(6)

(7)

(8)

Дифференцируя дважды равенство (8), учитывая уравнение (1) и условия (4), получим дифференциальное уравнение



(9)

с граничными условиями

, (10)

(11)

Общее решение уравнения (9) имеет вид

где и функции Бесселя первого и второго рода соответственно,модифицированные функции Бесселя, и произвольные постоянные,

Подберём постоянные и так, чтобы выполнялись равенства

(13)

Опираясь на асимптотические формулы функций Бесселя

и модифицированных функций Бесселя



в окрестности нуля, первое из равенств (13) выполнено при и любых и , а второе равенство выполнено при

Подставим полученные выражения для постоянных и в (12), тогда функции примут вид

Отметим, что для функций (14) выполнено равенство

Отсюда и из равенств (13) вытекает, что является продолжением решения на промежуток и,наоборот, является продолжением решения на промежуток . Следовательно, функции (14) принадлежат классу и удовлетворяет уравнению (9) всюду на . Теперь на основании (10) и (11) получим систему для нахождения и :



(15)

Если определитель системы (15):

(16)

то данная система имеет единственное решение

(17)

. (18)

С учётом (17) и (18) из (14) найдём окончательный вид функций

(19)

Где

(20)

(21)

(22)

(23)



Дифференцируя дважды равенство (7) с учётом уравнения (1) и условий (4) для функции , получим однородное дифференциальное уравнение

(24)

с граничными условиями

(25)

Решение задачи (24) и (25) будет иметь вид

(26)

Аналогично для функции получаем неоднородное уравнение

(27)

с граничными условиями



(28)

(29)

Общее решение уравнения (27) имеет вид

Равенства будут выполняться при следующих значениях постоянных

,

при любых и Подставим выражения для постоянных и в (30), тогда функции примут вид

(31)

Для нахождения и на основании (28) и (29) получим систем

(32)



Если выполнено условие (16), то и определяются по формулам:

(33)

, (34)

Найденные значения и по формулам (33) и (34) подставим в (31), тогда функции будут однозначно построены в явном виде:

(35)

Из формул (19), (26), (35) следует единственность решения задачи (2)так как если на , то , для на Тогда из (6) имеем:

Отсюда в силу полноты системы



в пространстве следует, что функция почти всюду на при любом .

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1. Если существует решение задачи (2)то оно единственно только тогда, когда при всех

Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (2) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых и нарушено условие (16), т. е. Тогда однородная задача (2) (где имеет нетривиальное решение

Выражение для на основании следующих формул

приводим к виду

Поскольку при любом и



где и положительные постоянные, то функция

где в силу теоремы Хилби имеет счётное множество положительных нулей.

Следовательно, при некоторых может иметь счётное множество нулей независимо от . Поскольку любое положительное число ,то оно может принимать значения, близкие к нулям Поэтому при больших n выражение может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема Чтобы такой ситуации не было, надо показать существование и таких, что при любом и больших справедлива оценка

Представим (16) в следующем виде

(36)

где



Как известно функция строго убывает, функция строго возрастающая по , поэтому величина

есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при больших . Поэтому рассмотрим только выражение

Используя асимптотическую формулу функции при

Получаем

Где



Отсюда видно, что если, например,где то при

Тем самым справедлива следующая

Лемма 1. Существует и постоянная такие, что при всех и больших справедлива оценка

(37)

Рассмотрим следующие отношения:

,

Лемма 2. При любом для достаточно больших n справедливы оценки:

;

;

где , здесь и в дальнейшем, положительные постоянные.

Доказательство. С учётом (36) функция примет вид



Оценим функцию при и больших :

.

На основании поведений функций в окрестности бесконечно-удалённой точки и леммы 1, получим

(38)

где здесь и далее произвольные постоянные.

При 0 и n>>1 в силу асимптотических формул имеем

(39)

Сравнивая (38) и (39) при любом получим

Далее вычислим производную



Оценим эту функцию при и больших :

(41)

При и больших фиксированных имеем

(42)

Из оценок (41) и (42) следует, что при всех

Вторую производную функции вычислим следующим образом:



Используя формулы ([1], стр. 90)

Получаем

Зная оценку (40) для из последнего равенства при всех имеем

Функция с учётом (36) примет вид:

.

Оценим её, используя лемму 1 при 0 и больших n:

(43)



При и больших фиксированных :

(44)

Из оценок (43) и (44) имеем:

(45)

Вычислим производную :

.

Оценим функцию при и :

(46)

При и имеем:



(47)

Сравнивая (46) и (47) при всех , получим

Теперь вычислим вторую производную функции

Используя формулы

Получим

Отсюда на основании оценки (45) будем иметь



(48)

Аналогично получаем оценку для функции и :

Лемма 3. При любом для достаточно больших справедливы оценки:

Доказательство. Используя и функцию , определяемую формулой (19), представим в следующем виде:

(49)

Из (49) в силу леммы 2 получим оценки для функций и Аналогичные оценки справедливы и для функций и Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть то справедливы оценки:



(50)

При получении оценок (50) дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на условию Гёльдера с показателем

Теорема 2. Пусть и выполнены условия (16) и (37). Тогда задача (2)-(5) однозначно разрешима и это решение определяется рядом

(51)

где функции , определены соответственно по формулам (26), (35), (19).

Доказательство. Поскольку системы функций

образуют базис Рисса, то если , тогда функцию можно представить в виде биортогонального ряда (51), который сходится в при любом . В силу лемм 3 и 4 ряд (51) при любом из мажорируется сходящимся рядом



поэтому ряд (51) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области . Следовательно, функция непрерывна на как сумма равномерно сходящегося ряда (51). Ряды из производных второго порядка в мажорируются также сходящимся числовым рядом

Поэтому сумма ряда (51) принадлежит пространству и удовлетворяет уравнению (1) в . Следствие 1. Построенное решение задачи (2)-(5) принадлежит классу и функция всюду в является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа уравнения (1) как особая линия устраняется.

2. Нелокальная граничная задача II рода

Рассмотрим уравнение (1) в прямоугольной области и исследуем сопряжённую относительно задачи 1 задачу.

Задача 2. Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям:

(52)

; (53)

(54)

(55)



где и - заданные достаточно гладкие функции, причём , ,

Пусть решение задачи (52)- (55). Вновь воспользуемся системами

Рассмотрим функции

, (56) (57)

(58)

Дифференцируя дважды равенство (56) и учитывая уравнение (1), получим дифференциальное уравнение

(59)

с граничными условиями

(60)

(61)

Следуя §1 решение задачи (59)-(61) построим в виде



(62)

C учётом уравнения (1) продифференцируем дважды равенство (57). Получим для функции однородное дифференциальное уравнение

(63)

с граничными условиями

(64)

Решение задачи (63) и (64) имеет вид

(65)

Дифференцируя дважды равенство (58) и учитывая уравнение (1) и условия (54), получаем неоднородное уравнение для функции

(66)

с граничными условиями



, (67)

. (68)

Решение этой задачи определяется по формуле

(69)

Из формул (62), (65), (69) следует единственность решения задачи (52)-(55), так как если на то , , для на Тогда из (56)-(58) имеем:

, ,

Отсюда в силу полноты системы

в пространстве следует, что функция почти всюду на при любом .

Теорема 3. Если существует решение задачи (52)-(55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех n выполняется условие (16).

Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (52)-(55) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых и нарушено условие (16), т. е. . Тогда однородная задача (52)-(55) (где ) имеет нетривиальное решение

Теорема 4. Если , и выполнены условия (16) и (37), то существует единственное решение задачи (52)-(55) и оно представимо в виде суммы ряда

где функции , определены соответственно по формулам (65), (62), (69).

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2.

Следствие 2. Построенное решение задачи (52)-(55) принадлежит классу и функция всюду в является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа уравнения (1) как особая линия устраняется.



Литература

1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.М.: Наука, 1966. Т.

2. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ,

3. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/ А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 185. - № 4. - С. 739 - 740.

4. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /

А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1981.- 448 с.

5. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций.I./ Г.Н. Ватсон.-М.: ИЛ, 1940.- 421 с.

6. Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. - М.: ИЛ, 1960. - 421 с.

7. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов /Т.Д. Джураев - М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

8. Жегалов, В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. - С.172 с.

9. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. - М.: МГУ, 1988. - 150 с.

10. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. - С. 176 - 184 с.

11. Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой - полуполоса / О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, №4. - С. 565 - 567 с.

12. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б. Сабитов, Г.Г. Биккулова, А.А. Гималтдинова - Уфа.: Гилем, 2006. - 150 с.

13. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа - М.С. Салахитдинов. - Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

14. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М Смирнов. - М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

15. Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. - 1956. - Т. 20. - №2. - с. 196 -202 с.

Размещено на Allbest.ru